2020-2021学年度北京人大附中九年级数学10月月考试题(pdf 无答案)
人大附中2020届初三第一学期10月月考数学试题
人大附中2020届初三第一学期10月月考数学试卷2020.10第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 一元二次方程2230x x --=的二次项系数，一次项系数、常数项分别是( )A. 2，1，3B.2，1,-3C.2，-1，3D.2，-1，-32. 如图，圆O 的弦中最长的是( )A. ABB. CDC. EFD. GH3. 抛物线21y x =-的顶点坐标是( )A(0，0)B.(0，-1) C . (0，1) D.(-1，0)4、用配方法解方程2250x x --=，配方正确的是( )A.2(1)4x -= B. 2(1)4x +=C. 2(1)6x -=D. 2(1)6x +=5.第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市.下面的图形是各界冬奥会会徽中的部分图案，其中是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )6.方程2210x x +-=的根的情况是( )A 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实根C.无实数根D.无法确定7.如图，将△ABC 绕点C 逆时针转，得到△CDE ，若点A 的对应点D 恰好在线段AB 上，且CD 平分∠ACB ，记线段BC 与DE 的交点为F.下列结论中，不正确的是( )A.CA=CDB.△CDF ≌△CDAC.∠BDF=∠ACDD ，DF=EF8.在平面直角坐标系xOy 中，对于自变量为x 的1y 和2y ，若当-1≤x≤1时，都满足121y y -≤成立，则称函数1y 和2y 互为“关联的”.下列函数中，不与2y x =互为“关联的”的函是( )A. 21y x =-B. 22y x =C.()21y x =-D. 21y x =-+二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9、点(-2，3)关于原点的对称点的坐标为10、写出一个对称轴为y 轴的二次函数的表达式11、若关于x 的方程2240x kx k ++-=的一个根是1，则k 的值为12、如图，AB 是⊙O 的弦，直径CD ⊥AB 于点H ，若⊙O 的半径为10，AB=16，则DH 的长为13、已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则a0,24b ac -0（两空均选填“>”，“=”，“<”）14、如果m 是方程232020x x +=的根，那么代数式()()2211m m m +--的值为15、已知二次函数2y ax bx c =++中的x 和y 满足下表：根据图表中信息推断，方程100ax bx c ++-=的根为16.如图，在正方形ABCD 中，点E 在线段BC 上，且满足CE-=2BE ，过点B 作AE 的垂线，与CD 交于点F ，点P 、Q 分别为线段AE 和BF 的中点，连接PQ ，若PQ=2，则正方形ABCD 的边长为三、解答题(本题共60分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22题6分，第23-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分)解答应写出文字，说明演算步骤或证明过程 17.解方程：25738x x x ++=+18.求抛物线22y x x =-与x 的交点坐标，并在坐标系中画出图像.19.如图，△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在直线BC 上，F 在BA 的延长线上，且满足BF=CE ，∠E=∠F.求证：AE=DF.20.已知关于x 的一元二次方程()2330.mx m x -++=（1）求证：无论m 为何值，x =1都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数的值.21.如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A(3，1)，B(2，3)，C(2，1)，将△ABC 绕平面内的某个点P 逆时针旋转α(0°<α<180°)角度后，得到△DEF ，其中点A 、B 、的对应点为D(0，2)，E(-2.1)， (1)在图中标出点P 的位置，并画出旋转后的△DEF ； (2) 旋转角α的度数为°；(3)小宇尝试通过运用若干次轴对称变换来代替上面的旋转过程，他写出了一种变换的方法，请将其补全：先将△ABC 关于直线x =1对称，再将所得的图形再关于直线（填直线的表达式）对称得到△DEF22.小宇遇到了这样一个问题：表达式为2y ax c =+(1)写出M ，C 、N 、F 四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式(3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题.23.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点M ，过点D 作DE ⊥CD 交⊙O 于点E ，若M 为CD 的中点.(1)求证：DE ∥AB ；(2)连接AD ，OE ，若OE ∥AD ，求∠BAD 的度数.24.小宇在学习过程中遇到一个函数21(21)2y x x x =--+-下面是小宇对其探究的过程，请补充完整： (1)对于函数11y x =-，图像关于直线x =1对称：对于二次函数2221y x x =-+，图像的对称轴为;综合上述分析，进一步探究发现，函数y 的图像也是轴对称图形，其对称轴为.(2)如图，在平面直角标系xOy 中画出了函数y 的部分图像，用描点法将这个函数图像补充完整.(3)结合函数图像和解式的分析，小宇得出以下三个结论：①函数y 有最小值，没有最大值；②函数y 的图像与轴的负半轴交点的横坐标P 满足112P -<<-； ③12()()M x m N x n ，，，函数y 图像上的两点，若12x x <，且122x x +>，则一定有m <n ， 所有正确结论的序号是25.在平面直角坐标系x O y 中，点A(t ，2)(t ≠0)在二次函数2)0(2y ax bx a =++≠的图像上，(1)当t =2时，求二次函数对称轴的表达式；(2)若点B(5-t ，0)也在这个二次函数的图像上，结合函数图像作答： ①当这个函数的最小值为0时，求t 的值;②若在0≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大，直接写出t 的取值范围.26.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=α，点P 为∠ACB 平分线上的一动点，且满足PC<PA.连接PA ，PB ，以P 为中心，将线段PB 旋转，得到线段PD ，使点D 在AC 的延长线上. (1)依题意补全图形；(2)求证：①PA=PB ；②∠BPD=∠BCD ；(3)过点D 作PC 的垂线，与PC 的延长线交于点E ，写出一个α的值，使得对于任意符合条件的点P ，都有PE AC是一个定值，画出图形，并求出这个定值，27、在平面直角坐标系x O y 中，已知y 是x 的函数，对于这个函数图像上的一点A(a ，b )和给定的实数t (t >0)，若这个函数在a x a t ≤≤+上有定义且满足：当a x a t ≤≤+时，函数值y 的最大值M 与最小值m 的差M-m =t ，就称这个函数满足性质中φ(A ，t ).如图1，对于函数y =x ，给定其图象上的点O (0，0)和t =1，在0≤x ≤1上函数值y 的最大值M=1，最小值m =0，满足，M-m =t ，因比函数y =x 满足性质φ(O ，1)，(1)根据定义，判断函数2y x =是否满足性质φ(O ，1)，并说明理由；(2)已和函数1,0,2,0x x y kx x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩点M 的坐标为（-2，1），若这个函数满足性质φ(M ，3)，结合函数图像，求k 的值；（3）点P 为二次函数212y x =图像上的动点，若存在唯一的t >0，使得函数212y x =满足性质φ（P ，t ），直接写出点P 的横坐标m 的取值范围.。
2021北京人大附中初三(上)10月月考数学(教师版)
2021北京人大附中初三（上）10月月考数 学2021．10第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题的选项只有一个．1．若关于x 的一元二次方程230x x a -+=的一个根为1，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-1 2．二次函数2241y x x =+-的对称轴是直线（ ）A ．2x =-B ．1x =-C ．2x =D ．1x =3．下面的图形是用数学名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．科克曲线B ．笛卡尔心形线C ．赵爽弦图D ．斐波那契螺旋线4．用配方法解方程2610x x +-=，正确的是（ ）A ．()238x -=B ．()238x +=C ．()2310x -=D ．()2310x += 5．在ABC △中，5AB AC ==，8BC =，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）A ．点B 在A 内 B ．点C 在A 上C ．直线BC 与A 相切D ．直线BC 与A 相离 6．抛物线()21y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4 7．已知O 的半径为2，点P 为O 内一定点，且1PO =，过点P 作O 的弦，其中最短的弦的长度是（ ）A ．4BC ．D ．28．如图，已知ABC △与DEF △全等，点A ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，点E 在AC 边上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40A ∠=︒，35CED ∠=︒，则下列说法中正确的是（ ）A ．EF EC =，AE FC =B ．EF EC =，AE FC ≠ C ．EF EC ≠．AE FC =D ．EF EC ≠，AE FC ≠第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．将抛物线2y x =向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为______．10．点()3,1-关于原点的对点的坐标为______．11．若关于x 的一元二次方程210ax bx +-=有两个相等的实数根，请写出一组符合题意的a ，b 的值=a ______，=b ______．12．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点．若65CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为______．13．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图绕中心旋转n 后能与原来的图案里合，那么n 的最小值是______．14．若二次函数22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点坐标为()3,0，则关于x 的方程220x ax c α-+=的实数根是______．15．如，AB 是O 的直径，弦//MN AB ，分别过M ，N 作AB 的垂线，垂足为C ，D ．以下结论①AC BD =②AM BN =③回若四边形MCDN 是正方形，则12MN AB =④若M 为AN 的中点，则D 为OB 中点所有正确结论的序号是______． 16．在测量时，为了确定被测对象的最佳近似值，经常要对同一对象测量若干次，得到测量结果分别为1x ，2x ，……，n x ，然后选取与各测量结果的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．即如果设这组测量结果的最佳近似值为0t ，则0t 需要使得函数()()()22212n y x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-达到最小值．科研小组利用这种方法来分析麦穗的长度．（1）如果在测量了3个麦穗长度之后，得到的数据（单位：cm ）是1 6.2x =，2 6.0x =，5 5.8x =，则按上述方法，可以得到这组数据的最佳近似值为______．（2）科研小组在（1）的基础上又测量了6个麦穗长度。
北京市2021学年九年级数学上学期月考试题
∴点O在线段AA'的垂直平分线 上（②）（填推理的依据）。
同理可得，点O在线段BB'源自垂直平分线 上。∴点O为 与 的交点
23. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。为尽快减少库存，商场决定降价销售。市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件。
（1）若 =（9，12，15），则第________次操作后游戏结束；
（2）小明发现：若 =（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2020=_________。
三、解答题（本大题共12题，17—20，23，24每小题5分，2l，22，25，26每小题6分，27，28每小题7分，共68分）
17. 解方程： 。
16. 在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为 ， ， ，记为 =（ ， ， ）。游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作。若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束。n次操作后的糖果数记为 。
4. 二次函数 的顶点是
A. （1， ）B. （1，2）
C. （ ， ）D. （ ，2）
5. 如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了 点，则∠OAA'的度数为
A. 80°B. 70°
C. 50°D. 40°
6. 已知二次函数 （m为常数）的图象与 轴的一个交点为（3，0），则关于 的一元二次方程 的两个实数根是
12. 如图，在平面直角坐标系 中，四边形OABC是正方形，点C的坐标为（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，此时点D的对应点的坐标为__________。
2022-2023学年北京市海淀人民大学附属中学九年级上学期10月月考数学试卷和答案
2022-2023学年度第一学期初三年级数学练习2考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.若关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，则t 的值为（）A.2B.3C.-2D.-12.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶3.用配方法解方程2640x x +-=，正确的是（）A.()237x -= B.()237x += C.()2313x -= D.()2313x +=4.将二次函数图象22y x =向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A.221y x =+ B.221y x =- C.22(1)y x =- D.22(1)y x =+5.如图，AB 为O ⊙的直径，点C ，D 在O ⊙上，若130ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.50°6.在公园的O 处附近有A ，B ，C 三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建一座以O 为圆心，r 为半径的圆形水池．下列r 的值（单位：米）可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树的是（）A.B.3C.D.1．87.如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A.AM AN =B.AMN ANM ∠=∠C.CA 平分BCN∠ D.MN AC⊥8.点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数2y x =的图象上，12x x ≠，下列推断正确的是（）①对任意的12x x <．都有12y y <；②对任意的120x x +=，都有12y y =③存在1x ，2x ，满足120x x +=，且120y y +=．④对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12y y t -=A.①③B.②③C.②④D.②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．10.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则m =_______．11.请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________．12.如图，等边ABC △的三个顶点均在O ⊙上，连接OA ，OB ，OC ，则AOC ∠的度数为_______．13.若二次函数22y ax ax c =++的图象如图所示，则关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是________．14.斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．15.点()12,A m y -，()2,B m y 在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围为______．16.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2890x x --=．18.已知m 是方程22470x x --=的一个根，求代数式()()()2324m m m -+-+的值．19.如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF =DE ，连接FE．（1）求证：AF =AE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，直接写出四边形AFCE 的面积．20.下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：O 中，AOB ∠，C ∠分别是AB 所对的圆心角和圆周角．求证：12∠=∠C AOB ．情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1．情况二：当圆心O 在C ∠内部时，如图2．情况三：当圆心O 在C ∠外部时，如图3．21.已知关于x 的一元二次方程()25620x k x k -+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k 的值．22.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，作点B 关于点E 的对称点F ，连接AF，CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若AD BC =，AB =BF 的长．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ．（1）求点C 和点D 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，直接写出m 的取值范围．24.如图，AB 为O ⊙的直径，E 为OB 的中点，弦CD AB ⊥于点E ，连接CO 并延长交O ⊙于点F ，连接BC ．是等边三角形；（1）求证：BOC（2）若O⊙的半径为2，求CD的长．25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0.501.00 1.50 2.00 2.50h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y x ax =-+，点()2,2A ．（1）若此抛物线经过点A 时，求a 的值；（2）求此抛物线顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（3）已知(),2B a a -，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27.点E 为正方形ABCD 的边AB 延长线上一点．（1）如图1，当2AB BE ==时，连接CE ，DE ，则BEC ∠=____________°，DE=_____________．（2）如图2，将射线AE 绕着点A 逆时针旋转()0°<<40°αα得到射线AF ，作DH AF ⊥于点H ，在射线AF 取点M 使得2AM DH =，连接CM ．①依题意补全图形；②猜想AMC ∠的度数，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为2，对于点P ，直线l 和O ，给出如下定义：若点P 关于直线l 对称的点在O 上或O 的内部，则称点P 为O 关于l 的反射点．（1）已知直线l 为3x =，①在点()14,0P ，()24,1P ，()35,1P 中，是O 关于l 的反射点有_______________________；②若点P 为x 轴上的动点，且点P 为⊙O 关于l 的反射点，则点P 的横坐标的最大值为________________．（2）已知直线l 的解析式为()20y kx k =+≠，①当1k =-时，若点P 为直线72x =上的动点，且点P 为O 关于l 的反射点，则点P 的纵坐标t 的取值范围是___________________；②点()2,2B ，)C ，若线段BC 的任意一点都为O 关于l 的反射点，则k 的取值范围是_____________．2022-2023学年度第一学期初三年级数学练习2考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.若关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，则t 的值为（）A.2B.3C.-2D.-1【答案】B 【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x =1代入方程，即可得到关于t 的方程，再求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，∴21210t +⨯-=解得：t =3．故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右两边成立的未知数的值是解题的关键．2.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶【答案】A 【解析】【分析】根据中心对称图形围绕旋转中心旋转180°后，与原来一样的特点判断．【详解】A 项正确；B 、C 、D 项旋转180°后，与原图位置不同，所以错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，准确理解概念是解决问题的关键．3.用配方法解方程2640x x +-=，正确的是（）A.()237x -= B.()237x += C.()2313x -= D.()2313x +=【答案】D 【解析】【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可．【详解】解：移项，得264x x +=．两边同时加9，得26913x x ++=．∴()2313x +=．故选：D ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．4.将二次函数图象22y x =向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A.221y x =+B.221y x =-C.22(1)y x =- D.22(1)y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的平移规律“上加下减”解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝2x 2向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y ＝2x 2﹣1，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．5.如图，AB 为O ⊙的直径，点C ，D 在O ⊙上，若130ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.50°【答案】C 【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补求得B ∠，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：∵AB 为O ⊙的直径，∴90ACB ∠=︒，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，130ADC ∠=︒，∴50B ∠=︒，∴905040BAC ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．6.在公园的O 处附近有A ，B ，C 三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建一座以O 为圆心，r 为半径的圆形水池．下列r 的值（单位：米）可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树的是（）A.B.3C.D.1．8【答案】D 【解析】【分析】根据根据勾股定理分别求出OA ，OC ，OB ，并将最小数值与各选项比较即可得出答案．【详解】解∶由题意可知，OA =2，OB =OC =∴OB >OC >OA ，2，32＞2，1.82＜，∴当半径r =1.8时，可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树，故选∶D ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，熟练运用勾股定理计算是解本题的关键．7.如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A.AM AN =B.AMN ANM ∠=∠C.CA 平分BCN ∠D.MN AC⊥【答案】D 【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，∴AB =AC ，∠ACN =∠B ，AM =AN ，故选项A 不符合题意；∴AMN ANM Ð=Ð，故选项B 不符合题意；∵AB AC =，∴∠B =∠ACB ，∵∠ACN =∠B ，∴∠ACN =∠ACB ，∴CA 平分BCN Ð，故选项C 不符合题意；∵CN 与CM 不一定相等，∴MN AC ^不一成立，故故选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8.点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数2y x =的图象上，12x x ≠，下列推断正确的是（）①对任意的12x x <．都有12y y <；②对任意的120x x +=，都有12y y =③存在1x ，2x ，满足120x x +=，且120y y +=．④对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12y y t -=A.①③ B.②③C.②④D.②③④【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得当在y 轴右侧时，y 随x 的增大而增大，当在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，可得到①错误；由120x x +=，可得点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴对称，从而得到②正确；③错误；再由121x x -=，可得12y y -=()11,A x y ，()22,B x y 在y 轴两侧时，此可设点()11,A x y 在y 轴左侧，则()22,B x y 在y轴右侧，可得1214<0x x -≤⋅，可得④正确，即可．【详解】解：∵二次函数2y x =的图象的对称轴为y 轴，开口向上，∴当在y 轴右侧时，y 随x 的增大而增大，当在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，∴当120<<x x 时．都有12<y y ，故①错误；∵120x x +=，∴12x x =-，∴点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴对称，∴12y y =，故②正确；∵120x x +=，∴12x x =-，∵12x x ≠，∴120x x =-≠，∴221212+=+>0y y x x ，故③错误；∵121x x -=，∴221212121212y y x x x x x x x x -=-=-×+=+=，当点()11,A x y ，()22,B x y 在y 轴两侧时，此可设点()11,A x y 在y 轴左侧，则()22,B x y 在y 轴右侧，∵121x x -=，∴121<<0,0<<1x x -，∴12<0x x ⋅，即1214<0x x -≤⋅，∴0≤，∴120<1y y ≤-，即对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12=y y t-，故④正确；故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．【答案】()2,3-【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．【详解】点()2,3-关于原点对称的点的坐标是()2,3-故答案为：()2,3-【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（-x ，-y ）．10.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则m =_______．【答案】14【解析】【详解】∵关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，∴方程根的判别式于0，∴由△=1﹣4m =0解得：m =14．故答案为：1411.请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________．【答案】2y x =-（答案不唯一）【解析】【分析】对于二次函数2y ax bx c =++，开口向下，则0a <；对称轴为y 轴，则0b =，写出一个符合上述条件的二次函数即可．【详解】解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．抛物线的开口向下，对称轴为y 轴，∴0a <，且0b =，∴符合条件的抛物线的解析式可以是2y x =-．故答案为2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的意义是解决此类题的关键．12.如图，等边ABC △的三个顶点均在O ⊙上，连接OA ，OB ，OC ，则AOC ∠的度数为_______．【答案】120°##120度【解析】【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】解∶∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC =60°，∵∠AOC =2∠ABC ，∴∠AOC =120°．故答案为：120°【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.若二次函数22y ax ax c =++的图象如图所示，则关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是________．【答案】11x =，23x =-【解析】【分析】把二次函数22y ax ax c =++化为顶点式得()21y a x c a =++-，从而得抛物线的对称轴为直线=1x -，抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)-，根据抛物线的对称性解题即可．【详解】解：∵把二次函数22y ax ax c =++化为顶点式得()21y a x c a =++-，∴抛物线的对称轴为直线=1x -，∵抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)-，设抛物线与x 轴的另一个交点为(m ，0)∴−3+m =−1×2，∴m =1，∴关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是11x =，23x =-，故答案为：11x =，23x =-．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性，能根据对称轴和一个交点的坐标求得另一交点的坐标是解题的关键．14.斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．【答案】【解析】【分析】根据正方形性质确定△CDE 为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解．【详解】解∶如图，∵四边形CDEF 为正方形，∴90D ∠=︒，CD =DE ，∴CE 为直径，∠ECD =45°，∵AB =5，两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，∴CE =5-0.5×2=4，∵90D ∠=︒，∠ECD =45°，∴cos ∠ECD =CDCE，∴cos 42CD ECD CE =∠=⨯= ，故答案为∶【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．15.点()12,A m y -，()2,B m y 在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围为______．【答案】2m <【解析】【分析】根据12y y >列出关于m 的不等式即可解得答案．【详解】解：∵点()12,A m y -，()2,B m y 都在二次函数()21y x n =-+的图象上，∴221(21)(3)y m n m n =--+=-+，22(1)y m n =-+，∵12y y >，∴22(3)(1)m n m n -+>-+，∴69210m m -++->，即2m <，∴2m <，故答案为：2m <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及解一元一次不等式，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．16.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【解析】【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA ∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==3BC ===∵''B OA BOA ∠=∠∴'sin ''sin 'A P BCB OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2890x x --=．【答案】19x =，21x =-【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2890x x --=()()910x x -+=解得19x =，21x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.已知m 是方程22470x x --=的一个根，求代数式()()()2324m m m -+-+的值．【答案】8【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，可得2247m m -=，再把原式化简，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 是方程22470x x --=的一个根，∴22470m m --=，即2247m m -=，()()()2324m m m -+-+2269248m m m m m =-++-+-2241m m =-+∵2247m m -=，∴原式718=+=．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边同时成立的未知数的值是一元二次方程的解，乘法公式及代数式的值是解题的关键．19.如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF =DE ，连接FE ．（1）求证：AF =AE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，直接写出四边形AFCE 的面积．【答案】（1）见解析（2）四边形AFCE 的面积为4．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB =AD ，∠ABC =∠D =∠BAD =90°，求得∠ABF =90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到△ABF 与△ADE 的面积相等，得到四边形AFCE 的面积等于正方形ABCD 的面积，于是得到结论．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠ABC =∠D =90°，∴∠ABF =90°，在△ABF 与△ADE 中，===90°=AB AD ABF D BF DE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABF ≌△ADE （SAS ），∴AF =AE ；【小问2详解】解：由（1）知，△ABF ≌△ADE ，∴△ABF 与△ADE 的面积相等，∴四边形AFCE 的面积等于正方形ABCD 的面积=2×2=4．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ABF ≌△ADE 是解题的关键．20.下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：O 中，AOB ∠，C ∠分别是AB 所对的圆心角和圆周角．求证：12∠=∠C AOB ．情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1．情况二：当圆心O 在C ∠内部时，如图2．情况三：当圆心O 在C ∠外部时，如图3．【答案】证明见解析．【解析】【分析】情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1，由外角性质得∠AOB =∠B +∠C ，再由∠B =∠C 即可得证结论成立；情况二：当圆心O 在C ∠内部时，连接CO 并延长交O 于点D ，由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，从而有∠ACB =12∠AOB ；情况三：当圆心O 在C ∠外部时，由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠BCD −∠ACD =12∠AOB ．【详解】证明∶情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1∵∠AOB 是△BOC 的一个外角，∴∠AOB =∠B +∠C ，∵OB =OC ，∴∠B =∠C ，∴∠AOB =2∠C ，∴∠C =12∠AOB ；情况二：当圆心O 在C ∠内部时，连接CO 并延长交O 于点D ，如下图，∵由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =12∠AOD +12∠BOD =12∠AOB ；情况三：当圆心O 在C ∠外部时，连接CO 并延长交00于点D ，如下图，∵由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠BCD −∠ACD =12∠BOD −12∠AOD =12∠AOB ；【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及圆的认识，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．21.已知关于x 的一元二次方程()25620x k x k -+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）1或3-【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式24b ac ∆=-，可得出2(1)k D =+，由偶次方的非负性可得出0∆≥，进而可证出方程总有两个实数根；（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可．【小问1详解】证明：∵222(5)4(62)21(1)0k k k k k D =+-+=++=+³，∴此方程总有两个实数根；【小问2详解】解：由（1）知，2(1)k D =+，∴(5)(5)(1)22k k k x ++±+==，∴13x k =+，22x =，∵若此方程的两根的差为2，∴322k +-=或2(3)2k -+=，解得：1k =或3k =-；∴k 的值为1或3-．【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当0∆≥时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式：2b x a-=．22.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，作点B 关于点E 的对称点F ，连接AF ，CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若AD BC =，AB =BF 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)连接DF ，可证得四边形ABDF 为平行四边形，=BD AF ，BC AF ∥，再根据等腰三角形的性质可得BD =DC =AF ，AD BC ⊥，即可证得四边形ADCF 是矩形；(2)设AD =x ，则12BD x =，根据勾股定理即可求得AD 、BC 的长，再根据矩形的性质及勾股定理即可求得BF 的长．【小问1详解】证明：如图：连接DF ，点E 为AD 的中点，点B 与点F 关于点E 对称，=AE DE ∴，BE =FE ，∴四边形ABDF 为平行四边形，∴=BD AF ，BC AF ∥，AB AC = ，ABC ∴△是等腰三角形，又 AD 为BC 边上的中线，=BD CD ∴，AD BC ⊥，=90ADC ∠︒∴CD =AF ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∴四边形ADCF 为矩形；【小问2详解】解：设AD =BC =x ，则12BD x =，在Rt ABD △中，222=AB AD BD +，得(22212x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得4x =或4x =-(舍去)，∴AD =BC =4，四边形ADCF 为矩形，==4CF AD ∴，在Rt BCF △中，BF 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ．（1）求点C 和点D 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）C （0，3），D (2，3)；（2）m >32．【解析】【分析】（1）令二次函数223y x x =-++中x =0，则y =3，从而求得C （0，3），再令二次函数223y x x =-++中y =0，即可求解点D 的坐标；（2）先求得，当2x >时，223y x x =-++的值小于3，又由当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，且()0y mx m =≠过点（2，2m ），从而有2m ≥3，进而即可求解．【小问1详解】解∶∵二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，∴令x =0，则y =0+0+3=3，∴C （0，3），∵过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ，∴二次函数223y x x =-++，令y =3，得2323x x =++，解得x =0，或x =2，∴D (2，3)；【小问2详解】解：∵当x =2时，2233y x x =-++=，则m =32∴当2x >时，223y x x =-++的值小于3，∵当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，且()0y mx m =≠，∴m 32≥【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质以及二次函数与一次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24.如图，AB 为O ⊙的直径，E 为OB 的中点，弦CD AB ⊥于点E ，连接CO 并延长交O ⊙于点F ，连接BC ．（1）求证：BOC 是等边三角形；（2）若O ⊙的半径为2，求CD 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设O ⊙的半径为r ，取OC 的中点G ，连接EG ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得1122GE CO GO r ===，根据E 为OB 的中点，则12OE r =，可得GEO 是等边三角形，得出60COB ∠=︒，即可得证；（2）根据勾股定理求得CE 的长，根据垂径定理即可求解．【小问1详解】证明：如图，取OC 的中点G ，连接EG ，设O ⊙的半径为r ，∵AB CD ⊥，∴1122GE CO GO r ===，∵AB 为O ⊙的直径，∴BO r=∵E 为OB 的中点，∴12OE r =，∴OG GE OE==∴GEO 是等边三角形，∴60COB ∠=︒∵OC OB=∴COB 是等边三角形，【小问2详解】解：∵O ⊙的半径为2，∴1OE =，∴CE ，∵AB 为O ⊙的直径，CD AB ⊥，∴2CD CE ==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆的基本概念，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面的高度为h 米．d （米）0.50 1.00 1.50 2.00 2.50h （米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．【答案】（1）见解析；（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；（3）214h d =--+（）；（4）公园至少需要准备32米的护栏．【解析】【分析】（1）根据对应点画图象即可；（2）由图象可得答案；（3）利用待定系数法可得关系式；（4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长．【小问1详解】如图，【小问2详解】由图象可得，顶点（1，4），∴水柱最高点距离湖面的高度是4米；【小问3详解】由图象可得，顶点（1，4），设二次函数的关系式为214h a d =-+（），把（2，3）代入可得a =-1，所以214h d =--+（）；【小问4详解】当h =0时，即2140d -+=-()，解得d =-1（舍去）或d =3，∴正方形的边长为2×（3+1）=8（米），∴至少需要准备栏杆4×8=32（米），∴公园至少需要准备32米的护栏．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y x ax =-+，点()2,2A ．（1）若此抛物线经过点A 时，求a 的值；（2）求此抛物线顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（3）已知(),2B a a -，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）32（2）()2,4a a -（3）0≤a ≤2或a <-1【解析】【分析】（1）把()2,2A 代入224y x ax =-+即可求出a 的值；（2）化为顶点式求解即可；（3）分a ≥0和a <0两种情况求解即可．【小问1详解】解：把()2,2A 代入224y x ax =-+，得2444a =-+，∴a =32．【小问2详解】解：224y x ax =-+=22224x ax a a -+-+=()224x a a --+，。
北京市人大附中分校2021-2022学年九年级下学期月考数学试题
北京市人大附中分校2021-2022学年九年级下学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．||4a >B ．0c b ->C ．0ac >3．方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为．12x y =-⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=⎩．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m 射面积总面积约为．327.1410m ⨯522.510m ⨯A ．24︒B ．486．如果23a b -=，那么代数式．（A ．B ．C ．D ．10．如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向的交通主干道a 和南北向的交通主干道b ，若他希望租住的小区到主干道a 和主干道b 的直线距离之和最小，则图中符合他要求的小区是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题20．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：根据以上信息，回答问题：（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的________；（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为________本，比2019年多________本；（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比，________年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高________%（结果保留整数）．29．如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，AB CD ⊥于点E ，P 是AB 延长线上一点，且BCP BCD ∠=∠．(1)求证：CP 是O 的切线；(2)连接DO 并延长，交AC 于点F ，交O 于点G ，连接GC ．若O 的半径为5，3OE =，求GC 和OF 的长．30．已知抛物线22y ax x =++．(1)当1a =-时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；(2)若代数式22x x -++的值为正整数，求x 的值；(3)当1a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(),0M m ；当2a a =时，抛物线22y ax x =++与x 轴的正半轴相交于点(),0N n ．若点M 在点N 的左边，试比较1a 与2a 的大小．31．,A B 是圆上的两个点，点P 在⊙C 的内部．若APB ∠为直角，则称APB ∠为AB 关于⊙C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB ∠边（含顶点）上时，称APB ∠为AB 关于⊙C 的最佳内直角．如图1，AMB ∠是AB 关于⊙C 的内直角，ANB ∠是AB 关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．（1）如图2，⊙O 的半径为5，()0,5,(4,3)A B -是⊙O 上两点．①已知()()()1231,003-21P P P ，，，，，在123,,,APB AP B AP B ∠∠∠中，是AB 关于⊙O 的内直角的是______；②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB ∠是AB 关于⊙O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(),0T t 圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点()()1,0,0,M N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于⊙T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．。
2024年北京人大附中初三(上)10月月考数学试题及答案
2024北京人大附中初三10月月考数 学考生须知：1．本试卷共6页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 一元二次方程2230x x −−=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 2，1，3B. 2，1，3−C. −2，1，3D. 2，1−，3− 2. 巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 抛物线2(4)5y x =−−的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A. 开口向下，(4,5)−B. 开口向上，(4,5)−C. 开口向下，(4,5)−−D. 开口向上，(4,5)−− 4. 如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的度数为（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5. 用配方法解方程2420x x −+=，配方正确的是( )A. ()222x +=B. (()222x −=C. ()222x −=−D. ()226x −= 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）A. 0a <B. 0c >C. 0b >D. 20a b +>7. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP △旋转，得到111M N P △，则旋转中心是（ ）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D8. 已知点()()()1212,2024,,2024P x Q x x x ≠在二次函数21y ax bx =++的图象上，则当12x x x =+时，y 的值为（ ）A. 1B. 2025C. 1−D. 2024第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 方程25x x =的解是______．10. 点()1,2P −关于原点的对称点的坐标为______．11. 如果关于x 的方程2310kx x +−=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ____________________． 12. 将抛物线223y x =−向右平移2个单位，向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为______． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为(0,2),(1,0)−，将线段AB 绕点(2,2)逆时针旋转α角()0180α︒<<︒，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)，则α为______，点B 的对应点B '的坐标为______．14. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =1，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．15. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点1E AE =，寸，10CD =寸，求直径AB 的长．小宇对这个问题进行了分析：（1）由直径AB CD ⊥于E ，可得5CE DE ==，其依据是______．（2）连接OC ，则有OC OA =，在COE 中利用勾股定理列方程可求得OC 的长，从而得到直径AB 长为______寸．16. 如图，菱形ABCD 的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形ABCD 的对称中心O 处，此时这个直角的两边分别交边,BC CD 于M ，N ，若ON CD ⊥，且2ON =，则MN 的长为______．三、解答题（共68分，第17题4分，第18-20题，每题5分，第21题4分，第22题5分，第23-25题，每题6分，第26题8分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：233x x x −=+．18. 如图，ABC 是等边三角形，点D 在边AC 上，以CD 为边作等边CDE ．连接BD ，AE ．求证：BD AE =．19. 已知1x =是关于x 的方程2230x mx m −+=的根，求代数式2(2)(3)(1)m m m −+−+的值．20. 已知二次函数2y x bx c =++的图象过点(0,3),(1,0)A B ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）画出这个函数的图象；（3）写出当13x −<<时，函数值y 的取值范围．21. 判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明）（1）圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧；（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．22. 已知关于x 的一元二次方程22230x mx m −−=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若方程恰有一个实根大于1−，求m 的取值范围．23. 如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P ，Q 到达终点C ，B 时，运动停止．设运动时间为t （单位：秒）．（1）①当运动停止时，t 的值为______.②设P ，C 之间的距离为y ，则y 与t 满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）（2）设PCQ △的面积为S ，①求S 的表达式（用含有t 的代数式表示），并写出t 的取值范围；②S 是否可以为7？若可以，请求出此时t 的值，若不能，请通过计算说明理由．24. 如图，MPN α∠=，点A ，B 在射线PN 上，以AB 为直径作半圆，圆心为O ，半圆交射线PM 于点C ，D ．（1）如图1，当30α=︒时，若,AB 10CD 6==，求AP 的长；（2）如图2，若PC OB =，且AB =，求α的值．25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．（1）经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：离），并求y 与x 满足的函数关系式．（2）在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =−−+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11x y ，，()21a y +，在抛物线22y x ax c =−+上．（1）抛物线的对称轴为______（用含a 的式子表示），当01a <<时，2y 与c 的大小关系为2y ______c （填“>”“<”或“=”）；（2）若110x −<<，且对于每个1x ，都有12y y >成立．①求a 的取值范围；②若抛物线还过点()33a y ，，求证：如果1230y y y <，那么()2130y y y −>．27. 如图，在ABC 中，90,45,ACB BAC D ∠=︒∠<︒为边AC 上一点（不与点A ，C 重合），点D 关于直线AB 的对称点为E ，连接BD ，将线段BD 绕点B 旋转，使点D 的对应点F 恰好在线段AE 的延长线上．（1）求证：12ABC DBF ∠=∠； （2）连接DF ，过点C 作AB 的垂线，分别交,AB DF 于点G ，H ．①依题意补全图形；②用等式表示DH 与HF 的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a b ，对于点M 给出如下定义：将点M 向右（0a ≥）或向左(0)a <平移a 个单位长度，得到点M '，点M '关于点P 的对称点为N ，称点N 为点M 关于点P 的“联络点”．（1）若点(2,0)M −，点(1,1)P ，则点M 关于点P 的“联络点”的坐标为______；（2）如图，若点M 与点P 关于原点O 对称，点M 关于点P 的“联络点”为点N ，①求作：点M '和点N （尺规作图，保留作图痕迹）；②连接MN ，在MN 上取点T ，使PT x ∥轴，连接OT ，求证：14OT M N '=；（3）已知点C 是直线2y x =+上的动点，点D 是直线y x =−上的定点，点C 关于点D 的“联络点”为点E ，若线段CE 长的取值范围是CE ≥，直接写出所有符合题意的点D 的横坐标D x 的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且0a ≠），在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．【详解】2230x x −−=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：2，1−，3−．故选：D ．2. 【答案】C【分析】本题考查中心对称图形，根据一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可．【详解】解：观察图形，只有选项C 的图形能够找到一个点，使图形旋转180度，能与自身完全重合，是中心对称图形；故选C ．3. 【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据()2y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k ，0a >，抛物线的开口向上，0a <，抛物线的开口向下，进行判断即可．【详解】解：∵2(4)5y x =−−，10a =>，∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为：(4,5)−；故选B ．4. 【答案】B【分析】根据旋转的性质可得出AB AD =，100BAD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，可求出B ∠的大小．【详解】解：根据旋转的性质，可得：AB AD =，100BAD ∠=︒， ∴1(180100)402ABD ADB ∠=∠=︒−︒=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质结合，利用等腰三角形的性质是解题的关键． 5. 【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程中的配方法，熟练掌握解一元二次方程中的配方法的步骤是解题的关键．【详解】解：∵2420x x −+=，移项得：242x x −=−，配方法，方程左右同加4得：2442x x −+=，∴()222x −=，故选：B ．6. 【答案】D【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据题中所给二次函数2y ax bx c =++的图象逐项判断即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：A 、由图象可知，抛物线开口向下，则0a <正确，不符合题意；B 、由图象可知，抛物线与y 轴交于正半轴上，则0c >正确，不符合题意；C 、由图象可知，抛物线对称轴在y 轴右侧，则02b a−>，再结合0a <，可知0b >正确，不符合题意； D 、由图象可知，抛物线对称轴在1x =左侧，则12b a −<，再结合0a <，可知2b a −>，即20a b +<，则20a b +>错误，符合题意；故选：D ．7. 【答案】B【分析】连接1PP 、1NN 、1MM ，作1PP 的垂直平分线，作1NN 的垂直平分线，作1MM 的垂直平分线，交点为旋转中心．【详解】解：如图，MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△111M N P △，∴连接1PP 、1NN 、1MM ，作1PP 的垂直平分线，作1NN 的垂直平分线，作1MM 的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过点B ，即旋转中心是B ．故选：B ．【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．8. 【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．根据二次函数图象的对称性得出12b x x x a=+=−，然后将其代入函数关系式求得1y =． 【详解】解：12202420()()24A x B x ，，，是二次函数()210y ax bx a =++≠图象上的两点，A B ∴、关于对称轴2b x a =−对称， 1222x x b a+∴=− 即：12b x x a+=−， 12x x x =+∴将b x a=−代入21y ax bx =++得： 2()()1b b y a b a a=⋅−+⋅−+ 即：1y =，故选：A ．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】10x =，25x =【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：25x x =，移项得：250x x −=，因式分解得：(5)0x x −=，∴0x =或50x −=，∴10x =，25x =，故答案为：10x =，25x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键．10. 【答案】()1,2−【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”求解即可．【详解】解：()1,2P −关于原点的对称点的坐标为()1,2−．故答案为：()1,2−．11. 【答案】94k >−且0k ≠ 【分析】本题考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 根的判别式24=b ac ∆−与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0∆<时，一元二次方程没有实数根．根据0k ≠且0∆>列式求解即可．【详解】解：根据题意得0k ≠且()2Δ3410k =−⨯−>， 解得94k >−且0k ≠． 故答案为：94k >−且0k ≠． 12. 【答案】()2,4−【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线()2y a x k h =−+平移的问题转化为抛物线的顶点(),k h 平移问题进行解决．先得到抛物线223y x =−的顶点坐标为()0,3−，则把点()0,3−向右平移2个单位，向下平移1个单位得出答案． 【详解】解：抛物线223y x =−的顶点坐标为()0,3−，∴把点()0,3−向右平移2个单位，向下平移1个单位得到()2,4−，故答案为：()2,4−．13. 【答案】 ①. 90︒ ②. ()4,1−【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30︒，45︒，60︒，90︒，180︒；记住关于原点对称的点的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．【详解】解：将线段AB 绕点(2,2)E 逆时针旋转，点A 的对应点A '的坐标为(2,0)，如图所示：90AEA ，90BEB AEA ''∴∠=∠=︒，(4,1)B '∴−，故答案为：90︒，()4,1−．14. 【答案】（2−，0）【详解】∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =1，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点， ∴点P 和点Q 关于直线1x =对称，又∵点P 的坐标为（4，0），∴点Q 的坐标为（-2，0）．故答案为（-2，0）．15. 【答案】 ①. 垂径定理 ②. 26【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出CE 的长，设OC OA x ==寸，则2AB x =寸，()1OE x =−寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长． 【详解】解：弦CD AB ⊥，AB 为圆O 的直径，E ∴为CD 的中点，又10CD =寸，152CE DE CD ∴===寸（垂径定理）， 设OC OA x ==寸，则2AB x =寸，()1OE x =−寸，由勾股定理得：222OE CE OC +=，即()22215x x −+=，解得： 13x =， 26AB ∴=寸，即直径AB 的长为26寸．故答案为：垂径定理；26．16.【分析】连接BD ，则BD 过点O ，先证明OM 是BCD △的中位线，再根据中位线性质求出OM 的长，再在Rt MON 中，根据勾股定理即可求出结果．本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，中位线定理，勾股定理，本题的关键是辅助线的作法．【详解】解：连接BD ，∵菱形ABCD ，O 为对称中心，∴BD 过点O ，OB OD =90MON ∠=︒，ON CD ⊥，OM CD ∴∥， ∴1BM OB CM OD==， ∴BM CM =，∴OM 是BCD △的中位线，132OM CD ∴==， 在Rt MON 中，MN ===．三、解答题（共68分，第17题4分，第18-20题，每题5分，第21题4分，第22题5分，第23-25题，每题6分，第26题8分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】12x =+22x =−【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．利用公式法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：整理得2430x x −−=，1a =，4b =−，3c =−，()()22444131612280b ac ∴∆=−=−−⨯⨯−=+=>， ()4422212b x a −−±−±±∴====±⨯12x ∴=+22x =18. 【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法为解题关键．根据ABC 和CDE 均为等边三角形，得出BC AC =，CD CE =，60BCA ∠=︒，60DCE ∠=︒，由全等的判定定理“SAS ”即可证明BCD ACE ≌△△，最后由全等的性质即可证明BD AE =．【详解】证明：∵ ABC 和CDE 均为等边三角形，∴ BC AC =，CD CE =，60BCA DCE ∠=∠=︒，∴()SAS BCD ACE ≌，∴BD AE =．19. 【答案】1−【分析】本题考查了一元二次方程的解，先利用乘法公式展开、合并得到原式2261m m −+，利用一元二次方程根的定义得到2262m m −=−，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：2(2)(3)(1)m m m −+−+224423m m m m =−++−−2261m m =−+，∵1x =是关于x 的一元二次方程2230x mx m −+=的根，∴2130m m −+=，即2262m m −=−，∴原式211=−+=−．20. 【答案】（1）243y x x =−+（2）见解析 （3）18y −≤<【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求的函数解析式，画出对应的函数图象即可；（3）将函数243y x x =−+化为顶点式，求出对称轴及顶点坐标，根据二次函数的性质即可解答．【小问1详解】解：把()0,3A ，()1,0B 代入2y x bx c =++中得：103b c c ++=⎧⎨=⎩， ∴43b c =−⎧⎨=⎩， ∴二次函数解析式为243y x x =−+；【小问2详解】解：函数图象如下所示：【小问3详解】 解：()224321y x x x =−+=−−，∴二次函数的图象关于直线2x =对称，顶点坐标为()2,1−，且图象开口向上，当13x −<<时，2x =时，y 有最小值，最小值为1−，123321−−=>−=，1x ∴=−时，y 有最大值，最大值为()21218−−−=，∴当13x −<<时，函数值y 的取值范围为18y −≤<．21. 【答案】（1）不正确，反例见解析（2）不正确，反例见解析【分析】本题主要考查了圆．熟练掌握弦，直径，弧，垂径定理推论，是解决本题的关键．（1）非直径弦分圆成优弧和劣弧，直径弦分圆两条等弧；（2）平分非直径弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【小问1详解】答：不正确．直径弦的两个端点把圆分成两条等弧．如图：AmB AnB =；【小问2详解】答：不正确．平分直径弦的直径不一定垂直于直径弦，并且不一定平分直径弦所对的两条弧．如图：直径AB 平分弦CD ，但是AB 不垂直CD ，AC BC ≠，AD BD ≠．22. 【答案】（1）见解析 （2）1m >或13m <− 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及公式法解一元二次方程；（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出216m ∆=，利用偶次方的非负性可得出20m ≥，即0∆≥，再利用“当0∆≥时，方程有两个实数根”即可证出结论；（2）利用公式法解一元二次方程可得出13x m =，2x m =−，结合该方程恰有一个根大于1可得出{3m >−1−m ≤−1①或{−m >−13m ≤−1②，解之即可得出m 的取值范围． 【小问1详解】证明：∵1a =，2b m =−，23c m =−，∴()2224(2)413b ac m m −=−−⨯⨯−22412m m =+216m =，∵20m ≥，∴240b ac −≥，∴无论m 取何值，该方程总有两个实数根；【小问2详解】解：∵1a =，2b m =−，23c m =−，22416b ac m −=，∴2422b m m x a −±==， 解得：13x m =，2x m =−，∵该方程恰有一个根大于1−，∴{3m >−1−m ≤−1①或{−m >−13m ≤−1②， 解不等式组①得：1m >； 解不等式组②得：13m <−， ∴m 的取值范围为1m >或13m <−． 23. 【答案】（1）①2s ①；②一次函数关系（2）①()261202S t t t =−+<<；②S 不可以为7，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及动点问题，三角形的面积，解题的关键是用含有t 的式子表示AP 、CQ 的长度．（1）①根据时间=路程÷速度即可求解；②由6AC =，3AP t =，可得63CP t =−，即可求解；（2）①由（1）得：63CP t =−，4CQ t =，最后根据12S CQ CP =，即可求解；②由()22612616S t t x =−+=−−+，可得1t =时，S 有最大值为6，即可判断．【小问1详解】 解：①6AC =，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，∴当运动停止时，t 的值为632s ÷=，故答案为：2s ； ②6AC =，3AP t =，∴63CP AC AP t =−=−，即63y t =−，∴y 与t 满足一次函数关系，故答案为：一次函数关系；【小问2详解】①由题意得：4CQ t =，由（1）得：63CP t =−， ∴()211·46361222S CQ CP t t t t ==⨯−=−+， ∴()261202S t t t =−+<<；②S 不可以为7，理由如下：()22612616S t t x =−+=−−+，且60−<，∴1t =时，S 有最大值，最大值为6，76>，∴S 不可以为7．24. 【答案】（1）3（2）22.5︒【分析】（1）过点O 作OE CD ⊥，连接CO ，根据垂径定理求得3CE =，进而勾股定理求得OE ，根据含30度角的直角三角形的性质，得出8PO =，进而即可求解；（2）连接,CO DO ，可得2OCD α，根据已知条件证明COD △是等腰直角三角形，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点O 作OE CD ⊥，连接CO ，∴132CE ED CD ===， ∵AB 为O 的直径， ∴152CO AO AB ===，在Rt COE △中，4OE === 又∵30α=︒，即30EPO ∠=︒∴28PO OE ==∴853AP PO AO =−=−=，【小问2详解】解：如图所示，连接,CO DO ，∵PC OB OC ==∴P COP α∠=∠=∴2OCD P COP α∠=∠+∠=，∵AB =，设半径为r ，则r =122OD CO AO AB CD ====，∴CD =∴222CO OD CD +=，∴COD △是等腰直角三角形，∴45OCD ∠=︒，即245α=︒,∴22.5α=︒．【点睛】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 【答案】（1）该拱门的高度为7.2m ，跨度为12m ，()20.267.2y x =−−+（2）<【分析】本题考查了二次函数的实际应用，（1）由表格得当0x =时，0y =，当12x =时，0y =，从而可求对称轴和顶点坐标，进而可求出拱门的高度和跨度，再把解析式设为顶点式利用待定系数法即可求解；（2）先把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中，求出h 的值，则可求出2d ，进行比较即可． 【小问1详解】解：由表格可知抛物线经过()0,0和()12,0，∴抛物线的对称轴为直线6x =，∵当6x =，7.2y =，∴该拱门的高度为7.2m ，∵12012−=，∴跨度为12m ；设抛物线解析式为()267.2y a x =−+，把()2,4代入()267.2y a x =−+中得：()2267.24a −+=， 解得：0.2a =−，∴()20.267.2y x =−−+；【小问2详解】解：把()0,0代入()20.187.30y x h =−−+中得()200.1807.30h =−−+，解得3h =或3h =−（舍去），∴抛物线()20.187.30y x h =−−+与x 轴的另一个交点坐标为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2m 3d =， 由（1）可得110m d =， ∵222114601009d d =>=， ∴21d d >，故答案为：<．26. 【答案】（1）直线x a =；>（2）①1a >或 2a <−；②证明见解析【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（1）直接利用对称轴公式可得对称轴，利用抛物线的增减性即可判定2y 与c 大小；（2）①利用抛物线开口向上，则离对称轴距离越近的点的函数值越小，可得点()11x y ，到对称轴直线x a =的距离一定恒大于点()21a y +，到对称轴直线x a =的距离1，再结合110x −<<，可得结果； ②分1a >和2a <−两种情况讨论，分别判断1y 和3y 的大小关系，再结合1230y y y <，即可求证．【小问1详解】解：∵抛物线解析式为22y x ax c =−+， ∴对称轴为直线22a x a −=−=，抛物线与y 轴交点为()0c ，， ∴()0c ，关于直线x a =的对称点为()2a c ，，∵01a <<，∴21a a a <<+，根据抛物线开口向上，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，∴2c y <，故答案为：直线x a =；>；【小问2详解】解：①∵对于每个1x ，都有12y y >成立，且抛物线开口向上，∴点()11x y ，到对称轴直线x a =的距离一定恒大于点()21a y +，到对称轴直线x a =的距离， ∵点()21a y +，到对称轴直线x a =的距离为1，∴点()11x y ，到对称轴直线x a =的距离恒大于1，∵110x −<<，∴01a >+或11a <−−，∴1a >或2a <−；②证明：当1a >时，∵110x −<<，∴点()11x y ，到对称轴直线x a =的距离小于1a +，∵点()33a y ，到对称轴直线x a =的距离为21a a >+，∴13y y <，∵12y y >，∴312y y y >>，∵1230y y y <，∴20y <，130y y −<，∴()2130y y y −>；当2a <−时，∵110x −<<，∴点()11x y ，到对称轴直线x a =的距离小于a ，∵点()33a y ，到对称轴直线x a =的距离为|2a |>|a |，∴13y y <，∵12y y >，∴312y y y >>，∵1230y y y <，∴20y <，130y y −<，∴()2130y y y −>．综上，()2130y y y −>．27. 【答案】（1）见解析 （2）①图见解析②DH HF =，证明见解析【分析】（1）连接BE ，过BM AF ⊥于点M ，证明ACB AMB ≌，得到ABC ABM ∠=∠，BC BM=，证明BCD BMF ≌，得到CBD MBF ∠=∠，进而得到CBD ABD FBM ABD ABC ∠+∠=∠+∠=∠，得到2DBF ABD ABM MBF ABC ∠=∠+∠+∠=∠，即可得证； （2）①根据题意，补全图形即可；②过点F 作FN AC ∥交CH 的延长线于点N ，CN 交AF 于点K ，证明AGC AGK ≌，得到AC AK =，推出,K M 两点重合，进而得到ACM AMC ∠=∠，平行线的性质，对顶角相等，推出N FMN ∠=∠，进而得到FM FN =，进而推出CD FN =，证明CDH NFH ≌，即可得出结论．【小问1详解】证明：连接BE ，过BM AF ⊥于点M ，则：90AGB BGF C ∠=∠=︒=∠，∵点D 关于直线AB 的对称点为E ，∴,BD BE DAB EAB =∠=∠，又∵AB AB =，∴ACB AMB ≌，∴ABC ABM ∠=∠，BC BM =，∵旋转，∴BD BF =，∵90C BMF ∠=∠=︒，∴BCD BMF ≌，∴CBD MBF ∠=∠，∴CBD ABD FBM ABD ABC ∠+∠=∠+∠=∠，∴2DBF ABD ABM MBF ABC ∠=∠+∠+∠=∠， ∴12ABC DBF ∠=∠； 【小问2详解】①补全图形如图：②DH HF =，证明如下：过点F 作FN AC ∥交CH 的延长线于点N ，CN 交AF 于点K ，∵CG AB ⊥，∴AGC AGK ∠=∠，∵AH AH =，CAB EAB ∠=∠，∴AGC AGK ≌，∴AC AK =，由（1）知：ABC ABM △≌△，∴AC AM =，∴点,M K 重合，∴AGC AGM ≌，∴ACM AMC ∠=∠，∵FN AC ∥，∴ACH N ∠=∠，∵AMC FMN ∠=∠，∴N FMN ∠=∠，∴FM FN =，∵BCD BMF ≌，∴CD FM =，∴CD FN =，∵ACH N ∠=∠，DHC FHN ∠=∠，∴CDH NFH ≌，∴DH FH =．【点睛】本题考查轴对称，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键．28. 【答案】（1）(3,2)（2）见解析 （3）23P x ≥或103P x ≤− 【分析】（1）根据题意得出点()2,0M −向右平移一个单位得到()1,0M '−，再得出点()1,0M '−关于点()1,1P 对称点 ()3,2N 即可求解；（2）①根据新定义画出图形，即可求解；②连接M P '，以P 为圆心，PM '为半径作P ，M P '延长线与P 交于点 N ．设 MN 交x 轴于点K ，得出(),P a b ，(),M a b −−，()0,M b '−，则0()2,K a ，证明四边形OKPT 为平行四边形即可得证； （3）设(),2C m m +，(),D n n −，根据新定义可得(),22E m n n m −+−−−，即E 始终在直线32y x n =−−上运动，根据题意可得直线2y x =+与直线32y x n =−−之间的距离大于或等于线2y x =+与y 轴交于点()0,2G ,直线32y x n =−−与y 轴交于点()0,32H n −−，进而列出不等式，解不等式，即可求解．【小问1详解】解：依题意，点()2,0M −向右平移一个单位得到()1,0M '−，点()1,0M '−关于点()1,1P 对称点 ()3,2N∴点M 关于点P 的“联络点”的坐标为(3,2)，故答案为：(3,2)．【小问2详解】①以M 为圆心，MO 为半径，作弧交y 轴于点G ，分别以O 、G 为圆心，MO 为半径作弧交于点H ，连接 MH ，交y 轴于点 M '(M '即为所求)，②连接M P '，以P 为圆心，PM '为半径作P ，M P '延长线与P 交于点 N ．设 M N '交x 轴于点K ， (),P a b ，(),M a b −−，()0,M b '−，∴K 为M P '中点，即0()2,K a ． PN PM ='，∴14KP M N =' P 为M N '中点，PT x ∥轴，∴TP M M OK '， ∴1NT NP TM PM ='=, ∴T 是MN 的中点, ∴12TP M M OK '==， ∴四边形OKPT 为平行四边形， ∴14OT KP M N =='． 【小问3详解】设(),2C m m +，(),D n n −，∴(),2C m n m '++，点C '关于点D 对称点(),22E m n n m −+−−−E ∴始终在直线32y x n =−−上运动CE >∴直线2y x =+与直线32y x n =−−之间的距离大于或等于.设直线2y x =+与y 轴交于点G ，则()0,2G ，过点G 作GF HE ⊥于点F ，则FGH 是等腰直角三角形，直线32y x n =−−与y 轴交于点H ，则()0,32H n −−，∴3226n −−−≥=， 解得23n ≥或103n ≤− 即23P x ≥或103P x ≤−【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，平移与轴对称的性质，平行四边形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握基本几何变换是解题的关键．。
2024年北京人大附中朝阳学校初三(上)10月月考数学试题及答案
2024北京人大附中学朝阳学校初三10月月考数 学（考试时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 若关于x 的方程()2110m x mx −+−=是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A. 1m ≠B. 1m =C. 1m ≥D. 0m ≠ 2. 抛物线()222y x =−+的顶点坐标是（ ）A. ()2,2−B. ()2,2−C. ()2,2D. ()2,2−− 3. 抛物线y=﹣12x 2+3x ﹣52的对称轴是（ ） A. x=3 B. x=﹣3 C. x=6 D. x=﹣52 4. 用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )A. ()249x +=−B. ()247x +=−C. ()2425x +=D. ()247x += 5. 要得到抛物线()2241y x =−−，可以将抛物线22y x =：（ ）A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B . 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 6. 已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2的值等于（ ）A. 2B. ﹣2C. 32D. ﹣327. 函数221y ax x =−+和y ax a =+（a 是常数，且0)a ≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，E 是DC 边上一个动点，F 是AB 边上一点，∠AEF ＝30°．设DE ＝x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图中的（ ）．A. 线段ECB. 线段AEC. 线段EFD. 线段BF二、填空题（共16分，每题2分）9. 方程22x x =的根1x =_________，2x = ________________.10. 已知a 是方程23610x x +−=的一个根，则22a a +=____________．11. 写一个当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的函数解析式__．12. 已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数22y x =−图象上的两点，如果120x x <<，那么1y ，2y 的大小关系是____________．13. 如图，某小区规划在一个长为16m 、宽为9m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m 2，求小路的宽度．若设小路的宽度为x m ，则x 满足的方程为__________________．14. 菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程27120x x −+=的一个根，则菱形ABCD 的周长为_____15. 抛物线y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图，则当y ＞3时，x 的取值范围是______．16. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中正确的是____________．①0ac >；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③20b a −=；④3x =是关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的一个根；⑤若(0,)A m ，(2.5,)B n ，(3,)C t 均在二次函数的图象上，则m n t >>；⑥若抛物线与y 轴的交点在(0,3)−与(0,2)−之间（包含边界），则系数a 的取值范围是213a ≤≤． 三、解答题（共68分，）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解下列一元二次方程：（1）2410x x −−=；（2）2(1)250x +−=．18. 解不等式组27442x x x x +>−⎧⎪⎨+<⎪⎩，并将解集表示在数轴上． 19. 已知210x y +−=，求代数式222444x y x xy y +++的值． 20. 已知关于x 的一元二次方程x 2+（k +1）x +k ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围．21. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AF CE =．求证：DE BF =．22. 已知抛物线243y x x =−+．（1）在平面直角坐标系中画出这条抛物线；（2）当x 取什么值时，0y >；（3）当x 取什么值时，y 随x 的增大而减小？23. 二次函数23y ax bx =+−中的,x y 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式．（2）求m 的值．24. 在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(4,3)，(2,0)−，且与y 轴交于点A ．（1）求该函数的解析式及点A 的坐标；（2）当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．25. 某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg ，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg ．（1）设涨价x 元，则销售量为____________kg （用含x 的式子表示），月销售利润y （单位：元）与涨价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为____________；（2）求当涨价多少元时利润最大？26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线：224(0)y ax ax a =−+>．（1）抛物线的对称轴为x =____________；抛物线与y 轴的交点坐标为____________；（2）若抛物线的顶点恰好在x 轴上；写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；（3）11(,)A x y ，22(,)B x y 是此抛物线上的两点，若12x x <，且122x x +>，比较1y ，2y 的大小，并说明理由．27. 已知：如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在AB 边上，点A 关于直线CD 的对称点为E ，射线BE 交直线CD 于点F ，连接AF ．（1）设ACD α∠=，则CBF =∠____________（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点00(,)P x y ，给出如下定义：若存在实数1x ，2x ，1y ，2y 使得0112x x x x −=−且0112y y y y −=−，则称点P 为以点11(,)x y 和22(,)x y 为端点的线段的等差点．（1）若线段m 的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,2)−，则下列点是线段m 等差点的有__________；（填写序号即可）①1(16)P −，；②2(20)P ，；③3(4,4)P −；④4(5,6)P −． （2）点A ，B 都在直线y x =−上，已知点A 的横坐标为2−，(0)M t ，，(11)N t +，． ①如图1，当1t =−时，线段AB 的等差点在线段MN 上，求满足条件的点B 的坐标；②如图2，点B 横坐标为2，以AB 为对角线构造正方形ACBD ，在正方形ACBD 的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN 上存在其中某条线段的等差点，直接写出t 的取值范围__________．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．【详解】解：∵()2110m x mx −+−=是一元二次方程， ∴10m −≠，解得1m ≠，故选A ．2. 【答案】C【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解．【详解】解：∵抛物线解析式为()222y x =−+，∴抛物线的顶点坐标为()2,2，故选：C ．【点睛】本题主要考查了考查二次函数的性质，掌握()2y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k 是解题的关键．3. 【答案】A 【详解】解：∵215322y x x =−+− ∴132a b =−=， ∴对称方程为33122x =−=⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭故选A ． 【点睛】本题考查二次函数2y ax bx c =++的对称轴方程为：2b x a =−． 4. 【答案】D【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x ++=， 289x x +=−，2228494x x ++=−+，所以()247x +=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 5. 【答案】D【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可；【详解】解：将抛物线22y x =先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线()2241y x =−−；故选D ．【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 6. 【答案】B【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】方程2x 2+4x ﹣3＝0中，a=2，b=4，c=-3，故x 1+x 2＝b a −=﹣42＝﹣2． 故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a −，x 1x 2=c a． 7. 【答案】C【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：A 、由一次函数y ax a =+的图象可得：a<0，此时二次函数221y ax x =−+的图象应该开口向下，故选项错误；B 、由一次函数y ax a =+的图象可得：a<0，此时二次函数221y ax x =−+的图象应该开口向下，故选项错误；C 、由一次函数y ax a =+的图象可得：0a >，此时二次函数221y ax x =−+的图象应该开口向上，对称轴202x a−=−>，故选项正确； D 、由一次函数y ax a =+的图象可得：a<0，此时二次函数221y ax x =−+的对称轴202x a−=−<，故选项错误．故选：C ．8. 【答案】B 【分析】求出当点E 与点D 重合时，即x =0时EC 、AE 、EF 、BF 的长可排除C 、D ；当点E 与点C 重合时，即x =2时，求出EC 、AE 的长可排除A ，可得答案．【详解】当点E 与点D 重合时，即x =0时，EC =DC =2，AE =AD =2，∵∠A =60°，∠AEF =30°，∴∠AFD =90°．在Rt △ADF 中，AD =2，∴AF =12AD =1，EF =DF ． ∴BF =AB -AF =1，结合图象可知C 、D 错误；当点E 与点C 重合时，即x =2时，如图，连接BD 交AC 于H ，此时EC =0，故A 错误；∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴∠DAC =30°，∴1,DH AH ==，∴AE =2AH B 正确．故选B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象与菱形的性质、解直角三角形的应用，结合函数图象上特殊点的实际意义利用排除法求解是解此题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】 ①. 0 ②. 2【分析】用因式分解法求解即可得出结论．【详解】∵x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，则x ＝0或x ＝2．故答案为0，2．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10. 【答案】13【分析】把方程的解代入方程得到23610a a +−=，则2361a a +=，得()2321a a +=，即可得到答案，此题考查了一元二次方程的解、代数式值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．【详解】解：把x a =代入方程23610x x +−=得：23610a a +−=，即2361a a +=，∴()2321a a +=， ∴2123a a +=， 故答案是：13． 11. 【答案】y ＝x 或y ＝1x−或y ＝x 2等（此题答案不唯一）． 【分析】可根据二次函数、一次函数、反比例函数的性质作答．【详解】解：若为一次函数，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴k ＞0，如y ＝x ；若为反比例函数，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴k ＜0，如y ＝1x−； 若为二次函数，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，对称轴y ＝2b a −≤0，如y ＝x 2； ∴当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的函数解析式为y ＝x 或y ＝1x−或y ＝x 2等（此题答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握函数的图象和性质是解题关键.．12. 【答案】12y y <##21y y >【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据函数解析式确定出对称轴，再根据二次函数的增减性解答．解题关键是数量掌握二次函数的增减性，二次函数的对称轴．【详解】解：22y x =−的对称轴为y 轴，20a =−<，∴0x <时y 随x 的增大而增大，120x x <<，∴12y y <．故答案为： 12y y <．13. 【答案】（16－2x )(9－x )＝112【详解】设小路的宽度为xm ，那么草坪的总长度和总宽度为（16-2x ）m ，（9-x ）m ，根据题意即可得出方程为：（16-2x ）（9-x ）=112，故答案为（16-2x ）（9-x ）=112.14. 【答案】16【分析】边AB 的长是方程x 2-7x +12=0的一个根，解方程求得x 的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．【详解】∵解方程x 2-7x +12=0得：x =3或4∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；∴菱形的边长为4．∴菱形ABCD 的周长为4×4=16．故答案为：16【点睛】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．15. 【答案】0＜x ＜2【分析】根据抛物线与y 轴的交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，然后根据图象即可求得结论．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴的交点坐标为（0，3），对称轴为x ＝﹣1， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点为（2，3），由图象可知，当y ＞3时，x 的取值范围是0＜x ＜2．故答案为：0＜x ＜2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性，利用数学结合思想求不等式的解集是解答的关键．16. 【答案】④⑥【分析】此题考查掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由二次函数2y ax bx c =++的图象可得：抛物线开口向上，即0a >，抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，即0c <，∴0ac <，故①错误；由函数图象可得：当1x <时，y 随x 的增大而减小；当1x >时，y 随x 的增大而增大，故②错误； ∵对称轴为直线1x =，∴12b a−=，即20a b +=，故③错误； 由图象可得抛物线与x 轴的一个交点为()1,0−，又对称轴为直线1x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点为()3,0，则3x =是方程20ax bx c ++=的一个根，故④正确； ∵(0,)A m ，(2.5,)B n ，(3,)C t ，且31 2.5110−>−>−∴t n m >>，故⑤错误；抛物线交x 轴于()1,0−，()3,0，则()()21323y a x x ax ax a =+−=−−， 则3c a =−∵抛物线与y 轴的交点在(0,3)−与(0,2)−之间（包含边界），∴32c −≤≤−，即：332a −≤−≤−， ∴213a ≤≤，故⑥正确； 综上，正确的是④⑥，故答案为：④⑥．三、解答题（共68分，）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】（1）12x =+，12x =（2）14x =，26x =−【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．（1）利用配方法求解即可；（2）利用直接开平方法求解即可．【小问1详解】解：2410x x −−=，2445x x +=−，()225x −=，2x −=，∴12x =，12x =；【小问2详解】解：2(1)250x +−=，2(1)25x +=，15x +=±，∴14x =，26x =−．18. 【答案】14x <<，在数轴上表示见解析【分析】本题考查了不等式的解集，先分别求解各个不等式的解集，并在数轴上表示解集即可求解．【详解】解不等式274x x +>−，得：1x >， 解不等式42x x +<，得：4x <， 则不等式组的解集为14x <<，在数轴上表示如图所示：19. 【答案】2【分析】先将分式进行化简，再将210x y +−=变形整体代入化简好的分式计算即可．【详解】解：原式()()222222x y x yx y =+++=， 由210x y +−=可得21x y +=，将21x y +=代入原式可得，原式221==． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．20. 【答案】（1）详见解析；（2）k ＜0．【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求得方程两根，再结合条件判断即可．【详解】（1）证明：依题意，得△＝（k+1）2﹣4k ＝（k ﹣1）2，∵（k ﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式，得x 1＝﹣1，x 2＝﹣k ，∵方程有一个根是正数，∴﹣k ＞0，∴k ＜0．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 21. 【答案】见解析【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等可得AB CD =，对边平行可得AB CD ∥，再根据两直线平行，内错角相等可得BAF DCE ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABF △和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE BF =．关键是正确证明ABF CDE ≌△△．【详解】证明：在ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥，∴BAF DCE ∠=∠，在ABF △和CDE 中，AB CD BAF DCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABF CDE ≌，∴DE BF =；22. 【答案】（1）见解析 （2）当1x <或3x >时，0y >（3）当2x ≤时，y 随x 的增大而减小【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．（1）利用列表、描点、连线即可解决；（2）根据（1）中的函数图象即可作答；（3）由()224321y x x x =−+=−−，根据二次函数的性质的性质即可求解．【小问1详解】解：列表：【小问2详解】由（1）可知，抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和()3,0，结合图象可知：当1x <或3x >时，0y >；【小问3详解】()224321y x x x =−+=−−，∴当2x ≤时，y 随x 的增大而减小．23. 【答案】（1）2=23y x x −−（2）0【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解．（2）根据二次函数的对称性即可求解．【小问1详解】解：根据表格可知对称轴为直线1x =，且1x =时4y =−，即顶点为()1,4−，设解析式为()214y a x =−−，当0x =时，=3y −，即43a −=−，解得1a =，∴这个二次函数的解析式为：()221423y x x x =−−=−−，即2=23y x x −−【小问2详解】解：∵对称轴为直线1x =，∴当3x =与1x =−时的函数值相等，∴0m =【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．24. 【答案】（1）112y x =+，()0,1A （2）1n ≥【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出y 即可求解．（2）根据题意112x n x +>+结合0x >解出不等式即可求解． 【小问1详解】解：将(4,3)，(2,0)−代入函数解析式得， 3=402k b k b +⎧⎨=−+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴函数的解析式为：112y x =+， 当0x =时，得1y =，∴点A 的坐标为(0,1)．【小问2详解】由题意得， 112x n x +>+，即22x n >−，又由0x >，得220n −≤，解得1n ≥，∴n 的取值范围为1n ≥．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．25. 【答案】（1）()50010x −，2104005000y x x =−++（2）20元【分析】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知月销售量500=−涨价10⨯，由此即可求解；（2）由（1）可知()2210400500010209000y x x x =−++=−−+，结合二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设涨价x 元，则销售量为()50010x −kg ，则月销售利润y （单位：元）与涨价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为()()2504050010104005000y x x x x =+−−=−++，故答案为：()50010x −，2104005000y x x =−++；【小问2详解】由（1）可知()2210400500010209000y x x x =−++=−−+，∵100−<，∴当20x 时，利润y 有最大值9000，即：当涨价20元时利润最大．26. 【答案】（1）1，()0,4（2）2484y x x =−+（3）12y y <，理由见解析【分析】本题考查了待定系数法求解析式、对称轴公式、顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）根据二次函数对称轴公式可求出其对称轴，令0x =，求出y 的值即得出抛物线与y 轴的交点坐标； （2）根据题意可确定该二次函数顶点坐标为(1,0)，再利用待定系数法求解析式即可；（3）根据122x x +>，得1212x x +>，结合12x x <，可知点A 离对称轴更近，再结合函数开口方向，即可求解．【小问1详解】解：抛物线的对称轴为直线212a x a−=−=； 当0x =时，4y =， ∴抛物线与y 轴的交点坐标是(0,4)．故答案为：1，(0,4)；【小问2详解】解：∵抛物线的顶点恰好在x 轴上，∴抛物线的顶点坐标为(1,0)，把(1,0)代入224y ax ax =−+，得：024a a =−+，解得：4a =，∴抛物线的解析式为2484y x x =−+；【小问3详解】解：12y y <，理由如下：∵122x x +>， ∴1212x x +>， 又∵12x x <，∴点A 离对称轴更近，∵0a >，则抛物线开口向上，∴12y y <．27. 【答案】（1）45α︒+（2）AF BF +=【分析】（1）由轴对称的性质得ACF ECF α∠=∠=，AC CE =，再由直角三角形的性质得902BCE α∠=︒−，进而可证CB CE =，则45CBF CEB α∠=∠=︒+，；（2）由（1）可知，4545CFB CEB ECF αα∠=∠−∠=︒+−=︒，过C 作MC CF ⊥于C 交FA 的延长线于点M ，证明45M AFC ∠=∠=︒，得CM CF =，再证明MCA FCB ≌△△，得MA FB =，则MF AF MA AF BF =+=+，然后在Rt CMF △由勾股定理即可得出结论．【小问1详解】 解：A 、E 关于直线CD 对称，∴ACF ECF α∠=∠=，AC CE =．90ACB ∠=︒，∴902BCE α∠=︒−．AC CE =，AC BC =，∴CB CE =．∴()1180452CBF CEB BCE α∠=∠=︒−∠=︒+． 故答案为：45α︒+．【小问2详解】线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系AF BF +=．由（1）可知，4545CFB CEB ECF αα∠=∠−∠=︒+−=︒，过C 作MC CF ⊥于C ，交FA 的延长线于点M ．A 、E 关于FC 对称∴45AFC CFE ∠=∠=︒．MC CF ⊥∴45M AFC ∠=∠=︒．∴MC FC =．90ACB MCF ∠=∠=︒∴MCA BCF ∠=∠． 又AC BC =∴MCA FCB ≌△△．∴MA FB =．∴MF AF MA AF BF =+=+．MC FC =，90MCF ∠=︒∴MF ==． ∴AF BF +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键．28. 【答案】（1）①④ （2）①( 1.25,1.25)B 或( 3.5,3.5)；②72t −≤≤−或16t ≤≤．【分析】（1）m 的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,2)−，根据定义计算检验即可；（2）①根据解析式得(2,2)A −，当1t =−时，(1,0)M −，(0,1)N ，待定系数法确定直线MN 解析式为1y x =+，联立y x =−，求解交点即等差点坐标为(0.5,0.5)−；设点(,)B a a −，根据定义求解；②如图，点B 横坐标为2，可知(2,2)A −，(2,2),(2,2),(2,2)B C D ，(0)M t ，，(11)N t +，，分别在x 轴、直线1y =上，如图，正方形上两点(2,2),(2,1.75)的一个等差点为(6,1)−，点(11)N t +，位于1(6,1)N 时，t 取最小值，7t =−；正方形上两点(2,2),(2,1)的一个等差点为(6,0)，点(0)M t ，位于4(6,0)M 时，t 取最大值，6t =；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故2t ≤−，或，1t ≥，所以72t −≤≤−或16t ≤≤．【小问1详解】解：m 的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,2)−①1(16)P −，：∵1113,622(2) ∴1(16)P −，是等差点； ②2(20)P ，：∵2113,且2331∴2(20)P ，不是等差点； ③3(4,4)P −：∵4113，且4331 ∴3(4,4)P −不是等差点；④4(5,6)P −：∵5331且6(2)(2)2∴4(5,6)P −是等差点．故答案为①④．【小问2详解】解：①∵点A 直线y x =−上，横坐标为2−，∴(2,2)A −当1t =−时，(1,0)M −，(0,1)N设直线MN 解析式为(0)y kx b k =+≠，则01x b b −+=⎧⎨=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线MN 解析式为1y x =+，联立y x =−，得1y x y x =+⎧⎨=−⎩，解得0.50.5x y =−⎧⎨=⎩ ∴交点即等差点坐标为(0.5,0.5)−；设点(,)B a a −，则0.5(2),a a 或0.5(2)(2)a ，解得 1.25a =−或 1.75a∴( 1.25,1.25)B 或( 3.5,3.5)；②如图，点B 横坐标为2，以AB 为对角线构造正方形ACBD ，可知(2,2)A −，(2,2),(2,2),(2,2)B C D ，(0)M t ，，(11)N t +，，分别在x 轴、直线1y =上，如图，根据等差点定义知，正方形上两点()()2,2,2,1.5−的一个等差点为(6,1)−，点(11)N t +，位于1(6,1)N 时，t 取最小值，16t +=−，7t =−；如图，正方形上两点(2,2),(2,1)的一个等差点为(6,0)，点(0)M t ，位于4(6,0)M 时，t 取最大值，6t =； 正方形ACBD 的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故2t ≤−，或12t +≥，即1t ≥，综上，72t −≤≤−或16t ≤≤．【点睛】本题考查正方形性质，一次函数，待定系数法，理解新定义是解题的关键，注意动态问题的多情况分析．。
2020-2021学年北京人大附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2020-2021学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（共8小题）.1．一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3B．2，1，﹣3C．2，﹣1，3D．2，﹣1，﹣3 2．如图，圆O的弦中最长的是（）A．AB B．CD C．EF D．GH3．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．（﹣1，0）4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝6D．（x+1）2＝6 5．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市．下面的图形是各界冬奥会会徽中的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，若点的对应点D恰好在线段AB上，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（）A．CA＝CD B．△CDF≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF8．在平面直角坐标系xOy中，对于自变量为x的函数y1和y2，当﹣1≤x≤1时，都满足|y1﹣y2|≤1成立，则称函数y1和y2互为“关联的”，下列函数中，不与y＝x2为“关联的”的函数是（）A．y＝x2﹣1B．y＝2x2C．y＝（x﹣1）2D．y＝﹣x2+1二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为．10．写出一个对称轴为y轴的二次函数的表达式．11．若关于x的方程x2+2kx+k﹣4＝0的一个根是1，则k的值为．12．如图，AB是⊙的弦，直径CD⊥AB于点H，若⊙O的半径为10，AB＝16，则DH的长为．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则a0，b2﹣4ac0（两空均选填“＞”，“＝”，“＜”）．14．如果m是方程x2+3x＝2020的根，那么代数式m（2m+1）﹣（m﹣1）2的值为．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x和y满足表格：x…﹣10123…y…105212…根据图表中信息推断，方程ax2+bx+c﹣10＝0的根为．16．如图，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，且满足CE＝2BE，过点B作AE的垂线，与CD交于点F，点P、Q分别为线段AE和BF的中点，连接PQ，若PQ＝2，则正方形ABCD的边长为．三、解答题（本题共60分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22题6分，第23-24题每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题5分）解答应写出文字，说明演算步骤或证明过程17．解方程：x2+5x+7＝3x+8．18．求抛物线y＝x2﹣2x与x的交点坐标，并在坐标系中画出图像．19．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在直线BC上，F在BA的延长线上，且满足BF ＝CE，∠E＝∠F．求证：AE＝DF．20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；（2）若此方程的根都为正整数，求整数的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，1），B（2，3），C（2，1），将△ABC绕平面内的某个点P逆时针旋转α．（0°＜α＜180°）角度后，得到△DEF，其中点A、B、的对应点为D（0，2）、E（﹣2，1）．（1）在图中标出点P的位置，并画出旋转后的△DEF；（2）旋转角α的度数为°；（3）小宇尝试通过运用若干次轴对称变换来代替上面的旋转过程，他写出了一种变换的方法，将请将其补全；先将△ABC关于直线x＝1对称，再将所得的图形再关于直线．（填直线的表达式）对称得到△DEF．22．小宇遇到了这样一个问题：如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均3m，今有宽2.4m 的卡车在道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）为解决这个问题，小字以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；（2）求出抛物的表达式；（3）利用求出的表达式，帮助小雨解决这个问题．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，若M为CD的中点．（1）求证：DE∥AB；（2）连接AD，OE，若OE∥AD，求∠BAD的度数．24．小字在学习过程中遇到一个函数y＝|x﹣1|（x2﹣2x+1）﹣2．下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：（1）对于函数y1＝|x﹣1|，图像关于直线x＝1对称；对于二次函数y2＝x2﹣2x+1，图像的对称轴为；综合上述分析，进一步探究发现，函数y的图像也是轴对称图形，其对称轴为．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中画出了函数y的部分图像，用描点法将这个函数图像补充完整．（3）结合数图像和解析式的分析，小得出以下三个结论：①函数y有最小值，没有最大值；②函数y的图像与轴的负半轴交点的横坐标p满足﹣1＜p＜−1 2．③若（x1，m），N（x2，n）函数y图像上的两点，若x1＜x2，且x1+x2＞2，则一定有m＜n．所有正确结论的序号是．25．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图像上．（1）当t＝2时，求二次函数对称轴的表达式；（2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图像上，结合函数图像作答：①当这个函数的最小值为0时，求t 的值；②若在0≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大，直接写出t 的取值范围．26．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点P 为∠ACB 平分线上的一动点，且满足PC ＜PA ，连接PA ，PB ，以P 为中心，将线段PB 旋转，得到线段PD ，使点D 在AC 的延长线上．（1）依题意补全图形；（2）求证：①PA ＝PB ；②∠BPD ＝∠BCD ；（3）过点D 作PC 的垂线，与PC 的延长线交于点E ，写出一个α的值，使得对于任意符合条件的点P ，都有PE AC 是一个定值，画出图形，并求出这个定值．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知y 是x 的函数，对于这个函数图像上的一点A （a ，b ）和给定的实数t （t ＞0）．若这个函数在a ≤x ≤a +t 上有定义且满足：当a ≤x ≤a +t 时，函数值y 的最大值M 与最小值m 的差M ﹣m ＝t ，就称这个函数满足性质Φ（A ，t ）． 如图1，对于函数y ＝x ，给定其图象上的点O （0，0）和t ＝1，在0≤x ≤1上函数值y的最大值M ＝1，最小值m ＝0，满足，M ﹣m ＝t ，因此函数y ＝x 满足性质Φ（0，1）．（1）根据定义，判断函数y ＝x 2是否满足性质Φ（0，1），并说明理由；（2）已知函数y ={−12x ，x ≤0kx ，x ＞0，点M 的坐标为（﹣2，1），若这个函数满足性质Φ（M ，3），结合函数图像，求k 的值；（3）点P 为二次函数y =12x 2图像上的动点，若存在唯一的t ＞0，使得函数y =12x 2满足性质Φ（P ，t ），直接写出点P 的横坐标m 的取值范围．。