§7-5 静电场中的金属导体 (2)

13
4. 库仑平方反比律的精确证明 由于库仑定律是电磁理论的基本规律之一，另 外，库仑定律是否为严格的平方反比律，即在下 式 中 是否严格等于零，是与一系列重大物理问题 1 相联系的。
F
r
2
在证明高斯定理时我们已经看到，高斯定理的成立是由于 库仑定律满足平方反比律，即 = 0；而处于静电平衡的金属 导体内部不存在净电荷的结论，是高斯定理的直接结果。试 设想，库仑平方反比律不严格成立，高斯定理就不存在，处 于静电平衡的金属导体内部就可能存在净电荷。所以，用实 验方法测量导体内部不存在净电荷，可以精确地验证库仑平 方反比律。 14
2. 空腔内部电场强度为零，即它们是等电势。
腔内若存在电场，则电场线只能在腔内空间闭合，而静电场的环 路定理已经表明其电场线不可能是闭合线，所以整个腔内内不可能 存在电场电势梯度为零。即电势处处相等并等于导体的电势。
6
若金属空腔导体内部有带电体
q
由高斯定理可得:
Q
qi 在空腔内 s E dS 0
§ 7-5 静电场中的金属导体
一、 金属导体的静电平衡 二、 导体表面的电荷和电场 三、 导体空腔 四、 导体静电平衡性质的应用
1
一、金属导体的静电平衡 （electrostatic equilibrium）
自由电子 通常的金属导体都是以金属键结合的 晶体，处于晶格结点上的原子很容易失 去外层的价电子，而成为正离子。脱离 原子核束缚的价电子可以在整个金属中 自由运动，这种电子称为自由电子。 当把导体放入静电场E0 中时，导体中的自由电子在外 电场 E0 的作用下定向运动，在导体一侧集结出现负电 荷，而另一侧出现正电荷，这种现象称静电感应现象。 集结的电荷称为感应电荷。
VP VQ E dl =0
P
2. 由于电场线与等势面垂直，因此导体表面附近 的电场强度处处与表面垂直。 3
3. 导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都分布在 导体表面上。 在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理， 应有 1
E dS q
s 0 i
i
因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零， 所以导体内部必定不存在净电荷。 二、导体表面的电荷和电场 导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近带 电体的状况等多种因素有关。大致的规律为：在导体 表面凸起部尤其是尖端处，面电荷密度较大；
(2) 设B上的电量为 q
E内 0
高斯定理
Q内 q Q外 q q
R2
A
根据孤立导体电荷守恒
q
Q内 Q外 q
o R0
R1
B Q内
B 球圆心处的电势 （电势利用叠加原理）
1 q q q q B 0 4 0 R0 R1 R2
三、处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布
由实验可得以下定性的结论： 在表面凸出的尖锐部分(曲率是正值且较大)电荷面 密度较大；在比较平坦部分(曲率较小)电荷面密度 较小；在表面凹进部分带电面密度最小 B c A
孤立 导体
C
A B C
腔外
外表面
孤导 立体 带球 电
1/r
+ ++ ++ + + + + + + + + ++ + + ++
19
导体表面受力：试证明静电平衡条件下导体表面单位面积受的 电场力f=σ2/2ε0 其中σ为该导体表面面电荷密度。
20
例1 两块导体平板平行并相对放置，所带电量分别 为Q和Q ，如果两块导体板的面积都是S，且视为无 限大平板，试求这四个面上的面电荷密度。
解 设四个面的面电荷密度分别为1、 2 、 3 和 4 ，空间任一点的场强都是由 四个面的电荷共同提供的。由高斯定理， 1 2 3 4 各面上的电荷所提供的场强都是 i/20。 EB 另外，由于导体内部的合成场强为零。 EA 若取向右为正方向，则处于导体内部的 点A和点B的场强可以表示为
4
在带电导体表面任取一面元S，可认为其电荷面 密度 为均匀分布。包围S作一圆柱状闭合面，使 其上、下底面与导体表面平行。通过整个圆柱状闭 合面的电通量等于通过圆柱上底面的电通量。 根据高斯定理，有 ΔS E d S = E Δ S
ΔS EΔS 0
S
E 0
qR 0 R1 q R1 R 0 R 2 R 0 R1 R 2

金属壳A的电势
q q A 4 0 R2

q q 4 0 r q q 4 0 R2
r R2 R 1 r R2
q 1 1 q q 4 0 r R1 4 0 R2 r R1
S
16
例2
如图所示,导体球附近有一点电荷q 。
求 接地后导体上感应电荷的电量 解 设感应电量为Q
Q
接地 即
q
0
l
R
？
0
o
q
由导体是个等势体 O点的电势为0 则
Q q 0 4 0 R 4 0 l
R Q q l
17
例4 金属球B与金属球壳A 同心放置，已知：球B半径为 R0 带电为 q ，金属壳A内外半径分别为 R1，R2 ，带电为 Q 求: (1) 将A 接地后再断开，电荷和电势的分布； (2) 再将 B 接地，电荷和电势的分布。 解 (1) A 接地时，内表面电荷为 -q
2
' 外电场与自由电荷移动后的附加场 E 之和 为总场强 ' E0 E E0 E E ' 导体内部和表面都无电荷定向 E 0
移动的状态称为静电平衡状态。
E0
Βιβλιοθήκη Baidu
1. 整个导体是等势体，导体的表面是等势面。 在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差 可以表示为 Q
A
Q
q B
R2
A 0
Q 0
QA q
o
R1
R0
A与地断开后, 电荷守恒
分布在内表面还是外表面？
q 2 E 4 0 r 0 R0 r R1 r R2
q 4 0
18
1 1 r R1
( R0 r R1 )
四、 静电屏蔽(腔内、腔外的场互不影响)
导体
腔内
内表面
第12章 电容器和介电 质 9
尖端放电：
带电的尖端电场强，使附近的空气电离，产生放电。
第12章 电容器和介电 质
10
Z形通道 被迫冲 向云层
第12章 电容器和介电 质
俘获闪电： 激光束引起空气电离，使闪电改道 11
2. 场致发射显微镜
右图是场致发射显微镜的原理图。 在真空玻璃泡内充以少量氦气并在中 心放置被测试的金属针，泡的内壁涂 敷荧光导电膜。若在金属针与荧光导 电膜之间有很大的电势差，泡内上部 空间会产生辐射状的电场。氦分子在 尖端处被电离成氦离子并沿辐射状电 场线射向荧光导电膜。 于是就在膜上产生一个荧光点，它 就是该氦离子与金属尖端相碰的那个 金属原子的“像”。利用荧光膜上的 光点将描绘出金属针尖端表面的原子 分布图像。
上式表示，带电导体表面附近的电场强度大小 与该处面电荷密度成正比。
E是小柱体内电荷的贡献还是导体表面全部电荷 的贡献？ 5
思考
三、导体空腔 （静电屏蔽electrostatic shielding） 1. 内表面上不存在净电荷，所有净电荷都只分布在 外表面。
可能有两种情形， 第一种情形是等量异号电荷宏观上相分离， 并处于内表面的不同位置上，导体不再是等 势体，与静电平衡条件相矛盾。 只能是第二种情形，即内表面上电量处处为 零。
Q
Q'
1 EA ( 1 2 3 4 ) 0 2 0 1 EB ( 1 2 3 4 ) 0 2 0
15
根据已知条件 S ( 1 2 ) = Q S ( 3 4 ) = Q 可解得 (Q Q ) 1 4 2S
2 3
(Q Q )
1 2 3 4
S
Q 2S 上式表明两块无限大的导体平板，相对的内侧表面 上面电荷密度大小相等、符号相反，相反的外侧表面 上面电荷密度大小相等、符号相同。如果 Q = Q ， 可以求出 Q
Q
E
'
1 4 0 , 2 3
12
3. 范德格拉夫静电高压起电机 这种起电机是利用导体空腔所
带电荷总是分布在外表面的原理 做成的。右图是范德格拉夫静电 高压起电机的示意图，起电机工
A
D
F
C
B
E G D
作时A的电势可达2106 V。这种
装置是静电加速器的关键部件， 主要用于加速带电粒子以进行核 反应实验，也用于离子注入技术 以制备半导体器件。
qi 在导体内 s E dS 0 0
S
–q’
说明空腔内表面所带总电量与空腔内带电体的电 量相等、符号相反。导体空腔是等势体，腔内场强
不为零，不是等电势区间。
7
四、导体静电平衡性质的应用
1. 静电屏蔽
＋q ＋q ＋q
-q
-q
利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不 受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使 腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为 静电屏蔽。无线电技术中有广泛应用，例如常把测量 仪器或整个实验室用金属壳或金属网罩起来，使测量 免受外部电场的影响。 8