大连理工大学《工科数学分析基础》上学期复习.docx

高等数学

第一章函数、极限与连续

一、函数

1. 函数分类

隐函数

F(x, y) = 0; Vx + 77 = 4ci 参数方程表示的函数=

类型分类｛

[y = y (O

积分上限函数 y = [/a )力y = J ：：/(/)d/ 抽象函数

y = /(兀) 歹=/(0(劝)

研究函数的主要问题：

初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。 分析性质：极限、连续性、可微性、 2. 例题(仅限于对应)

引例 = 求 /(/(x))

I +X

解

= 77771 = —^

1 + /(力 i +丄

1 + X

解®)Ty (:鳥

/(X)= <

兀v

0 x>0

，

求 /(/(x)) o

初等函数

概念分类＜

分段函数

/(-V )

sin 血

/(兀)=1

m •

x sin — x

兀HO

可积性

例 2 f(x) = e x ~, /(^(x)) = 1 - x ,且(p{x) > 0 ,求卩(兀)，并写出定义域。 解 f((p(x)) =

(v) = 1 -x,

(p(x) = Jln(l-兀) l-x>l=>x

例3设/(兀)满足妙(兀)+财(丄)=£ ,其中a,b,c 均为常数，且求/(x)的 表达式。

1 c

妙(x) +妙(―)=—……(1) 解

X X

，消掉/(丄)得 /(X )= ^-y(--&X )o

af(~) + bf(x) = ex .............. (2) 兀

a

X

x

小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位 置相对应。抓住“対应” 一点。函数问题基本解决。其他问题从略(本类题考率三年一次)。

3. 习题

[1 |%|<1

1.设 /(x) = n '，则 /(/«)= _Lo

0 \x>\

3.设 =

则 /(/(/«)) =(B)

〔0

|x|>l

1 + x v 0

x< 0

l-x<0 2 + x x<-l x>0 2-x x> 1

l+x>0— —x —15兀vO x<0 x 0

l-x>0 x>0

l + (l + x) 1 + (1 —

兀)

1 — (1 +

兀)

l-(l-x)

2.

设〃) = ]：

X~ 4-X

则 /(-x) = (D)

x > 0

-x 2

x<0 (A) f(-x) =

°

[-(x~ + x) % > 0 {x 2

x<0

(C )/(-x) = ]

[x -x x > 0

(B) f(x)=

(D) /(x) =

—(f + x) -X 2 x 2 - X X 2

x<0 x>0 x< 0

兀no

[1 |x|

(A) 0 (B) 1 (C) <

10 |x|>l 4./(x) =| xsinx| ^cos v (~oo < x < -H>o)是(D)

（A ）有界函数（B ）单调函数 （C ）周期函数 （D ）偶函数

5. 设/（兀）连续，则下列函数中为偶函数的是（D ）。 （A ）

（B ） （C ） （D ） £r[/（r ） + /（-r ）Wr

二、极限

1. 内容总结

°基本型.9型/约掉“零因子”,忙騷同除分母最高阶项

宀0 、落必达法则 OO \落必达法则

2）等价代换当兀TO 时

x 〜sinx 〜tanx 〜arcsin x 〜arctanx 〜ln(l + x)〜e x -1, a x -1 〜xlna

転-I 〜丄 Ina, l-cosx 〜 n

2. （等价代换）

..— 3. 5、 .. YT —3 5 匕 hm ------- ln(l +—) = lim ------------- = 5 川* n + 2 n "Ta 〃 + 2 n

(sinx 〜xjn(l + x)〜兀)

3) 重要极限

lim"11" - i ( limnsin 丄=1 ) •YT () X "Too H

lim(l + x)； =£(lim(l +丄)”=幺)

X XT ()

入—>8

oo

ci > 1 oo

其他lim = 1 (d >0) (lim = 1) lima" =

NT8 〃一»

8

>co

ci = 1

0

lim

/I —>oo

<7 =

0 a<0

\_（ \_ 极限不存在例：lime v

lim e x XT O

入TO

=g ； lim e x — 0

XT (T

用泰勒公式求极限

用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）

例题

基础题目

4) 5) 2s

1.(宀”型)|im V?f7-4 = 3；］讪「豎+3 =丄 0

片-9 丘_3 4片TI 牙°_4兀2+3 2

XT8

:lim| -——— 兀

叫兀 e x - \)

x -\-x

1

町—1) 2