大连理工大学《工科数学分析基础》上学期复习.docx
Removed_大连理工大学工科数学分析上机作业
工科数学分析上机作业说明：以下两道题均是使用Matlab 语言，且在Matlab 7.0中运行通过。
1.（两个重要极限）计算下列函数的函数值并画出图形，观察两个重要极限值。
(1)y=f(x)=; (2)y=f(x)=.sin x x (1+x)1x 解：（1）求解过程如下：>> syms x>> y=limit(sin(x)/x)y =1>> ezplot(sin(x)/x,[-10*pi,10*pi])>> ezplot(sin(x)/x,[-1*pi,1*pi])其图形如下：（2）求解过程如下：>> syms x>> y=(1+x)^(1/x)y =(1+x)^(1/x)>> y=limit((1+x)^(1/x))y =exp(1)>> ezplot((1+x)^(1/x),[-1000,1000]) >> ezplot((1+x)^(1/x),[-10,10]) >> ezplot((1+x)^(1/x),[-1,1])其图像如下：分析如下：（1）当x 取值为[-30,30]时，由该题的第一个图像可以看到，函数值在不断震荡，一会为正数，一会为负数。
而当x 取值为[-3，3]时，函数值始终大于0。
当x 趋近于0时，由该题的第二个图像可以得到函数值为1。
另外，该结论也可以由夹逼法则证明，结果不变，当x 趋近于0时，函数值仍为1。
（2）由该题的三个图像可以知道，该函数在定义域内为单调递减函数。
且由该题的第一和二个图像知道，当x 在[0,10]区间内，函数递减趋势非常迅速。
由该题的第三个图像知道，当x 趋于0 时，函数值为自然对数的底数 e ,即约为2.71828.3.计算f(x)=,12+1√2π∫x 0e ‒t 2/2dt 1≪x ≪3的函数值{f （0.1k ）;k=1,2,…,30}.计算结果取7位有效数字。
大连理工大学《工科数学分析基础》第一章复习.docx
第一章复习X.1函数的极限及其连续性概念：省略 注意事项1. 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，y = f(x) = xsinx 是无界变量，但不是无穷大量。
因为取TT JTx = x lt = 2n7r + ^-时，/(兀)= 2/r +彳，当斤充分大时，/(£)可以大于一预2 2先给定的正数M ；取x = x n = 2/?TF 时，兀)=02. 记住常用的等价形式当X —> 0时，sinx 〜兀， arcsinx 〜匕 tanx 〜兀， arctan x 〜九1 ? 丄 1ln(l + x)〜兀， "一1 ~ x, 1 — cos x ~ — ， (1 + x)n~1 — x2 n例1当XT0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小(A) x 2o (2) 1 -cosxo (3) sinx- tanx (4) ln(l + x 2) o ()解：因为1—COSX 〜丄皿1 +兀2)〜兀2,所以选择CX 2Hr V e -COSX练习hrn -------------XT °lncosx3. 若函数的表达式中包含有a + 4b (或奶+丽)，则在运算前通常要在分子分母乘以其共轨根式a-4b (或丽-丽)，反之亦然，然后再做有关分析运算解lim e -cosxIn cosx " —1 + 1 —cosx=lim -------------------- go ln[l + (cosx-l)]lim ——— go ln[l +(cosx-l)] + limXT O1 - cos%ln[l + (cosx-l)]lim 9JTXT() COS X — 1 + lim 1-cosxXT° cos 无一 1例2 求lim sin( Jn匚Flzr)。
HT8.2 2 r sin - 因为limsin 土上= lim 「^ = l,所以原极限=—JVT8 X 2-V —>oo Z解 lim sin(7^2 + l^r) = lim sin[(V^2 +1 一 町兀 + n7r]=lim(-l)" sin(V^2+ 1”—»87t+1 +当 n t oo 时，sin-------- / c ----------- > 0,(料 Too) 又 |(_1)” =1,故limsinCVn^+l^^O” T8练习 求lim[Jl + 2 + ・・・ + 〃—Jl + 2 + ・・・ + (/? — l)]解原式=lim"T8n(n +1) n(n-l)""2 V ~2-r 1 2n V2 —■— • —「 --------- ------ 「 -——"T8 ^2 Jn(n + T) + J M (/?_1)24.大—>8该极限的特点:l （i ）r 型未定式1（2）括号屮1后的变量（包括符号）与幕互为倒数解题方法（1） 若极限呈广型，但第二个特点不具备，则通常凑指数墓使（2）成立（2） 凡是广型未定式，其结果：底必定是幺，幕可这样确定: 设 limw （x ） = 0 , limv （x ） = oo ,则lim(l ± u(x))v(x)= lime v(x),n(,±w(x)) = e limv(x),n(1±M<x)) limv(^)(±w(x)J _ ±Iim V (X )H (X )e — c这是因为 ln(l ± u{xy)〜±%(x) o例3求lim XT8 1 . 1Ycos —+ sin —X X丿 解原式=lim X —>81 . 1}cos —+ sin —x x(2卡 =lim 1 + sin — XT8lim 夕=0XT一 8x.2单调有界原理单调有界数列必有极限此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列｛暫｝单调有 界；（2）设｛兀｝的极限存在，记为\xmx n =l 代入给定的兀的表达式中，则该式变为/的代 数方程，解之即得该数列的极限。
工科数学分析期末复习
(5) 掌握格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，并 会运用三大公式计算曲线积分和曲面积分；
(6) 了解散度和旋度的概念，并会计算;
本章 重点
(1) 二重积分、三重积分的计算，技巧：选择适当 的坐标系，并考虑利用对称性;
(2) 会用格林公式计算平面曲线积分，技巧：添加 辅助线段，注意使用的前提条件；
等 (1) 在G内L Pdx Qdy Rdz与路径无关 价 (2) C Pdx Qdy Rdz 0,闭曲线C G
命 (3) 在G内存在U(x, y, z)使du Pdx Qdy Rdz
题 (4)
在G内, R Q , P R , Q P y z z x x y
例
计算空间曲线积分
(3) 平面曲线积分与路径无关的等价刻画，及其应 用（求原函数）；
(4) 会用高斯公式计算曲面积分，技巧：添加辅助 面，注意有向曲面的方向（外侧）；
(5) 会用斯托克斯公式计算空间曲线积分，注意有 向曲面和空间曲线的方向成右手系；
(6) 散度和旋度的概念，并会计算。
利用直角坐标计算二重积分
方法: 将二重积分化为两次定积分来计算.
设 f ( x, y)d 选 取 一 种 特 殊 分 法:
D
用 两 组 分 别 平 行 于x轴, y轴 的 直 线 去 分 划
区 域D,这 样d dxdy
面 积 元 素.
而 f ( x, y)d f ( x, y)dxdy y
D
D
D
o
x
利用极坐标系计算二重积分
例如: （1）积分区域D为圆环;
z
d v r 2 sind rd d
因此有
f (x, y, z)dxdydz F(r, ,) r2 sin d r d d
2023考研大连理工大学602数学分析考研真题笔记初试复习资料
2023考研大连理工大学602数学分析考研真题笔记初试复习资料一、大连理工大学602数学分析考研真题汇编及考研大纲1．大连理工大学602数学分析2000-2023、2023-2023、2023-2023、2023年考研真题；其中2005、2023-2023有答案。
说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。
2．大连理工大学602数学分析考研大纲①2023年大连理工大学602数学分析考研大纲。
②2023年大连理工大学602数学分析考研大纲。
说明：考研大纲给出了考试范围及考试内容，是考研出题的重要依据，同时也是分清重难点进行针对性复习的首选资料，本项为免费提供。
二、2023年大连理工大学602数学分析考研资料3．常庚哲《数学分析教程》考研相关资料（1）常庚哲《数学分析教程》[笔记+提纲]①大连理工大学602数学分析之常庚哲《数学分析教程》考研复习笔记。
说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段首选资料。
②大连理工大学602数学分析之常庚哲《数学分析教程》复习提纲。
说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。
4．李成章《数学分析》考研相关资料（1）李成章《数学分析》[笔记+提纲]①大连理工大学602数学分析之李成章《数学分析》考研复习笔记。
说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段首选资料。
②大连理工大学602数学分析之李成章《数学分析》复习提纲。
说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。
5．大连理工大学602数学分析考研核心题库（含答案）①2023年大连理工大学602数学分析考研核心题库精编。
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6．大连理工大学602数学分析考研题库[仿真+强化+冲刺]①2023年大连理工大学602数学分析考研专业课五套仿真模拟题。
大连理工大学《工科数学分析基础》微分方程
大连理工大学《工科数学分析基础》微分方程一、
微分方程
一阶方程 1。
可分离变量
2(一阶线形方程的通解公式
二阶方程
1( 二阶常系数的齐次方程通解 2( 二阶常系数的非齐次方程的特解形
式
全微分方程
结合积分与路径无关出题
解析几何
1( 向量的数量积与向量积
2( 直线方程与平面方程(结合微分法) 多元函数微分学及其应用
1( 连续性(左右连续求常数) 2( 偏导数定义
3( 微分定义公式
4( 多元复合函数微分法
5( 曲线的切向量与平面的法向量计算 6( 拉格朗日乘数法
7( 方向导数的计算公式与梯度定义及其
意义
多元函数积分学
1( 二重积分与三重积分计算 2( 第一型曲线积分与曲面积分 3( 引力(可能性比较小) 向量值函数的积分
1( 第二型曲线积分与曲面积分的计算
2( 格林公式与高斯公式
3( 散度公式
级数
1( 幂级数的求和(重点) 2( 函数展开成幂级数(重点)
1xe,重点，再次 ln(1，x)1,x
3( 傅立叶级数的计算公式及狄利克a,bnn
雷定理(填空题)
4( 常数项级数
1) 填空题(绝对收敛与条件收敛) 2) 结合幂级数求和求与之相关的常数项级数的和
书后习题做一遍
二、期末考试集锦做一遍
三、每次复习的内容理解。
大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习.docx
第二章复习X.l 各类导数的求法复合函数微分法 包=空更dx du dx=arcsin 3 兀-2丫 3x + 2 丿 12 (3兀+ 2尸d 3y _ d (d 2y\ _ dtydx 1) _ /^(r) dx It 隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y 是兀的函数，则y 的函数是兀的复合函数。
2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈dx例 3 设方程 xy 2+ e y= cos(x + y 2),求 y'解法一：y 2+ 2xyy + e yy = -sin(% + >,2)(1 + 2y/),‘3兀-2、<3x + 2 >,/\x) = arcsin x 2,求空dx A=()于是dy dx3=(arcsin 1)・ 3 =—龙 x=o 2参数方程微分法fdx dy d y - dt _ /(O d ~y _ x ，(0/(0 一 y\t)x (r) dx _/(/) dx 1dt[V(0]3,英屮f ⑴的三阶导数存在，且f”⑴H 0 ,求乞，ax dx~ dx解 dy 二血）二厂⑴+（T （/） -广⑴二£ dxx\t ） f\t ） d(dyd 2y d■■Idx~ dxdt\dx) _1dtdx‘ dxIdx 1]r （t ）r 3（oy 2 +sin(x+ b) 〉2xy 4- e y + 2j ,sin(x+ y 2)解法二：d (xy 2+ e y) = d (cos(x + y~))y 2dx + 2xydy + e ydy = -sin(x + y 2)(clx^2ydy)[(2xy + e y+2ysin(x+ y 2)]dy = -[y 2+sin(x+ y 2)]dx,_y 2+sin (兀 + y 2)2xy + R + 2ysin(x+)，)幕指函数的微分法 设 y = w(x)v(x) (w(x) > O,w(x) H1) => y = e v(x,,nM(J)y 二 /讪“(彳/(x)lnw(%) + y (x)也 |_心)」=u(x)v(x)v\x) In u(x) + 咻)""_ U(x)」例 4 设 y = x a' + a x+ x v ,求 y‘解尸/皿+口严+/呎Xy = e(,x ,n\a xln^zlnx + —) +”夕,nx (1 + In x)In a + /,n”(心心 i n% + 齐)X=x°x a x(In d In 兀 + —) + a e(1 + In x)x x• In a + x x°+</_, (alnx +1)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x 求导）解先将表达式写成分式指数幕的形式2 4 £y =(兀 一 2尸(兀 + 3)^(3 - 2 兀$ )*1 + x 2 )刁(5 一 3x 3)'5 In y 二 2 ln(x-2) + | ln(x + 3) + 彳 ln(3-2x 2)-|ln(l + x 2)-| ln(5 一 3x 3)上式两边对x 求导，得2L = _2_ + _? -------- -- --------- - -- +—y x-23(兀 + 3) 3(3-2x 2)3(1+ 〒)5-3x 3(X + 3)2(3-2X 2)4(1 + X 2)(5-3X 3)2 (兀+ 3)2(3-2 兀2 )4例5设尸（“后EU-2)2s2216x 2x 3x 2 + — — +兀一 2 3(x + 3) 3(3-2x 2) 3(1+ x 2) 5-3x 3_分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim "兀)_/(和 及左右 XTXo X- X (} 导数来求是否可导。
《工科数学分析教学资料》复习重点.doc
使用Dirichlet 判别法和Abel 判别法判断数项级数的收敛性，进而判断绝对收敛性 1. 判断下面级数是否收敛.五、（本题15分）OO 1寸 COS — l 、n讨论级数工 ——（1 + -）的收敛性，如果收敛，要分析是绝对收敛还是条件收敛。
77=1 nP n8 1 1四研究级数y （-ir 丄（i+丄）"的绝对收敛或条件收敛性。
（io 分） 負 3n n四、（本题10分）p • 2判断级数z （-l ）w ^-^{5-arctann}是绝对收敛还是条件收敛?n=l 兀使用Dirichlet 判别法和Abel 判别法判断函数项级数的一致收敛性三、 （本题满分10分）a 1确定函数/（x ）=y （-i ）w 丄的定义域及其在定义域上的连续性和可微性。
心 n xy" ° ◎ + x ）arctan /LY 在［0,+x ）上的一致收敛性例.讨论 “2 1"（1 + *） 通过内闭一致收敛性验证和函数的连续性和可微性1. 证明函数项级数/（x ） = Y^-e~x2n2在（0,oo ）不一致收敛，但是和函数/'（兀）在（0,oo ）连n=i n续.2. 证明和函数= 1在（-oo,+oo ）上连续。
H =3 k >n In 7?丿3.证明：（1）函数项级数工叱⑷在（o,+oo ）上不一致收敛；⑵ 函数项级数 n=lnxe~,lx 在（0,+oo ）上连续，且可逐项求导.n=l 8n=沖（1+丄几 IT n幕级数的收敛域幕级数的求法1)讨论下面幕级数收敛区间，在此基础上求和函数・OOZ /:=! 2 n 2 2. 求幕级数的收敛域与和函数，并求级数£牛的和。
n=l n=0 2二、(本题满分10分)求幕级数$(-1)"」一的收敛域，并求级数在收敛区“=2 咻一1)间内的和函数.3. 己知S(x) =》^i£,求S(x) + S(l-x)o求Fourier 级数1. 假设f(x) = -一 ,XG 10,2K ),求f(x)的Fourier 级数.22. 将函数/W = |sinx|在［-龙，龙］展开为傅立叶级。
大连理工大学10,11,12,13上学期工科数学分析基础试题答案
-03cos 2lnlim 0=+=®xx （10分）四、解：(1)0)cos )((lim 00sin )(lim 00=-¢=÷øöçèæ-=®®x x g x x x g a x x （4分）(2)200sin )(lim )0()(lim )0(x xx g x f x f f x x-=-=¢®® =12)0(2sin )(lim 2cos )(lim 00=¢¢=+¢¢=-¢®®g x x g x x x g x x∴ ïîïíì=¹---¢=¢时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f （8分） （3）200)sin )(()cos )((lim )(lim x x x g x x g x x f x x ---¢=¢®® =xx x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-¢-+¢¢+-¢® =)0(12)0(f g ¢==¢¢，因此)(x f ¢在(-∞，+∞+∞))连续。
连续。
（10分）五、解五、解:: 设x x x f ln)(=，由2ln 1)('xxx f -=，可知,当e x >时)(x f 单调减少单调减少 （5分）若e a b >>，则有b b a a ln ln >，推出a b b a ln ln >，即有a b b a > 2011201220122011> （10分）分）所以六、解：2)()()(x x f x f x x x f -¢=¢÷øöçèæ（4分）分） 令)()()(x f x f x x g -¢=，)()(x f x x g ¢¢=¢，令0)(=¢x g ，得0=x （唯一驻点），当0<x 时，0)(<¢x g ，当0>x 时，0)(>¢x g ，故)0(g 为最小值，故0)0()0()(>-=³f g x g ，∴0)(>¢÷øöçèæx x f ，即x x f )(单调增加。
2023考研大连理工大学602数学分析考研真题笔记初试复习资料
2023考研大连理工大学602数学分析考研真题笔记初试复习资料一、大连理工大学602数学分析考研真题汇编及考研大纲1．大连理工大学602数学分析2000-2023、2023-2023、2023-2023、2023年考研真题；其中2005、2023-2023有答案。
说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。
2．大连理工大学602数学分析考研大纲①2023年大连理工大学602数学分析考研大纲。
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6．大连理工大学602数学分析考研题库[仿真+强化+冲刺]①2023年大连理工大学602数学分析考研专业课五套仿真模拟题。
工科数学分析第一学期期末试题
则 a ? ln 3
1
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2．已知 y ? x 2
解： dy ? 1 dx 2
x2 ? 1 ? 1 ln( x ? x2 ? 1），则 dy ? ______。
2
dx
x2 ? 1 ? x 2
1? x ?1 x2 ? 1 2 x ?
x x2 ? 1 x2 ? 1
? 1 x2 ??1
a ? lim 2x2 ? x ? 2 , x?? x( x ? 1)
b?
2x2 ? x lim ( x? ? x ? 1
? 2x)
?
lim
x? ?
? 3 x ?? x?1
3
12
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，
四、（6分）（1）证明：当 x ? 0时， x ? sin x ；
（2）设0 ? x1 ? ? ， xn?1 ? sin xn (n ? 1,2,L )，
代入原方程，得： du ? u 2 ? 1 dx
解得 ar ctan u ? x ? C , 即 ar ctan( x ? y) ? x ? C ,
通解为 y ? tan( x ? C) ? x
9
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大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
10
三、（6分）已知 lim( 2 x2 ? x ? ax ? b) ? 0，试确定常数 x?? x ? 1x? 解：y?e
?
?(
?
1 x
)dx
(
x
2e
?(
?
1 x
)dx
dxC?
)
? ? eln x ( x2e ? ln xdxC? )
工科数学分析复习资料
哈工大工科数学分析复习资料微分公式：基本积分公式：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰+-+--=-+++++=+-===-Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn ln )ln(221cos sin 22222222222222222ππ三角函数的有理式积分公式：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
大连理工大学---上学期工科数学分析基础测试试题
大连理工大学---上学期工科数学分析基础试题作者: 日期:2010工科数学分析基础(微积分)试题二、单项选择题(每题4分,共20分)1•当x 0时，321 ax 1与1 cosx是:等价无穷小，则()/ 、2 3(A) a -，3 (B ) a 3，(C). a 2，(D) a 22.下列结论中不正确的是()(A)可导奇函数的导数一定是偶函数；(B)可导偶函数的导数一定是奇函数；(C).可导周期函数的导数一定是周期函数；(D)可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；3X x3•设f(x) ，则其( )sin x(A)有无穷多个第一类间断点；(B )只有一个跳跃间断点；(C).只有两个可去间断点；(D)有三个可去间断点;4•设f(x) x X3X，则使f(n) (0)存在的最高阶数门为()(A) 1 ( B) 2(C)3(D)45•若sin xlimxf(x)2 0 ，则lim 2()为( )。
x 0x 0x2(A )> 0(B1 (C)1(D)、填空题(每题6分, 共30分)a bx21 •函数f(x) e bx1lim f (x)x 0，若函数f(x)在x 0点连续，则 a , b满足2. limx3. 曲线4. e x y xy5. 若limx 1 limn1n2 n 12~~2~n n 2e t sin 2tt在0,1处的切线斜率为e t cost，切线方程为1 , dy y (0)2x~2 cx x 22，则a(10分)求lim丄亡・-x0 tanx arctanxx 0，其中g (x)具有二阶连续导数，g(0) 0 ,x 0g (0) 1, (1 )求a的值使f (x)连续；(2)求f (x) ； (3)讨论f (x)连续性。
3ln(1 ax3) 门,x 0x arcs in x五.(10分)函数f(x) 6, x 0 问a为何值，f (x)在x 0处(1)e x ax 1,x 0.xxsi n4连续；(2)为可去间断点；(3)为跳跃间断点；(4)为第二类间断点；六.(10 分)设X1 14，Xn 1 x n2 (n1, 2, )，( 1:)求极限lim x；(2)求极限lim4(X n 1 2)1X n 2 n n X n 2七.(10 分)设函数f(x)在a, b连续，a, b可导，证明:至少存在一点a, b , f( ) f(a) b四.(10分)设f( x)g(x) si nxxa,、填空题(每题6分，共30分)在(0,1)点处切线方程为5•设 f(x) x 3si nx ，贝U f (0) ______， f (2011) (0)___________、单项选择题(每题4分,共20分)1.下列结论正确的是()(A) •如果f(x)连续，则f (x)可导。
大连理工高数期末复习(上)
3. y x ln(e
1 1 )( x 0)的渐进线方程为 y x x e
2 2
4.证明 x>0 时 ( x 1) ln x ( x 1)
sin(x t ) 2 ( x t ) 2
( x t ) 4 n 1 1 1 2 3 7 n 1 sin( x t ) dt ( x t ) ( x t ) ( 1 ) 3 3!7 (4n 1)(2n 1)! 1 3 1 7 x 4 n 1 2 n sin( x t ) x x ( 1 ) 0 3 3!7 (4n 1)(2n 1)!
证： f ( x ) f (0) f ' (0) x 其中 (0, x ), x [ 1,1]
1 1 f ' ' (0) x 2 f ' ' ' ( ) x 3 2! 3!
1 1 f ' ' (0) f ' ' ' (1 ) 2 6 将 x=1，x=-1 代入有 1 1 1 f (1) f (0) f ' ' (0) f ' ' ' ( 2 ) 2 6 0 f (1) f (0)
dy | x 0 1 dx
解：两边微分得 x=0 时 y ' y cos x y ，将 x=0 代入等式得 y=1 3. y y ( x )由2 B.曲线切法线问题
xy
x y 决定，则 dy | x 0 (ln 2 1)dx
/2
4.求对数螺线 e 在（，） （e 解：
1. lim
arctan x x arctan x x 1 lim （等价小量与洛必达） 3 3 x 0 ln(1 2 x ) x 0 6 2x sin 6 x xf ( x) 6 f ( x) 0，求 lim 3 x 0 x 0 x x2 sin 6 x xf ( x) 6 cos 6 x f ( x) xy' lim 3 x 0 x 3x 2
工科数学分析I期末复习提纲
《工科数学分析I 》期末考试复习提纲1． 不定积分：原函数与不定积分的概念与基本性质，第一、二类换元积分法，分部积分法，有理函数的积分，万能变换……例1． 求下列积分：（1）42d (1)x x x +⎰ （2）22221d (1)x x x x ++⎰ （3）221d sin cos x x x ⎰ （4）sin(ln )d x x ⎰ （5） cos cos d ax bx x ⎰ （6）x x xe xd )1(2⎰+(7)2d 2sin x x-⎰(8)⎰(9)221x dx x -⎰ (10)2(23)d x x x +⎰ （11）d ln ln(ln )xx x x ⎰（12） arctan d x x x ⎰（13） 241d 1x x x++⎰ （14）x x ⎰ （15）5x（17）sin x e xdx ⎰(18) d 1sin x x -⎰ (19) 21d 1x x x x +++⎰例2． 求1cos d cos sin x I x a x b x =+⎰及 2sin d .cos sin xI x a x b x =+⎰例3． 已知x x x f 22tan 2cos )(cos '+=，20π<<x ，试求)(x f .例4． 设'()sin sin ()f x x xf x dx +=⎰，求()f x .例5． 设()2||f x x =，则()f x dx =⎰2．定积分：定积分的基本概念与基本性质，微积分基本定理，变限积分求导公式，定积分的计算，积分中值定理……例1．利用定积分定义求下列极限：（1）11lim sin()k n n k k n n π=→∞=∑ （2）111lim()12n n n n n →∞++++++例2．设221()()d 1f x x x f t t =-+⎰，求()f x .例3．设()f x 在[0,]2π上连续，且单调增加，证明2202()sin ()f x xdx f x dx πππ≥⎰⎰.例4．求下列函数的导数： （1）2()x f x =⎰（2）22sin ln(1)t xe t dt +⎰例5．求极限（1）22ln(1)limtan x x t dt x x→+⎰（2）21cos 2limt xx e dt x-→⎰例6，求下列定积分： （1）12--⎰（2）1-⎰（3）30⎰ （4）0arctan x xdx（5）220sin cos nn xdx xdx ππ⎰⎰及 （6）120111(3sin x x -+⎰（7）20sin 1cos x x dx x π+⎰（提示：使用公式00(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰） 例7设()f x 在[,]a b 上连续，递增，证明：()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰.3．定积分的应用：定积分的几何应用：求平面图形的面积，旋转体的侧面积、体积，求已知截面面积的立体体积，求弧长……例1．求由抛物线2y x =与22y x =-所围图形面积. 例2．求二曲线sin r θ=与r θ=所围公共部分面积. 例3．求由曲线222()x y a r +-=绕x 轴旋转而得的曲面的面积. 例4．在曲线0)y x =≥上一点M 作切线，使得切线、曲线以及x 轴所围的平面图形D 的面积为13，求 （1） 切点M 的坐标； （2） 过切点M 的切线方程；（3） 平面图形D 绕x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积.例6． 求圆的渐伸线(cos sin )(02)(sin cos )x a t t t t y a t t t π=+⎧≤≤⎨=-⎩的长度.4．数项级数：数项级数的概念与基本性质，数项级数的Cauchy 收敛原理，正项级数的比较判别法，Cauchy 根值判别法，比值判别法，交错级数的Lebnizi 判别法，一般项级数的Dirichlet 、Abel 判别法，绝对收敛与条件收敛…… 例1．讨论下列级数的敛散性并求出级数和：（1）22121(1)n n n n ∞=++∑ （2）1(21)ln (1)(21)n n n n n ∞=++-∑例2．设数列{}n na 与级数11()nn n n aa ∞+=-∑都收敛，证明级数1n n a ∞=∑也收敛.例3．若数列21nn a∞=∑，21nn b∞=∑收敛，证明级数211||,()n nn nn n a b ab ∞∞==+∑∑都收敛. 例4．判断下列级数的收敛性：（1）1(1)11n nn∞+=∑（2）21(ln )kn n n ∞=∑ （3）121ln121n n n n ∞=+--∑ （4）111()n nn n n n n+∞=+∑ （5）1n ∞=∑ （6）1!n n n n ∞=∑（7）14()31nn n n ∞=-+∑例5．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是否绝对收敛：（1）1cos(!)(1)n n n n ∞=+∑ （2）1121n n ∞=-∑例6．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是否绝对收敛：（1）11(1)sin nn n ∞=-∑ （2）11(1)n nn n ∞=-∑例7．判断下列级数的敛散性，如果收敛，是否绝对收敛：（1）1sin ln n nx n ∞=∑ （2）2sin n nxn ∞=+（3）22sin 1(1)(1)(5arctan )ln nnn n n n n ∞=-+-∑ （4）1cos31(1)n n n n n ∞=+∑5．广义积分：无穷积分与瑕积分收敛的定义，广义积分的基本性质，非负函数广义积分的比较判别法，广义积分收敛的Cauchy 收敛准则，Dirichlet 判别法，Abel 判别法，绝对收敛与条件收敛…… 例1．判断下列广义积分的收敛性并求出积分值： （1）201xdx x +∞+⎰ （2）10ln xdx ⎰（3）1ln p dx x x+∞⎰例2．判断下列广义积分的收敛性：（1）21(ln )1p x dx x +∞+⎰ （2）20π⎰ （3）1(0,0)p q dx p q x x+∞>>+⎰（4）20ln sin xdx π⎰例3．判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛：（1）1+∞⎰ （2）11sin cos x x dx x+∞⎰（3）21sin (0)pxdx p x +∞>⎰（4）0ln sin x xdx x +∞⎰ 例4．设()f x 在[1,)+∞连续，()0f x >，ln ()limln f x xλ=-，证明：当 1λ>时，1()f x dx +∞⎰收敛.例5．设()f x 在[1,)+∞连续可微，当x →+∞时，()f x 单调递减趋于0，则1()f x dx+∞⎰收敛的充分必要条件是1'()xf x dx +∞⎰收敛.。
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高等数学第一章函数、极限与连续一、函数1. 函数分类隐函数F(x, y) = 0; Vx + 77 = 4ci 参数方程表示的函数=类型分类｛[y = y (O积分上限函数 y = [/a )力y = J ：：/(/)d/ 抽象函数y = /(兀) 歹=/(0(劝)研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。
分析性质：极限、连续性、可微性、 2. 例题(仅限于对应)引例 = 求 /(/(x))I +X解= 77771 = —^1 + /(力 i +丄1 + X解®)Ty (:鳥/(X)= <兀v0 x>0，求 /(/(x)) o初等函数概念分类＜分段函数/(-V )sin 血/(兀)=1m •x sin — x兀HO可积性例 2 f(x) = e x ~, /(^(x)) = 1 - x ,且(p{x) > 0 ,求卩(兀)，并写出定义域。
解 f((p(x)) =(v) = 1 -x,(p(x) = Jln(l-兀) l-x>l=>x<Oo例3设/(兀)满足妙(兀)+财(丄)=£ ,其中a,b,c 均为常数，且求/(x)的 表达式。
1 c妙(x) +妙(―)=—……(1) 解X X，消掉/(丄)得 /(X )= ^-y(--&X )oaf(~) + bf(x) = ex .............. (2) 兀aXx小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位 置相对应。
抓住“対应” 一点。
函数问题基本解决。
其他问题从略(本类题考率三年一次)。
3. 习题[1 |%|<11.设 /(x) = n '，则 /(/«)= _Lo0 \x>\3.设 =则 /(/(/«)) =(B)〔0|x|>l1 + x v 0x< 0l-x<0 2 + x x<-l x>0 2-x x> 1l+x>0— —x —15兀vO x<0 x 0<x<1 Jl-x>0 x>0l + (l + x) 1 + (1 —兀)1 — (1 +兀)l-(l-x)2.设〃) = ]：X~ 4-X则 /(-x) = (D)x > 0-x 2x<0 (A) f(-x) =°[-(x~ + x) % > 0 {x 2x<0(C )/(-x) = ][x -x x > 0(B) f(x)=(D) /(x) =—(f + x) -X 2 x 2 - X X 2x<0 x>0 x< 0兀no[1 |x|<l(A) 0 (B) 1 (C) <10 |x|>l 4./(x) =| xsinx| ^cos v (~oo < x < -H>o)是(D)（A ）有界函数（B ）单调函数 （C ）周期函数 （D ）偶函数5. 设/（兀）连续，则下列函数中为偶函数的是（D ）。
（A ）（B ） （C ） （D ） £r[/（r ） + /（-r ）Wr二、极限1. 内容总结°基本型.9型/约掉“零因子”,忙騷同除分母最高阶项宀0 、落必达法则 OO \落必达法则2）等价代换当兀TO 时x 〜sinx 〜tanx 〜arcsin x 〜arctanx 〜ln(l + x)〜e x -1, a x -1 〜xlna転-I 〜丄 Ina, l-cosx 〜 n2. （等价代换）..— 3. 5、 .. YT —3 5 匕 hm ------- ln(l +—) = lim ------------- = 5 川* n + 2 n "Ta 〃 + 2 n(sinx 〜xjn(l + x)〜兀)3) 重要极限lim"11" - i ( limnsin 丄=1 ) •YT () X "Too Hlim(l + x)； =£(lim(l +丄)”=幺)X XT ()入—>8ooci > 1 oo其他lim = 1 (d >0) (lim = 1) lima" =<!1NT8 〃一»8>coci = 10<a<\lim/I —>oo<7 =0 a<0\_（ \_ 极限不存在例：lime vlim e x XT O入TO=g ； lim e x — 0XT (T用泰勒公式求极限用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）例题基础题目4) 5) 2s1.(宀”型)|im V?f7-4 = 3；］讪「豎+3 =丄 0片-9 丘_3 4片TI 牙°_4兀2+3 2XT8:lim| -——— 兀叫兀 e x - \)x -\-x1町—1) 2(注对泰勒公式只需熟悉e x , sin x, cos x, ln(l + x\ (1 + x)a 展开式)5.夹逼定理与单调有界[1表示取整函数<-,x(--l)<x[-l<x-- = 2X X L%」 x<2 \「2lim x --1 =2, lim 2 = 2 , 故 lim xXTO*(兀)XT O' XT O*X.• In cos x - ln(l + cosx-l) lim ------- - = lim ---- ----- ； ---- 二 limXT O | — E XXT O __]) XT Ocosx-1 limXT O1£=丄x 2 2lim/?(V3-V2) = lim/7 (1 1、(I A(1、3" -1一2" +1 =lim n 3" -1 -n 2«-lHT8 n —>oonT8 k\ /1 1 3=lim/?- —In3- limn —In2 = In — 2"T8 YI -InaJe n 一1 —Ina)n3. 幕指lim(sinx)tanv = lime tanA,nsinx2 2lim ian.rln(l+sin.v-l) 2e2lim tanx(sin A*-l).YT_ e2..sinx-l . lim -- s in x』cosx，24・泰勒公式 limXT Olim XT O,・ COSX ・ Inn ---------- lim sinxd-sinu e2sinx-x =lim XT ()x 3cosx-(? 2X 4e°=lX -- + (兀3 ) — %3! 八lim兀TO%X 3+—-(1-—+ 2! 4! 2—)2务)+")1 、打皿）1 12解1当兀＞0时，--KX（注意”hT 的处理。
"一1〜x, 1 — C0SX 〜一。
）2当兀<0时，--1<X证：由归纳法易证，V/7 , x zl >0又耳J(汕+丄)注• 2」汕丄=1,即｛兀｝当〃>1时有下界2 — 2 V £_】| ] ]-r z同吋x w+1 -X M =1(x… + —)-< 0,即｛%｝单减，从而｛£｝收敛。
2 兀2石设lim= a ,对递推式取极限得d二丄(d +丄)，解得a- \, a--\ (舍)。
"T8 2 a 注：％严/(£)为两点递推式，写成y = /(x)连续型函数，若f\x) > 0,贝U｛£｝为单调数列，若f\x) < 0 ,贝|」氏｝不是单调的，据此可以调整证明目标。
3、专题训练类题目1).重要极限与幕指型极限. . X •，】im害,-L-—^ln(l+e'sin.t2) “ 丄严例1 lim(l + e x sin x2),_cos v = lim6,1_cos t= lim幺1_cosx = e 2 XT O XT O XT O12 o、—a x~ +/7r y/+b*71( c/W— In ---------- -- = lim(?v "WXT() MN s “)向丄(S fV->ox a1 +/?1— gZx a x^b xI)x(a x+b x)lim /--lXTCT2,解2 %-X」x-,()表示小数部分limx XT().(2lmx——J兀丿丿2)对于数列｛£｝,己知x°>0,尢”+l 12 X/, *X n),证明lim%z/”例2 lim(a > O.b > 0)22Alimx - = 2,故limXT(r X XT。
2丿从而limxXT Olim丄(a* +b x-a x-b x) \im—-lim(^ r 2x\na+b x ^ 2x\nb-a l \na-b K \nb)丄一丄In"gXTOxx-^a x ^h x— £尸02 = £22 11 - lim-ln(sin2/+cos/)例 3 lim(sin — + cos —)x — = t = lim(sin2z + cos^)z =严哄io x x x例 llim smS2 J 加心)=flim —-—— z ln(cos^) f专 i n(i_ z)例 2 lim (Vx 3 + 3x 2 - 7%2 -2x) = lim x(寸1+ —兀XT2XT+OOlim x- -- lim x 丄(—2) = 2 f 2x J_ _l\mn 2(a n -a n+}) = \mn 2a n+l (a n W+1 -1) 〃T8 "T8 a 1 1 lim n^a n+} ( ------------ ) In a = In an zi + 1 3)反问题例 2 lim(Vl-x 6 - ax 2 -b) = 0,求 a,/?。
XT81 ahsin 2/+cos/-l hm -----2) 等价代换lim(2cos 2/-sin/) 90亠 ==lim xG/l + --l-Jl-- + l)= lim XQ/1 + --1)- lim x(XT+8兀兀X —>-H»兀XT+oor 1 3… =JXT+83 X XT+8例3Hmn2丽-惻G〃T8(a > 0)例 1 lim x-a解原式=lim 〈XT8 (1/牙丿1+b兀丿2)X2 31---1)Xh0 ,由此，有a = -i X2解当兀TO时，d'—lT (),故ln(l + Z^)TO,则 sinxsinxln(i +ZW )从而 lim --------- =lim 彳止K = lim [(兀)=丄, 由此=丄Ina 。