专题03 函数与分析(名师点睛+能力提升)(学生版)
专题03导数及其应用（解析版）
专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-. 由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-.令()0g'x =得0x =或83x =. (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围． 注：e=…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a ≤，得0a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x =．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a ．综上所述，所求a 的取值范围是⎛⎝⎦． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==． 列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]【答案】A【解析】f′(x)=2x −2x =2x 2−2x(x >0)，令f′(x)≤0，解得：0<x ≤1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R 上连续可导，f ′(x)为其导函数，且f(x)=e x +e −x −f ′(1)x ⋅(e x −e −x )，则f ′(2)+f ′(−2)−f ′(0)f ′(1)= A ．4e 2+4e −2 B ．4e 2−4e −2 C ．0D ．4e 2【答案】C【解析】∵()e e (1)()(e e ()x x x x f x f x f x --'-=+=---)， ∴()f x 是偶函数，两边对x 求导，得()()f x f x -'-='，即()()f x f x '-=-'， 则()f x '是R 上的奇函数，则(0)0f '=，(2)(2)f f '-=-'，即(2)(2)0f f '+'-=，则(2)(2)(0)(1)0f f f f ''''+--=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=【答案】B 【解析】()()3321f x f x x x +-=++……①，()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②，联立①②，解得()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--， ()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=. 故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e -B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()ln f x ax x '=+， ∴()0f x '>在x ∈()0+∞，上成立， 即ax+ln x ＞0在x ∈()0+∞，上成立，即a ln xx-＞在x ∈()0+∞，上成立． 令g （x ）ln x x =-，则g ′（x ）21ln xx -=-， ∴g （x ）ln xx =-在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）ln x x =-的最小值为g （e ）=1e-，∴a ＞1e-． 故选B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)【答案】A 【解析】令g (x )=f (x )x,g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )−e x >0等价为f (e x )e x>f (2)2，即g (e x )>g (2)，故e x <2,即x <ln2， 则所求的解集为(−∞,ln2). 故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题. 21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c【答案】D【解析】依题意，得ln33a ==，1lne e e b -==，3ln2ln888c ==.令f (x )=ln x x，所以f ′(x )=1−ln x x 2.所以函数f (x )在(0,e )上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以[f (x )]max =f (e )=1e =b ，且f (3)>f (8)，即a >c ， 所以b >a >c . 故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数()ln xf x x=是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0f x <恒成立得ln 1ex x a +>恒成立， 设()ln 1e x x h x +=，则()1ln 1e xx x h x -='-. 设()1ln 1g x x x =--，则()2110g x x x'=--<恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调递减，又∵g (1)=0，∴当0<x <1时，g (x )>g (1)=0，即ℎ′(x )>0； 当x >1时，g (x )<g (1)=0，即ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(1)=1e ，∴a >1e . 故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或2【答案】B 【解析】()()()()32222113(3)(132)f x x a x a a f x x x a x a a '=++-=++-+-⇒+-，由题意可知(1)0f '=，即()212(1)303a a a a +-=+⇒-=+或2a =-，当3a =时，()222()2(1)389(9)(1)f x x a x a a x x x x +-'=++-=+-=+-，当1x >或9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f x x a x x x x +-=-++=-=+-≥'，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去. 故3a =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 24．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上的奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋即()()()22018+201842x f x f +<--， 即()()()22018+201842x f x f +<， 即()()20182g x g +<，所以20182x +<，解得2016x <-. 故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________. 【答案】12-【解析】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=， 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-. 故答案为12-. 【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x =(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =()g t '= ∴当18t <<时，()0g t '>，g t 在()1,8上单调递增；当8t时，()0g t '<，g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=， 因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-， 即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--， 所以2()(22)e (22)e e '()x x g x x x x a f x '=-+-+--232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==， 也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥. 当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0g x '=，可得x =当x <x >2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增，当x <<()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x =()g x 取得极大值2e(2)e4g a =+；当x =()g x 取得极小值2e (4g a =-+. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2，a ∈R .（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a ，无极小值点.（2）a ≥−1.【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1x −a ， 当a ≤0时，f ′(x )=1x −a >0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，解f ′(x )=1x −a >0得0<x <1a ，解f ′(x )=1x −a <0得x >1a ， 所以f (x )在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，所以函数f (x )有极大值点，为1a ，无极小值点. （2）由条件可得ln x −x 2−ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x−x 恒成立，令ℎ(x )=ln x x−x(x >0)，则ℎ′(x )=1−x 2−ln xx 2，令k (x )=1−x 2−ln x(x >0)，则当x >0时，k ′(x )=−2x −1x <0，所以k (x )在(0,+∞)上为减函数. 又k (1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(x )>0；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0. 所以ℎ(x )在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数， 所以ℎ(x )max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx −xe x +ax(a ∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a =1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a ≤2e −1；（2）f(x)max =−1.【解析】（1）由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x +1)e x −1x ，则g′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1， 所以a ≤2e −1.（2）当a =1时，f(x)=lnx −xe x +x(x >0). 则f′(x)=1x−(x +1)e x +1=(x +1)(1x−e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)=0，即e x 0=1x 0.当x ∈(0,x 0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0,+∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0， 因为e x 0=1x 0，所以x 0=−lnx 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1， 所以f(x)max =−1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算并说明理由.【答案】（1）−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32p 2(1−p )+C 33p 3， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )=C 32p 2(1−p )+C 33p 3+C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]=3p 2(1−p )+p 3+3p (1−p )2[1−(1−p )2] =−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2.（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500.P (X =1500)=C 31p (1−p )2， P (X =900)=1−C 31p (1−p )2， 所以E (X )=900×[1−C 31p (1−p )2]+1500×C 31p (1−p )2=900+1800p (1−p )2. 令g (p )=p (1−p )2,p ∈(0,1),g ′(p )=(1−p )2−2p (1−p )=(3p −1)(p −1). 当p ∈(0,13)时，g ′(p )>0，g (p )在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p )<0，g (p )在(13,1)上单调递减,所以g (p )的最大值为g (13)=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800（万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x −x 2+3，其中m ∈R ．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2；（2）−2e <m <13e 4或m =6e 3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)， 即m e −x −(−x)2+3=m e x −x 2+3对于任意实数x 都成立， 所以m =0. 此时ℎ(x)=xf(x)=−x 3+3x ，则ℎ′(x)=−3x 2+3. 由ℎ′(x)=0，解得x =±1. 当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表所示：所以ℎ(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增. 所以ℎ(x)有极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2. （2）由f(x)=m e x −x 2+3=0，得m =x 2−3e x.所以“f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点”等价于“直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点”.对函数g(x)求导，得g ′(x)=−x 2+2x+3e x.由g ′(x)=0，解得x 1=−1，x 2=3. 当x 变化时，g ′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：所以g(x)在(−2,−1)，(3,4)上单调递减，在(−1,3)上单调递增. 又因为g(−2)=e 2，g(−1)=−2e ，g(3)=6e 3<g(−2)，g(4)=13e 4>g(−1)，所以当−2e <m <13e4或m =6e3时，直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点.即当−2e <m <13e 4或m =6e3时，函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.。
专题3-函数的定义域与值域
专题03 函数的定义域和值域一、选择题（本大题共12小题，每小题5分。
）1．下列函数中，其定义域和值域与函数的定义域和值域相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的定义域为（ ） A ．B ．C ．D ．3．下列函数中是偶函数且值域为的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝的定义域是 ( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1) 5．函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．C ．或D ．或 8．已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数（，为自然对数的底数），若与的值域相同，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或10．函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”．下列结论错误的是（ ） A ．函数（）存在1级“理想区间” B ．函数（）不存在2级“理想区间” C ．函数（）存在3级“理想区间”D ．函数， 不存在4级“理想区间”函数的定义域分别为且，若对任意的，都有，则11．设称为在上的一个“延拓函数”．已知为自然对数的底数），若为在上的一个“延拓函数”， 则下列可作为的解析式的个数为（ ）①；②；③；④；⑤；⑥．（ ）A ．B ．C ．D ． 12．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（ ）个 ①的定义域为； ②设，，则；③；④若集合，则中至少含有个元素．A ．个B ．个C ．个D ．个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．函数的定义域为___________． 14．已知函数的定义域和值域都是，则__________． 15．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最小值为__________．16．对于函数，若存在一个区间，使得，则称为的一个稳定区间，相应的函数的“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知函数．（）求函数的定义域．（）若为偶函数，求实数的值．18．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）若实数，且，求的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）当且时，求函数的值域．20．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数在上的值域；（2）是否存在实数，是函数的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换．（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；①；②．（2）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值．22．（本小题满分12分）已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．答案与解析1.【答案】C2.【答案】C【解析】要使函数有意义需满足，则函数的定义域为，故选C．3.【答案】D【解析】由题意得，A 选项，的值域为，故错误；B 选项，为奇函数，不为偶函数，故错误；C 选项，为奇函数，不为偶函数，故错误；D选项既为偶函数而且值域为，故选D．4.【答案】D【解析】∵f(x)的定义域为[0，2]，∴要使f(2x)有意义，必有0≤2x≤2，∴0≤x≤1，∴要使g(x)有意义，应有∴0<x<1，故选D．5.【答案】D【解析】由得，当时，函数为增函数，所以当时，由移项得两边平方整理得得从而且．由，得，由综上，所求函数的值域为．选D 6.【答案】C【解析】∴当时，由解得∴要使函数在的值域是则，故选C．7.【答案】B【解析】分析：先根据真数大于零得>0恒成立，再根据二次型系数是否为零讨论，最后结合二次函数图像得实数的取值范围．详解：因为函数的定义域为，所以>0恒成立，因为成立，所以若，则由得，因此，故选B．【名师点睛】研究形如恒成立问题，注意先讨论的情况，再研究时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果．8.【答案】B【解析】分析：易得，所以，为整数时，易得，不为整数，设其中，，代入即可得解．详解：由，可知．可得：．若为整数，则若不为整数，设其中，的值域为．故选B．【名师点睛】本题考查了函数的中心对称性，得到，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论，为整数时易得解，不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可．9.【答案】A10.【答案】D【解析】A中，当x⩾0时，f(x)=x2在[0，1]上是单调增函数，且f(x)在[0，1]上的值域是[0，1]，∴存在1级“理想区间”，原命题正确；B中，当x∈R时，f(x)=e x在[a，b]上是单调增函数，且f(x)在[a，b]上的值域是[e a，e b]，∴不存在2级“理想区间”，原命题正确；C 中，因为在(0，1)上为增函数．假设存在[a，b]⊂(0，1)，使得f(x)∈[3a，3b]则有，所以命题正确；D中，不妨设a>1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“4级理想区间”[m，n]，则由m，n是方程tanx=4x，x ∈的两个根，由于该方程不存在两个不等的根，故不存在“4级理想区间”[m，n]，∴D结论错误，故本题选D．【名师点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出．其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点．11.【答案】A【解析】因为的定义域为[，值域为[1，由延拓函数定义可知，（1）延拓函数的定义域包含的定义域，①③的定义域都不包含0，所以不符合；（2）延拓函数的值域也包含的值域，故⑤⑥不符合，②④符合，所以选A．【名师点睛】本题属于新定义函数题型，难点不大，要领会新定义的意义．其中“对任意的，都有”，条件是解题的关键，首先注意到左边函数的变量是任意的，任意即为所以，故有“”在必须与之对于，故当时，两函数的解析式应该是相同的．常考的还有这样一种关系“，都有”，不同于本题，这种关系只是值域的一种包含关系而已．12.【答案】C【解析】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②；；，因此；③因为，即，因此④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C．【名师点睛】本题难点为分段、绝对值、取整三个要分类讨论的函数有机结合在一起．解题的关键就是按分类标准正确取值，按对应数值寻找周期变化规律．13.【答案】【解析】，定义域为14.【答案】【名师点睛】（1）本题主要考查指数函数的单调性和值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平．（2）对于指数函数，一般要分a＞1和0＜a＜1讨论．15.【答案】2【解析】函数的定义域为，值域为，，2和-2至少有一个属于区间，故区间的长度最小时为[-2，0]或[0，2]，即区间的长度最小值为2，故填2．16.【答案】①②【解析】“局部稳定函数”的定义可以转换为：函数与至少有两个不同的交点，在交点所构成的区间内具有连续性，在交点所确定的区间之内单调递增或单调递减，很明显①②满足题意，函数与相切，函数与没有交点，综上可得所有“局部稳定函数”的序号是①②．【名师点睛】学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识．而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”．前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃．在这里正是应用到了“从厚到薄”．而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题．17.【答案】（1）或；（2）．【解析】试题分析：（1）由即，讨论和-1的大小求解即可；（2）若是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（）知，，再检验即可．试题解析：（）因为即，当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．当时，不等式的解为，所以函数的定义域为．当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．（）如果是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（）知，，检验：当时，定义域为或关于原点对称，，，因此当时，是偶函数．18.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）要使有意义，则即，要使有意义，则即求交集即可求函数的定义域；（2）实数，且，所以即可得出的取值范围．试题解析：（1）要使有意义，则即，要使有意义，则即，所以的定义域．（2）由（1）可得：即所以，故的取值范围是．19.【答案】（1）；（2）．【名师点睛】对勾函数的性质：它是奇函数，在上递减，在上递增，因此时，在时，取得最小值．20.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵函数，a=1，∴，∵在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，∴最小值为，而，∴函数的值域为；（2）当时，由于f（x）在[-1，1]上是减函数，可得，不存在；当时，由，不存在；当时，由，不存在；当时，由，所以（舍去）综上所述．21.【答案】（1）①不是等值域变换，②是等值域变换；（2）．【解析】试题分析：（1）运用对数函数的值域和基本不等式，结合新定义即可判断①；运用二次函数的值域和指数函数的值域，结合新定义即可判断②；（2）利用f（x）的定义域，求得值域，根据x的表达式，和t值域建立不等式，利用存在t1，t2∈R使两个等号分别成立，求得m和n．试题解析：（1）①，x>0，值域为R ，，t>0，由g(t)⩾2可得y=f[g(t)]的值域为[1，+∞)．则x=g(t)不是函数y=f(x)的一个等值域变换；②，即的值域为，当时，，即的值域仍为，所以是的一个等值域变换，故①不是等值域变换，②是等值域变换；（2）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，的值域为，，恒有，解得．22.【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）．【解析】试题分析：（1）由为幂函数可得，解得或，经验证．（2）令，则，设，则将问题转化为函数在上的最小值是否为0的问题．根据对称轴与区间的关系求解，可得满足题意．（3）由题意得，且在定义域内为单调递减函数，若存在实数a，b满足题意，则可得，由②-①消去n 得，从而，将③代入②得，再令，由得，所以将问题转化为求在上的取值范围，根据二次函数的知识可得．试题解析：（1）∵是幂函数，∴，解得或，当时，，不满足，当时，，满足，∴∴．（3）由题意得，∴在定义域内为单调递减函数；若存在实数，使函数在上的值域为，则，由②-①，得，∴，将③代入②得，，令，∵，∴，又，故在区间上单调递减，∴．∴存在实数，使函数在上的值域为且实数的取值范围为．【名师点睛】本题以幂函数作为载体，考查了二次函数求值的问题和换元法的运用．对于求二次函数在给定区间上的最值问题，要根据抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系求解，解题中要用到分类讨论的方法，分类时要做到不重不漏．同时解答本题时还要注意函数的单调性在求值中的应用．。
专题03 函数的单调性和最值的处理途径-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(解析版)
专题03 函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一 定义法例1 已知函数()log (2)log (4)a a f x x a a x =-+-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，写出函数()f x 的单调区间，并用定义法证明；（2）当01a <<时，若11()log 48a f x a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题【答案】（1）增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a ；证明见解析；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】（1）求得()f x 的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.例2 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明()f x 在R 上的单调性；（2）首先利用定义证明()f x 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉f ，转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，分离t 转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减.（2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -， 3.定号：确定()()12f x f x -的正负， 4.得出结论：根据同增异减得出结论.【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意； B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号： ∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
部编数学八年级下册函数专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优(解析版)【人教版】含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题19.1函数专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•定远县校级月考）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（ ）A．变量是V，R；常量是，πB．变量是R，π；常量是C．变量是V，R，π；常量是D．变量是V，R3；常量是π【分析】根据常量和变量的概念解答即可．【解答】解：球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量是V，R；常量是，π故选：A．2．（2022春•沙坪坝区校级月考）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≠2【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，解得：x＞2，故选：A．3．（2022春•封丘县月考）一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则x和6分别是（ ）A．常量，变量B．变量，常量C．常量，常量D．变量，变量【分析】根据变量、常量的定义，结合具体的问题情况进行判断即可．【解答】解：小青购买错题本的本数x是变化的，因此x是变量，而单价为每本6元，是不变的量，因此6是常量，故选：B．4．（2022秋•蜀山区校级月考）下列各图象中，y不是x的函数有（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数的定义解决此题．【解答】解：A ．选项中的图象，在定义域内，任意x 值，总有一个y 值与之对应，那么y 是x 的函数，故A 不符合题意．B ．该选项中的图象，在定义域内，任意x 值，总有一个y 值与之对应，那么y 是x 的函数，故B 不符合题意．C ．该选项中的图象，在定义域内，任意x 值，总有一个y 值与之对应，那么y 是x 的函数，故C 不符合题意．D ．该选项中的图象，在定义域内，存在x 值，存在两个y 值与之对应，那么y 不是x 的函数，故D 符合题意．故选：D ．5．（2021秋•建邺区期末）如果某函数的图象如图所示，那么y 随着x 的增大而（ ）A ．增大B ．减小C ．先减小后增大D ．先增大后减小【分析】根据函数图象可以得到y 随x 的增大如何变化，本题得以解决．【解答】解：由函数图象可得，y 随x 的增大而增大，故选：A ．6．（2022春•观山湖区期中）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化，如图所示，下列说法错误的是（ ）A．一天中，8时到24时骆驼的体温的变化范围是37℃到40℃B．点A表示的是12时骆驼的温度是39℃C．0时到16时骆驼体温一直上升D．骆驼第一天12时体温与次日12时和20时的温度相同【分析】结合图象逐一判断即可．【解答】解：A．一天中，8时到24时骆驼的体温的变化范围是37℃到40℃，说法正确，故本选项不合题意；B．点A表示的是12时骆驼的温度是39℃，说法正确，故本选项不合题意；C．0时到16时骆驼体温一直上升，说法错误，0时到4时，骆驼体温在下降，故本选项符合题意；D．骆驼第一天12时体温与次日12时和20时的温度相同，说法正确，故本选项不合题意．故选：C．7．（2022秋•东营月考）近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数y（人）与时间t（年）有如下关系：时间/年2011201220132014201520162017人数/人5080100150200270350则下列说法不正确的是（ ）A．如表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系B．y（人）随时间t（年）的推移逐渐增大C．自变量是时间t（年），因变量是留守儿童的人数y（人）D．自变量是留守儿童的人数y（人），因变量是时间t（年）【分析】根据函数相关概念依次判断即可．【解答】解：A．如表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系，正确，不合题意；B．y（人）随时间t（年）的推移逐渐增大，正确，不合题意；C ．自变量是时间t （年），因变量是留守儿童的人数y （人），正确，不合题意；D ．自变量是时间t （年），因变量是留守儿童的人数y （人），原题说法不正确，符合题意；故选：D ．8．（2022•南岗区校级模拟）某油库有一储油量为40吨的储油罐，在开始的一段时间内只开进油管，不开出油管；在随后的一段时间内既开进油管，又开出油管直至储油罐装满油．若储油罐中的储油量（吨）与时间（分）的函数关系如图所示，现将装满油的储油罐只开出油管，不开进油管，则放完全部油所需的时间是（ ）分钟．A ．20B ．24C ．26D ．28【分析】首先由已知函数关系计算出每分钟进油量，再由函数图象计算出既开进油管，又开出油管的每分钟进油量，那么能求出每分钟的出油量，从而求出放完全部油所需的时间．【解答】解：由已知函数图象得：每分钟的进油量为：24÷8＝3（吨），每分钟的出油量为：3﹣（40﹣24）÷（24﹣8）＝2（吨），所以放完全部油所需的时间为：40÷2＝20（分钟）．故选：A ．9．（2022春•胶州市期中）某商店销售一批玩具时，其收入y （元）与销售数量x （个）之间有如下关系：销售数量x （个）1234…收入y （元）8+0.316+0.624+0.932+1.2…则收入y 与销售数量x 之间的关系式可表示为（ ）A ．y ＝8.3xB ．y ＝8x +0.3C ．y ＝8+0.3xD ．y ＝8.3+x【分析】本题通过观察表格内的x 与y 的关系，可知y 的值相对x ＝1时是成倍增长的，由此可得出方程．故选：A．10．（2022•嵩县模拟）如图1，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，点F在边AB上，且BF＝2AF，动点P从点F出发，以每秒1cm的速度沿F→B→C→D的方向运动，到达点D时停止．设点P运动x（秒）时，△AEP的面积为y（cm2），如图2是y关于x的函数图象，则图2中a，b的值分别是（ ）A．16，2B．15，C．13，D．13，3【分析】根据动点P的运动情况分三段分别分析即可得出答案．【解答】解：由图可知，当点P从点F到点B时，∵用了4秒，∴FB＝4，∵BF＝2AF，∴AF＝2，∴AB＝CD＝6，当点P从点B到点C时，∵用了3秒，∴BC＝AD＝3，∴a＝4+3+6＝13，∵点E是AD的中点，∴b＝×AE×AF＝×2＝，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•文登区期中）函数y＝+的自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠1 ．【分析】根据二次根式被开方数≥0，分式分母不等于0，求公共解集．解得x＞﹣3，x≠1，∴自变量x的取值范围是x＞﹣3且x≠1，故答案为：x＞﹣3且x≠1．12．（2022秋•武清区校级月考）已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm，若设此直角三角形的面积为Scm2，其中一条直角边为x，则S与x的函数关系式为 S＝﹣x²+5x ，自变量的取值范围是 0＜x＜10 ．【分析】根据题意可得，直角三角形的另一条边是10﹣x，根直角三角形的面积计算方法进行计算即可得出答案，根据直角三角形的边0＜x＜10，即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，S＝x（10﹣x）＝﹣x²+5x，自变量的取值范围是0＜x＜10．故答案为：S＝﹣x²+5x，0＜x＜10．13．（2022秋•临洮县校级月考）篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛，设有x个球队参赛计划共打y场比赛，则y与x之间的函数关系为 y＝x2﹣x ．【分析】根据题意找到比赛场数与球队数量的关系即可．【解答】解：每只球队可以和剩下的（x﹣1）只球队比赛，排除重复的，实际比赛场数为：．∴y＝＝x2﹣x．故答案为：y＝x2﹣x．14．（2022春•封丘县月考）如图所示的是我省某市某天的气温随时间变化的情况，则这天的最高气温为 8℃ ．【分析】根据观察函数图象的纵坐标，可得最高气温．【解答】解：由纵坐标看出这天的最高气温为8℃，故答案为：8℃．15．（2022春•青山区期中）若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，3分钟以后每增加1分钟（不到1分钟按1分钟计算）加收0.5元，当通话时间t≥3分钟时（t为整数），电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式为 y＝0.5t+0.3（t≥3） ．【分析】根据题干分析可得，3分钟以内都收1.8元，当t≥3时，除了收1.8元还需要收（t﹣3）×0.5，进行计算即可．【解答】解：当通话时间t≥3分钟时（t为整数），y＝1.8+（t﹣3）×0.5，∴y＝0.5t+0.3．故答案为：y＝0.5t+0.3（t≥3）．16．（2022秋•定远县校级月考）如图，根据流程图中的程序，当输入数值x为10时，输出数值y为 9 ．【分析】根据题意可得，因为10≥1，所以把x＝10代入y＝x+3中，计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，∵10≥1，∴把x＝10代入y＝x+3中，得y＝+3＝9．故答案为：9．17．（2022•沙坪坝区校级开学）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：所挂物体的质量/千克12345678弹簧的长度/cm12.51313.51414.51515.516则不挂物体时，弹簧的长度是 12 cm．【分析】根据表格数据可得y与x成一次函数关系，设y＝kx+b，取两点代入可得出y与x的关系式，当所挂物体质量为0时，即是弹簧不挂物体时的长度．【解答】解：由表格可得：y随x的增大而增大；设y＝kx+b，将点（1，12.5），（2，13）代入可得：，解得：．故y＝0.5x+12．当x＝0时，y＝12．即不挂物体时，弹簧的长度是12cm．故答案为：12．18．（2022秋•利川市校级月考）如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x 表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则边BC的长是 ．【分析】由图象可知，BP⊥AC时，AP＝1，由勾股定理求出BP，再求PC求BC即可．【解答】解：由图象可知，AB＝3，AC＝6如图，当x ＝1时，BP ⊥AC Rt △ABP 中，BP ＝，∵PC ＝6﹣1＝5，∴Rt △CBP 中，BC ＝，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•泾阳县期中）我们知道：“距离地面越高，气温就越低．”下表表示的是某地某时气温t （℃）随高度h （km ）变化而变化的情况：距离地面高度（km ）012345温度（℃）201482﹣4﹣10（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）请说明温度是怎样随距离地面高度的增加而变化的；（3）已知某山顶的气温为﹣22℃，求此山顶距离地面的高度．【分析】（1）根据表中数量关系判断．（2）根据表中数据变化情况判断．（3）找到变化规律后求解．【解答】解：（1）上表反映了温度和高度两个变量之间的关系．高度是自变量，温度是因变量．（2）由表格可知温度随着距离地面高度的增加而降低．（3）由表格可知当高度每上升1km 时，温度下降6℃，所以当高度为6km 时，温度为﹣16℃，当高度为7km 时，温度为﹣22℃，所以此山顶距离地面的高度是7km．20．（2022春•泾阳县期中）如图是某地区一天的气温随时间变化的图象：（1）气温在哪段时间是下降的？（2）最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？【分析】（1）直接根据图象信息回答即可；（2）直接根据图象信息回答即可．【解答】解：（1）由图象可知，气温在0到4时和14到22时是下降的；（2）由图象可知，最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃．21．（2022春•晋州市校级期末）已知一个圆柱的底面半径是3cm，当圆柱的高h（cm）变化时，圆柱的体积V（cm3）也随之变化．（1）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h的关系式（结果保留π）；（2）当圆柱的高由3cm变化到6cm时，圆柱的体积V增大多少（结果保留π）？【分析】（1）利用圆柱的体积公式求解；（2）分别计算出h＝3和6对应的函数值可得到V的变化情况．【解答】解：（1）V＝π•32•h＝9πh；（2）当h＝3cm时，V＝27πcm3；当h＝6cm时，V＝54πcm3；54π﹣27π＝27π（cm3），所以圆柱的体积V增大27πcm3．22．（2022春•招远市期末）背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排根据图中信息，解决问题：（1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 y＝2.7x ．（2）在上述关系中，耗油量每增加1L，二氧化碳排放量就增加 2.7 kg；当耗油量从3L增加到8L时，二氧化碳排放量就从 8.1 6g增加到 21.6 kg．（3）小明家本月家居用电约100kw•h，天然气10m3，自来水6t，开私家车耗油80L，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和．【分析】（1）根据题意可以直接写出开私家车的二氧化碳排放量y与耗油量x之间的关系式；（2）根据（1）的结论解答即可；（3）根据题意可以列式计算出小明家本月这几项的二氧化碳排放总量；【解答】解：（1）由题意可得y＝2.7x；故答案为：y＝2.7x．（2）由y＝2.7x可知，耗油量每增加1L，二氧化碳排放量增加2.7kg．当耗油量从3L增加到8L时，二氧化碳排放量从8.1kg增加到21.6kg；故答案为：2.7，8.1，21.6．（3）100×0.785+80×2.7+10×0.19+6×0.91＝301.86（kg），小明家本月这几项的二氧化碳排放总量为301.86kg．23．（2022春•泰和县期末）泰和工农兵大道安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．（1）根据如图，将表格补充完整．立柱根数12345…护栏总长度（米）0.2 3.4 6.6 9.8 13 …（2）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（3）设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？（4）求护栏总长度为61米时立柱的根数？【分析】（1）根据题意计算即可；（2）根据护栏总长度随立柱根数的变化而变化可以得出答案；（3）根据等量关系：护栏总长度＝（每根立柱宽+立柱间距）×立柱根数﹣1个立柱间距，就可以求出解析式；（4）根据关系式就可以计算．【解答】解：（1）根据题意可以计算：当立柱根数为3时，护栏总长度为3.2×3﹣3＝6.6（米），当立柱根数为5时，护栏总长度为3.2×5﹣3＝13（米），故答案为：6.6，13．（2）在这个变化过程中，护栏总长度随立柱根数的变化而变化，∴自变量是立柱根数，因变量是护栏总长度，（3）由题意得y与x之间的关系式为y＝（0.2+3）x﹣3＝3.2x﹣3．故答案为：y＝3.2x﹣3．（4）当y＝61时，3.2x﹣3＝61，解得x＝20，答：护栏总长度为61米时立柱的根数为20．24．（2022春•开江县期末）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张A4大小的纸，其中4张为彩色页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成．制版费与印数无关，价格为：彩色页200元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表印数a（单位：册）1≤a＜50005000≤a＜10000彩色（单位：元/张） 2.2 2.0黑白（单位：元/张）0.60.5（1）直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元；（2）若印制6000册，那么共需多少费用？（3）若印制x（1≤x＜10000）册，所需费用为y元，请写出y与x之间的关系式．【分析】（1）根据制版费＝彩页制版费+黑白制版费，代入数据即可求出数值；（2）根据总费用＝制版费+印刷费，代入数据即可求出数值；（3）分1≤x＜5和5≤x＜10两种情况找出y关于x的函数关系式，合并在一起即可得出结论．【解答】解：（1）200×4+50×6＝1100（元），（2）6000（2×4+0.5×6）+1100＝67100（元），∴共需费用67100元．（2）当1≤x＜5000时，y＝1100+2.2×4x+0.6×6x＝12.4x+1100，当5000≤x＜10000时，y＝1100+2×4x+0.5×6x＝11x+1100，。
(江苏专版)高考数学 母题题源系列 专题03 算法初步(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题03算法初步【母题来源一】【2019年高考某某卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．【答案】5【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可． 【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =【名师点睛】识别、运行流程图和完善流程图的思路： （1）要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构； （2）要识别、运行流程图，理解框图所解决的实际问题； （3）按照题目的要求完成解答并验证．【母题来源二】【2018年高考某某卷】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______________．【答案】8【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======， 因为76>，所以结束循环，输出8.S =【母题来源三】【2017年高考某某卷】如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是______________．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．【命题意图】（1）了解算法的含义，了解算法的思想.（2）理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（3）理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.【命题规律】高考中对流程图的考查，主要是顺序结构、条件结构、循环结构，其中循环结构为重点，考查程序运行后的结果，或考查控制循环的条件，流程图常与函数、数列、不等式等知识点结合考查.高考中对算法语句的考查，主要是以伪代码的形式重点考查条件语句和循环语句.结合某某近几年的高考，此部分的考查基本集中在两个方面：一是流程图表示的算法；二是伪代码表示的算法.【方法总结】三种基本逻辑结构的常见问题及解题策略：(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．(3)循环结构①已知流程图，求输出的结果．可按流程图的流程依次执行，最后得出结果．②完善流程图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．③对于辨析流程图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断.1．【某某省某某市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】某算法流程图如图所示，该程序运行后，x ，则实数a的值为_______．若输出的63【答案】7【解析】执行第一次循环时，有1n =，21x a =+； 执行第二次循环时，有2n =，43x a =+； 执行第三次循环时，有3n =，87x a =+， 此时有4n =，输出87x a =+. 所以8763a +=，故7a =. 故填7.【名师点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算，计算时关注各变量的变化情况，并结合判断条件决定输出何种计算结果.对于本题，按流程图逐个计算后可得关于a 的方程，解出a 即可. 2．【某某省某某市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_______．【答案】17【解析】模拟执行程序代码，可得S ＝3.第1步：i ＝2，S ＝S ＋i ＝5； 第2步：i ＝3，S ＝S ＋i ＝8； 第3步：i ＝4，S ＝S ＋i ＝12； 第4步：i ＝5，S ＝S ＋i ＝17. 此时，退出循环，输出S 的值为17． 故答案为17．【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i ，S 的值是解题的关键，属于基础题．求解时，模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，即可得解输出的S 的值．3．【某某省某某市2019届高三适应性考试数学试题】一个算法的流程图如图所示，则输出的a 的值为_______．【答案】9【解析】初始值1,0n a ==，第一步：033,1124a n =+==+=<，继续执行循环； 第二步：336,2134a n =+==+=<，继续执行循环； 第三步：639,314a n =+==+=，结束循环，输出9a =. 故答案为9.【名师点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行，即可得出结果.4．【某某省某某金陵中学、海安高级中学、某某外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为_______．【答案】8【解析】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a＞10成立，退出循环，输出b＝8.故答案为8.【名师点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．对于本题，根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．5．【某某省七市(某某、某某、某某、某某、某某、宿迁、某某)2019届高三第三次调研考试数学试题】如图是一个算法流程图.若输出y的值为4，则输入x的值为_______．【答案】−1【解析】当1x ≤时，由流程图得：3y x =-， 令34y x =-=，解得：1x =-，满足题意. 当1x >时，由流程图得：3y x =+， 令34y x =+=，解得：1x =，不满足题意. 故输入x 的值为1-.【名师点睛】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题.求解时，对x 的X 围分类，利用流程图列方程即可得解.6．【某某省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为_______．【答案】8【解析】根据如图所示的伪代码得：1T =，2i =，6T <成立，212T =⨯=，224i =+=； 6T <成立，224T =⨯=，426i =+=；6T <成立，428T =⨯=，628i =+=， 6T <不成立，结束循环，输出8i =.故答案为8.【名师点睛】本题主要考查了循环结构语句及其执行流程，属于基础题.按程序图依次执行即可得解. 7．【某某省某某市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是_______．【答案】8【解析】输出13y =，若6y x =，则1326x =>，不合题意； 若5y x =+，则1358x =-=，满足题意. 本题正确结果为8.【名师点睛】本题考查算法中的If 语言，属于基础题.根据伪代码逆向运算求得结果.8．【某某省某某中学2019届高三3月月考数学试题】执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为_______．【答案】4【解析】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2，满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2； 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3， 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案为4．【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可，属于基础题．9．【某某省某某市（苏北三市（某某、某某、某某））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为_______．【答案】21【解析】第1步：3,9I S ==； 第2步：5,13I S ==； 第3步：7,17I S ==；第4步：9,21I S ==，退出循环，输出21S =. 故答案为21.【名师点睛】本题考查的知识点是程序框图和语句，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．求解时，由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.10．【某某省某某市2019届高三下学期阶段测试数学试题】根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_______．【答案】205【解析】阅读伪代码可知，I 的值每次增加2，23S I =+， 跳出循环时I 的值为101I =，输出的S 值为21013205S =⨯+=. 故答案为205.11．【某某省某某市2019届高三5月高考信息卷数学试题】执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为_______．【答案】7【解析】程序执行中的数据变化如下：1,3,k S ==133,123S k =⨯==+=， 继续运行，339,325S k =⨯==+=；继续运行，9545,527S k =⨯==+=，S >10，此时退出循环，输出k =7， 故答案为7.12．【某某省高三某某中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试数学试题】中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的2n =，1x =，依次输入的a 为1，2，3，运行程序，输出的s 的值为_______．【答案】6【解析】第一次输入1a =，得1s =，1k =，判断否；第二次输入2a =，得3s =，2k =，判断否；第三次输入3a =，得6s =，3k =，判断是，退出循环，输出6s =，故答案为6.【名师点睛】本题考查了循环结构流程图，要注意每次循环后得到的字母取值，属于基础题.求解时，先代入第一次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断为否，再代入第二次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断仍为否，再代入第三次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断为是，得到输出值.13．【某某省某某市、某某市2019届高三第二次模拟考试数学试题】下图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为_______．【答案】16【解析】运行结果依次为：i =1，S =1，1＜6，i =3，S =4；3＜6，i =5，S =9；5＜6，i =7，S =16，7＞6，输出S =16.故答案为16.【名师点睛】本题主要考查算法，意在考查学生对该知识的理解能力和掌握水平.直接按照算法的伪代码运行即得结果.14．【某某省某某市基地学校2019届高三3月联考数学试题】运行如图所示的流程图，若输入的63a b ==，，则输出的x 的值为_______．【答案】0【解析】由6a =，3b =得：3x =，循环后：4b =，5a =；由4b =，5a =得：1x =，循环后：2b =，4a =；由2b =，4a =得：2x =，循环后：3b =，3a =；由3b =，3a =得：0x =，输出结果：0x =，本题正确结果为0.【名师点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题.求解时，按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可.15．【某某省某某、某某、某某、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为_______．【答案】7【解析】初始值：a ＝0，b ＝1.第1次循环：a ＝1，b ＝3，满足a <15；第2次循环：a ＝5，b ＝5，满足a <15；第3次循环：a ＝21，b ＝7，不满足a <15，退出循环，输出b ＝7.故答案为7．【名师点睛】本题考查的知识点是算法流程图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．。
高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数能力提升(含解析)新人教A版选修22
【优化方案】2013-2014学年高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数能力提升（含解析）新人教A 版选修2-21．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22 解析：选D.由题意，设|MN |＝F (t )＝t 2－l n t (t ＞0)，令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)． F (t )在(0，22)上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增， 故t ＝22时，F (t )＝t 2－ln t (t ＞0)有极小值，也为最小值．即|MN |达到最小值，故选D. 2．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.解析：①当－1≤x ＜0时，a ≤3x －1x 3＝3x 2－1x3对x ∈[－1,0)恒成立，而当－1≤x ＜0时，⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 3′＝3－6x x 4＞0，则y ＝3x 2－1x 3为[－1,0)上的增函数，从而3x 2－1x 3的最小值为4.于是a ≤4.②当x ＝0时，f (x )≥0总成立．③当0＜x ≤1时，a ≥3x －1x 3＝3x 2－1x3对x ∈(0,1]总成立，而y ＝3x 2－1x 3的导数为y ′＝3－6x x 4，令y ′＝0⇒x ＝12，不难判断y ＝3x 2－1x3在(0,1]的最大值为4，∴a ≥4.于是a ＝4.答案：43．已知a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值．解：f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时，有最大值f (0)＝0； 若a ＞0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .由x ∈[0,1]，则只考虑x ＝a 的情况．①0＜a ＜1，即0＜a ＜1时，当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)x(0，a ) a (a ，1) f ′(x )＋ 0 － f (x )↗ 2a a ↘ ②a ≥1，即a ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[0,1]上单调递增，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝3a －1.综上，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0；当0＜a ＜1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ；当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1.4．(2012·高考课标全国卷)设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0，求k 的最大值．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0等价于k ＜x ＋1e x －1＋x (x ＞0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ， 则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)(e x －1)2. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)＜0，h (2)＞0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )＜0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k ＜g (α)，故整数k 的最大值为2.。
函数的图像与性质数学(文)备考学易黄金易错点
专题03 函数的图像与性质2017年高考数学(文）备考学易黄金易错点1．(2016·课标全国乙）函数y＝2x2－e|x｜在－2，2]的图象大致为( ）答案D解析f(2)＝8－e2>8－2.82〉0,排除A；f(2)＝8－e2〈8－2.72<1,排除B；当x〉0时,f（x）＝2x2－e x，f′(x）＝4x－e x，当x∈错误!时，f′（x)〈错误!×4－e0＝0，因此f（x）在错误!上单调递减，排除C,故选D.2．（2016·山东)已知函数f（x)的定义域为R，当x<0时，f（x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x）＝－f(x)；当x>错误!时，f错误!＝f错误!，则f(6）等于（)A．－2B．－1C．0D．2答案D3．(2016·上海)设f(x)，g（x），h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①若f（x）＋g(x)，f（x）＋h(x)，g(x）＋h（x）均为增函数,则f（x），g（x）,h(x）中至少有一个为增函数；②若f(x)＋g(x），f(x）＋h（x)，g(x）＋h（x）均是以T为周期的函数，则f（x)，g （x），h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( ) A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题答案D解析①不成立，可举反例,f（x)＝错误!g(x)＝错误!h（x)＝错误!②f（x)＋g(x)＝f（x＋T)＋g（x＋T),f（x)＋h(x)＝f（x＋T）＋h（x＋T)，g(x）＋h(x)＝g（x＋T）＋h(x＋T)，前两式作差，可得g（x）－h(x)＝g（x＋T)－h(x＋T),结合第三式，可得g(x）＝g(x＋T)，h(x)＝h（x＋T），也有f(x)＝f（x＋T)．∴②正确．故选D.4．（2016·北京)设函数f（x）＝错误!（1）若a＝0，则f（x)的最大值为________；（2)若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是________．答案(1）2 (2）（－∞，－1)（2)f（x)的两个函数在无限制条件时图象如图．由(1）知，当a≥－1时,f（x)取得最大值2.当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值，且－2a＞2.所以a＜－1.5．已知a>0,且a≠1，函数y＝a x与y＝log a（－x）的图象只能是图中的( ）答案B6．定义在R上的函数f（x）满足f(－x）＝－f(x),f（x－2）＝f（x ＋2）,且x∈（－1，0）时，f(x)＝2x＋错误!，则f(log220）等于（）A．1B。
高考数学艺体生文化课总复习第三章函数第9节函数零点与方程的解点金课件
3.(2011新课标卷)函数y= x11的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的 图象所有交点的横坐标之和等于 ( )
【答案】D
【解析】图象法求解.y=
1 x 1
的对称中心是(1,0),
也是y=2sin πx(-2≤x≤4)的中心,
他们的图象在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.
得到f
(
1)
1
e4
4 (
1)
3
0,
f
(0)
e0
40
3
2
0,
4
4
f
(1)
1
e4
4(1)
3
0,
f
(1)
1
e2
4(1)
3
0,442源自2f(3)
3
e4
4(3)
3
0, 所以满足f
(1)
f
(1)
0,
4
4
42
函数f (x) ex 4x 3的零点所在的区间为( 1 , 1 ).故选C. 42
8.(2011陕西,文)方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内 ( )
2 x2
的零点所在的区间为
()
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
【答案】B
【解析】易知f(x)=lnx-
2 x2
的定义域为(0,+∞),且在定义域上单调
递增.
∵f(1)=-2<0, f(2)=ln2-1 >0,∴f(1)·f(2)<0, ∴根据零点存在性定理
2
知f(x)=lnx- 的x22 零点所在的区间为(1,2).故选B.
近年高考数学30分钟拿下选择、填空题专题03特例法文(2021年整理)
2019高考数学30分钟拿下选择、填空题专题03 特例法文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学30分钟拿下选择、填空题专题03 特例法文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题03 特例法方法探究特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果.特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条件，得出特殊结论,再对各选项进行检验,从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答选择题的最佳方法之一,具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况,从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论。
比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但使用时一定要注意：(1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理;(2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、填空题的最佳策略。
数学课堂点睛九下答案人教版
数学课堂点睛九下答案人教版数学课堂点睛九下答案人教版一、第一单元函数的概念与性质1.1 函数的概念1. 什么是函数？函数是一种具有特定性质的特殊映射关系，即可由一个自变量唯一确定一个因变量的规律性对应关系。
2. 函数的表示通常用字母表述函数，用函数表格、函数公式、函数图象等来展示函数的特点和性质。
1.2 函数的性质1. 函数的奇偶性若对于自变量的变化，函数值随之正负变化，则称该函数是奇函数。
若对于自变量的变化，函数值随之不变或变为相反数，则称该函数是偶函数。
2. 函数的单调性若函数沿着自变量增大（或减小）时，函数值也单调增大（或减小），则称该函数具有单调性。
3. 函数的周期性若存在一个常数 k，使得对于所有的 x，有 f(x+k)=f(x)，则称该函数具有周期性，k 是函数的周期。
二、第二单元平面向量2.1 平面向量的概念1. 什么是平面向量？平面向量是一个有大小、有方向的几何对象，可以用有向线段来表示。
2. 平面向量的表示平面向量通常用字母加箭头表示，如向量 AB 表示起点为 A，终点为 B 的平面向量。
3. 向量的模和方向角向量的模是指向量的长度，用 |u| 表示。
向量的方向角是指向量与 x 轴的夹角，用α 表示。
2.2 平面向量的运算1. 平面向量的加、减法平面向量的加法满足向量加法的运算律和交换律。
平面向量的减法可以转化为向量加法，即 u-v=u+(-v)。
2. 数乘一个向量乘以一个数，称为数乘，此时向量的方向不变，只改变其长度。
三、第三单元空间几何基础3.1 空间中的直线和平面1. 直线的表示在空间中，一条直线可以用两点确定。
如果已知一点和方向向量，则同样可以确定一条直线。
2. 平面的表示在空间中，一个平面可以用三个不共线的点来确定。
如果已知一个点和法向量，则等价于确定一个平面。
3.2 空间中的向量1. 什么是空间向量？空间向量是具有大小和方向的几何实体，用有向线段来表示。
2. 空间向量的加减法空间向量的加法满足向量加法的运算律和交换律。
中考备战 专题10 二次函数综合题(第03篇)(解析版)
【母题来源一】2017四川省乐山市 第26题【母题原题】如图1，抛物线1C ：ax x y +=2与2C ：bx x y +-=2相交于点O 、C ，1C 与2C 分别交x 轴于点B 、A ，且B 为线段AO 的中点． （1）求ba的值； （2）若OC ⊥AC ，求△OAC 的面积；（3）抛物线C 2的对称轴为l ，顶点为M ，在（2）的条件下：①点P 为抛物线C 2对称轴l 上一动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；②如图2，点E 在抛物线C 2上点O 与点M 之间运动，四边形OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21-=b a ；（2）233；（3）①P （233，23）；②E （32，54），24317=最大S ． 【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用a 和b 表示出A 、B 两点的坐标，利用B 为OA 的中点可得到a 和b 之间的关系式；（2）由抛物线解析式可先求得C 点坐标，过C 作CD ⊥x 轴于点D ，可证得△OCD ∽△CAD ，由相似三角形的性质可得到关于a 的方程，可求得OA 和CD 的长，可求得△OAC 的面积；（3）①连接OC 与l 的交点即为满足条件的点P ，可求得OC 的解析式，则可求得P 点坐标；②设出E 点坐标，则可表示出△EOB 的面积，过点E 作x 轴的平行线交直线BC 于点N ，可先求得BC 的解析式，则可表示出EN 的长，进一步可表示出△EBC 的面积，则可表示出四边形OBCE 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E 点的坐标．（3）①抛物线x x y C 334:22+-=，∴其对称轴332:2=x l ，点A 关于l 2的对称点为O （0，0），C （3 ，1），则P 为直线OC 与l 2的交点，设OC 的解析式为y =kx ，∴1=3k ，得k =33，∴OC 的解析式为x y 33=，当332=x 时，32=y ，∴P （233，23）；②设E （m ，2433m -+）（2303m ≤≤），则m m m S O BE 3433)334(3322122+-=+-⋅⨯=∆，而B（233，0），C （3 ，1），设直线BC 的解析式为y =kx +b ，由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b k bk 332031，解得：k =3 ，b =-2，∴直线BC 的解析式为23-=x y ，过点E 作x 轴的平行线交直线BC 于点N ，如图2，则233342-=+-x m m ，即x =33234332++-m m考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；压轴题．【名师点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中分别表示出A 、B 的坐标是解题的关键，在（2）中求得C 点坐标，利用相似三角形的性质求得a 的值是解题的关键，在（3）①中确定出P 点的位置是解题的关键，在（3）②中用E 点坐标分别表示出△OBE 和△EBC 的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．学科*网 【母题来源二】2017四川省内江市 第28题【母题原题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x =1． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233384y x x =-++；（2）S =299105t t -+，运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910；（3）t =2417或t =3019． 【分析】（1）把点A 、B 、C 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 、c 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；（3）根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案．（2）设运动时间为t 秒，则AM =3t ，BN =t ，∴MB =6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，3）．在Rt △BOC中，BC =2234+=5．如图1，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，∴HN BNOC BC=，即35HN t =，∴HN =35t ，∴S △MBN =12MB •HN =12（6﹣3t ）•35t ，即S =299105t t -+ =299(1)1010t --+，当△PBQ 存在时，0＜t ＜2，∴当t =1时，S △PBQ 最大=910．答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910；考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．【名师点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围． 【母题来源三】2017四川省成都市 第28题【母题原题】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2y ax bx c =++与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB =42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围．（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜22；（3）m =6或m =17﹣3． 【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （22，0），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （22，0）代入可得a =12-，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为21()42y x m =--，由221421()42y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有222(2)4(28)020280m m m m ⎧-->⎪>⎨⎪->⎩，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为21()42y x m =--，由（3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴212(2)42m m -=-++，解得m =17﹣3或﹣17﹣3（舍弃），∴m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，212(2)42m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上所述：m =6或m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形． 考点：二次函数综合题；旋转的性质；探究型；分类讨论；压轴题．【名师点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【命题意图】这类试题主要考查二次函数的综合运用．【方法、技巧、规律】熟练掌握二次函数的基本性质，善于把复杂问题分解为多个简单问题．二次函数综合运用涉及知识点比较多，计算较为复杂，做题时，需要计算准确，思维清晰．【母题 1】如图，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x =2，且OA =OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程20ax bx c ++=（a ≠0）有一个根为1a- 其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C ．考点：二次函数综合题．【母题 2】如图，抛物线C 1：2323y x x =-+的顶点为A ，与x 轴的正半轴交于点B ．（1）将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式； （2）将抛物线C 1上的点（x ，y ）变为（kx ，ky ）（|k |＞1），变换后得到的抛物线记作C 2，抛物线C 2的顶点为C ，点P 在抛物线C 2上，满足S △P AC =S △ABC ，且∠APC =90°． ①当k ＞1时，求k 的值；②当k ＜﹣1时，请直接写出k 的值，不必说明理由．【答案】（1）23232y x x =-+；（2）①k =92；②k =92-．考点：二次函数综合题；探究型；压轴题．学科*网【母题 3】如图，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A （﹣1.0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）D 的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x =1；（3）P （1，32-）或（1，425--）或（1，425-+）或（1，4）．（3）存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，设点P 的坐标为（1，y ），分三种情况讨论：①当P A =PD 时22(11)(0)y --+-=22(11)(4)y -+--，解得，y =32-，即点P 的坐标为（1，32-）； ②当DA =DP 时，22(11)[0(4)]--+--=22(11)(4)y -+--，解得，y =425-±，即点P 的坐标为（1，425--）或（1，425-+）； ③当AD =AP 时，22(11)[0(4)]--+--=22(11)(0)y --+-，解得，y =±4，即点P 的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P 为（1，﹣4）时与点D 重合，故不符合题意．由上可得，以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形时，点P 的坐标为（1，32-）或（1，425--）或（1，425-+）或（1，4）．考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题．【母题 4】如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （5，0），C （0，52-）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使P A +PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）215222y x x =--；（2）；（3）．（3）存在．如图2所示．①当点N 在x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x =2，C （0，52-），∴N 1（4，52-）； ②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△AN 2D 与△M 2CO 中，∵∠N 2AD =∠CM 2O ，AN 2=CM 2，∠AN 2D =∠M 2CO ，∴△AN 2D ≌△M 2CO （ASA ），∴N 2D =OC =52，即N 2点的纵坐标为52，∴215222x x --=52，解得x =214+或x 214-，∴N 2（214+，52），N 3（214-，52）． 综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，52-），（214+，52）或（214-，52）．考点：二次函数综合题；轴对称-最短路线问题；最值问题；存在型；分类讨论；压轴题．【母题 5】如图，直线y =5x +5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数24y ax x c =++的图象交x 轴于另一点B ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H 为二次函数24y ax x c =++图象的顶点，点M （4，m ）是该二次函数图象上一点，在x 轴、y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标．温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ =|x 1﹣x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ =|y 1﹣y 2|求出．【答案】（1）245y x x =-++；（2）254；（3）F （137，0），E （0，133）．（2）如图1，∵点B 是二次函数的图象与x 轴的交点，∴由二次函数的表达式为245y x x =-++得，点B的坐标B （5，0），设直线BC 解析式为y =kx +b ，∵直线BC 过点B （5，0），C （0，5），∴505k b b +=⎧⎨=⎩，解得：15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 解析式为y =﹣x +5，设ND 的长为d ，N 点的横坐标为n ，则N 点的纵坐标为﹣n +5，D 点的坐标为D （n ，245n n -++），则d =|245n n -++﹣（﹣n +5）|，由题意可知：245n n -++＞﹣n +5，∴d =245n n -++﹣（﹣n +5）=25n n -+=2525()24n --+，∴当n =52时，线段ND 长度的最大值是254；考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；综合题．25﹒（2016贵州省铜仁市）如图，抛物线21y ax bx =+-（a ≠0）经过A （-1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 在抛物线的对称轴上，当△ACP 的周长最小时，求出点P 的坐标；（3） 点N 在抛物线上，点M 在抛物线的对称轴上，是否存在以点N 为直角顶点的Rt △DNM 与Rt △BOC 相似，若存在，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）211122y x x =--，D （12，98-）；（2）P （12，34-）；（3）存在．N （92，558）或（72-，558）或（32，58-）或（12-，58-）．（2）如图1，设P （12，k ），∵211122y x x =--，∴C （0，－1），∵A （-1，0），B （2，0）， ∴A 、B 两点关于对称轴对称，连接CB 交对称轴于点P ，则△ACP 的周长最小．设直线BC 为y =kx +b ，则：201k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 为：112y x =-．当x =12时，11122y =⨯-=34-，∴P （12，34-）； （3）存在．如图2，过点作NF ⊥DM ，∵B （2，0），C （0，﹣1），∴OB =2，OC =1，∴tan ∠OBC =12OC OB =，tan ∠OCB =OB OA =2，设点N （m ，211122m m --），∴FN =|m ﹣12|， FD =|21191228m m --+|=|2111228m m -+|，∵Rt △DNM 与Rt △BOC 相似，∴∠MDN =∠OBC ，或∠MDN =∠OCB ；考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．学科*网【母题 6】如图，直线y =﹣x +3与x 轴、y 轴分别相交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，且对称轴为直线x =2．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接PB 、PC ，求△PBC 的面积；（3）连接AC ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）243y x x =-+；（2）3；（3）存在两点Q 1（0，0），Q 2（73，0），能使得以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．（2）如图1，∵243y x x =-+=2(2)1x --，又∵B （3，0），C （0，3），∴PC =2224+=20=25，PB =22(32)1-+=2，∴BC =2233+=18=32，又∵22PB BC +=2+18=20，2PC =20，∴222PB BC PC +=，∴△PBC 是直角三角形，∠PBC =90°，∴S △PBC =12PB •BC =12322⨯⨯=3； （3）如图2，由243y x x =-+=2(2)1x --，得P （2，﹣1），设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，∵在Rt △PBM 中，PM =MB =1，∴∠PBM =45°，PB =2．由点B （3，0），C （0，3）易得OB =OC =3，在等腰直角三角形OBC 中，∠ABC =45°，由勾股定理，得BC =32． 假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似． ①当BQ PB BC AB=，∠PBQ =∠ABC =45°时，△PBQ ∽△ABC ． 即2232BQ =，解得：B Q =3，又∵BO =3，∴点Q 与点O 重合，∴Q 1的坐标是（0，0）． ②当BQ PB BA CB=，∠QBP =∠ABC =45°时，△QBP ∽△ABC ．即2232BQ =，解得：QB =23． ∵OB =3，∴OQ =OB ﹣QB =3﹣23=73，∴Q 2的坐标是（73，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；存在型；压轴题． 【母题 7】如图，直线323y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，两动点D ，E 分别从点A ，点B 同时出发向点O 运动（运动到点O 停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，设运动时间为t 秒，以点A 为顶点的抛物线经过点E ，过点E 作x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G ，与AB 相交于点F ．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）用含t 的代数式分别表示EF 和AF 的长；（3）当四边形ADEF 为菱形时，试判断△AFG 与△AGB 是否相似，并说明理由．（4）是否存在t 的值，使△AGF 为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （2，0），B （0，23）；（2）EF =t ，AF =4﹣2t ；（3）相似；（4）23(2)6y x =-．（3）相似．理由如下：当四边形ADEF 为菱形时，则有EF =AF ，即t =4﹣2t ，解得t =43，∴AF =4﹣2t =4﹣83=43，OE =OB ﹣BE =42333-⨯=233，如图，过G 作GH ⊥x 轴，交x 轴于点H ，则四边形OEGH 为矩形，∴GH =OE =233，又EG ∥x 轴，抛物线的顶点为A ，∴OA =AH =2，在Rt △AGH 中，由勾股定理可得222AG GH AH =+=2223()23+=163，又AF •AB =43×4=163，∴AF •AB =AG 2，即AF AG AG AB =，且 ∠F AG =∠GAB ，∴△AFG ∽△AGB ；（4）存在，∵EG ∥x 轴，∴∠GF A =∠BAO =60°，又G 点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA ≠90°，∴当△AGF 为直角三角形时，则有∠F AG =90°，又∠FGA =30°，∴FG =2AF ，∵EF =t ，EG =4，∴FG =4﹣t ，且AF =4﹣2t ，∴4﹣t =2（4﹣2t ），解得t =43，即当t 的值为43秒时，△AGF 为直角三角形，此时OE =OB ﹣考点：二次函数综合题；动点型；存在型；探究型；压轴题．学科*网 【母题 8】如图，已知点A 的坐标为（﹣2，0），直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C ，连接AC ，顶点为D 的抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点． （1）请直接写出B 、C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 是第一象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点M 是线段BC 上的一动点，过点M 作MN ∥AB ，交AC 于点N ，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t （秒），当t （秒）为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？【答案】（1）B （4，0），C （0，3），233384y x x =-++，D （1，278）；（2）P （3，158）；（3）t =83或143或72．（3）由题意可知：0≤t ≤6，设直线AC 的解析式为：y =m 1x +n 1，把A （﹣2，0）和C （0，3）代入y =m 1x +n 1，得：111023m n n =-+⎧⎨=⎩，∴解得：11323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为：332y x =+，由题意知：QB =t ．①如图1，当∠NMQ =90°，∴OQ =4﹣t ，令x =4﹣t 代入334y x =-+，∴34y t =，∴M （4﹣t ，34t ），∵MN ∥x 轴，∴N 的纵坐标为34t ，把y =34t 代入332y x =+，∴x =12t ﹣2，∴N （12t ﹣2，34t ），∴MN =（4﹣t ）﹣（12t ﹣2）=6﹣32t ，∵MQ ∥OC ，∴△BQM ∽△BOC ，∴，∴MQ =34t ，当MN =MQ 时，∴6﹣32t =34t ，∴t =83，此时QB =83，符合题意；②如图2，当∠QNM =90°时，∵QB =t ，∴点Q 的坐标为（4﹣t ，0）∴令x =4﹣t 代入332y x =+，∴y =9﹣32t ，∴N （4﹣t ，9﹣32t ），∵MN ∥x 轴，∴点M 的纵坐标为9﹣32t ，∴令y =9﹣32t 代入334y x =-+，∴x =2t ﹣8，∴M （2t ﹣8，9﹣32t ），∴MN =（2t ﹣8）﹣（4﹣t ）=3t ﹣12，∵NQ ∥OC ，∴△AQN ∽△AOC ，∴NQ AQ OC OA =，∴NQ =9﹣32t ，当NQ =MN 时，∴9﹣32t =3t ﹣12，t =143，∴此时QB =143，符合题意；综上所述，当△QMN 为等腰直角三角形时，此时t =83或143或72．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．【母题 9】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x +4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，抛物线C 1：214y x bx c =-++过A 、B 两点，与x 轴另一交点为C ．（1）求抛物线解析式及C 点坐标．（2）向右平移抛物线C 1，使平移后的抛物线C 2恰好经过△ABC 的外心，抛物线C 1、C 2相交于点D ，求四边形AOCD 的面积．（3）已知抛物线C 2的顶点为M ，设P 为抛物线C 1对称轴上一点，Q 为抛物线C 1上一点，是否存在以点M 、Q 、P 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P 点坐标；不存在，请说明理由．【答案】（1）213442y x x =-++，C （8，0）；（2）1194；（3）存在．P （3，0）或（3，252-）或（3，﹣25）．（2）如图1，连接AC ，由（1）知，C （8，0），A （0，4），B （﹣2，0），∴222AC AO OC =+=80，222AB AO OB =+=20，2210BC ==100，∴222BC AC AB =+，∴△ABC 是直角三角形．设△ABC 的斜边BC 的中点为E ，则CE =12×（8+2）=5，∴OE =CO ﹣CE =3，∴△ABC 的斜边BC 的中点E 的坐标为（3，0），∵抛物线C 2恰好经过△ABC 的外心，E 为△ABC 的外心，∴OF =3+10=13，即F （13，0），由E （3，0），F （13，0），得抛物线C 2：y =14-（x ﹣3）（x ﹣13），即2139444y x x =-+-，联立方程组2213442139444y x x y x x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得：1127516x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即D （112，7516），如图2，连接AD ，OD ，CD ，则 S 四边形AOCD =S △AOD +S △OCD =12×4×112+12×8×7516=1194，∴四边形AOCD 的面积为1194；（3）存在．点P的坐标为（3，0）或（3，252）或（3，﹣25）．分3种情况：①如图，当四边形BPMQ为平行四边形时，BP∥QM，BP=QM，∵抛物线C1中，Q（3，254），抛物线C2中，M（8，254），∴由平移方向可得QM∥x轴，QM=5=BE，∴BP与x轴重合，∴点P与点E重合，即P（3，0）；考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；平移的性质；分类讨论；存在型；压轴题．【母题 10】已知抛物线y =a （x +3）（x ﹣1）（a ≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线3y x b =-+与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒233个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？【答案】（1）232333y x x =--+；（2）P （﹣4，153-）和（﹣6，37-）；（3）E （1，43-）．（2）作PH ⊥x 轴于H ，设点P 的坐标为（m ，n ）．①当△BP A ∽△ABC 时，∠BAC =∠PBA ，∴tan ∠BAC =tan ∠PBA ，即OC PH OA HB =，∴331a nm --=-+，即n =﹣a （m ﹣1），∴(1)(3)(1)n a m n m m =--⎧⎨=+-⎩，解得，m =﹣4，m =1（不合题意，舍去），当m =﹣4时，n =5a ，∵△BP A ∽△ABC ，∴AC AB AB PB =，即2AB =AC •PB ，∴2224992525a a =+⋅+，解得，1a =1515（不合题意，舍去），2a =1515-，则n =5a =153-，∴点P 的坐标为（﹣4，153-）； ②当△PBA ∽△ABC 时，∠CBA =∠PBA ，∴tan ∠CBA =tan ∠PBA ，即OC PH OB HB =，∴311a nm --=-+，即n =﹣3a （m ﹣1），∴3(1)(3)(1)n a m n a m m =--⎧⎨=+-⎩，解得，1m =﹣6，2m =1（不合题意，舍去），当m =﹣6时，n =21a ，∵△PBA ∽△ABC ，∴BC AB BA PB =，即2AB =BC •PB ，∴22224917(21)a a =+⋅+-，解得，1a =77（不合题意，舍去），2a =77-，∴n =21a =37-，则点P 的坐标为（﹣6，37-）． 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（﹣4，153-）和（﹣6，37-）；考点：二次函数综合题；动点型；最值问题；分类讨论；压轴题．学科*网【母题 11】已知抛物线2(1)3y a x =--（a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，﹣2），顶点为B ． （1）试确定a 的值，并写出B 点的坐标；（2）若一次函数的图象经过A 、B 两点，试写出一次函数的解析式； （3）试在x 轴上求一点P ，使得△PAB 的周长取最小值；（4）若将抛物线平移m （m ≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C ，与原抛物线的交点记作D ，问：点O 、C 、D 能否在同一条直线上？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）a =1， B （1，﹣3）；（2）y =﹣x ﹣2；（3）P （25，0）；（4）m =2或m =﹣3．（4）如图2，设抛物线向右平移m （若m ＞0表示向右平移，若m ＜0表示向左平移）个单位，则所得新的抛物线的顶点C （1+m ，﹣3），∴新抛物线解析式为2(1)3y x m =---．解：22(1)3(1)3y x m y x ⎧=---⎪⎨=--⎪⎩，得：21234m x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴两抛物线的交点D （12m +，234m -），∴经过O 、C 的一次函数解析式是31y x m =-+，若 O 、C 、D 在同一直线上，则 有233(1)412m m m -=-++，化简整理得3260m m m +-=，∵m ≠0，∴260m m +-=，解得：m =2或m =﹣3，∴O 、C 、D 三点能够在同一直线上，此时m =2或m =﹣3．即抛物线向右平移2个单位，或者向左平移3个单位，均满足题目要求．考点：二次函数综合题；平移的性质；轴对称-最短路线问题；最值问题；压轴题．【母题 12】如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过A （﹣3，0）、B （5，0）、C （0，5）三点，O 为坐标原点（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）向下平移133个单位长度，再向右平移n （n ＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M 在△ABC 内，求n 的取值范围； （3）设点P 在y 轴上，且满足∠OP A +∠OCA =∠CBA ，求CP 的长．【答案】（1）212533y x x =-++；（2）0＜n ＜3；（3）7或17．（2）∵212533y x x =-++，∴抛物线顶点坐标为（1，163），∴当抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）向下平移133个单位长度，再向右平移n （n ＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M 坐标为（1+n ，1），设直线BC 解析式为y =kx +m ，把B 、C 两点坐标代入可得：505k m m +=⎧⎨=⎩，解得：15k m =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =﹣x +5，令y =1，代入可得1=﹣x +5，解得x =4，∵新抛物线的顶点M 在△ABC 内，∴1+n ＜4，且n ＞0，解得0＜n ＜3，即n 的取值范围为0＜n ＜3；②当点P 在y 轴正半轴上时，可求得PO =PC ﹣OC =17﹣5=12，如图2，在y 轴正半轴上截取OP ′=OP =12，连接AP ′，则∠OP ′A =∠OP A ，∴∠OP ′A +∠OCA =∠OP A +∠OCA =∠CBA ，∴P ′也满足题目条件，此时P ′C =OP ′﹣OC =12﹣5=7，综上可知PC 的长为7或17．考点：二次函数综合题；分类讨论；和差倍分；二次函数图象与几何变换；压轴题． 【母题 13】如图，抛物线2y ax bx c =++经过△ABC 的三个顶点，与y 轴相交于（0，94），点A 坐标为（﹣1，2），点B 是点A 关于y 轴的对称点，点C 在x 轴的正半轴上． （1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F 为线段AC 上一动点，过F 作FE ⊥x 轴，FG ⊥y 轴，垂足分别为E 、G ，当四边形OEFG 为正方形时，求出F 点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG 沿OC 向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG ，当点E 和点C 重合时停止运动，设平移的距离为t ，正方形的边EF 与AC 交于点M ，DG 所在的直线与AC 交于点N ，连接DM ，是否存在这样的t ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在请说明理由．【答案】（1）21944y x =-+；（2）F （1，1）；（3）t 的值为12，35-或1．设直线AC 的解析式为y =mx +n ，则有：230m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AC 的解析式为1322y x =-+． 设正方形OEFG 的边长为p ，则F （p ，p ）． ∵点F （p ，p ）在直线1322y x =-+上，∴1322p p -+=，解得p =1，∴点F 的坐标为（1，1）． ②当点F 在第二象限时，同理可得：点F 的坐标为（﹣3，3），此时点F 不在线段AC 上，故舍去． 综上所述：点F 的坐标为（1，1）；（3）过点M 作MH ⊥DN 于H ，如图2，则OD =t ，OE =t +1． ∵点E 和点C 重合时停止运动，∴0≤t ≤2．当x =t 时，1322y t =-+，则N （t ，1322t -+），DN =1322t -+． 当x =t +1时，y =13(1)22t -++=112t -+，则M （t +1，112t -+），ME =112t -+．在Rt △DEM 中，2DM =2211(1)2t +-+=2124t t -+．考点：二次函数综合题；综合题；分类讨论．学科*网【母题 14】如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN //y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，当MN 取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）243y x x =-+；（2）94；（3）（2，12）、（2，142）、（2，142-）、（2，3172-）或（2，3172+）．（3）假设存在．设点P 的坐标为（2，n ）． 当m =32时，点N 的坐标为（32，32），∴PB =22(23)(0)n -+-=21n +，PN =2233(2)()22n -+-，BN =2233(3)(0)22-+-=322． △PBN 为等腰三角形分三种情况：①当PB =PN 时，即21n +=2233(2)()22n -+-，解得：n =12，此时点P 的坐标为（2，12）； ②当PB =BN 时，即21n +=322，解得：n =±142，此时点P 的坐标为（2，142）或（2，142-）； ③当PN =BN 时，即2233(2)()22n -+-=322，解得：n =3172±，此时点P 的坐标为（2，3172-）或（2，3172+）．综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点的坐标为（2，12）、（2，142）、（2，142-）、（2，3172-）或（2，3172+）．考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；最值问题；二次函数的最值；存在型；压轴题．。
专题08 相似三角形(名师点睛+能力提升)(教师版)
《2020年中考数学三轮冲刺聚焦考点+名师点睛+能力提升（上海专用）》专题13 相似三角形讲练测模块一：比例线段【例1】如图，点D、E分别在ABC∆的边AB和BC上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC的条件是（）A．BE BCBD BA=B．CE ADBE BD=C．BD DEBA AC=D．BC CEAB AD=【难度】★【答案】C．【解析】如图，作DF DE=，则DF DEAC AC=，∴BD DEBA AC=不能判定DE // AC，故选C．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选．【例2】在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A、B两地的距离是37 cm，那么A、B两地的实际距离是______km．【难度】★【答案】14.8．【解析】设A、B两地的实际距离是x km，则51371040000x-⨯=，解得：14.8x=．【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算．AB CDEF【例3】 如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3【难度】★【答案】B ．【解析】::1:2BC AB EF DE ==，故B 正确．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ．【难度】★【答案】6．【解析】设它们的比例中项是x cm ，则由题意得249x =⨯，解得：6x =．【总结】本题考查了比例中项的概念及计算．【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ．求证：CG 是EG 与FG 的比例中项．【难度】★【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴CG BG FG GD =，EG BG CG GD=，∴CG EG FG CG=， ∴CG 是EG 与FG 的比例中项． F EDA BC BC D EF GA【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例6】 已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP =______．【难度】★【答案】5．【解析】由题意得AP AB ，解得：5AP =． 【总结】本题考查了黄金分割的有关计算．【例7】 已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值． 【难度】★★【答案】27． 【解析】∵23a c eb d f ===，0b d f ++≠，∴23ac e bd f ++=++， ∵18a ce =--，∴18a c e ++=，∴27b df ++=． 【总结】本题考查了等比性质的应用．【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★【答案】6． 【解析】如图，易得192CD AB ==，∴263CG CD ==． 【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【例9】 如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，AD = 2，EF = 5，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】6． 【解析】作AN ∥DC 分别交EF 、BC 于点M 、N ，由题意得2NC MF AD ===，EM AE BN AB=， 即334BN =，∴4BN =，∴6AB =． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例10】 如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF =3，那么FG : EF 的比值是_______．【难度】★★【答案】38． 【解析】作GH AB ⊥于点H ，易得GH BH =，∵GH EH BF EB =，535GH GH -=，解得：158GH =， ∴38FG BH EF BE ==． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别．【例11】 如图，BD 是ABC ∆的角平分线，点E 、F 分别在BC 、AB 上，且DE // AB ，DEF A ∠=∠．（1）求证：BE = AF ；（2）设BD 与EF 交于点M ，联结AE ，交BD 于点N ，求证：BN MD BD ND =．A BC DEF M N AB CD EF G H【难度】★★ 【解析】（1）∵DE // AB ，DEF A ∠=∠，∴AD ∥EF ，∴四边形AFED 是平行四边形，∴AF DE =，ABD EDB ∠=∠，∵BD 是ABC ∆的角平分线，∴ABD EBD ∠=∠， ∴EDB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BE AF =；（2）∵DE // AB ，∴BN AB ND ED=， ∵AD ∥EF ，∴BD AB MD AF =， ∵ED AF =，∴BD AB MD ED =，∴BN BD ND MD=， ∴BN MD BD ND ⋅=⋅．【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理．【例12】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ；（1）联结BE ，求证：BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）5CD =．【解析】（1）∵AD // BC ，DE EC =，易得ADE ∆≌FCE ∆，MAFBE C DN AB C D EFM∴E 为AF 的中点，∵90DAB ABC ∠=∠=︒，∴BE EF =；（2）∵AM EM =，∴13AM MF =，∴13AD BF =， ∵1AD CF ==，∴3BF =，2BC =，∵2AB =，∴DC ==．【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等．【巩固1】（2020•闵行区一模）如果线段4a =厘米，9c =厘米，那么线段a 、c 的比例中项b = 厘米．【分析】根据比例中项的定义得到::a b b c =，然后利用比例性质计算即可．【解答】解：线段a 和c 的比例中项为b ，::a b b c ∴=，即4::9b b =，6b ∴=±（负值舍去）． 故答案为：6．【巩固2】（2020•黄浦区一模）如果点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，那么BP AP的值是 ． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫【解答】解：点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，∴BP AP AP AB ==．【巩固3】（2020•徐汇区一模）已知：::2:3:5a b c =（1）求代数式323a b c a b c-++-的值； （2）如果324a b c -+=，求a ，b ，c 的值．【分析】（1）根据比例设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，然后代入比例式进行计算即可得解；（2）先设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，然后将其代入324a b c -+=，即可求得a 、b 、c 的值．【解答】解：（1）::2:3:5a b c =，∴设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，则3635123495a b c k k k a b c k k k-+-+==+-+-； （2）设2a k =，3b k =，5(0)c k k =≠，则63524k k k -+=，解得3k =．则26a k ==，39b k ==，515c k ==．【巩固4】（2020•嘉定区一模）下列选项中的两个图形一定相似的是( )A ．两个等腰三角形B ．两个矩形C ．两个菱形D ．两个正五边形．【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．【解答】解：A ．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；B ．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C ．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；D ．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D ．【巩固5】（2019秋•静安区校级月考）下列说法正确的是( )A ．四个内角对应相等的两个四边形一定相似B ．四条边对应成比例的两个四边形一定相似C ．一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似D ．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似【分析】利用相似多边形的定义分别进行判定后即可确定正确的选项．【解答】解：A 、四个内角对应相等的两个四边形不一定相似，如两个矩形，故不符合题意；B 、四条边对应成比例的两个四边形不一定相似，因为它们的对应角不一定相等，故不符合题意；C 、一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D 、两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形不一定相似，如顶角和一个底角对应相等的等腰三角形不一定相似，不符合题意；故选：C ．【巩固6】（2018秋•浦东新区校级月考）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是( )A ．边的长度B ．图形的周长C ．图形的面积D ．角的度数【分析】根据相似图形的性质解答．【解答】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：D ．【巩固7】（2020•宝山区一模）如果23a b =-，那么(a b = ) A ．23- B ．32- C ．5 D ．1-【分析】直接利用已知变形进而得出答案．【解答】解：23a b =-， ∴32a b =-． 故选：B ．【巩固8】（2020•普陀区一模）已知35x y =，那么下列等式中，不一定正确的是( ) A ．53x y = B ．8x y += C ．85x y y += D ．35x x y y +=+ 【分析】根据比例的性质作答．【解答】解：A 、由比例的性质得到35y x =，故本选项不符合题意．B 、根据比例的性质得到8(x y k k +=是正整数），故本选项符合题意． C 、根据合比性质得到85x y y +=，故本选项不符合题意． D 、根据等比性质得到35x x y y +=+，故本选项不符合题意． 故选：B ．【巩固9】（2020•闵行区一模）已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP = B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．AB AP =【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AP 和()BP AP BP >，且使AP 是AB 和BP 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP 是AB 和BP 的比例中项，即2AP AB BP =， ∴AB AP AP BP=． 故选：A ．【巩固10】（2020•奉贤区一模）已知线段a ，b ，c ，如果::1:2:3a b c =，那么a b c b ++的值是( ) A ．13 B ．23 C ．35 D ．53【分析】直接利用已知进而表示出a ，b ，c ，进而代入求出答案．【解答】解：::1:2:3a b c =，∴设a x =，2b x =，3c x =， ∴23325a b x x c b x x ++==++． 故选：C ．【巩固11】（2020•徐汇区一模）已知，P 是线段AB 上的点，且2AP BP AB =，那么:AP AB 的值是( )A B C D 【分析】根据黄金分割定义即可求解．【解答】解：设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1x -，2AP BP AB =，2(1)1x x ∴=-⨯解得1x =，2x =（舍去）．:AP AB ∴=故选：A ．【巩固12】（2020•静安区一模）已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为( )A ．3:2B ．3:5C ．5:2D ．5:3【分析】根据比例的合比性质直接求解即可．【解答】解：由题意:2:3AP PB =，:():(23):35:3AB PB AP PB PB =+=+=；故选：D ．【巩固13】（2020•黄浦区一模）已知线段2a =，4b =，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是()A．8B．6C．D．2【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即2b ac=．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即2b ac=．242c=，解得8c=，故选：A．【巩固14】（2020•浦东新区一模）如图，点D、E分别在ABC∆的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得//DE BC的是()A．AD AEBD CE=B．AD DEAB BC=C．AB ACBD CE=D．AD AEAB AC=【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：AD AE BD CE=，//DE BC∴，AB ACBD EC=，//DE BC∴，AD AEAB AC=，//DE BC∴，故选：B．【巩固15】（2020•徐汇区一模）如图，////AB CD FF，2AC=，5AE=， 1.5BD=，那么下列结论正确的是()A．154DF=B．154EF=C．154CD=D．154BF=【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：////AB CD FF，2AC=，5AE=， 1.5BD=，∴AC BD CE DF=，即2 1.5 52DF=-，解得：94DF=，9315424BF BD DF∴=+=+=，故选：D．【巩固16】（2020•闵行区校级一模）已知线段2AB=，P是AB的黄金分割点，且AP BP>，那么AP=．【解答】解：P是AB的黄金分割点，AP BP>，1AP AB∴==，1．【巩固17】（2020•虹口区一模）如果:2:3a b=，且10a b+=，那么a=．【分析】根据已知条件设2a k=，3b k=，再根据10a b+=求出k的值，从而得出a的值．【解答】解：设2a k=，3b k=，10a b+=，2310k k∴+=，解得：2k=，2224a k∴==⨯=；故答案为：4．【巩固18】（2020•宝山区一模）已知1:23:x=，那么x=．【分析】直接利用比例的性质得出x的值．【解答】解：1:23:x =，∴132x=， 6x ∴=．故答案为：6．【巩固19】（2020•浦东新区一模）已知线段2AB cm =，P 是线段AB 的黄金分割点，PA PB >，那么线段PA 的长度等于 cm ． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AP 和()BP PA PB >，且使AP 是AB 和BP 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点． 【解答】解：根据黄金分割定义，得2PA AB PB =，22(2)PA PA =-解得1PA ．1．【巩固20】（2020•金山区一模）已知点P 在线段AB 上，且满足2BP AB AP =，则BPAB的值等于 ． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AP 和()BP BP AP >，且使BP 是AB 和AP 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点． 【解答】解：根据黄金分割定义可知：2BP AB AP =，设AB 为1，则1AP BP =-，21(1)BP BP ∴=- 210BP BP +-=，解得BP =BP ∴=．【巩固21】（2020•崇明区一模）已知23x y =，那么x y x+= ． 【分析】直接利用已知得出23x y =，进而得出答案． 【解答】解：23x y =， 23x y ∴=， ∴253223y yx y x y ++==．故答案为：52． 【巩固22】（2020•静安区一模）已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- ． 【分析】根据分比性质可得答案． 【解答】解：34x y =，且4y ≠， ∴3344x y -=-． 故答案为：34【巩固23】（2020•嘉定区一模）如果23a b =，那么ab= ． 【分析】直接利用已知进而表示出a ，b 之间的关系． 【解答】解：23a b =，∴32a b =． 故答案为：32． 【巩固24】（2020•金山区一模）如果32x x y =-，那么xy的值等于 ． 【分析】直接利用已知得出x ，y 之间的关系进而得出答案． 【解答】解：32x x y =-， 332x y x ∴-=，故3x y =∴3xy=．故答案为：3．【巩固25】（2020•松江区一模）已知：23x y =，那么2x yx y-=+ ． 【分析】直接利用已知用同一未知数表示出x ，y ，进而代入原式求出答案． 【解答】解：23x y =， ∴设2x a =，3y a =，∴2431235x y a a x y a a --==++． 故答案为：15．【巩固26】（2020•浦东新区一模）已知3x y =，那么2x yx y+=+ ． 【分析】直接利用已知代入原式求出答案． 【解答】解：3x y =，∴342325x y y y x y y y ++==++． 故答案为：45． 【巩固27】（2020•青浦区一模）已知25a b =，那么ab a-的值为 ． 【分析】直接利用已知表示出a ，b 的值，进而化简即可． 【解答】解：25a b =， ∴设2a x =，5b x =， ∴22523a xb a x x ==--． 故答案为：23． 【巩固28】（2020•杨浦区一模）已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP AB =，如果10AB cm =，那么BP =______cm ．【分析】根据点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP AB =，列方程即可求解． 【解答】解：点P 是线段AB 上的一点 10AP AB BP BP ∴=-=-，2BP AP AB =，10AB cm =，2(10)10BP BP =-⨯，解得5BP =．故答案为：5)．【巩固29】（2020•松江区一模）已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，那么c = ． 【分析】根据比例中项的定义，若b 是a ，c 的比例中项，即2b ac =．即可求解． 【解答】解：线段a 是线段b 、c 的比例中项， 2a bc ∴=， 2a =，3b =，243a cb ∴==故答案为：43． 【巩固30】（2020•杨浦区一模）在比例尺为1:8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 千米． 【分析】根据比例尺=图上距离实际距离代入数据计算即可．【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm ， 比例尺==图上距离实际距离，1:80000004:x ∴=，32000000x ∴=，∴甲、乙两地的实际距离为是320km ，故答案为：320．【巩固31】（2020•浦东新区一模）如图，已知////AB CD EF ，6AD =，3DF =，7BC =，那么线段CE 的长度等于 ．【分析】根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可． 【解答】解：////AB CD EF ，6AD =，3DF =，7BC =，∴AD BCDF CE=，即673CE=，解得：72CE=，故答案为：72【巩固32】（2020•青浦区一模）已知线段2AB=，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，那么AP 的值为．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，5151251AP AB--∴==⨯=-．故答案为51-．模块二：相似三角形【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B．【解析】由图易得ABC∆为直角三角形，且:1:2BC AB=，故选B．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例14】已知ABC∆∽DEF∆，且相似比为3 : 4，2ABCS∆=cm2，则DEFS∆=______ cm2．【难度】★【答案】329．【解析】由题意得234ABCDEFSS∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴329DEFS∆=cm2．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【例15】如图，已知点D是ABC∆中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．BAC∆∽BDA∆B．BFA∆∽BEC∆图1C ．BDF ∆∽BEC ∆D ．BDF ∆∽BAE ∆【难度】★ 【答案】C ．【解析】∵BAD C ∠=∠，ABD CBA ∠=∠，∴BAC ∆∽BDA ∆； ∵BAD C ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BFA ∆∽BEC ∆；∵BAE BDF ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BDF ∆∽BAE ∆；故C 错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例16】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求ACAB的值．【难度】★【答案】12．【解析】∵ACD B ∠=∠，CAD BAC ∠=∠， ∴CAD BAC ∆∆，∴22::CAD BAC S S AC AB ∆∆=，∵:1:3ACD DBC S S ∆∆=，∴:1:4CAD BAC S S ∆∆=，∴12AC AB =． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例17】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．ABC DEFABCD【难度】★ 【答案】52CF =cm ． 【解析】∵AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，∴8BC =cm ，∴5EC =cm ，∵EF AE ⊥，易证ABE ∆∽ECF ∆，∴AB BE EC CF =，即635CF =，解得：52CF =cm ． 【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用．【例18】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵BD = 2AD ，∴2BDE ADE S S ∆=， ∵DE // BC ，∴9ABC ADE S S ∆∆=，∴6EBC ADE S S ∆∆=，∴:DEB EBC S S ∆∆1:3=．【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用．【例19】 如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．A BC D EF ABCDE【难度】★★【答案】14．【解析】∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴BAD CAD ∠=∠，BD DC =， ∵M 为AC 中点，∴DM AM =，∴BAD MDA ∠=∠， ∴GDM ∆∽GAB ∆， ∵点G 为ABC ∆的重心，∴214GDM GAB S GD S GA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质．【例20】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【解析】由题意，可得：5AC AB ==，∴51BD DE EF ===-，∴35CE =-，ABC DMGA BCDEF∴512BD DC -=，3551251CE EF --==-， ∴BD CEDC EF=，∵BDC CEF ∠=∠，∴CEF ∆∽BDC ∆．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例21】 已知：如图，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且BAC BDC DAE ∠=∠=∠．（1）求证：ABE ∆∽ACD ∆； （2）求证：BC AD DE AC =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵BAC BDC DAE ∠=∠=∠， ∴BAE CAD ∠=∠，∵BEA EDA DAE ∠=∠+∠，CDA EDA BDC ∠=∠+∠， ∴BEA CDA ∠=∠，∴ABE ∆∽ACD ∆；（2）由（1）知AB AE AC AD =，∴AB ACAE AD =，又∵BAC EAD ∠=∠，∴ABC ∆∽AED ∆，∴BC ACED AD=，∴BC AD DE AC =． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用．【例22】 如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，ECA D ∠=∠．（1）求证：ECA ∆∽ECB ∆； （2）若DF = AF ，求AC : BC 的值．EDCBA【难度】★★ 【答案】（1）详见解析；（2）22． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B D ∠=∠，∵ECA D ∠=∠，∴ECA B ∠=∠，又∵E E ∠=∠， ∴ECA ∆∽ECB ∆；（2）∵DF AF =，易证DC AE AB ==，∴2EB EA =，由（1）得AC EC EA BC EB EC ==，即2EC EA EA EC =，∴2EC EA =， ∴22AC EA BC EC ==． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用．【例23】 如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD = BH ； （2）AB 是AG 和HE 的比例中项．【难度】★★ 【解析】（1）∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥，∴ED EB =，∵BF CD ⊥，∴EBH CDE ∠=∠，∴EDC ∆≌EBH ∆，A B CD E FA BC DE F GH∴CD BH =； （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∴BHE A ∠=∠， ∵EBH BGA ∠=∠，∴EBH ∆∽BGA ∆，∴AG AB HB HE=， ∵HB CD AB ==，∴AG AB AB HE=，∴AB 是AG 和HE 的比例中项． 【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定．【例24】 如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴BAD ECB ∠=∠，∵AB = AC ，∴BAD CAD ∠=∠，∴CAD ECB ∠=∠；（2）由题意得12ED BC BD ==，∴DBE DEB ∠=∠， ∵点F 是AC 的中点，∴12DF AC FC ==，∴DCF FDC ∠=∠， ∵DBE DCF ∠=∠，∴CDF ∆∽BED ∆，∴CD FC BE BD =，∵CD BD =，∴BD FC BE BD=， ∴2BD FC BE =．【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定．【例25】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ．（1）求证：DE = DC ；（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠．C B AD E F【难度】★★ 【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ，∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠，∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =；（2）∵2BE BF BC =，B B ∠=∠，∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠，∵DF 平分EDC ∠，DE DC =，∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠，∵DEC DCE ∠=∠， ∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠．【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用．【例26】 已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，∴ACE ∆≌ABD ∆，∴ABD ACE ∠=∠，∵DF ⊥AC ，∴FAD FCD ∠=∠，AB C D E F HABC D EFG∴ABD FAD ∠=∠，∴DAG ∆∽DBA ∆， ∴AD DG BD AD =，∴2AD DG BD =；（2）∵AD DC =，∴DC DG BD DC=，∵CDG BDC ∠=∠，∴CDG ∆∽BDC ∆，∴DBC DCG ∠=∠，∵ABC ACB ∠=∠，∴ABD GCB ∠=∠，∴ACE GCB ∠=∠， ∴ECB DCG ∠=∠． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例27】 如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值．【难度】★★ 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45． 【解析】（1）∵BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点，∴AD EC =，∵AD // BC ，∴四边形AECD 为平行四边形；（2）∵EAF CAD ∠=∠，∴EAC DAF ∠=∠，∵四边形AECD 为平行四边形，∴AEC D ∠=∠，∴AEC ∆∽ADF ∆；A B CDE FG（3）∵45ECA ∠=︒，∴AB BC =， 设1AD =，则1BE EC ==，2AB =，∴5AE =，∵AEC ∆∽ADF ∆，∴AD DF AE EC=，解得55DF =，∴455FC =， ∴45FG FC EG AE ==． 【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用，综合性较强，解题时注意进行分析．【例28】 如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()23301616y x x x =-<<； （2）能相似，394x =． 【解析】（1）作AH BC ⊥于点H ，∵AB = AC = 10，BC = 16，∴6AH =， ∴1482ABC S BC AH ∆=⋅⋅=，132ABP S BP AH x ∆=⋅⋅=， ∵PQ // AC ，∴BPQ ∆∽BCA ∆，∴22256BPQBCA S BP x S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2316BPQ x S ∆=，∴23316APQ ABP BPQ S S S x x ∆∆∆=-=-，即()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，此时394x =，详解如下：∵BPQ ∆∽BCA ∆，∴BQ BP BA BC =，∴58BQ x =，∵AQP B ∠>∠，∴AQP APB ∠=∠，∴APQ ∆∽ABP ∆，ABC P QH∴AP PQ AB BP =，即5810x AP x =，解得：254AP =， ∵AQ PQ AP BP =，即551088254x x x -=，解得：394x =，综上，APQ ∆与ABP ∆能相似，此时394x =． 【总结】本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题．【巩固1】（2020•徐汇区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ∆，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是 ．【分析】作CM AB ⊥于M ，交GF 于N ，由勾股定理得出AB =，由面积法求出AC BC CM AB ⨯==，证明CGF CAB ∆∆∽，得出CN GF CM AB=，即可得出答案． 【解答】解：作CM AB ⊥于M ，交GF 于N ，如图所示：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴=，AC BC CM AB ⨯∴===， 正方形DEFG 内接于ABC ∆，GF EF MN ∴==，//GF AB ，CGF CAB ∴∆∆∽， ∴CN GF CM AB =EF =解得：EF =；．【巩固2】（2020•黄浦区一模）在ABC ∆中，12AB =，9AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且ADE ∆与ABC ∆相似，如果6AE =，那么线段AD 的长是 ．【分析】分类讨论：当ADE ABC ∆∆∽和当AED ABC ∆∆∽，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【解答】解：如图DAE BAC ∠=∠，∴当ADE ABC ∆∆∽， ∴AB AD AC AE=， 即1296AD =， 解得：8AD =，∴当AED ABC ∆∆∽， ∴AB AE AC AD=， 即1269AD=， 解得：92AD =， 故答案为：8或92【巩固3】（2020•崇明区一模）如图，在ABC ∆中，AC AB >，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF ．若四边形DCFE 和BDE ∆的面积都为3，则ABC ∆的面积为 ．【分析】依据BD AB =，BE 是ABC ∠的平分线，即可得到AE DE =，进而得出BDE ∆的面积与ABE ∆的面积均为3，再根据EF 是ACD ∆的中位线，即可得出ACD ∆的面积为4，即可得到ABC ∆的面积为33410++=．【解答】解：BD AB =，BE 是ABC ∠的平分线，AE DE ∴=，BDE ∴∆的面积与ABE ∆的面积均为3， 又点F 是AC 的中点，EF ∴是ACD ∆的中位线，2EF CD ∴=，//EF DC ，AEF ADC ∴∆∆∽，4ACD AEF S S ∆∆∴=，四边形CDEF 的面积为3，ACD ∴∆的面积为4，ABC ∴∆的面积为33410++=．故答案为：10．【巩固4】（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE AP ⊥，DF AP ⊥，垂足分别是点E 、F ．（1）求证：EF AE BE =-；（2）连接BF ，如果AF DF BF AD=．求证：EF EP =．【分析】（1）利用正方形的性质得AB AD =，90BAD ∠=︒，根据等角的余角相等得到13∠=∠，则可判断ABE DAF ∆≅∆，则BE AF =，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF BE =得到BE BF DF AD=，则可判定Rt BEF Rt DFA ∆∆∽，所以43∠=∠，再证明45∠=∠，然后根据等腰三角形的性质可判断EF EP =．【解答】证明：（1）四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴=，90BAD ∠=︒，BE AP ⊥，DF AP ⊥，90BEA AFD ∴∠=∠=︒，1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，13∴∠=∠，在ABE ∆和DAF ∆中13BEA AFD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABE DAF ∴∆≅∆，BE AF ∴=，EF AE AF AE BE ∴=-=-；（2）如图，AF DF BF AD =， 而AF BE =， ∴BE DF BF AD =， ∴BE BF DF AD=， Rt BEF Rt DFA ∴∆∆∽，43∴∠=∠，而13∠=∠，41∴∠=∠，51∠=∠，45∴∠=∠，即BE 平分FBP ∠，而BE EP ⊥，EF EP ∴=．【巩固5】（2020•虹口区一模）如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，BAD C ∠=∠，2AC AD =，如果ACD ∆的面积为15，那么ABD ∆的面积为( )A ．15B ．10C ．7.5D ．5【分析】首先证明BAD BCA ∆∆∽，由相似三角形的性质可得：BAD ∆的面积：BCA ∆的面积为1:4，得出BAD ∆的面积：ACD ∆的面积1:3=，即可求出ABD ∆的面积．【解答】解：BAD C ∠=∠，B B ∠=∠，BAD BCA ∴∆∆∽，2AC AD =， ∴21()4BAD BCA S AD S AC ∆∆==， ∴13BAD ACD S S ∆∆=， ACD ∆的面积为15，ABD ∴∆的面积11552=⨯=， 故选：D ．【巩固6】（2020•闵行区校级一模）如图，在正方形ABCD 中，BPC ∆是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①2BE AE =②DFP BPH ∆∆∽③2DP PH PC =；④:3):3FE BC =，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：BPC ∆是等边三角形，BP PC BC ∴==，60PBC PCB BPC ∠=∠=∠=︒，在正方形ABCD 中，AB BC CD ==，90A ADC BCD ∠=∠=∠=︒30ABE DCF ∴∠=∠=︒，2BE AE ∴=；故①正确；PC CD =，30PCD ∠=︒，75PDC ∴∠=︒，15FDP ∴∠=︒，45DBA ∠=︒，15PBD ∴∠=︒，FDP PBD ∴∠=∠，60DFP BPC ∠=∠=︒，DFP BPH ∴∆∆∽；故②正确；30PDH PCD ∠=∠=︒，DPH DPC ∠=∠，DPH CPD ∴∆∆∽， ∴DP PH PC DP=， 2DP PH PC ∴=，故③正确；30ABE ∠=︒，90A ∠=︒AE AB ∴==， 30DCF ∠=︒，DF ∴==，EF AE DF BC ∴=+=-，:3):3FE BC ∴=故④正确，故选：D ．【巩固7】．（2020•金山区一模）如果点D 、E ，F 分别在ABC ∆的边AB 、BC ，AC 上，联结DE 、EF ，且//DE AC ，那么下列说法错误的是( )A ．如果//EF AB ，那么::AF AC BD AB =B ．如果::AD AB CF AC =，那么//EF ABC ．如果EFC ABC ∆∆∽，那么//EF ABD ．如果//EF AB ，那么EFC BDE ∆∆∽【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A 不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B 不符合题意；由相似三角形的性质得出EF 与AB 不平行，选项C 符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D 不符合题意；即可得出答案．【解答】解：如图所示： A 、//DE AC ，//EF AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，BDE BAC ∆∆∽，DE AF ∴=，DE BD AC AB=， ::AF AC BD AB ∴=；选项A 不符合题意；B 、//DE AC ，::AD AB CE BC ∴=，::AD AB CF AC =，::CE BC CF AC ∴=，//EF AB ∴，选项B 不符合题意；C 、EFC ABC ∆∆∽，CFE CBA ∴∠=∠，EF ∴与AB 不平行，选项C 符合题意；D 、//DE AC ，//EF AB ，C BED ∴∠=∠，CEF B ∠=∠，EFC BDE ∴∆∆∽，选项D 不符合题意；故选：C ．【巩固8】（2020•杨浦区一模）如图，在正方形ABCD 中，ABP ∆是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC ，CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是( )A ．2AE DE =B ．~CFP APH ∆∆C ．~CFP APC ∆∆D ．2CP PH PB =【分析】①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．②正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．③错误．通过计算证明CPA CPF ∠≠∠，即可判断．④正确．利用相似三角形的性质即可证明． 【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90D DAB ∴∠=∠=︒，APB ∆是等边三角形，60PAB PBA APB ∴∠=∠=∠=︒，30DAE ∴∠=︒，2AE DE ∴=，故①正确，//AB CD ，60PFE ABP APH ∴∠=∠=∠=︒，6045105AHP PBA BAH ∠=∠+∠=︒+︒=︒，又BC BP =，30PBC ∠=︒，75BPC BCP ∴∠=∠=︒，105CPF ∴∠=︒，PHA CPF∴∠=∠，CFP APH∴∆∆∽，故②正确，6075135CPA CPF∠=︒+︒=︒≠∠，PFC∴∆与PCA∆不相似，故③错误，754530 PCH PCB BCH∠=∠-∠=︒-︒=︒，PCH PBC∴∠=∠，CPH BPC∠=∠，PCH PBC∴∆∆∽，∴PC PH PB PC=，2CP PH PB∴=，故④正确，故选：C．【巩固9】（2020•青浦区一模）如图，在ABC∆中，点D在边BC上，点G在线段AD上，//GE BD，且交AB于点E，//GF AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A．AE CFAB CD=B．AE DFEB FC=C．EG FGBD AC=D．AE ADAG AB=【分析】利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：//GE BD，∴AE AGBE DG=，AEG ABD∆∆∽，∴AE AG EG AB AD BD==，//GF AC，∴AG CFDG DF=，AG CFAD CD=，DGF DAC∆∆∽，∴DG DF GF AD CD AC==，∴AE CFAB CD=，AE CFBE DF=，AE ABAG AD=，1EG FG AG DGBD AC AD AD+=+=，∴只有选项A符合题意，故选：A．【巩固10】（2020•崇明区一模）如图，在ABC∆中，点D、E分别在AB和AC边上且//DE BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是()A．AD ANAN AE=B．DN BMNE CM=C．DN AEBM EC=D．DN NEMC BM=【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可．【解答】解：//DE BC，ADN ABM∴∆∆∽，ANE AMC∆∆∽，∴DN ANBM AM=，NE ANMC AM=，∴DN NE BM MC=，即DN BM NE CM=，故选：B．【巩固11】（2020•静安区一模）在ABC∆中，点D、E分别在边AB、AC上，//DE BC，:4:5AD DB=，下列结论中正确的是()A．45DEBC=B．94BCDE=C．45AEAC=D．54ECAC=【分析】由平行线证出ADE ABC∆∆∽，得出49AE DE ADAC BC AB===，即可得出答案．【解答】解：如图所示：:4:5AD DB=，∴49AD AB =， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴49AE DE AD AC BC AB ===， ∴94BC DE =； 故选：B ．【巩固12】（2020•闵行区一模）如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC =，AE BE =，那么有( )A ．AED BED ∆∆∽B ．BAD BCD ∆∆∽C ．AED ABD ∆∆∽ D ．AED CBD ∆∆∽【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定AED CBD ∆∆∽．【解答】解：:1:3AD AC =，:1:2AD DC ∴=；ABC ∆是正三角形，AB BC AC ∴==；AE BE =，::1:2AE BC AE AB ∴==::AD DC AE BC ∴=；A ∠为公共角，AED CBD ∴∆∆∽；故选：D ．【巩固13】（2020•普陀区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C ∆∆=，9AD =，那么BC 的长是( )A ．4B ．6 C．D．【分析】证明ADC CDB ∆∆∽，根据相似三角形的性质求出CD 、BD ，根据勾股定理求出BC ．【解答】解：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒，CD AB ⊥，90A ACD ∴∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠，又ADC CDB ∠=∠，ADC CDB ∴∆∆∽， ∴AD CDCD BD =，ADC CDB C ADC CD∆∆=， ∴32ADCD =，即932CD =，解得，6CD =， ∴966BD =，解得，4BD =，BC ∴=故选：C ．【巩固14】（2020•青浦区一模）如图，//DE AB ，如果:1:2CE AE =，3DE =，那么AB 等于()A ．6B ．9C ．12D ．13【分析】证明CED CAB ∆∆∽，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：//DE AB ，CED CAB ∴∆∆∽， ∴DE CE AB CA =，即313AB =， 解得，9AB =，故选：B ．【巩固15】（2020•松江区一模）下列两个三角形不一定相似的是( )A ．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形B ．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形C ．有一个内角为50︒的两个直角三角形D ．有一个内角是50︒的两个等腰三角形【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案．【解答】解：A 、两条直角边之比为2:3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意； B 、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意； C 、有一个内角为50︒的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；D 、有一个内角是50︒的两个等腰三角形，因为50︒是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．故选：D ．【巩固16】（2020•黄浦区一模）在ABC ∆与DEF ∆中，60A D ∠=∠=︒，AB AC DF DE=，如果50B ∠=︒，那么E ∠的度数是( )A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：60A D ∠=∠=︒，AB AC DF DE=， ABC DFE ∴∆∆∽，50B F ∴∠=∠=︒，180605070C E ∠=∠=︒-︒-︒=︒ 故选：C ．【巩固17】．（2020•黄浦区一模）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定//ED BC 的是( )。
专题03 一元二次方程(3)-2021年暑假初二升初三(北师版数学)(解析版)
（北师版数学）2021年暑假初二升初三名师辅导精品课堂（3）辅导范围：一元二次方程（3）；辅导时间：120分钟；学生姓名：一、课堂精炼1．（2021·浙江八年级期末）如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为123,1x x ==，那么这个一元二次方程是（ ）A ．2340x x ++=B ．2430x x +-=C ．2430x x -+=D ．2340x x +-=【答案】C【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1=3，x 2=1，∴3+1=-p ，3×1=q ，∴p =-4，q =3，∴一元二次方程是x 2-4x +3=0，故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算． 2．（2021·山东济南市·八年级期末）若m 、n 为一元二次方程2220x x --=的两个实数根，则mn m n --的值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4-【答案】D【分析】根据韦达定理可得m ＋n ＝2，mn ＝-2，再代入mn m n --＝mn −（m ＋n ）即可．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2220x x --=的两个实数根，∴m ＋n ＝2，mn ＝-2，，∴mn m n --＝mn −（m ＋n ）＝-2-2＝-4，故选：D ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1+x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a． 3．（2021·合肥市第四十八中学九年级其他模拟）已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两根，那么2a a b +-的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得2290a a +-=，2a b +=-，将2a a b +-整理成()22a a a b +-+，代入即可求解．【详解】解：∵a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两根，∴a 2+2a −9=0，a +b =−2，∵a 2+a −b =a 2+2a −(a +b )=9−(−2)=11，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键． 4．（2021·四川宜宾市·中考真题）若m 、n 是一元二次方程x 2＋3x ﹣9＝0的两个根，则24m m n ++的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．12【答案】C【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m ＋n =−3，mn =−9，而m 是方程的一个根，可得m 2＋3m −9=0，即m 2＋3m =9，那么m 2＋4m ＋n =m 2＋3m ＋m ＋n ，再把m 2＋3m 、m ＋n 的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x −9＝0的两个根，∴m ＋n ＝−3，mn ＝−9，∵m 是x 2＋3x −9＝0的一个根，∴m 2＋3m −9＝0，∴m 2＋3m ＝9，∴m 2＋4m ＋n ＝m 2＋3m ＋m ＋n ＝9＋（m ＋n ）＝9−3＝6．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根x 1、x 2之间的关系：x 1＋x 2=−b a -，x 1•x 2=c a． 5．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根 【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．6．（2021·江苏南通市·九年级二模）若22x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根，则m ＋n 的值为（ ）A ．－4B ．－3C ．3D ．5【答案】B【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系可求解m 、n 的值，然后问题可求解．【详解】解：由题意得：((224,221m n =-+=-==，∴413m n +=-+=-；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．5【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义，得211310x x -+=，结合根与系数的关系，得1x +2x =3，进而即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，∴211310x x -+=，即：21131x x -=-，1x +2x =3，∴211252x x x --=2113x x --2(1x +2x )=-1-2×3=-7．故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握20ax bx c ++=（a ≠0）的两根为1x ，2x ，则1x +2x =b a -，1x 2x =c a，是解题的关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，则2122021x x -的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2021D ．2021- 【答案】B【分析】 根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120211x x =-，121x x ⋅=，再代入通分计算即可求解．【详解】∵方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，∴211202110x x -+=，121x x ⋅=，∴21120211x x =-， ∴2122021x x -=21202112021x x --=1222220011222x x x x x -⋅-=22202112021x x ⨯--=22x x -=-1． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．9．（2021·江苏徐州市·九年级二模）已知一元二次方程x 2﹣5x +c ＝0有一个根为4，则另一个根为___．【答案】1【分析】设方程的另一个根为x 2，根据两根之和得出x 2+4＝5，解之可得答案．【详解】解：设方程的另一个根为x 2，则x 2+4＝5，解得x 2＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q ＝0的两根时，x 1+x 2＝﹣p ，x 1x 2＝q ．10．（2021·天津河北区·八年级期末）已知x 1，x 2为方程x 2﹣3x ﹣7＝0的两个根，则1211+x x ＝___． 【答案】37-【分析】 利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1•x 2=-7，再变形1211+x x 为1212x x x x +⋅，代入计算即可求解． 【详解】解：∵x 1，x 2是方程x 2-3x -7=0的根，∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=-7， ∴1211+x x =1212x x x x +⋅=37-， 故答案为：37-． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．（2021·安徽池州市·八年级期末）已知m 2-2m -1=0，n 2-2n -1=0且m ≠n ，则n m m n+的值为____． 【答案】-6【分析】 m n ，是一元二次方程2210x x --=的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可求解．【详解】解：根据题意得，mn ，是一元二次方程2210x x --=的两个不相等的实数根， ∴2m n +=，1mn =- ∴2222()222=61n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-- 故答案为：-6．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系相结合解题是一种经常使用的解题方法．12．（2021·四川雅安市·中考真题）已知一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n ，则11m n +的值为______． 【答案】12021【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一元二次方程220210x x +-=的两根分别为m ，n∴1m n +=-，2021mn =- ∴111120212021m n m n mn +-+===- 故答案为：12021． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解． 13．（2021·四川成都市·九年级二模）已知a ，b 分别为一元二次方程x 2＋2x ﹣2011＝0的两个实数根，则a 2﹣3a ﹣5b ＝___．【答案】2021【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2220110a a +-=，即222011a a +=，则235a a b --化简为225()a a a b +-+，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：a 为一元二次方程2220110x x +-=的根，2220110a a ∴+-=，222011a a ∴+=， a ，b 分别为一元二次方程2220110x x +-=的两个实数根，2a b ∴+=-，223525()20115(2)2021a a b a a a b ∴--=+-+=-⨯-=．故答案为2021．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解． 14．（2021·江苏南京市·中考真题）设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =， ∵122x x =，∴233x =，∴21x =，∴12x =，∴122k =⨯=;故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为 b a -，两根之积为c a．15．（2021·江苏南通市·九年级二模）设α，β是一元二次方程2370x x +-=的两个根，则252ααβ++=______．【答案】1【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．【详解】解:∵,αβ是一元二次方程2370x x +-=的两个根，∴2370αα+-=，+3αβ=- ，∴原式＝()2252=+3+2ααβαααβ+++＝7－6＝1． 【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．16．（2021·辽宁丹东市·九年级一模）关于x 的方程2240mx x -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】14m <，且0m ≠ 【详解】略17．（2021·四川广元市·九年级一模）已知关于x 的一元二次方程()212022-++=m mx m x 有两个不等的实数根1x ，2x ．若12112+=m x x ，则m 的值为______． 【答案】2【分析】根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2（m +2），x 1•x 2=m ，变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵()22424022m m b ac m =-=+-⨯⨯>，且0m ≠， ∴1m >-，且0m ≠，∵12x x 、是方程()212022-++=m mx m x 有两个实数根， ∴()1222m x x m++=，121x x =， ∵12112+=m x x ， ∴12122x x m x x +=，即()222m m m +=， 整理得：220m m --=，解得：1221m m ==-，．∵1m >-，且0m ≠，∴2m =．故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．18．（2021·江西南昌市·九年级一模）若实数a 、b 满足a 2﹣8a +5＝0，b 2﹣8b +5＝0，则a +b 的值_____．【答案】8或8±【分析】分类讨论：当a ＝b ，解方程易得原式＝；当a ≠b ，可把a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：当a ＝b 时，由a 2﹣8a +5＝0解得a ＝，∴a +b ＝；当a ≠b 时，a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，∴a +b ＝8．故答案为8或．【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a 、b 进行分类讨论是解题关键．19．（2021·湖北荆门市·九年级其他模拟）已知1x ，2x 是一元二次方程2220-++=x x m 的两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得等式12112m x x +=-成立?如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）1m ≤-；（2）存在满足条件的m =【分析】（1）根据方程的系数，结合一元二次方程根的情况，得到根的判别式，转化为解关于m 的一元一次不等式，即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，得到关于m 的方程，解之即可． 【详解】（1）依题意得：0∆≥，44(2)0m ∴-+≥，解得1m ≤-．（2）依题意得：122x x +=，122x x m =+12112m x x +=-，即1212(2)x x m x x +=-， 2(2)(2)m m∴=-+，解得1m =2m =又1m ≤-，m ∴=∴存在满足条件的m =【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，涉及一元一次不等式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值． 【答案】（1）12m >；（2）1 【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解； （2）根据韦达定理可得12250x x m =-+>，124x x +=，得到1522m <<，根据两个根和m 都是整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根， ∴()164250m ∆=--+>，解得12m >； （2）设该方程的两个根为1x 、2x ， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴12250x x m =-+>，124x x +=，∴1522m <<， ∴m 的值为1或2，当1m =时，方程两个根为11x =、23x =； 当2m =时，方程两个根1x 与2x 不是整数； ∴m 的值为1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键．21．（2021·江苏淮安市·八年级期末）某地为引导旅客来旅游及消费，计划5月至9月开展全城推广活动．某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】共有30名员工去旅游． 【分析】设该单位这次共有x 名员工去旅游，由题意易得人数是超过25人的，则有()2000402554000x x --=⎡⎤⎣⎦，然后求解即可． 【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游，由题意得： ∵25×2000=50000＜54000， ∴人数比25人多，∴()2000402554000x x --=⎡⎤⎣⎦ 解得：1230,45x x ==，当30x =时，()200040302518001700-⨯-=>，符合题意；当45x =时，()200040452512001700-⨯-=<，不符合题意； 答：共有30名员工去旅游． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．22．（2021·安徽合肥市·八年级期末）超市销售某种儿童玩具，经市场调查发现，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x 元，每天可售出y 件．（1）写出y 与x 之间的函数关系式 （不要求写出自变量取值范围）；（2）当x 取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？ 【答案】（1）1502y x =-；（2）此时每天可销售45件． 【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润2250元”即可得到结论； 【详解】 （1）1502y x =-； （2）解：由题意得()1405022502x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得1210,50x x == 每件利润不得超过60元020x ∴≤≤，因此取10x =，此时15010452y =-⨯=答：此时每天可销售45件． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 二、课后作业23．（2021·江苏泰州市·中考真题）关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值为 ___． 【答案】2．先根据根与系数的关系得到12121,1x x x x +==-，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2， ∴12121,1x x x x +==-， ∴x 1+x 2﹣x 1•x 2=1-（-1）=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 为一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根，则有1212,b cx x x x a a+=-=，熟记知识点是解题的关键．24．（2021·湖北中考真题）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个实数根,αβ．且111αβ+=．则m =_______． 【答案】3 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得22,m m m αβαβ+==-，再根据111αβ+=可得一个关于m的方程，解方程即可得m 的值． 【详解】解：由题意得：22,m m m αβαβ+==-，111αβαβαβ++==， 221mm m∴=-，化成整式方程为230m m -=， 解得0m =或3m =，经检验，0m =是所列分式方程的增根，3m =是所列分式方程的根， 故答案为：3．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．25．（2021·湖南娄底市·2是方程20x x c --=的一个根，则该方程的另一个根为______．【答案】1 【分析】2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可以求出方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为x 1，由x 12＝111--=，得x 1=1，故答案是：1． 【点睛】根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键．26．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）已知关于x 的一元二次方程2220x x a --=有两个不相等的实数根12,x x ，则12x x +=________；若21118x x +=-，则a =________． 【答案】2 12± 【分析】根据根与系数的关系可得12x x +和12x x ，再根据21118x x +=-得到21128x x x x =+-，代入即可求出a 值． 【详解】 解：由题意可得：12221x x -+=-=，212x x a =-， ∵122112118x x x x x x ++==-， ∴21128x x x x =+-，∴()228a =-⨯-，解得：12a =±， 故答案为：2，12±．【点睛】本题考查了一元一次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程得到12x x +和12x x ．27．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·九年级一模）若实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，则代数式33m n mn +的值为______． 【答案】98 【分析】由题意得：m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，利用跟与系数的关系，得出10m n +=，1⋅=m n ，进而即可求解． 【详解】解：∵实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=， ∴m 、n 是方程21010x x -=+的两个根， ∴10m n +=，1⋅=m n ，∴33m n mn +=222()()2mn m n mn m n mn ⎡⎤+=+-⎣⎦ =21102198⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦，故答案是：98． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数m 、n 看作是方程21010x x -=+的两个根，是解题的关键．28．（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程250x x m ++=的一个根为2-，则另一个根为________． 【答案】3- 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，代入求解即可设另一个根为2x ，根据根与系数的关系有：12bx x a+=-即225x -+=- 解得：23x =- 故答案为3- 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 29．（2021·全国九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1＝0． （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值． 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为0，m 的值为1- 【分析】（1）由△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝（m +1）2+4＞0可得答案； （2）设方程的另外一根为a ，根据一元二次方程根与系数的关系得出2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解之即可得出答案．【详解】（1）证明：∵△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1） ＝m 2+6m +9﹣4m ﹣4 ＝m 2+2m +1+4 ＝（m +1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另外一根为a ， 根据题意，得：2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解得：01a m =⎧⎨=-⎩，所以方程的另一根为0，m 的值为1-．本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．30．（2021·苏州科技城外国语学校八年级期中）已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=有两个不相等的实数根12,x x ． （1）求m 的取值范围； （2）若12114m x x +=，求m 的值． 【答案】（1）1m >-且0m ≠；（2）2 【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△0>，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出122m x x m ++=，1214x x =，结合12114m x x +=，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合1m >-且0m ≠，即可确定m 的值． 【详解】 解：（1）关于x 的一元二次方程2(2)04mmx m x -++=有两个不相等的实数根， ∴20[(2)]404m m m m ≠⎧⎪⎨=-+-⨯⨯>⎪⎩， 解得：1m >-且0m ≠． （2）1x ，2x 是一元二次方程2(2)04mmx m x -++=的实数根， 122m x x m +∴+=，1214x x =．121212114x x m x x x x ++==，即4(2)4m m m+=， 220m m ∴--=，解得：11m =-，22m =． 又1m >-且0m ≠，【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）由二次项系数非零及根的判别式△0>，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合12114m x x +=，找出关于m 的一元二次方程．31．（2021·山东济南市·八年级期末）受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元． （1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？【答案】（1）平均每天可售出60个；（2）这种电子产品的销售单价定为70元合适． 【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解；（2）设这种电子产品的销售单价定为x 元，由题意易得()605010020160010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：10020102060-÷⨯=（个）；答：平均每天可售出60个．（2）设这种电子产品的销售单价定为x 元，由题意得：()605010020160010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭， 解得：1290,70x x ==， ∵要让利于消费者， ∴70x =；答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．三、挑战自我32．（2021·广东汕头市·九年级一模）甲、乙两人同解方程组515410ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=⎩乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=-⎩（1）求a ，b 的值；（2）若关于x 的一元二次方程20-+=ax bx m 两实数根为1x ，2x ，且满足12727-=x x ，求实数m 的值．【答案】（1）72a b =⎧⎨=-⎩；（2）5m =-【分析】（1）将31x y =-⎧⎨=⎩代入方程②求出b 的值，将54x y =⎧⎨=-⎩代入方程①求得a 的值，即可得出答案，（2）再将a ，b 的值代入20-+=ax bx m 中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m 的值． 【详解】解：（1）根据题意得()()554154310a b ⎧+⨯-=⎪⎨⨯--=-⎪⎩解得72a b =⎧⎨=-⎩ （2）当72a b =⎧⎨=-⎩时，一元二次方程20-+=ax bx m 化为2720++=x x m ，由根与系数关系得1227+=-x x ，127⨯=mx x 联成方程组得{x 1+x 2=−277x 1−2x 2=7，解得{x 1=57x 2=−1∴m =−5【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．33．（2021·浙江八年级月考）已知关于x 的一元二次方程2(4)240x m x m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若12,x x 为方程的两个根，且22124n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的数图象是否经过点(5,9)A -，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）经过，理由见解析【分析】（1）根据判别式公式得△=m 2≥0，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2和x 1x 2关于m 的表达式，整理n =x 12+x 22-4，得n =（m +2）2，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m +4）]2-4（2m +4）=m 2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）根据题意得：x 1+x 2=m +4，x 1x 2=2m +4，n =x 12+x 22-4=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-4，=（m +4）2-2（2m +4）-4=m 2+4m +4=（m +2）2即n =（m +2）2，经过（-5，9）．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．。
备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题03 函数的单调性和最值(解析版)
【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式． 【方法点评】一、函数单调性的判断方法一 定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 取值定大小：设任意12,x x D ∈，且12x x <； 第二步 作差：12()()f x f x -；第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论.例1 证明函数()(0)af x x a x=+>在区间)+∞是增函数。
【答案】证明略.【点评】本题就是利用定义法判断函数单调性的典型例题，它的解题模板一般分为五步，其中关键的是第三步变形，多利用因式分解等知识. 例2 判断并证明：21()1f x x=+在(,0)-∞上的单调性． 【答案】()f x 在(,0)-∞上单调递增，证明见解析.【解析】考点：用定义法证明单调性．【变式演练1】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，21()f x x x=+. （1）求()f x 的表达式；（2）判断并证明函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性.【答案】（1）2210()0,01,0x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪-+>⎩；（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由()f x 是奇函数，令0x =得，(0)0f =，当0x >时，0x -<，得出21()()f x f x x x=--=-+，即可得出函数()f x 的表达式；（2）利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性.试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，∴对定义域R 内任意的x ，都有()()f x f x -=-.……1分令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =又当0x >时，0x -<，此时2211()()[()()]f x f x x x x x=--=--+=-+-综合可得：2210()0,01,0x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪-+>⎩考点：函数的解析式与函数的单调性的定义.例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >.【解析】试题分析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）∵11()023+-≠，11()()23011()23f f +>+-， ∴11()()023f f +>，∴11()()23f f >--∴11()()23f f >.（2）任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∴21()()0f x f x ->，∴函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且12()25f =． （1）求()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<． 【答案】（1）1)(2+=x x x f ；（2）证明见解析；（3）210<<t . 【解析】（3）依题意得，(1)()f t f t -<-，则111,11,1,t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩∴102t <<．考点：1.函数奇偶性的应用；2.利用定义法证明函数的单调性.方法二 导数法使用情景：较复杂的函数类型解题模板：第一步 求函数()f x 的定义域； 第二步 求导()f x '；第三步 在定义域范围内解不等式()0f x '>或()0f x '<； 第四步 得出函数()f x 的增减区间.例4 已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f ，讨论函数)(x f 的单调性；【答案】()f x在单调增加，在)+∞单调减少【答案】函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导函数求函数的单调区间也必须先考虑函数的定义域.【变式演练3】已知函数32()39f x x x x a =-+++．求()f x 的单调递减区间； 【答案】(,1)-∞-，(3,)+∞试题解析：'2()369f x x x =-++，令'()0f x <，解得1x <-或3x >，∴函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞．方法三 复合函数分析法使用情景：简单的复合函数类型 解题模板：第一步 先求函数的定义域；第二步 分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性； 第三步 根据同增异减，确定原函数的增减区间. 例5 求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间； 【答案】在(,1)-∞上单调递增，在(2,)+∞上单调递减.【点评】函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导函数求函数的单调区间也必须先考虑函数的定义域.【变式演练4】已知定义在R 上的函数)(x f y =是偶函数，且0≥x 时，)22ln()(2+-=x x x f .（1）当0<x 时，求)(x f 解析式； （2）写出)(x f 的单调递增区间.【答案】（1）)22ln()(2++=x x x f ；（2）)0,1(-，),1(+∞. 【解析】试题分析：(1)利用奇偶性，0<x 时，0>-x ，()2()ln(22)f x f x x x =-=++；（2）0<x 时，222x x ++对称轴是1x =-，开口向上，左减右增，根据复合函数单调性可知，增区间为)0,1(-；同理，当0x ≥，222x x -+的对称轴是1x =，开偶向上，左减右增，根据复合函数单调性可知，增区间为(1,)+∞.复合函数单调性利用同增异减来解决. 试题解析：（1）0<x 时，0>-x ，∴)22ln()(2++=-x x x f ， ∵)(x f y =是偶函数，∴)()(x f x f =-，0<x 时，)22ln()(2++=x x x f .（2）由（1）知0<x 时，)22ln()(2++=x x x f ，函数的单调增区间)0,1(-，0≥x 时，)22ln()(2+-=x x x f ，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间),1(+∞，所以函数的单调增区间为)0,1(-，),1(+∞. 考点：待定系数，导数与单调区间．方法四 图像法使用情景：图像比较容易画出的函数类型 解题模板：第一步 通过题目条件画出函数图像； 第二步 从图像中读出函数的单调区间. 例6 求函数2()||f x x x =-+的单调区间。
高中数学 课下能力提升(三)新人教A版选修22
课下能力提升(三)[学业水平达标练]题组1 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A.13B.12C.18D.14题组2 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．5．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．6．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x.题组3 利用导数研究曲线的切线问题7．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．9．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．[能力提升综合练]1．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.123．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.224．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－25．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．6．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f ′(0)＝________．7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．8．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．9．已知两条直线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．答案题组1 利用导数公式求函数的导数1．解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x 3，所以③错误.⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－（x 12）′x＝12x －12x＝12x －32＝12x x，所以④正确． 2．解析：选D ∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αxα－1.∴f ′(1)＝α＝14.题组2 利用导数的运算法则求导数3．解析：选 B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .4．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x （x ＋3）2.答案：x 2＋6x （x ＋3）25．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：36．解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xsin x ′ ＝（e x ）′·sin x －e x·（sin x ）′sin 2x ＝e x ·sin x －e x·cos x sin 2x ＝e x（sin x －cos x ）sin 2x. 题组3 利用导数研究曲线的切线问题7．解析：y ′＝e x＋x e x＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋18．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.答案：29．解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：110．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2，1)．[能力提升综合练]1．解析：选C 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .2．解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．3．解析：选B y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．4．解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.5．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：16．解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )， 则f (x )＝xg (x )，求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )， 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8. 答案：88．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.9．解：不存在．由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的切线的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.。
高中数学专题03 充分条件和必要条件
【母题原题1】【2019年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件．故选B ． 【名师点睛】充要条件的三种判断方法： （1）定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；（2）集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．【母题原题2】【2018年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】求解不等式38x >可得2x >，求解绝对值不等式2x >可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件．故选A ．【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题3】【2017年高考天津卷文数】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的高中数学专题03 充分条件和必要条件A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤，因为{}{}022x x x x ≤≤⊂≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件，故选B ．【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若,/p q q p ⇒⇒，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若p q ⇔，那么p 是q 的充要条件，若,//p q q p ⇒⇒，那那么p 是q 的既不充分也不必要条件；②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若:p x A ∈，:q x B ∈，若A 是B 的真子集，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若A B =，那么p 是q 的充要条件，若没有包含关系，那么p 是q 的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“p 是q ”的关系转化为“q ⌝是p ⌝”的关系进行判断．【命题意图】主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数等为载体，结合命题、充分条件和必要条件考查考生的转化思想和逻辑推理能力．【命题规律】从近几年的考查情况来看，高考对该内容的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查命题的真假判断，充分条件、必要条件的判断，题目难度中等，以选择题和填空题为主． 【知识总结】 1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题． 2．四种命题及其相互关系3．四种命题的真假关系由上表可知：（1）若两个命题互为逆否命题，则它们的真假性相同；（2）若两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系．因此，在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4．3．充分条件与必要条件的相关概念（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；（2）如果p⇒q，但q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；（3）如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；（4）如果q⇒p，且p/⇒q，则p是q的必要不充分条件；（5）如果p/⇒q，且q/⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．4．充分条件与必要条件的两个特征：（1）对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．（2）传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”（“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”）．5．从集合角度理解充分条件与必要条件记p，q对应的集合分别为A，B，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；（3）若A=B，则p是q的充要条件；（4）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；（5）若A⫌B，则p是q的必要不充分条件；（6）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．【方法总结】（一）四种命题及其真假判断1．判断命题真假的方法（1）直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．（2）间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．2．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．注意：（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；（2）当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．3．在判断四个命题之间的关系时，要先分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．（二）充分条件与必要条件的判断方法1．定义法根据充分条件与必要条件的相关概念．2．集合法当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关，或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断．3．等价转化法适用于“不易直接正面判断”的情况，可将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法，如下：（1）﹁q是﹁p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；（2）﹁q是﹁p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；（3）﹁q是﹁p的充要条件⇔p是q的充要条件；（4）﹁q是﹁p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件．解决此类问题应该把握三个方面：一是准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；二是注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；三是灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． （三）根据充分、必要条件求参数的取值范围1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式（组）求解；涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将﹁p ，﹁q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解． 2．求解参数取值范围时：（1）要注意对区间端点值的处理，尤其是利用两个集合之间的包含关系求解参数的取值范围时，不等式中的等号是否能够取得决定着端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象； （2）注意条件的等价变形．1．【天津市和平区2019届高三一模数学】不等式10x x->成立的充分不必要条件是 A ．1x >B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >【答案】A【解析】不等式10x x ->，即210x x->，等价于(1)(1)0x x x +->，由穿根法可得不等式的解集为(1,0)(1,)-+?，结合选项可知其成立的一个充分不必要条件是1x >．故选A ．【名师点睛】本题主要考查分式不等式的解法，充分必要条件的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．2．【天津市河西区2019届高三一模数学】设x ∈R ，则“11x +<”是“112x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为11x +<，所以111,20x x -<+<-<<，因为112x -<，所以20,22x x x->>或0x <， 因为(2,0)((,0)(2,))⊂--∞+∞≠，所以11x +<是112x -<的充分不必要条件，故选A ． 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 是B 的充要条件． 3．【天津市河西区2019届高三一模数学】设x ∈R ，则“2x <4<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由2x <可得22x -<<4可得016x ≤<，22x -<<是016x ≤<的既不充分也不必要条件，“2x <4<”的既不充分也不必要条件．故选D ．【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】设,m n ∈R ，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立， 若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C ．【名师点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理． 5．【天津市河北区2019届高三一模数学】设x ∈R ，则“()()120x x +->”是“1x ≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()()120x x +->，得x >2或x <–1，又1x ≥得x ≥1或x ≤–1； ∴“()()120x x +->”是“1x ≥”的充分而不必要条件．故选A ．【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，准确求解不等式的解集是关键，比较基础． 6．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =，()2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数， 但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理． 7．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学】设11:22p x -<，:21x q ≥，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】求解绝对值不等式1122x -<，可得01x <<， 求解指数不等式21x ≥可得0≥x ，据此可知p 是q 成立的充分不必要条件．故选A ．【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，指数不等式的解法，充分条件与必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．8．【天津市红桥区2019届高三二模数学】设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】213x -≤12x ⇒-≤≤，10x +≥1x ⇒≥-，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“213x -≤”是“10x +≥”的充分不必要条件，故选A ．【名师点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集． 9．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】下列结论错误的是 A ．命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件C ．命题：“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”D ．若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题 【答案】B【解析】逐一考查所给命题的真假：A ．同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．若“a b >”，当0c =时不满足“22ac bc >”，即充分性不成立， 反之，若“22ac bc >”，则一定有“a b >”，即必要性成立， 综上可得，“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件，C ．特称命题的否定是全称命题，命题：“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”，D ．由真值表可知：若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题． 即结论错误的为B 选项．故选B ．【名师点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可．否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假；②原命题与其逆否命题同真假． 10．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】下列说法正确的是A ．若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B ．命题“x ∀∈R ，0ax b +≤”的否定是“x ∃∈R ，0ax b +≥”；C ．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D ．“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0⋅<a b ”； 【答案】C【解析】A 选项：()p q ⌝∧为真，则p q ∧为假，即p q ，至少有一个是假命题，可知A 错误； B 选项：原命题的否定为：x ∃∈R ，0ax b +>，可知B 错误；C 选项：若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为：若“20192018S S >”则“10a >”，20182019201820192018201910S S a S a a q =+>⇒=>， 2018100q a >∴>∴原命题的逆命题为真命题，又逆命题与否命题同真假，可知原命题的否命题为真命题，可知C 正确； D 选项：当0⋅<a b 时，a 与b 夹角可能为π，不是钝角，可知D 错误．故选C ．【名师点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的知识，涉及到四种命题之间的关系、含逻辑连接词的命题、含量词的命题的否定、充分条件与必要条件的判断的问题．11．【天津市河东区2019届高三二模考试数学】设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q >”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+>”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若0q >，结合{}n a 是首项为正数的等比数列可知数列的各项均为正数， 据此可得2120n n a a -+>成立，即充分性成立； 反之，取111,2a q ==-，则()2221110n n n a a q a q -=⋅=⋅>， ()2122110n n n a a a q --∴+=+>，据此可知必要性不成立；即“0q >”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+>”的充分而不必要条件．故选B ．【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，等比数列的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．12．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二)数学】设x ∈R ，则“327x <”是“13log 1x >-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】327x <3x ⇒<，则{}3A x x =<13log 1x >-03x ⇒<<，则{}03B x x =<<B A ⊂A ∴是B 的必要不充分条件本题正确选项：B ．【名师点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够确定解集之间的包含关系，属于基础题．13．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二)数学】设x ∈R ，则“12x -<”是“(2)0x x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为12x -<，所以212,13x x -<-<-<<， 因为()20x x -<，所以02x <<，因为()()1,30,2-⊇，所以“12x -<”是“()20x x -<”的必要而不充分条件，选B ． 【名师点睛】本题考查解不等式以及充要关系，考查基本分析判断与求解能力，属基础题．14．【天津市河西区2018–2019学年高三第二学期总复习质量调查（二)数学】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的 A ．充分百不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】取2nn a =-，此时21q =>，但{}n a 是单调减数列；取12n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因11102n n n a a --⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故{}n a 是单调增数列，但112q =<， 故“1>q ”是“{}n a 是单调增数列”的既不充分又不必要条件，故选D ．【名师点睛】一般地，等比数列{}n a 为单调递增数列的充要条件是10,1a q >>或10,01a q <<<．等差数列{}n b 为单调递增数列的充要条件是公差0d >．15．【天津九校联考2019年高三数学】“2m =”是“直线1:460l mx y +-=与直线2:30l x my +-=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若直线1l ：mx+4y-6=0与直线2l ：x+my-3=0平行， 则24m =，2m =±，当2m =时，直线1l ：2x+4y-6=0与直线2l ：x+2y-3=0，两直线重合，舍． 所以“直线1l ：mx+4y-6=0与直线2l ：x+my-3=0平行”等价于“2m =-”，所以“m=2”是“直线1l ：mx+4y-6=0与直线2l ：x+my-3=0平行”的既不充分也不必要条件故选D ．【名师点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合．16．【天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考数学】设等比数列的{}n a 的前n 项和是n S ，则“10a >”是“32S S >”的 A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设等比数列的{}n a 的公比为q ，则q 0≠，所以232311000S S a a q a >⇔>⇔>⇔>，即“10a >”是“32S S >”的充要条件，故选A ．【名师点睛】本题考查等比数列通项公式以及不等式性质，考查基本分析化简能力，属基本题． 17．【天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学】设a ，b ∈R ，则“a b <”是“2()0a b a -<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若a =0，b =1，满足a <b ，但（a ﹣b ）a 2<0不成立， 若“（a ﹣b ）a 2<0，则a <b 且a ≠0，则a <b 成立，故“a <b ”是“（a ﹣b ）a 2<0”的必要不充分条件，故选B ．【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可． 18．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一)数学】设,x ∈R 则“128x<”是“21x<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】3122238x x x -<⇔<⇔<-，22102x x x x-<⇔>⇔>或0x <， 3x ∴<-能推出2x >或0x <，2x >或0x <不能推出3x <-，∴“128x <”是“21x<”的充分而不必要条件，故选A ． 【名师点睛】高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意以下几点：（1）要看清A B ⇒，还是B A ⇒；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3）A 或B 成立，不能推出A 成立，也不能推出B 成立，A 且B 成立，即能推出A 成立，又能推出B 成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提． 19．【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】不等式110x->成立的充分不必要条件是 A ．1x >B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或0x >【答案】A 【解析】由110x ->可得11x<，解得1x >或0x <， 据此可得不等式110x->成立的充分不必要条件是1x >．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查分式不等式的解法，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．。
专题01 数与式(名师点睛+能力提升)(教师版)
2020年中考考点总动员之三轮冲刺（考点梳理+讲练测）专题01 数与式讲练测模块一：实数与运算例1．（2019•浦东新区二模）下列各数不是4的因数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】解：∵4的因数有：1、2、4，∴各数不是4的因数是3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握，应有顺序的写，做到不重不漏．例2．（2019•黄浦区二模）下列自然数中，素数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．9【答案】解：素数是2，故选：B ．【点睛】此题考查有理数，关键是根据素数的概念解答．例3．（2019•浦东新区二模）52的相反数是 −52 ． 【答案】解：52的相反数是−52，故答案为：−52．【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．【巩固】如果两个实数a ，b 满足a + b = 0，那么a 、b 一定是（ ）A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数 【答案】C【解析】根据相反数的性质，互为相反数的两数和为0，反过来说和为0的两个数互为相反数，故选C ，A 、B 表述不全．【总结】考查相反数的性质．例4. 2-的倒数是（ ）A ．5-B ．2C ．12D ．12- 【答案】D【解析】根据倒数的概念，()0a a ≠的倒数为1a ，故选D ． 【总结】考查倒数的概念．例5.下列分数中，可以化为有限小数的是（ ）A ．115B ．118C ．315D ．318【答案】C【解析】一个最简分数，分母中只含有2或5的因数，这个分数可化作有限小数，A 、B 都是最简分数，不满足条件；31155=，31186=，可知C 选项满足要求． 【总结】考查可化作有限小数的分数，注意前提是最简分数．例6.下列各数是无理数的是（ ）A ．227BCD ．16【答案】B是开方开不尽的数，是无理数．【总结】考查无理数的概念和区分．）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】12<<，可知其整数部分为1，故选B ．【总结】考查无理数的大致范围的确定．例7.下列等式成立的是（ ）A 2±B ．227π=C 322=D ．||a b a b +=+【答案】C【解析】表示4的算术平方根，即为2，A 错误；227是有理数，是无限循环小数，π是无理数，是无限不循环小数，不可能相等，B 错误；C 表示分数指数幂，正确；D 要根据a b +与0的大小关系分类讨论，D 错误；故选C ．【总结】考查与实数相关的计算．【巩固1 ）A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在【答案】A4的算术平方根，即为2，故选A ．【总结】考查开方的意义．【巩固2】8-的立方根是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D 【答案】B【解析】根据()328-=-2=-，故选B ．例8．（2019•杨浦区二模）如图，已知数轴上的点A 、B 表示的实数分别为a ，b ，那么下列等式成立的是（ ）A ．|a +b |＝a ﹣bB ．|a +b |＝﹣a ﹣bC ．|a +b |＝b ﹣aD ．|a +b |＝a +b 【答案】解：∵b ＜0＜a ，|b |＞|a |，∴a +b ＜0，∴|a+b|＝﹣a﹣b．故选：B．【点睛】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．【巩固】．（2019•虹口区二模）在数轴上，实数2−√5对应的点在原点的左侧．（填“左”、“右”）【答案】解：根据题意可知：2−√5＜0，∴2−√5对应的点在原点的左侧．故填：左【点睛】本题考查实数与数轴上点的对应关系，掌握了实数与数轴上的点的一一对应关系，很容易得出正确答案．例9．（2019•嘉定区二模）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（）A．324×105B．32.4×106C．3.24×107D．0.32×108【答案】解：32400000＝3.24×107元．故选：C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n 的值是解题的关键．【巩固】．（2019•宝山区二模）32400000用科学记数法表示为（）A．0.324×108B．32.4×106C．3.24×107D．324×108【答案】解：32400000用科学记数法表示应记为3.24×107，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．例10.（1）计算：113-=______．（2）计算：2-=______．（3）当1a=时，3a-的值为______【答案】（1）23；（2）2；（3）2．【解析】（1）11211333-=-=；（2）22-=；（3）313312a -=-=-=． 【总结】考查有理数去绝对值的计算．例11.（1）计算：23-=______．（2）计算：()32--=______．（3）计算：22-=______．【答案】（1）19；（2）18-；（3）4． 【解析】（1）2211339-==；（2）()()331112882--===---；（3）2244-=-=． 【总结】考查负指数幂的乘方运算．【巩固】．（2019•长宁区二模）计算：（12）−2−23÷24= 312． 【答案】解：原式＝4﹣2﹣1 ＝4−12＝312． 故答案为：312．【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 例12．（2019•杨浦区三模）计算：（﹣2）9÷27＝ ﹣4 ．【答案】解：原式＝﹣29÷27＝﹣22＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，关键是掌握同底数幂的除法法则．例13.．【答案】(13+=【总结】考查简单的无理数计算法则．【巩固1】．（2019•松江区二模）计算：|−5|+（√2−1）0= 6 ．【答案】解：原式＝5+1＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【巩固2】．（2019•上海）计算：|√3−1|−√2×√62−38 2 3【答案】解：|√3−1|−√2×√6+2−3−823=√3−1﹣2√3+2+√3−4＝﹣3【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【巩固3】．（2017•上海）计算：√18+（√2−1）2−912+（12）﹣1．【答案】解：原式＝3√2+2﹣2√2+1﹣3+2=√2+2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【巩固4】．（2019•青浦区二模）计算：（﹣1）2019﹣|1−√2|2−1（−13）2．【答案】解：原式＝﹣1﹣（√2−1）+√2+1+19＝119．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【巩固5】．（2019•浦东新区二模）计算：（﹣3）0﹣912+3+1|2−√3|．【答案】解：原式＝1﹣3+√3−1+2−√3=−1．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简等考点的运算．【巩固6】．（2019•静安区二模）计算： 4−12+（√2−1）23+2|1−√2|．【答案】解：原式=√14+（2+1﹣2√2）+（√3−√2）+√2−1=12+3﹣2√2+√3−√2+√2−1 =52+√3−2√2． 【点睛】本题考查负指数幂的运算，分母有理化，绝对值运算．能够将每一项准确化简是正确计算的关键．【巩固7】．（2019•松江区二模）计算：√27+（√3−1）2−1612+（2+√3）−1【答案】解：√27+（√3−1）2−1612+（2+√3）−1＝3√3+3﹣2√3+1﹣412+3 ＝3√3+3﹣2√3+1﹣4+2−√3＝2．【点睛】本题考查完全平方公式、负整数指数幂和分母有理化，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．【巩固8】．（2019•金山区二模）计算：（√3）0+812+√2（√2−1）+（√3+√2）﹣1． 【答案】解：原式＝1+2√2+2−√213+2 ＝1+2√2+2−√2+√3−√2＝3+√3；【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、分数指数幂、负指数幂是解题的关键．例14. （1）计算：()120121sin 45()121)cot 302-︒+--⋅+︒．（2）计算：11cos3013-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭．（3）计算：0112)()6cos303-++︒．【答案】（1）32-；（2）72；（3）4+．【解析】（1）原式(21311322=++-++=-⎝⎭；（2） 原式7132-=；（3）原式(13644=++-=+=+． 【总结】考查实数和特殊角的锐角三角比结合的四则混合计算．【巩固1】（2019•普陀区二模）计算：|2sin60°﹣2|+2712−（12）−1−（−1）2019．【答案】解：原式＝|√3−2|+√27−2+1＝2−√3+3√3−1＝2√3+1，【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．【巩固2】（2019•青浦区一模）计算：（sin30°）﹣1+|1﹣cot30°|+√3tan30°−1cos 245°． 【答案】解：（sin30°）﹣1+|1﹣cot30°|+√3tan30°−1cos 245°＝（12）﹣1+|1−√3|+√3×√33−1（√22）2=2+√3−1+1−2=√3．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．【巩固3】（2019•徐汇区一模）计算：2√3−tan45°． 【答案】解：原式=6×12−4×（√22）2√33−1 =3−2+√3√3−1=（√3+12（√3+1）（√3−1）＝2+√3．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．【巩固4】（2019•黄浦区二模）计算：√3tan60°−cos30°−2713+|1−√3|﹣（√2019）0．【答案】解：原式=√3√3−√323+√3−1−1=2−3+√3−2=−3+√3．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．【巩固5】（2019•徐汇区校级一模）计算：sin30°+|﹣2|﹣tan45°+（﹣1）2019【答案】解：原式=12+2﹣1﹣1=12．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【巩固6】（2019•宝山区二模）计算：（12）−2+（−2019）0−12+cot30°+√（3−π）2．【答案】解：=4+1−2+3+π−3＝π+2﹣（2−√3）＝π+√3．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【巩固7】（2019•嘉定区二模）计算：（﹣2018）0+（12）﹣2−12+tan60°+√（3−π）2．【答案】解：原式＝1+412+3+π﹣3＝π+√3．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．模块二：式与运算例15.如果单项式22n a b c是六次单项式，那么n的值取（）A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D【解析】根据单项式的次数的概念，可得216n++=，得3n=，故选D．【总结】考查单项式的次数的概念，注意不要遗漏1次．例16．（2019•青浦区二模）下列单项式中，与ab 2是同类项的是（ ）A ．a 2bB ．a 2b 2C ．﹣ab 2D ．2ab【答案】解：由同类项的定义可知，a 的指数是1，b 的指数是2．A 、a 的指数是2，b 的指数是1，与ab 2不是同类项；B 、a 的指数是2，b 的指数是2，与ab 2不是同类项；C 、a 的指数是1，b 的指数是2，与ab 2是同类项；D 、a 的指数是1，b 的指数是1，与ab 2不是同类项．故选：C ．【点睛】本题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．例17.下列代数式中是二次二项式的是（ ）A ．1xy -B ．211x +C ．22x xy + D【答案】A【解析】二次二项式首先是整式，B 、D 错误；C 是三次二项式，选A ．【总结】考查多项式的次数和项数的相关概念．例18.购买单价为a 元的笔记本3本和单价为b 元的铅笔5支应付款______元．【答案】()35a b +．【解析】根据总价=单价×数量，可知总花费为()35a b +元，注意加上括号．【总结】考查代数式的表示，注意一定要加上括号．【巩固1】某公司三月份的产值为a 万元，比二月份增长了m %，那么二月份的产值（单位：万元）为（ ）A ．(1%)a m +B ．(1%)a m -C ．1%a m +D ．1%a m - 【答案】C【解析】设二月份产值为x 万元，则有()1%m x a +=，解得：1%a x m =+，故选C ． 【总结】考查分数中的单位“1”应用问题，可用设未知数进行求解计算．【巩固2】（2018•上海）某商品原价为a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是 0.8a 元．（用含字母a 的代数式表示）．【答案】解：根据题意知售价为0.8a 元，故答案为：0.8a ．【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系．【巩固3】（2019•杨浦区三模）某大型超市从生产基地以每千克a 元的价格购进一种水果m 千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上増加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 0.17am 元（用含m 、a 的代数式表示）【答案】解：由题意可得，超市获得的利润是：a （1+30%）×[m （1﹣10%）]﹣am ＝0.17am （元），故答案为：0.17am ．【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【巩固4】．（2019•徐汇区校级一模）如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n 个小正方形与右下角的1个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m 倍，则用含n 的代数式表示m 的结果为m ＝ 2n +5 ．【答案】解：如图，过A 作AB ⊥FG 于B ，则△ABC ∽△CDE ，∴AB CD =BC DE =AC CE =2，设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为m ，∴AB ＝m ﹣1，BF ＝n ，DE ＝1，∴BC ＝2DE ＝2，CD =12AB =12（m ﹣1），∴FG ＝FB +BC +CD +DG ＝n +2+12（m ﹣1）+1＝m ，∴m ＝2n +5，故答案为：2n +5．【点睛】本题考查了列代数式，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．例19.若x = 2，y =1-，那么代数式222x xy y ++的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】B【解析】()()22222211x xy y x y ++=+=-=，故选B ．【总结】考查完全平方公式的应用，简化计算．【巩固1】（2018•上海）计算：（a +1）2﹣a 2＝ 2a +1 ．【答案】解：原式＝a 2+2a +1﹣a 2＝2a +1，故答案为：2a +1【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【巩固2】（2019•静安区二模）计算（1﹣a ）（﹣1﹣a ）的结果是（ ）A ．a 2﹣1B ．1﹣a 2C ．a 2﹣2a +1D ．﹣a 2+2a ﹣1 【答案】解：原式＝（﹣a ）2﹣12＝a 2﹣1，故选：A ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．例20.下列计算结果正确的是（ ）A ．428a a a =B ．()246a a =C ．()222ab a b =D ．()222a b a b -=- 【答案】C【解析】对A 选项，同底数幂的的乘法运算，42426a a a a +⋅==，A 错误；对B 选项，幂的乘方运算，()24428a a a ⨯==，B 错误；对C 选项，积的乘方运算，C 正确；对D 选项， 完全平方公式，()2222a b a b ab -=+-，D 错误；故选C ．【总结】考查幂的运算．例21. （1）计算：52a a ÷=______．（2）计算：3242a b ab ÷=______．（3）计算：2(3)m m -=______．（4）计算：()23m n -=______． 【答案】（1）3a ；（2）22a b ；（3）226m m -；（4）62m n ．【解析】（1）52523a a a a -÷==；（2）()323121242422a b ab a b a b --÷=÷=；（3）22(3)22326m m m m m m m -=⋅-⋅=-；（4）()()2233262m n m n m n -=⋅=． 【总结】考查幂的运算和整式的乘法计算．【巩固1】．（2019•松江区二模）下列计算正确的是（ ）A ．a 2+a 2＝a 4B ．（2a ）3＝6a 3C ．3a 2•（﹣a 3）＝﹣3a 5D ．4a 6÷2a 2＝2a 3． 【答案】解：A ．a 2+a 2＝2a 2，此选项错误；B ．（2a ）3＝8a 3，此选项错误；C ．3a 2•（﹣a 3）＝﹣3a 5，此选项正确；D ．4a 6÷2a 2＝2a 4，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则及单项式的乘方、乘法和除法法则．【巩固2】（2019•徐汇区二模）在下列各式中，运算结果为x 2的是（ ）A ．x 4﹣x 2B ．x 4•x ﹣2C ．x 6÷x 3D ．（x ﹣1）2 【答案】解：x 4与x 2不是同类项，不能合并，A 选项错误；x 4•x ﹣2＝x 2，B 选项正确； x 6÷x 3＝x 3，C 选项错误；（x ﹣1）2＝x ﹣2，D 选项错误； 故选：B ．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．【巩固3】（2019•普陀区二模）下列计算中，正确的是（ ）A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a6C．2a•3a＝6a2D．2a+3a＝5a2【答案】解：（a2）3＝a6，A选项错误；a2•a3＝a5，B选项错误；2a•3a＝6a2，C选项正确；2a+3a＝5a，D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．【巩固4】（2019•黄浦区二模）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．a2•a3＝a5C．（2a）2＝4a D．a6÷a3＝a2【答案】解：A、（a2）3＝a6，错误；B、a2•a3＝a5，正确；C、（2a）2＝4a2，错误；D、a6÷a3＝a3，错误；故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．【巩固5】（2019•静安区一模）化简（﹣x3）2的结果是（）A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x5【答案】解：原式＝x6，故选：C．【点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【巩固6】（2017•上海）计算：2a•a2＝2a3．【答案】解：2a•a2＝2×1a•a2＝2a3．故答案为：2a3．【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键【巩固7】（2019•奉贤区二模）计算：m3÷（﹣m）2＝m．【答案】解：m3÷（﹣m）2＝m3÷m2＝m．故答案为m．【点睛】本题考查了同底数幂相除，正确运用同底数幂相除法则是解题的关键．【巩固8】．（2019•金山区二模）计算：a 2÷a ﹣2＝ a 4 ． 【答案】解：a 2÷a ﹣2＝a 2﹣（﹣2）＝a 4，故答案为：a 4．【点睛】本题考查的是同底数幂的除法、负整数指数幂，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．【巩固9】（2019•崇明区二模）计算：（2x ）2＝ 4x 2 ．【答案】解：（2x ）2＝4x 2．故答案为：4x 2．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．例22.（1）分解因式：236x x -=______．（2）分解因式：229x y -=______．（3）分解因式：22ma mb -=______．（4）分解因式：2215x x --=______．【答案】（1）()32x x -；（2）()()33x y x y +-；（3）()()m a b a b +-；（4）()()53x x -+．【解析】（1）提公因式法：()23632x x x x -=-；（2）公式法，平方差公式：()()()22229333x y x y x y x y -=-=+-；（3）先提公因式，后用平方差：()()()2222ma mb m a b m a b a b -=-=+-；（4）十字相乘法：()()221553x x x x --=-+．【总结】考查整式的因式分解，注意分解彻底和方法的合理选择．例23.在实数范围内分解因式：32a a -=______．【答案】(a a a ．【解析】()(3222a a a a a a a -=-=．【总结】考查在实数范围内分解因式，在方程有实数根的前提下可在实数范围分解因式，即()()212ax bx c a x x x x ++=--．【巩固1】（2019•静安区二模）如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞4．【答案】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，∴m＞4．故答案为：m＞4．【点睛】本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，属于比较简单的问题．【巩固2】（2019•金山区二模）因式分解：a3+2a＝a（a2+2）．【答案】解：a3+2a＝a（a2+2），故答案为a（a2+2）．【点睛】本题考查了因式分解，正确提取公因式是解题的关键．【巩固3】（2019•浦东新区二模）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．【答案】解：a2﹣2ab+b2﹣4＝（a﹣b）2﹣4＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．故答案为：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．【点睛】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．【巩固4】（2019•闵行区二模）分解因式：x2﹣9x＝x（x﹣9）．【答案】解：原式＝x•x﹣9•x＝x（x﹣9），故答案为：x（x﹣9）．【点睛】本题考查了提公因式法因式分解的知识，解题的关键是首先确定多项式各项的公因式，然后提取出来．【巩固5】（2019•徐汇区二模）在实数范围内分解因式x3﹣4x的结果为x（x+2）（x﹣2）．【答案】解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，正确运用各种方法是解题的关键．例24.下列代数式中，属于分式的是（ ）A ．3-B ．12a b -C ．1xD ．34a b -【答案】C【解析】根据分式的概念，分母含有未知数的代数式是分式，可知选C ．【总结】考查分式的概念．例25.如果分式242x x -+的值为零，那么x 的值为______． 【答案】2【解析】分式值为0，则有24020x x ⎧-=⎨+≠⎩，解得：2x =． 【总结】考查分式值为0的条件，注意分母一定不能为0．例26.（1）计算：b a a b b a+=--______． （2）化简分式：226x x x -+-=______． 【答案】（1）1-；（2）13x +． 【解析】（1）原式()1a b b a b a a b a b a b a b---=-===-----； （2）原式()()21323x x x x -==+-+． 【总结】考查分式的化简和加减计算．例27.下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D【答案】D【解析】根号中不含有开方开的尽的数或字母的式子是最简二次根式，且不能含有分母，=3=，可知A 、B 、C 都不是最简二次根式，选D ． 【总结】考查最简二次根式的概念．例28.=______．【答案】=【总结】考查二次根式的化简计算．例29.是同类二次根式的是（）A B C D【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式，A选项被开方数是2a2=，是同类二次根式，故选C．【总结】考查同类二次根式的概念，注意是化成最简二次根式以后．例30.（1b的一个有理化因式：________．（2）A B C1D1【答案】（1b；（2）B【解析】根据有理化因式的概念，两个含有二次根式的非零代数式相乘，积不含有根号的两个式子互为有理化因式，可知（1b，根据平方差公式，可知积不含有根号，可知两式互为有理化因式；（2）类型选择这个根式的倍数，故选B．【总结】考查有理化因式的概念．【巩固1】x的值是（）A．1-B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，可知23x=，故选C．+=，解得：1x x【总结】考查根据同类二次根式的概念求解未知数的值．【巩固2】（2019•上海）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是√3．【答案】解：∵正方形的面积是3，∴它的边长是√3．故答案为：√3【点睛】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定义【巩固3】（2019•普陀区二模）如果a＝2，b＝﹣1，那么代数式√2a−b的值等于√5．【答案】解：∵a ＝2，b ＝﹣1，∴原式=√4+1=√5，故答案为：√5；【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键熟练运用算术平方根的定义是，本题属于基础题型【巩固4】（2019•静安区二模）如果√x x有意义，那么x 的取值范围是 x ＞0 ． 【答案】解：由题意可知：{x ≥0x ≠0， 解得：x ＞0，故答案为：x ＞0．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．【巩固5】（2019•金山区二模）化简：√a 3b 24（b ≥0）的结果是ab √a 2 ．【答案】解：√a 3b 24=ab √a 2， 故答案为：ab √a 2．【点睛】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握相关知识是解题的关键．【巩固6】（2019•杨浦区三模）计算：√18+√32= 7√2 ．【答案】解：原式＝3√2+4√2=7√2．故答案为：7√2【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握法则是解本题的关键．【巩固7】（2019•青浦区二模）如果二次根式√x −3有意义，那么x 的取值范围是 x ≥3 ．【答案】解：∵二次根式√x −3有意义，∴x ﹣3≥0，∴x ≥3．故答案为：x ≥3．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.例31.化简求值：221412x x x x x x-+--+，其中1x =．【答案】化简结果为1x x+，代值计算得：2+ 【解析】化简分式，原式()()()221121121x x x x x x x x x x x x +-+++=⋅-=-=-+，将1x =代入，即得)112x x +===+． 【总结】考查分式的化简和代值计算．【巩固1】先化简，再求值：2222211a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭，其中1a ，1b =．【答案】化简结果ab a b+． 【解析】化简分式，原式()()()2a b a b a b ab ab a b a b ab a b a b a b---=÷=⋅=+-+-+，将1a ，1b =代入，即得11ab a b -===+． 【总结】考查分式的化简和代值计算．【巩固2】化简，再求值：2x =【答案】化简结果1x x -【解析】化简分式，原式221x x x x x ===--，将2x =()211x x ==+=- 【总结】考查分式的化简和代值计算． 【巩固3】（2018•上海）先化简，再求值：（2a a 2−1−1a+1）÷a+2a 2−a ，其中a =√5． 【答案】解：原式＝[2a （a+1）（a−1）−a−1（a+1）（a−1）]÷a+2a （a−1） =a+1（a+1）（a−1）•a （a−1）a+2 =a a+2，当a =√5时，原式=√5√5+2=√5（√5−2（5+2）（5−2）=5﹣2√5．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 【巩固4】（2019•长宁区二模）先化简，再求值：x 2−4x 2+2x÷（x 2+4x−4），其中x =√3．【答案】 解：原式=（x+2）（x−2）x （x+2）÷x 2−4x+4x =x−2x⋅x（x−2）2=1x−2． 当x =√3时，原式=1x−2=3−2=−√3−2． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，即化简求值，解题的关键是掌握运算顺序，会化简分式． 【巩固5】（2019•奉贤区二模）先化简，再求值：xx−1−x 2−6x+9x 2−1÷x−3x+1，其中x =√2．【答案】解：原式=x x−1−（x−3）2（x+1）（x−1）•x+1x−3=x x−1−x−3x−1 =3x−1，当x =√2时，原式=2−1=3√2+3． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【巩固6】（2019•崇明区二模）先化简，再求值：2a+2a−1÷（a +1）−a−1a 2−2a+1，其中a =√2．【答案】 解：原式=2（a+1）a−1•1a+1−a−1（a−1）2 =2a−1−1a−1 =1a−1，当a =√2时，原式=2−1=√2+1． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分母有理化法则是解题的关键．【巩固7】（2019•杨浦区三模）先化简，再计算：x 2−x−2x⋅1x−2−2x+2x +x，其中x =√2+1．【答案】 解：原式=（x+1）（x−2）x •1x−2−2（x+1）x （x+1）=x+1x −2x =x−1x， 当x =√2+1时， 原式=√2√2+1=2−√2．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【巩固8】（2019•徐汇区二模）计算：√8+（√3−1）−1+|√2−√3|−（−√3）2．【答案】 解：原式＝2√2+13−1+（√3−√2）﹣3 ＝2√2+√3+12+√3−√2−3=32√3+√2−52．【点睛】本题考查了根式化简，熟练掌握分母有理化与最简二次根式化简是解题的关键.【习题1】 下列分数中，能化为有限小数的是（ ）A ．327B ．214C ．1352D ．115【答案】C【解析】一个最简分数，分母中只含有2或5的因数，这个分数可化作有限小数，D 是最简 分数，不满足条件；31279=，21147=，131524=，可知C 选项满足要求． 【总结】考查可化作有限小数的分数，注意前提是最简分数． 【习题2】 下列各数中，是无理数的是（ ）AB ．2πC ．247D 【答案】B【解析】根据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，π是无理数，2π也是无理数．【总结】考查无理数的概念和区分． 【习题3】 计算3(2)-的结果是（ ）A ．6B ．6-C ．8D ．8-【答案】D【解析】()()()()322228-=-⨯-⨯-=-，故选D ． 【总结】考查乘方的意义和相关计算． 【习题4】 （1）计算：129- =______． （2）计算：22-=______． （3）计算：124=______．（42=______．【答案】（1）13；（2）14；（3）2；（4）2-【解析】（1）12193-==；（2）2211224-==；（3）1242==；（422=【总结】考查分数指数幂和负数指数幂的相关计算． 【习题5】 用科学记数法表示：3402000 = ________． 【答案】63.40210⨯．【解析】根据科学计数法的表示方法，科学计数法的次数为首位后面所有整数部分的个数， 可知本题次数为6次，即63402000 3.40210=⨯． 【总结】考查科学计数法的表示方法．【习题6】 下列等式成立的是（ ）A ．2222-=-B ．632222÷=C ．325(2)2=D ．021=【答案】D 【解析】对A 选项，负指数幂，2211224-==，224-=-，A 错误；对B 选项，同底数幂的 除法，636332222-÷==，B 错误；对C 选项，幂的乘方，()23326222⨯==，C 错误； 对D 选项，任何非零数的零次幂都等于1，D 正确．【总结】考查幂的相关计算．【习题7】 下列各整式中，次数为5次的单项式是（ ）A ．4xyB ．5xyC ．4x y +D ．5x y +【答案】A【解析】C 、D 是多项式，错误；根据单项式次数的概念，所以字母的指数和是单项式的次 数，A 选项次数为145+=，B 选项次数为156+=，故选A ． 【总结】考查单项式的次数的概念． 【习题8】 下列计算中，正确的是（ ）A ．()325a a =B ．321a a ÷=C ．224a a a += D ．43a a a -=【答案】D【解析】对A 选项，幂的乘方，()32236a a a ⨯==，A 错误；对B 选项，同底数幂的除法，3232a a a a -÷==，B 错误；对C 选项，合并同类项计算，()2222112a a a a +=+=，C错误；对D 选项，合并同类项计算，()4343a a a a -=-=，D 正确． 【总结】考查幂的乘法和合并同类项的相关计算． 【习题9】 用代数式表示：a 的5倍与b 的27的差：___________． 【答案】257a b -．【总结】考查代数式的表示，注意连接词表示的先后顺序． 【习题10】 （1）计算：2(2)x x --=______．（2）计算：()()22a b a b +-=_____．【答案】（1）224x x -+；（2）224a b -．【解析】（1）原式()()222224x x x x x =⋅--⋅-=-+；（2）()()()22222224a b a b a b a b +-=-=-． 【总结】考查整式的乘法计算和乘法公式的应用． 【习题11】 （1）因式分解：2a a -=______． （2）因式分解：2288x x -+=______． （3）因式分解：3x x -=______．（4）分解因式：2269x xy y -+=________________．【答案】（1）()1a a -；（2）()222x -；（3）()()11x x x +-；（4）()23x y -．【解析】（1）提公因式法：()21a a a a -=-；（2）先提公因式，后完全平方：()()()22222288244222222x x x x x x x -+=-+=-⋅⋅+=-； （3）先提公因式，后用平方差：()()()32111x x x x x x x -=-=+-；（4）公式法，完全平方公式：()()22222692333x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=-． 【总结】考查整式的因式分解，注意分解彻底和方法的合理选择．【习题12】 ）ABCD【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念，被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式，=C ．【总结】考查同类二次根式的概念，注意是化成最简二次根式以后．【习题13】 二次根式a + ）A ．2(a +B ．2(aC ．aD ．a 【答案】C 【解析】根据有理化因式的概念，两个含有二次根式的非零代数式相乘，积不含有根号的两 个式子互为有理化因式，可知答案不唯一，一般改变式子各项中间的符号，即选择b ，根据平方差公式，可知积不含有根号，故选C ．【总结】考查有理化因式的概念．【习题14】 （1）计算：)1134811-+-+．（2）0cot 30tan 45π-︒-︒．（3）计算：2212323tan 601-⎛⎫-+- ⎪︒-⎝⎭．【答案】（1）1；（2）2π-；（3）1-． 【解析】（1）原式()))13312112111=+-=+-+=；（2）原式())31112ππ=-++=-；（3）原式)2923211=-+-==-【总结】考查实数和特殊角的锐角三角比结合的四则混合计算．【习题15】 化简：22221121(1)x x x x x x x x x +⎛⎫-÷+ ⎪--+-⎝⎭． 【答案】11x x +- 【解析】原式()()()()()22222221111111111x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+++=-⋅+=-+=⎢⎥-------⎢⎥⎣⎦． 【总结】考查分式的化简．【习题16】 先化简，再求值:222221412x x x x x x x x-+--+-+，其中1x =-．【答案】化简结果2x1． 【解析】化简分式，原式()()()()()21221121212x x x x x x x x x x x x x x-+---=-+=-+=-+，将1x 代入，即得21x =． 【总结】考查分式的化简和代值计算．。
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2020年中考数学三轮冲刺聚焦考点+名师点睛+能力提升专题03 函数与分析讲练测模块一：平面直角坐标系【例1】在平面直角坐标系中，若点P（2x-，x）在第二象限，则x的取值范围为____________．【例2】如果点P（a，b）在第四象限，那么点Q（ab-）所在的象限是( )-，4A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例3】直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，那么点P的坐标是____________．【例4】点M（3，1）和点N（3，1-）关于______轴对称．【例5】点P（1-，3）关于原点中心对称的点的坐标是( )A．（1-，3-）B．（1，3-）C．（1，3）D．（3，1-）【巩固1】（2019•杨浦区三模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2），将点A向右平移4个单位，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，2）【巩固2】（2019春•普陀区期末）如果点A（a，b）在第二象限，那么a、b的符号是（）A．0＞a，0＞b B．0＜a，0＞b C．0＞a，0＜b D．0＜a，0＜b【巩固3】（2019春•浦东新区期末）已知点P（2﹣a，3a+10）且点P到两坐标轴距离相等，则a＝．【巩固4】（2018秋•长宁区期末）直角坐标平面内的两点P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为．【巩固5】（2019春•长宁区期末）已知点M（a，b）是直角坐标平面内的点，若ab＞0，则点M在第象限．模块二：函数的有关概念【例6】 函数12y x x=+-的定义域是__________．【例7】 函数y =的定义域是____________． 【例8】 函数y =的定义域为__________．【例9】 函数12y x =-的定义域是________． 【例10】 已知()1xf x x =-，那么()3f =______．【例11】 已知函数()f x f =______．【例12】 已知函数()f x =，若()3f x =，那么x =______． 【巩固1】（2019•上海）已知2()1f x x =-，那么(1)f -= ．【巩固2】（2019•杨浦区三模）函数11x =+的定义域是 ． 【巩固3】（2019秋•青浦区校级期中）圆周长公式2C R π=中，下列说法正确的是( ) A ．π、R 是变量，2为常量 B ．C 、R 为变量，2、π为常量 C ．R 为变量，2、π、C 为常量D ．C 为变量，2、π、R 为常量【巩固4】（2019•浦东新区二模）已知函数()f x =(2)f -= ．【巩固5】（2019•松江区二模）已知函数2()f x x=，那么f f ．（填“>”、“ =”或“<” ) 【巩固6】（2019•崇明区二模）已知函数1()5x f x x -=+，那么f （3）= ． 【巩固7】（2019•普陀区二模）函数131y x =-的定义域是 ． 【巩固8】（2019•闵行区二模）已知函数()1xf x x =+，那么(2)f -= ．【巩固9】（2019秋•浦东新区期末）已知函数3()f x x x=+，那么f = ． 9．（2019秋•金山区期末）已知函数1()x f x x-=，则f （2）= ．【巩固10】（2019秋•徐汇区校级月考）函数y 的自变量x 的取值范围是 ． 【巩固11】（2019秋•徐汇区校级月考）已知函数()f x =，那么f （3）= ．【巩固12】（2019秋•青浦区校级期中）已知函数3()221f x x x =--，则f （1）= ．模块三：正比例函数与反比例函数【例13】 如果一个正比例函数的图像过点（2，4-），那么这个正比例函数的解析式为______． 【例14】 如果反比例函数的图像经过点（3，4-），那么这个反比例函数的比例系数是______． 【例15】 下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是( )A ．3y x =B ．3y x =-C ．3y x =D ．3y x=-【例16】 如果在组成反比例函数1ky x-=图像的每条曲线上，y 都随x 的增大而增大，那么k 的取值范围是____________．【例17】 关于反比例函数2y x=的图像，下列叙述错误的是( ) A ．y 随x 的增大而减小 B ．图像位于一、三象限C ．图像是轴对称图形D ．点（1-，2-）在这个图像上【例18】 在同一直角坐标系中，若正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2ky x =的图像没有公共点，则( )A ．120k k <B ．120k k >C ．120k k +<D ．120k k +>【例19】 反比例函数ky x=的图象经过点（1-，2），A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是图像上另两点，其中120x x <<，则1y 、2y 的大小关系是___________．【例20】 若点A （1，1y ）和点B （2，2y ）都在正比例函数y kx =（0k >）图像上，则1y ______2y （选择“>”、“<”、“=”填空）．【例21】 某反比例函数的图像经过点（2-，3），则此函数图像也经过点( )A ．（2，3）B ．（3-，3-）C ．（2，3-）D ．（4-，6）【例22】 如图，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2，写出一个函数ky x=（0k ≠），使它的图像与正方形OABC 的边有公共点，这个函数的解析式可以是____________．【例23】 已知双曲线ky x=经过点A （a ，4a +）和点B （2a ，21a -），求k 和a 的值．【例24】 某山山脚的M 处到山顶的N 处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M 走到N ，停留后再原路返回，其间小李离开M 处的路程y 米与离开M 处的时间x 分之间的函数关系如图中折线OABCD 所示．（1）求上山时y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）已知小李下山的时间共26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2 : 3，试求点C 的纵坐标．【例25】 某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图,线段OA 和OB 分别表示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1w （张）和每个无人售票窗口售出的车票数2w （张）关于售票时间t （小时）的函数图ABCO x y ABCDO x （分）600象．（1）求1w （张）与t （小时）的函数解析式；（2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上午11点，两种窗口共售出的车票数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个数？【例26】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图像经过A （0，2-），B （1，0）两点，与反比例函数my x=（0m ≠）的图像在第一象限内交于点M ，若OBM ∆的面积是2． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P 是x 轴正半轴上一点且90AMP ∠=︒，求点P 的坐标．【例27】 如图，已知点A 在反比例函数ky x=的图像上，点B 在x 轴的正半轴上，且OAB ∆是面积为3的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是_________________．tw 240 3 2 w 2w 1BA 1 180yxO A MBH P模块四：一次函数【例28】 在平面直角坐标系中，将正比例函数y kx =（0k >）的图像向上平移一个单位，那么平移后的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例29】 在平面直角坐标系中，直线1y x =-经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【例30】 如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A ．k > 0，b > 0B ．k > 0，b < 0C ．k < 0，b > 0D ．k < 0，b < 0【例31】 将直线213y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的截距为______．【例32】 把直线2y x =-+向上平移3个单位，得到的直线表达式是__________________．【例33】 如果直线y kx b =+（0k >）是由正比例函数y kx =的图像向左平移1个单位得到，那么不等式0kx b +>的解集是______．【例34】 已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出一个符合上述条件的一次函数解析式 为__________________．【例35】 当x = 2，不论k 取任何实数，函数()23y k x =-+的值为3，所以直线()23y k x =-+一定经过定点（2，3）；同样，直线(3)2y k x x =-++一定经过的定点为____________．【例36】 已知一次函数的图像经过点P （3，5），且平行于直线2y x =． （1）求该一次函数的解析式；（2）若点Q （x ，y ）在该直线上，且在x 轴的下方，求x 的取值范围.ABOxy H【例37】已知气温的华氏度数y是摄氏度数x的一次函数．如图所示是一个家用温度表的表盘．其左边为摄-℃与氏温度的刻度和读数（单位℃），右边为华氏温度的刻度和读数（单位℉）．观察发现表示40-℉的刻度线恰好对齐（在一条水平线上），而表示0℃与32℉的刻度线恰好对齐．40（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）当华氏温度为104℉时，温度表上摄氏温度为多少？【例38】某商店试销一种成本为10元的文具.经试销发现，每天销售件数y（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）【例39】某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本 = 每吨的成本⨯生产数量）【例40】 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回甲地．设汽车从甲地出发x （h ）时，汽车与甲地的距离为y （km ），y 与x 的关系如图所示．根据图像回答下列问题： （1）汽车在乙地卸货停留（h ）；（2）求汽车返回甲城时y 与x 的函数解析式，并写出定义域； （3）求这辆汽车从甲地出发4 h 时与甲地的距离．【例41】 在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y （米）与施工时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）求乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；O xy 610 1040 x y O 1202 2.5 5（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？【例42】 货车在公路A 处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A 处相距360千米的B 处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内剩余油量y （升）与行驶时间x （时）之间关系：（1）如果y 关于x 的函数是一次函数，求这个函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）【例43】 某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示．根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求营销员的个人月收入y 元与该营销员每月的销售量x 万件（0x ）之间的函数关系式； （2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月行驶时间x （时） 0 1 2 3 4 余油量y （升）1501209060306 2 O x (时)y (米) 3060 乙甲 50的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（2 1.414≈，保留到百分位）．【例44】在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A（2，0），点P（1，m）（m > 0）和点Q关于x轴对称．（1）求证：直线OP // 直线AQ；（2）过点P作PB // x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．【例45】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y kx b=+与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）.（1）求直线AB的表达式和线段AB的长；（2）将OAB∆绕点O逆时针旋转90︒后，点A落到点C处，点B落到点D处，求线段AB上横坐标为a的xy0252400800O1234512345xy点E 在线段CD 上的对应点F的坐标（用含a的代数式表示）.【巩固1】（2018•上海）如果一次函数3(y kx k=+是常数，0)k≠的图象经过点(1,0)，那么y的值随x的增大而．（填“增大”或“减小”)【巩固2】（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线12y x=，且经过点(2,3)A，与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC BC=时，求点C的坐标．【巩固3】（2019•青浦区二模）如果一次函数(y kx b k=+、b是常数，0)k≠的图象经过第一、二、三象限，那么k、b应满足的条件是()A．0k>且0b>B．0k>且0b<C．0k<且0b>D．0k<且0b<【巩固4】（2019•浦东新区二模）直线27y x=-不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【巩固5】（2019•虹口区二模）已知一次函数(3)3y a x=-+，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为()1212ABCDA ．3a <B ．3a >C ．3a <-D ．3a >-．【巩固6】（2019•松江区二模）如图，一次函数y kx b =+的图象经过点(1,0)-与(0,2)，则关于x 的不等式0kx b +>的解集是( )A ．1x >-B ．1x <-C ．2x >D ．2x <【巩固7】（2019•闵行区二模）已知直线y kx b =+经过第一、二、四象限，那么直线y bx k =+一定不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【巩固8】如果0k <，0b >，那么一次函数y kx b =+的图象经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限【巩固9】（2019•杨浦区三模）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象如图所示，如果0y ，那么x 的取值范围 ．【巩固10】（2019•静安区二模）已知正比例函数2y x =-，那么y 的值随x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小” )【巩固11】（2019•松江区二模）如果将直线31y x =-平移，使其经过点(0,2)，那么平移后所得直线的表达式是 ．【巩固12】如果当0a ≠，0b ≠，且a b ≠时，将直线y ax b =+和直线y bx a =+称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1,4)的一对“对偶直线”： ．【巩固13】（2019•徐汇区二模）如果函数y kx b =+的图象平行于直线31y x =-且在y 轴上的截距为2，那么函数y kx b =+的解析式是 ．【巩固14】（2019•奉贤区二模）如果正比例函数(3)y k x =-的图象经过第一、三象限，那么k 的取值范围是 ．【巩固15】（2019秋•金山区期末）已知y 与23x -成正比例，且当4x =时，10y =，求y 与x 的函数解析式．【巩固16】（2019春•金山区期末）已知一次函数的图象经过(2,2)M ，且平行于直线21y x =--，求这个函数图象与坐标轴围成的三角形面积．【巩固17】（2019春•浦东新区期中）已知直线1l 与直线2:25l y x =+平行，且直线1l 与x 轴交点的横坐标、与y 轴交点的纵坐标两者之和为2-． （1）求直线1l 的截距；（2）求直线1l 与两坐标轴围成的直角三角形的面积模块五：二次函数【例46】 如果抛物线()223y a x x a =-+-的开口向上，那么a 的取值范围是____________．【例47】 如果抛物线21y x m =++的顶点是坐标轴的原点，那么m =______． 【例48】 抛物线222y x x m =-++-与y 轴的交点为（0，4-），那么m =______． 【例49】 二次函数22y x x b =-+的对称轴是直线x =______．【例50】 如果抛物线2221y ax a x =+-的对称轴是直线1x =-，那么实数a =______．【例51】 如果函数2y x m =-的图像向左平移2个单位后经过原点，那么m =______．【例52】 如果将抛物线()221y x =-+向左平移1个单位后经过点A （1，m ），那么m 的值是______．【例53】 如果函数()y f x =的图像沿x 轴的正方向平移1个单位后与抛物线223y x x =-+重合，那么函数()y f x =的解析式是________________．【例54】 将抛物线22y x =-向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为_____________________．【例55】 （1）二次函数23y x =+图象的顶点坐标是______． （2）抛物线2242y x x =+-的顶点坐标是______．【例56】 如果抛物线()21y a x h =-+经过A （0，4），B （2，m ），那么m 的值是______．【例57】 若A （32-，1y ）、B （25，2y ）是二次函数()21y x =--1y ______2y （填“>”或“<”或“=”）．【例58】 右侧y 随x 的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是_________________（只要写出一个符合条件的解析式）．【例59】 已知一个二次函数的图像经过A （0，1-）、B （1，5）、C （1-，3-）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法把这个二次函数化为2()y a x m k =++的形式．【例60】 如图，抛物线2122y x bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A （1，0）和点B （点B 在点A 右侧）．（1）求该抛物线的顶点D 的坐标； （2）求四边形CADB 的面积．【巩固1】（2018•上海）下列对二次函数2y x x =-的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的【巩固2】（2019•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线22y x x =-，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线22y x x =-的“不动点”的坐标；②平移抛物线22y x x =-，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．A B CO x y【巩固3】（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【习题1】 （1）函数121y x =-的定义域是__________．（2）函数y =______．【习题2】 已知函数()f x =()2f -=______． 【习题3】 下列函数中，图像经过第二象限的是( )A ．2y x =B ．2y x= C ．2y x =-D ．22y x =-【习题4】 已知点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ）在反比例函数ky x=的图像上，如果当120x x <<，可得12y y <，那么k ______0（填“>”、“=”、“<”）．【习题5】 已知反比例函数ky x=（0k ≠）的图像经过点（1，2），那么反比例函数的解析式是____________．【习题6】 直线y kx b =+（0k ≠）平行于直线12y x =且经过点（0，2），那么这条直线的解析式是______________．【习题7】 抛物线281y x x =--的对称轴为（ ）A ．直线4x =B ．直线4x =-C ．直线 8x =D ．直线8x =-【习题8】 将抛物线2y x =向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（ ）A ．()23y x =- B ．()23y x =+C ．23y x =-D ．23y x =+【习题9】 已知抛物线()21y x =-+上的两点A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ），如果121x x <<-，那么下列结论一定成立的是（ ）A ．120y y <<B ．120y y <<C ．210y y <<D ．210y y <<【习题10】 周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y (km)与小明离家时间x (h)的函数图像．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．（1）小明骑电动自行车的速度为____千米/小时，在甲地游玩的时间为____小时； （2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？【习题11】 在平面直角坐标系xOy 中，过点A （4-，2）向x 轴作垂线，垂足为B ，联结AO 得到AOB ∆，过边AO 中点C 的反比例函数ky x=的图像与边AB 交于点D ．10 y (km )x (h )O0.51（1）求反比例函数的解析式； （2）求直线CD 与x 轴的交点坐标．【习题12】 已知弹簧在其弹性限度内，它的长度y （厘米）与所挂重物质量x （千克）的关系可表示为y kx b=+的形式，其中k 称为弹力系数，测得弹簧A 的长度与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图1所示.（1）求弹簧A 的弹力系数；（2）假设在其它条件不变的情况下，弹簧的弹力系数k 与弹簧的直径d （如图2所示）成正比例.已知弹簧B 的直径是弹簧A 的1.5倍，且其它条件均与弹簧A 相同（包括不挂重物时的长度）.当弹簧B 挂一重物后，测得此时弹簧长度为9厘米，求该重物的质量【习题13】 已知一水池的容积V （公升）与注入水的时间t （分钟）之间开始是一次函数关系，表中记录的是这段时间注入水的时间与水池容积部分对应值．x yA BCD Oy （厘米）x （千克）810 48 O图1d 图2（1）求这段时间时V关于t的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）从t为25分钟开始，每分钟注入的水量发生变化了，到t为27分钟时，水池的容积为726公升，如果这两分钟中的每分钟注入的水量增长的百分率相同，求这个百分率．【习题14】某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的12，但又不少于英雄牌钢笔的数量的14，如果他们买了宝克牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元．（1）请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？【习题15】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1122y x=+与x轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图像交于点B，BC垂直于x轴，垂足为点C，且OC = 2AO．求：（1）点C 的坐标； （2）反比例函数的解析式．xyA BCO。