全等三角形PPT课件

∴
A
1
2
D
C
∠ 1 =∠ 2 (全等三角形的对应角相等) 1 ∴ ∠ 1 = ∠ BDC = 90 ° 2 ∴ AD ⊥ BC (垂直定义)
例题2
已知: 如图,AB = DC ,AD = BC . 求证: ∠ A =∠ C
分析：需添加辅助线构造三角形 证明: 连结 BD 在△BAD 和△DCB中
AB = CD AD = CB BD = DB
创设情景,实例引入
一张教学用的三角形硬纸板不小心
怎么办？可以帮帮 我吗？
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来
同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？
例题讲解：教材120页
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于 点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：⑴ AD=AE （补充）⑵BD=CE
提示：求证∠B= ∠ C即可得到答案
练习及作业



练习：教材123页1.2 作业(1)教材124页7.8 选作题(2)如图，有两个长度相同 的滑梯，左边滑梯的高度AC与 右边滑梯水平方向的长度DF相等， 两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE的大小有什么关系？
全等三角形小结与复习

教学目标：1.能灵活运用全等三角形的有关知 识，证明边角相等；2.解决实际问题 三角形全等的判定方法有：定义、SAS定理、 ASA定理、AAS推论、SSS定理，在直角三角形 中还可以用HL定理。但要注意不能用边边角或 角角角判定三角形全等. 证明线段或角相等， 通常是通过证明三角形全等来实现的，因此要 学会分析，善于总结规律，灵活地选择适当方 法证明两个三角形全等，当题目的图中无现成 的可用来证明的全等三角形时，就需要根据条 件和结论添加适当的辅助线，构造全等三角形， 有一些复杂的几何题，往往要证明几次全等才 能得到结果，选择好的证明方法是非常重要的.
A C B E F
结论：两个角和其中一个角的对边对应相 等的两个三角形全等。(“角角边”或 “AAS”)
(补充)
例2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于 点O，AD=AE，∠B=∠C。
求证： AB=AC
证明 ：在△ADC和△AEB中 ∠C=∠B（已知） ∠A=∠A（公共角） AD=AE（已知） ∴△ACD≌△ABE（AAS）
3、全等三角形性质的运用
A
D
（1）将△ ABC 沿直线BC平 移，得到△ DEF，说出图中线 B 段、角的关系并说明理由。 （2）△ABD≌△ACE，若∠B ＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝， 你能得出△ACE中哪些角的大小， 哪些边的长度吗？为什么 ？ B 作业：教材112页习题8.1 1、2、3
A
2.找一找
E
B
D
C
如图，已知△ABC≌△ADE, ∠C=∠E,BC=DE,其它的对应边 有 ：_____________ 对应角有：_____________ 配套练习：课本112页练习第二题，注意可以给学生总结可根 据△ABC≌△ADE找出对应点A→A,B→D,C→E,再结合图形 找出对应角，对应边直接可以看出 AB→AD,BC→DE,AC→AE.
1
分析：已知△ABC≌△ A B C ，相当于已知它们的对 应边相等.在证明过程中，可根据需要，选取其中 一部分相等关系.
1 1 1
可求证△ ACD≌△A C D 或求证 △ ABD≌△ A1 B1 D1 (AAS)
1 1 1
3.如图15（1）已知：E、F分别为线段AC上的两个动点， 且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD， AF=CE，BD交AC于M点． (1)求证：MB=MD，ME=MF； (2)当E、F两点移动至如图15（2）所示的位置时，其余条 件不变，上述结论是否成立？若成立，请加以证明． 提示:先证明Rt△ABF ≌ Rt△CDE得BF=DE,再证明
证明 ：在△ADC和△AEB中
D
A E O B C
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ACD≌△ABE（ASA） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知） ∴ AB-AD=AC-AE(等量减等量，量相等） ∴BD=CE
练习
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能 利用角边角条件证明你的结论吗？ D
E A E O
C
F
D
C
例题1
如图, △ABC 是刚架,AB = AC ,AD是连结点A与 BC中点D的支架. 求证: ⑴△ABD ≌ △ACD（补充）⑵AD ⊥ BC
证明:
∵D是线段BC的中点 ∴BD=CD 在△ABD 和△ACD中 AB = AC (已知) AD = AD (公共边) DB = DC (已知) B ∴ △ABD ≌ △ACD ( SSS )
AC=DC ∠ACB=∠DCE BC=EC △ACB≌△DCE AB=DE
以3cm，5cm为三角形的两边，长度为 5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？ 动手画一画，你发现了什么？
C F
A 40°
B
D
40°
E
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等
练习1.教材119页练习 （补充）2.图3,已知:AD∥BC，AD＝ CB． 求证：△ADC≌△CBA （补充）3.如图4，已知AB＝AC， AD＝AE， ∠1＝∠2，求证:△ABD≌ACE 作业：教材124页3.4
A
注意条件 的顺序
D O
E
B
∴ AB=AC （全等三角形的对应边相等）
C
习题及作业
练习：教材121页1.2题 作业：教材124页5题

例1 教材122页：
如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD， A 求证：BC﹦AD
D
C
B
注意：在证明时要强调
Rt△ABC≌ Rt△BAD （补充）例2：如图，B、E、F、C在同一 直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E， AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？ 说说你的理由
教学目标： 1. 掌握角平分线的判定，能应用角平分线的性 质及判定解决问题。 2.初步了解角的平分线的判定在生活生产中的 应用 教学重点：角的平分线的判定的证明及运用 教学难点：角的平分线的判定的探究
新课设计
创设情境：教材128页思考，引导学生完成证明，得到角的 平分线的判定 A 总结：数学语言表示： D (1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC是∠AOB的平分线 1 P O 2 C PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD＝PE E (2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 B ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE． ∴点P在∠AOB的平分线上．

例1：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交 于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上 分析：需要证明点F到∠DAE两边的距离相等 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH M ∴点F在∠DAE的平分线上
O
C
SAS )
（补充）例2 已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2
求证:(1) AD=CD (2)BD 平分∠ ADC
证明：在△ABD和△CBD中 AB=CB B 1 2 4 C A 3
D
∠1= ∠2
BD=BD（公共边） 归纳：判定两条 线段相等或二个角 ∴ △ABD≌△CBD(SAS) ∴AD=CD (全等三角形对应边相等） 相等可以通过从它 们所在的两个三角 ∠3= ∠4（全等三角形对应角相等） 形全等而得到。 ∴BD 平分∠ ADC
A
3.全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等， 对应角相等
B
D
C
E
F
如图： ∵ △ABC≌△DEF ∴A B=D E，A C=D F，BC= E F （全等三角形的对应边相等）
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （全等三角形的对应角相等）
例题： （补充）1. 下列说法是否正确,并简要说明理由: (1) 边长相等的正方形都是全等图形; (2) 同一面中华人民共和国国旗上,4个小五角星 都是全等图形. (3) 面积相等的两个三角形是全等三角形 (4) 两个全等三角形的面积相等 此题的设计意图是加强学生对全等形概念的 理解
1、一个三角形经过平 移、翻折、旋转，前后 的图形全等。常见的图 形有：
B A E
A
D
C
F
平移
D B
A
B
D
翻折
C
E
旋转
C
2.注意：两个三角形全等在表 示时通常把对应顶点的字母写 在对应的位置上。 A D
B C
F E 应该记作∆ABC≌ ∆DFE 原因:A与D、B与F、C与 E对应。
能否记作 ∆ABC≌ ∆DEF?

证明：∵ AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90° ∴ CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△FCD和Rt△DBE中 CD=DE DF=DB ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=DE（全等三角形对应边相等）
练习及作业
练习：教材129页 作业：教材130页2.3

角的平分线的性质(2)


例1.教材129页，直接应用角平分线的性质，而不利 用全等证明。注意向学生说明“同理”的意思
（补充）例2如图：在△ABC中， A ∠C=90°AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在 AC上，BD=DF E F 求证：CF=EB 分析:要证CF=EB,首先我们想到的 D B C 是要证它们所在的两个三角形全等, 即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.现已有一个 条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找 什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.
A
1 2
D
3
B 4
提问：可以有几种证明方法 C （1）利用邻补角求证∠ABD= ∠ ABC再用 ASA定理 （2）利用外角求证∠ D=∠C,再用AAS定理
2.已知：如图3，△ABC≌△ A B C ，AD、 AD 分别是△ABC和△ A B C 的高. 求证：AD= A1 D1

1 1 1
1
1
1
1
(已知) (已知) B A D
C
(公共边)
∴
∴
△BAD ≌ △DCB( SSS )
∠ A =∠ C
(全等三角形的对应角相等)
创设情景
A
B
因铺设电线的需要，要在 池塘两侧A、B处各埋设一根 电线杆（如图），因无法直 接量出A、B两点的距离，现 有一足够的米尺。怎样测出A、 B两杆之间的距离呢？。
（补充）例1：如图，AC与BD相交于点O， 已知OA=OC，OB=OD， 求证:△AOB≌△COD D 证明: 在△AOB和△COD中 OA=OC ∠ AOB=∠COD（对顶角相等） ______________ OB=OD ∴△AOB≌△COD( A B

新课设计
1.创设情境：不利用工具，请你将一张用纸片做的 角分成两个相等的角。你有什么办法？ （对折） 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的 角，又该怎么办呢？引出教材127页的探究。 2.教师板书作“已知角的平分线” 3.学生完成128页探究，能用三角形全等证明。 得到角平分线的性质。
探究新知
A
B
你能应用刚 刚学过的知 识解决问题 吗？
因铺设电线的需要，要在 池塘两侧A、B处各埋设一根 电线杆（如图），因无法直 接量出A、B两点的距离，现 有一足够的米尺。请你设计 一种方案，粗略测出A、B两 杆之间的距离。。
小明的设计方案：先在池塘旁取一 个能直接到达A和B处的点C，连结AC并 延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长 至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测 出DE的长，这个长度就等于A，B两点的 距离。请你说明理由。
本章在证明时常遇到的几种情况 （1）利用中点的定义证明线段相等 （2）利用垂直的定义证明角相等 （3）利用平行线的性质证明角相等 （4）利用三角形的内角和等于180°证明角 相等 (5)利用图形的和、差证明边或角相等


习题1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4 求证： △ABD≌△ABC
△BMF ≌ △DME（AAS)得到结论 （2）证明与(1)方法相同
角的平分线的性质（一）
教学目标 1、掌握作已知角的平分线的方法 2、掌握角平分线的性质 3、在探究作角平分线的方法和角平分线性质的 过程中，发展数学直觉。 教学重点：角平分线的性质的证明及运用。 教学难点：角平分线的性质的探究。