人教版高中数学选修1-2 《合情推理》习题及答案
人教新课标版数学高二-练习14-15高中数学选修1-2检测 合情推理
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课堂达标·效果检测1.给出下列推理:①由A,B为两个不同的定点,动点P满足||PA|-|PB||=2a<|AB|,得点P的轨迹为双曲线;②由a1=1, a n=3n-1(n≥2)求出S1,S2,S3,猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式;③科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.其中是归纳推理的是( )A.①B.②C.③D.①②③【解析】选B.由归纳推理的定义知只有②为归纳推理.2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=(底×高)可推知扇形的面积S= .【解析】扇形的弧长类似于三角形的底边长,扇形的半径相当于三角形的底边上的高,可推测S=l r.答案:l r3.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:通过观察可以发现:第4个图形中,火柴杆有根;第n个图形中,火柴杆有根.【解析】第一个图形有4根,第2个图形有7根,第3个图形有10根,第4个图形有13根,……猜想第n个图形有(3n+1)根.答案:13 (3n+1)4.已知数列{a n}的通项公式a n=(n∈N*),记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-a n),试计算f(1),f(2),f(3)的值,并推测出f(n)的表达式.【解析】因为a1==,a2=,a3=,所以f(1)=1-a1=,f(2)=(1-a1)(1-a2)==×==,f(3)=( 1-a1)(1-a2)(1-a3)=××=,推测f(n)=.关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学选修一第二章推理与证明答案.docx
第二章合情推理与演绎推理答案2.1.1 合情推理与演绎推理(1)1、d n a a n )1(1-+=2、B3、A4、()nn n n )1(1169411+-++-+-+Λ 5、θθθn cos 23cos 22cos 2 6、V+F —E=2 7、解：9)5(,5)4(,2)3(,0)2(====f f f f 可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数4)4()5(,3)3()4(,2)2()3(=-=-=-∴f f f f f f猜测得出1)1()(-=--n n f n f有)1(432)2()(-++++=-n f n f Λ )2)(1(21)(-+=∴n n n f 因此)2)(1(21)(,5)4(-+==n n n f f 8、解：4211223⨯= 432212233⨯=+ 44332122333⨯=++ 4544321223333⨯=+++ ()414321223333+=+++++n n Λ 由此可以有求和的一般公式为()414321223333+=+++++n n Λ 2.1.2合情推理与演绎推理(2)1、C2、D3、D4、类比5、（1）圆柱面（2）两个平行平面6、()()()x C x S x S 22= ()()()()()y S x C y C x S y x S +=+7、在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。
高二新人教A版数学选修1-2同步练习2-1-1合情推理 Word版含答案]
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2.1.1合情推理一、选择题1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30[答案] B[解析]后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111……A．1111110B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B[解析]可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.3．(2009·湖北文，10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()B ．1024C ．1225D ．1378 [答案] C[解析] 本题主要考查数形的有关知识．图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋na n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.4．下面类比推理中恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” [答案] C[解析] 结合实数的运算律知C 是正确的．5．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比 [答案] C6．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形[答案] C[解析]从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．7．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.B．△C．▭D．○[答案] A[解析]图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上▭才合适．8．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c[答案] D[解析]a·(b＋c)＝ab＋ac，故类比a·(b＋c)＝a·b＋a·c.9．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案] C[解析]第n个正方形数的数目点子可排成每边有n个点子的正方形，故为n2.10．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n边形内角和是(n－3)·180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案] C[解析]由合情推理概念，知①②④符合题意．二、填空题11．对于平面几何中的命题：“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到的命题是：________________________________________.[答案]夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等12．(2010·陕西文，11)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．[答案]13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)[解析]本题考查归纳推理．根据已知条件，第四个等式应用13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．13．经计算发现下列正确不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a、b成立的条件不等式：________.[答案]a＋b<210(其中a、b为不相等的正实数，且a＋b＝20)14．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可写出类似的命题：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[解析]长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与棱AB，BB1，BC所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2(或：长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与平面ABCD，ABB1A1，BCC1B1所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1)三、解答题15．已知：1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，…，1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观察下列立方和13,13＋23,13＋23＋33,13＋23＋33＋43＋…，试归纳出上述求和的一般公式．[解析] 解：13＝12×22413＋23＝22×32413＋23＋33＝32×42413＋23＋33＋43＝42×524………………13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24因而求和的一般公式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)2416．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ≥1，n ∈N )，试归纳出这个数列的通项公式．[解析] 由a 1＝1，2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0，得a 2＝12. 又3a 23－2a 22＋a 3·a 2＝0，∴a 3＝13. 又4a 24－3a 23＋a 4·a 3＝0，∴a 4＝14. 归纳猜想a n ＝1n.17．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f (n )表示这n 个圆把平面分割成的区域数，试求f (n )．[解析] 因为f (n )表示n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n 个圆相交，则增加2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此增加一个圆后，平面被分割成的区域数增加2n 个，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n ，亦即f (n ＋1)－f (n )＝2n . 又f (1)＝2，由递推公式得 f (2)－f (1)＝2×1， f (3)－f (2)＝2×2， f (4)－f (3)＝2×3，……f (n )－f (n －1)＝2×(n －1)， 将以上(n －1)个等式累加得f (n )＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n 2－n ＋2(n ∈N *)．[点评] 这类问题直接求解较复杂，先转化为推测任何相邻两项的关系，再用数列知识求解．18．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本例可以从a 1，a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…，a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2；第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a m nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m .上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。
最新人教版高中数学选修1-2《合情推理》习题课
习题课基础再现1.归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 ,再进行,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.答案:观察,分析,比较,联想归纳,类比2.在数学中,在得到一个新结论前,合情推理常常能够帮助我们.但作为一种猜想或假设是,还必须用证实(或实践驳倒).答案:猜测和发现结论不可靠的数学证明3.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能够为我们提供,即合情推理的解题思路的定向作用及方法方式的移植作用.答案:证明的思路和方向4.合情推理(也称似真推理)通常是靠(包括直观想象)等心智活动串联起来的.这种心智活动形式能导致人们作出,能帮助发现,包括发现新的、及等等.但是,它毕竟是一种非逻辑的思维形式,属于现代心理学上“ ”的范畴,当然并不能用以精确地建立数学命题和理论,最后要证明命题或定理,还需运用严格的与,即“”.答案:猜想与联想新的判断和预见数学真理数学关系结构数学方法数学命题发散思维逻辑分析演绎推理收敛思维典例剖析一,利用合情推理探索新结论,拓展知识【例1】在△ABC中,射影定理可表示为a=BC os C+c co SB.其中a、b、c依次为角A、B、C的对边,类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想.图2－1－6解:如图2－1－6,在四面体P—ABC中,S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC1、△PCA、△ABC 的面积,α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成二面角的大小,我们猜想将射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ.(其正确性同学们可自己证明)点评:运用类比推理的方法,可以帮助我们发现问题、探索规律,不少定理、公式就是运用这种方法提出,再经过严格的证明得到的.二,利用合情推理探求问题答案,找到可用的解题方向或借鉴移植方法【例2】一个平面用n条直线去划分,最多能被分成几块?解:只有当这些直线互不平行并且没有两条以上的直线交于同一点时,才能使分成的块数为最多.后面,我们假定这两个条件都满足,用a n表示由n条直线划分平面时所产生的块数. 我们从n=1、2、3、4情形入手,然后比较、分析其中的规律性,进而归纳出a n.用实验的方法可得a1=2,a2=4,a3=7,a4=11,观察这个数列,发现可用二次式表 达为a1=22112＋＋,a2=22222＋＋,a3=22332＋＋,a4=22442＋＋,由此猜想{a n }的通项为a n =222＋＋n n .上述的具体计算及归纳猜想都不是件容易的事,我们可以归纳出对n 条直线都适用的方法(递推法).设n -1条直线把平面分成a n -1块,现在我们再添加第n 条直线,它与前面n -1条直线相交可得到n -1个交点,这n -1个交点将第n 条直线分成n 段,每段将其穿过的平面块一分为二,这样就比原来多增加了n 块.于是得到递推公式:a n =a n -1+n . 在上式中分别令n =1,2,…,n ,得n 个等式 a 1=1+1, a 2=a 1+2, …a n =a n -1+n .把它们加起来,得到 a n =1+(1+2+…+n ) =1+2)1(+n n =222++n n .因此,一个平面用n 条直线去划分,最多被分成222++n n 块.点评:运用归纳推理需要考察部分对象的情形,从而归纳猜想出一般规律,这样往往有时计算量大,易出偏差,且内部潜在的规律性有时难于看出来,就用“递推法”取代“经验归纳法”,转向考查问题每递进一步所反映的规律,即探求递推关系,最后用初始值及递推关系来寻找一般规律.【例3】设a 1,a 2,a 3,…,a n ,…均为自然数,称a 1+...111432+++a a a 为无穷连分数.例如:2=(2-1)+1=1+121+=1+()1221-+=1+...212121+++,这里a 1=1,a n =2(n ∈N ,n ≥2).请你与上式类似地将3也写成无穷连分数,并写出a n . 解:3=1+(3-1)=1+132+=1+2131＋=1+21311－＋=1+13111＋＋=1+)13(2111-+＋=1+...2111211++++.同时有a 1=a 2n =1,a 2n +1=2(n ∈N ).点评:对有些提供范例的推理题,解答时可根据所给的信息与所求的问题的相似性,运用类比的方法,仿照范例,使问题得到解决.这种方法就是类比法.另外,在解这些信息题时,也可把新信息的问题类比于旧的问题的解决方法,依照它使新信息中的问题得到解决. 能力提高1.已知数列2,5,22,11,…,则25是这个数列的( ) A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项解析:数列各项化为2,5,22,11,…,而52=20,可见各项根号内是首项为2,公差为3的等差数列,由20=2+(n -1)·3得n =7. 答案:B2.已知数列1,a +a 2,a 2+a 3+a 4,a 3+a 4+a 5+a 6,…,则数列的第k 项是 ( ) A.a k +a k+1+…+a 2k B.a k-1+a k +…+a 2k-1 C.a k-1+a k +…+a 2kD.a k-1+a k +…+a 2k-2解析:观察每项中a 最高次幂与最低次幂的规律易知D 正确. 答案:D3.设f (x )(x ∈［a ,b ］)满足()())2(22121x x f x f x f +≤+(其中x 1,x 2为［a ,b ］中任意两点),那么对于［a ,b ］中任意n 个点x 1,x 2,x 3,…,x n ,n1［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )］与f (nx x x n +++...21)的关系的猜想是( )A. n 1［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )］≤f (nx x x n +++...21)B. n 1［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )］≥f (nx x x n +++...21)C. n 1［f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )］<f (nx x x n +++...21)D.不能确定解析:作形式的类比.猜想应有A 的关系. 答案:A4.对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”,推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和 .”( )A.为定值B.为变数C.有时为定值、有时为变数D.为与正四面体无关的常数解析:类比猜想A对,再用特值验证.答案:A5.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适( )A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形解析:从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑平行四边形合适. 答案:C6.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质?你认为比较恰当的是( )①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A.①B.①②C.①②③D.③解析:因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以①②③都恰当.答案:C7.小正方形按照图2－1－7中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成一个数列{a n},则下列结论正确的是( )图2－1－7①a5=15 ②数列{a n}是一个等差数列③数列{a n}是一个等比数列④数列{a n}的递推关系式是a n=a n-1+n(n∈N*)A.①②④B.①③④C.①②D.①④答案:D8.自然数按下表的规律排列则上起第2 004行,左起第2 005列的数为( )A.2 0042B.2 0052C.2 003×2 004D.2 004×2 005解析:经观察可得这个自然数表的排列特点:①第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n 行的第1个数为n 2;②第一行第n 个数为(n -1)2+1;③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1; ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 004行,左起第2 005列的数,应是第2 005列的第2 004个数,即为［(2 005-1)2+1］+2 003=2 0042+2 004=2 004×2 005. 答案:D9.类比平面直角坐标系中△ABC 的重心G (x ,y )的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x 〔其中A (x 1,Y 1)、B (x 2,Y 2)、C (x 3,Y 3)〕,猜想以A (x 1,Y 1,z 1)、B (x 2,Y 2,z 2)、C (x 3,Y 3,z 3)、D (x 4,Y 4,z 4)为顶点的四面体ABCD 的重心G (x ,y ,z )的公式为( )A.()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=222432143214321z z z z z y y y y y x x x x xB.()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=333432143214321z z z z z y y y y y x x x x x C. ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=444432143214321z z z z z y y y y y x x x x xD. ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=555432143214321z z z z z y y y y y x x x x x 解析:结构类比,推广猜想C. 答案:C10.对于任意给定的一个正整数n ,把0与1之间所有分母小于等于n 的不可约真分数按从小到大的顺序排列起来,并在最前面添上10,最末添上11,可得一个有限数列,叫做n 级法里数列,这是数学家法里(J.FareY)在一百多年前发现的,记为F n ,例如:F 2: 10,21,11; F 3:10,31, 21,32, 11;F 4: 10,41, 31, 21,32,43, 11; F 5:10,51,41, 31,52, 21,53, 32,43,54, 11. 试问它具备下列所述的哪些性质( ) ①每相邻两项11b a 和22b a ,都有a 2b 1-a 1b 2=1 ②每相邻三项11b a 、22b a 和33b a ,都有22b a =3131b b a a ++ ③它是递增的数列,且是有限数列A.①②B.②③C.①②③D.①③解析:考察可知具备①②③. 答案:C11.考察下列式子:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;…得出的结论是 .解析:从数值特征看式左首数为n 时,共有连续2n -1个数,式右为(2n -1)2.答案:n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)212.设平面内有n 个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同点,它们把平面分成的区域数为P (n ),如果该平面内再增一个符合上述条件的圆,把平面分成的区域数为P (n +1),那么P (n )与P (n +1)的递推关系式为 .解析:第n +1个圆与前n 个圆有2n 个交点,这2n 个交点将第n +1个圆周分成2n 段弧,每段弧把所在的区域一分为二,就增加了2n 个区域. 答案:P (n +1)=P (n )+2n13.我们已经学过了等差数列,你是否想到过有没有等和数列呢? (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义.(2)探索等和数列{a n }的奇数项与偶数项各有什么特点,并加以说明.(3)在等和数列{a n }中,如果a 1=a ,a 2=b ,求它的前n 项和S n . 解:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和等于同一个常数,那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n +a n +1=a n +1+a n +2. ∴a n +2=a n .∴等和数列的奇数项相等,偶数项也相等.(3)当n 为奇数时,令n =2K -1,K ∈N *,则S n =S 2K -1 =S 2K -2+a 2K -1=222-k (a +b )+a =21-n (a +b )+a = 21+n a +21-n b , 当n 为偶数时,令n =2K ,K ∈N *,则S n =S 2K =K (a +b )=2n(a +b ).∴它的前n 项和S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++.),(2,2121为偶数为奇数，n b a n n b n a n点评:本题是一道浅显的定义类比应用问题,通过对等差数列定义及性质的理解,类比出等和数列的定义和性质,很好地考查同学们类比应用的能力.14.平面上有n (n ≥2)条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且每三条都不相交于同一点,试求这n 条抛物线把平面分成多少个部分?解:当n =2时,两条相交抛物线把平面分成5部分,记f (2)=5=22+1;当n =3时,f (3)=10=32+1;当n =4时,f (4)=17=42+1;当n =5时,f (5)=26=52+1;归纳猜想:f (n )=n 2+1(n ≥2).设n 条抛物线将平面分成f (n )个部分;有(n +1)条抛物线时,由于第n +1条抛物线与前n 条抛物线共有2n 个交点,这2n 个交点将第n +1条抛物线共分成2n +1段,而每一段都把原来所在的部分分成了两部分,从而增加了2n +1个部分, ∴f (n +1)=f (n )+2n +1(n ≥2). ∴f (3)=f (2)+5, f (4)=f (3)+7, f (5)=f (4)+9, ……f (n )=f (n -1)+2n -1.∴f (n )=5+(5+7+9+…+2n -1)=n 2+1.故满足题意的n 条抛物线将平面分成n 2+1个部分. 施展才华1.有人要走上一个楼梯,每步可向上走一级台阶或两级台阶,我们用a n 表示该人走到第n 级台阶时所有可能不同走法的种数,试寻求a n 的递推关系式.解:试验可知a 1=1,a 2=2,第三级台阶可以从第二级台阶上一步走一级台阶走上来;或从第一级台阶上一步走两级台阶走上来.因此,a 3=a 2+a 1.类比这种走法,第n 级台阶可以从第n -1级台阶上一步走一级台阶走上来,或从第n -2级台阶上一步走两级台阶走上来,于是有递推关系式:a n =a n-1+a n-2(n ≥3).2.射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的,其中每两个相邻同心圆的半径的差等于中间最小圆的半径.每相邻两个圆之间围成一个圆环.从外向内顺次叫做1环,2环,3环,…,8环,9环.最小圆内的区域叫做10环.(1)若规定10环的面积为1,分别求出10环到1环的面积.(2)如果像枪靶那样构造无数多个同心圆,并且从最内部的小圆区域依次到外面的各个圆环区域的面积分别记为S 1,S 2,S 3,…,S n ,…,试给出S n 与S n +1的递推关系式. 解:(1)设最小圆半径为R ,从小到大各同心圆的半径依次为2R ,3R ,…,9R ,10R ,于是10环的面积为πR 2=1,9环的面积为π(2R )2-πR 2=3πR 2=3;8环的面积为π(3R )2-π(2R )2=5πR 2=5. ……类似地可算出7环到1环的面积分别为7,9,11,13,15,17,19.(2)设最小圆半径为R ,则第n -1个、第n 个、第n +1个同心圆的半径分别为(n-1)R 、nR 、(n +1)R .∴S n =π(nR )2-π［(n -1)R ］2=(2n -1)πR 2, S n+1=π［(n+1)R ］2-π(n R )2=(2n+1)πR 2,()()12121212221-+=-+=+n n R n R n s s n n ππ. ∴递推关系式为S n+1=1212-+n n S n .。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-2同步练习：2.1.1合情推理 Word版含答案
2.1.1合情推理1、下面使用类比推理正确的是( )A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a b c ccc+=+≠”D.“() nn n ab a b =”类推出“()nn n a b a b +=+”2、观察下列各式：22334455134711a b a b a b a b a b ＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则1010a b ＋＝（ ）A. 28B. 76C. 123D. 199 3、已知“整数对”按如下规律排成一列:()()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,,⋯则第60个“整数对”是( ) A.()7,5B.()5,7C.()2,10D.()10,14、设ABC △的三边长分别为,,,a b c ABC △的面积为S ,内切圆半径为r ,则2Sr a b c=++,类比这个结论可知:四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ,内切球半径为R ,四面体S ABC -的体积为V ,则R 等于( ) A.1234VS S S S +++B.12342VS S S S +++C. 12343VS S S S +++D.12344VS S S S +++5、在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为1S ,外接圆面积为2S ,则1214S S =,推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ,外接球体积为2V ,则12V V =( ) A.164B.127C.19D.186、观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C. D.7、已知数列{}n b 为等比数列, 52b =,则912392b b b b ⋅⋅=,若数列{}n a 为等差数列,52a =,则数列{}n a 的类似结论为( )A. 912392a a a a ⋅⋅=B. 912392a a a a ++++=C. 123929a a a a ⋅⋅=⨯D. 123929a a a a ++++=⨯8、下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形9、观察下列事实1x y +=的不同整数解(),x y 的个数为4,2x y +=的不同整数解(),x y 的个数为8?,3x y +=的不同整数解(),x y 的个数为12,则20x y +=的不同整数解(),x y 的个数为( ) A. 76 B. 80 C. 86 D. 9210、下面由火柴棒拼出的一列图形中,第n 个图形由n 个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A. 30B. 31C. 32D. 3411、如图所示,椭圆中心在坐标原点, F 为左焦点, A 为右顶点, B 为上顶点,当FB AB ⊥时,,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_____.12、观察下列等式.11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++……据此规律,第n 个等式可为__________. 13、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列。
高二数学人教选修1-2第2单元2-1-1合情推理课后练习及解析
高二数学人教选修1-2课后练习第2章推理与证明2.1.1 合情推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC =r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{a n}的一个通项公式为a n= ( )A. B.C. D.【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想a n=.2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )A.空间中平行于同一直线的两条直线平行B.空间中平行于同一平面的两条直线平行C.空间中平行于同一直线的两个平面平行D.空间中平行于同一平面的两个平面平行【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.3.(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色B.黑色C.白色的可能较大D.黑色的可能性较大【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.4.(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是( )A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.5.(2016·天津高二检测)在等差数列{a n}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{b n}中,若b9=1,则成立的等式是( )A.b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)B.b1b2…b n=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+b n=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①b7b8b9b10b11=1……②由①得b1b2......b7=b1b2 (10)由②得b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)观察下列等式:1-=1-+-=+1-+-+-=++…据此规律,第n个等式可为________.【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.答案:1-+-+…+-=++…+7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为_________________.【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为. 答案:1+++…+<8.(2016·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积V A -BCD=________.【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得V A-BCD =R答案:R三、解答题(每小题10分,共20分)9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦↔截面圆,直径↔大圆,周长↔表面积,圆面积↔球体积,等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:V=10.(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN,那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.同理,y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.其中,正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.2.(2016·烟台高二检测)将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则在表中的数字2016出现在( )A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列【解析】选D.第n行有2n-1个数,前n行共有n2个数.因为442=1936,452=2025,而1936<2016<2025,故2016在第45行.又2025-2016=9,且第45行共有89个数字,所以2016在89-9=80列.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.答案:f(2n)≥4.(2016·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).所以=(c,b),=(-a,b),因为⊥,所以·=b2-ac=0,即c2-a2-ac=0,两边同除a2得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去)答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(x n-1,0)的连线与直线y=x交于点P n(x n,y n).(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想P n的坐标.【解析】(1)由方程组得P1.过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.(2)由(1)可猜想P n.6.(2016·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.++=++==1.请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H 点,则+++=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则===.同理有:=;=;=,所以+++==1.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的 (A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.【补偿训练】若数列{a n}(n∈N*)是等差数列，则有数列b n=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质，相应地有，若数列{c n}(n∈N*)是等比数列，且c n>0，则数列d n= (n∈N*)也是等比数列.【解析】由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想d n=.答案：3.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.4.(2015·北京高二检测)设0<θ<，已知a1=2cosθ，a n+1=，猜想a n=( )A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin【解析】选B.因为a1=2cosθ，a2==2=2cos，a3==2=2cos，…，猜想a n=2cos.【一题多解】验n=1时，排除A，C，D.5.(2015·吉林高二检测)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r=( )A. B.C. D.【解析】选C.△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.【补偿训练】在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R= .【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体. 【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：二、填空题(每小题5分，共15分)6.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图中有个原子，有个化学键.【解析】第1，2，3个图中分别有原子：6个、6×2-2个、6×3-2×2个，所以第n个图中有6n-(n-1)×2=4n+2个原子；第1，2，3个图中分别有化学键：6个，6×2-1个，6×3-2个，所以第n个图中有6n-(n-1)=5n+1个化学键.答案：4n+2 5n+17.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18= ，这个数列的前n项和S n 的计算公式为.【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n=故a18=3.从而S n=答案：3 S n=8.如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，正方形A n B n C n D n 的面积为.(用含有n的式子表示，n为正整数)【解题指南】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答.【解析】如题干图1，已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25=52，…正方形A n B n C n D n的面积为5n.答案：5n三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论.【解析】注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1=2×1-1；3=2×2-1；5=2×3-1；7=2×4-1，…又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；…由此总结出一般结论：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.10.如图1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD·BC；若类比该命题，如图2，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明.【解析】命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有=S△BCM·S△BCD，是一个真命题.证明如下：在图2中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2=EM·ED.于是==·=S△BCM·S△BCD.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是( )A.30B.31C.32D.34【解析】选B.第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4+3=7根火柴棒；第3个图形中有4+3×2=10根火柴棒；…第10个图形中有4+3×9=31根火柴棒.2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·西安高二检测)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有.【解题指南】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论.【解析】根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若O是四面体ABCD内一点，则有V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0【拓展延伸】类比推理的常见类型及解题思路类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.4.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于.1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111……【解析】由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.答案：1111111三、解答题(每小题10分，共20分)5.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明. 【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC=V M-ABC+V M-PAB+V M-PAC+V M-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)，而S△ABC=a2，V P-ABC=a3，故d1+d2+d3+d4=a(定值).【拓展延伸】类比法的可靠性(1)类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性.(2)一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度就越大；共有属性越是本质的，结论的可靠程度就越高.尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义.6.设{a n}是集合{2t+2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，….将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数.(2)求a100.【解析】(1)将前三行各数分别写成2t+2s的形式：第1行：3=21+20；第2行：5=22+20，6=22+21；第3行：9=23+20，10=23+21，12=23+22；由此归纳猜想：第4行：24+20，24+21，24+22，24+23；第5行：25+20，25+21，25+22，25+23，25+24.经计算可得第4行各数依次是：17，18，20，24；第5行各数依次是：33，34，36，40，48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1+2+3+…+13=91个数.因此，a100应当是第14行中的第9个数.所以a100=214+28=16640.。
人教A版选修1-2《2.1合情推理与演绎证明(1)》同步练习及答案
合情推理与演绎推理测试题（选修1-2）试卷满分150，其中第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共100分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有1.n A.1845a a a a +<+B. 1845a a a a +=+C.1845a a a a +>+D.1845a a a a =2.下面使用类比推理正确的是 A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误4.设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2007()f x =A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x5.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6.函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A.18B.14C.12D. 17.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+∙+.其中不成立的有A.1个B.2个C.3个D.4个8.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 5 9.设 ()|1|||f x x x =--, 则1[()]2f f =A. 12-B. 0C.12D. 110.已知向量)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 则由x 的值构成的集合是A.{2,3}B. {-1, 6}C. {2}D. {6} 11. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 12.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二.解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 13.证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.14.在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状.15.已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，判断直线EF 与平面ABD 的关系，并证明你的结论.16.已知函数x x x f -+=)1ln()(，求)(x f 的最大值.17.△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 090<.第Ⅱ卷（共50分）三．填空题.本大题共4小题，每空4分，共16分，把答案填在题中横线上。
人教版选修【1-2】2.1.1《合情推理》习题及答案
数学·选修1－2(人教A版)2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理►达标训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝12(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为( )A．V＝13 abcB．V＝13 ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数． 答案：B 4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )A ．a m ·a n ＝a p ·a qB ．a m ＋a n ＝a p ＋a qC.a m a n ＝a pa qD ．a m －a n ＝a p －a q答案：B5．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C6．如右图所示，面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则∑i＝14(a i h i)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i 个面的距离记为H i(i＝ 1,2,3,4)，若S1 1＝S22＝S33＝S44＝K，则∑i＝14(S i H i)＝( )A.4VKB.3VKC.2VKD.VK解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B►素能提高1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n －1)×4＝4n ＋8.答案：4n ＋82．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n 个图中三角形被剖分成a n 个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a 100＝________.…图1 图2 图3答案：182983．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为_____________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1164．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1个2，即数列{a n }为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝______；S 2013＝______.答案：36 39815．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)的变量，请你写出类似于①的式子②：_______________________________________.②式可以用语言叙述为：_______________________________.解析：V (R )＝43πR 3，又⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，故②式可填＝4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数6．(2013·江门佛山二模)将集合{2s ＋2t |0≤s ＜t 且s ，t ∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j ＞0)，则b 43＝________.答案：207．在等差数列{}a n 中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{}b n 中，若b 9＝1，则有等式______________________成立．解析：a 10是等差数列{}a n 的前19项的中间项，而b 9是等比数列{}b n 的前17项的中间项．所以答案应为：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)8．在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜测凸n 边形有几条对角线．解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线； 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条对角线；…归纳猜测：凸n 边形的对角线条数，比凸n －1边形多对角线，于是得到凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．►品味高考1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n (n ＋1)2，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15. 从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k +＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k (5k －1)2点评：本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．2．(2013·陕西卷)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1) 3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________； (2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×12＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12，c＝－1.∴S＝N＋12L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6(2)79。
人教版高中数学选修1-2练习：合情推理练习：
第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理1．认识合情推理的含．2．能利用和比等行的推理，领会并合情推理在数学中的作用．基梳理1．推理．由某事物的部分象拥有某些特色，推出事物的所有象都拥有些特色的推理，或许由个事归纳出一般的推理称推理 (称 )．言之，推理是由部分到整体、由个到一般的推理．2．比推理．由两象拥有某些似特色和此中一象的某些已知特色，推出另一象也拥有些特色的推理称比推理 (称比 )．言之，比推理是由特别到特别的推理．3．合情推理．推理和比推理都是依据已有的事，察、剖析、比、想，再行、比，而后提出猜想的推理，我把它称合情推理．平常地，合情推理是指“符合情理”的推理．基自1．已知扇形的弧 l，半径 r，比三角形的面公式S＝底×高，可推知扇形面2公式 S 扇等于 (C)r2l 2A. 2B.2lrC.2D．不行比分析：由扇形的弧与半径比于三角形的底与高可得 C.故 C.2．从 1＝ 12， 2＋ 3＋4＝ 32， 3＋ 4＋ 5＋ 6＋7＝ 52，⋯，可得一般律___________________________________________________ ．分析：猜想：第 n 个等式的左是 2n－1 个整数的和，第 1 个数 n，等式的右是整数个数的平方，即一般律n＋ (n＋ 1) ＋(n＋ 2)＋⋯＋ (3n－2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)23 ．根据下列 5 个形及相点的个数的化律，猜想第 n个形中有______________个点．分析：第 n 个图有 n 个分支，每个分支上有(n－ 1)个点 (不含中心点 )，再加上中心 1 个点，则有 n(n－1)＋ 1＝ n2－ n＋1 个点．答案： n2－n＋ 1AE AC 4．在平面几何中，△ABC 的内角均分线CE 分 AB 所成线段的比为EB＝BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中 (以下图 )，平面 DEC 均分二面角 ACDB 且与 AB 相交于点 E，则获得的类比结论是 ________．分析：把线段比类比到面积比，得AE＝S△ACD. EB S△BCD答案： AE ＝ S△ACDEB S△BCD（一）解读合情推理数学研究中，获得一个新结论以前，合情推理经常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论以前，合情推理经常能为我们供给证明的思路和方向．合情推理的一般过程为：（二）解读归纳推理(1)归纳推理的分类．①完整归纳推理：由某类事物的全体对象推出结论．②不完整归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．需要注意的是，由完整归纳推理获得的结论是正确的，由不完整归纳推理获得的结论不必定正确．(2)归纳推理的特色．因为归纳是依据部分已知的特别现象推测未知的一般现象，因此归纳推理拥有以下特点：①所得结论超越了前提所包括的范围；②所得结论拥有猜想性质，正确性需要证明；③归纳的基础在于察看、实验或经验．(3)归纳推理的一般步骤．①经过察看、剖析个别状况，发现某些同样特色；②将发现的同样特色进行归纳，推出一个明确表达的一般性命题(猜想 )．（三）解读类比推理(1)类比推理的特色．①类比是从一种事物的特别属性推测另一种事物的特别属性；②类比是以原有知识为基础，猜想新结论；③类比能发现新结论，但结论拥有猜想性，正确性需要证明．(2)类比推理的一般步骤．①明确两类对象；②找出两类对象之间的相像性或许一致性；③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，获得一个明确的结论．1．归纳推理的一般步骤：(1)经过察看个别状况发现某些同样性质．(2)从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．2．归纳推理的思想进度．实验、察看→ 归纳、推行→ 猜想一般性结论．即对有限的资料进行察看、剖析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，而后对该猜想的正确性加以查验．3．一般地，归纳的个别状况越多，越拥有代表性，推行的一般性命题就越靠谱．4．运用类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相像性或一致性．(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．5．类比推理常有的几种题型．(1)类比定义：本类题型解决的重点在于弄清两个观点的相像性和相异性以及运用新观点的正确性．(2)类比性质 (定理 )：本类题型解决的重点在于要理解已知性质 ( 定理 ) 的内涵、应用环境及使用方法，经过研究已知性质 (定理 )，刻画新性质 (定理 )的“相貌”．(3)类比方法 (公式 ) ：本类题型解决的重点在于解题方法．1．下一串白黑相摆列的珠子，按种律往下摆列起来，那么第 36 珠子的色是 (A)○○○●●○○○●●○○○●●○○⋯⋯A ．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．数列 2， 5，11， 20， x， 47，⋯中的x 等于 (B)A．28 B．32C．33 D． 273．已知三角形的三分a， b， c，其内切的半径r ，三角形的面：S 1＝2(a＋ b＋ c)r，利用比推理，能够得出四周体的体(C)1A．V＝3abc1B．V＝3Sh1分是四周体四个面的面，r 四周C．V＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4) ·r(此中 S1， S2， S3， S43体内切球的半径)1D． V＝3(ab＋bc＋ ca)h(h 四周体的高)4．等差数列 { a n} 中，有2a n＝ a n－1＋ a n＋1(n≥2，且 n∈ N* )，比以上，在等比数列{ b n} 中似的是________．答案： b2n＝ b n－1· b n＋1( n≥2，且 n∈ N* )1．以下对于推理的法中的是(A)A．推理是由一般到一般的一种推理程B．推理是一种由特别到一般的推理程C．推理得出的拥有有时性，不必定正确D．推理拥有由详细到抽象的功能2．由数列1， 10， 100，1 000，⋯猜数列的第n 可能是 (B)A ． 10nB ．10n－1C． 10n＋1D． 11n3．依据出的数塔猜123 456 ×9＋ 7 等于 (B)1× 9＋ 2＝ 11 12× 9＋3＝ 111 123× 9＋ 4＝ 1 1111 234× 9＋ 5＝11 11112 345 ×9＋ 6＝ 111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113分析：由数塔体现的规律知，结果是各位都是1的 7位数．4．下边使用类比推理正确的选项是 (C)A ．“若 a ·3＝ b ·3，则 a ＝ b ”类推出 “a ·0＝ b ·0，则 a ＝ b ”B ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “(a ·b)c ＝ ac ·bc ”a ＋ba bC ．“(a ＋ b)c ＝ ac ＋ bc ”类推出 “c ＝ ＋ ( c ≠ 0) ”c cD ．“ (ab)n ＝ a n b n ”类推出 “(a ＋ b)n ＝ a n ＋ b n ” 5． n 个连续自然数按规律摆列以下：依据规律，从 2010 到 2012，箭头的方式挨次是 (C)A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓4 为公差的等差数列，由分析：察看特例的规律知：地点同样的数字是以 11→ 12可知从 2010 到2012为 ↑→. ↑106．以下图，面积为 S 的凸四边形的第 i 条边的边长为 a i (i ＝ 1， 2， 3， 4)，此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 h i (i ＝1，2，3，4)，若a 1 a 2 a 3 a 4＝k ，则 4 2S＝ ＝ ＝ 4(a i h i )＝k .1 2 3i ＝1类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S i (i ＝ 1，2，3，4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离为H i (i ＝1， 2， 3，4)，若 S 1＝ S 2＝ S 3 ＝K ，则4(S i H i )＝(B)1 2 3i ＝14V 3V 2V VA. KB. KC. KD.K分析：从平面类比到空间，往常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，11 面积为 S ＝ ( a 1h 1＋ a 2h 2＋ a 3h 3＋ a 4h 4)，而在三棱锥中， 体积为 V ＝ (S 1H 1＋ S 2H 2＋S 3H 3＋ S 4H 4)，23即存在系数差别，因此，上述性质类比为B.7．察以下不等式：1 31＋22<2，1 1 51＋22＋32<3，1 1 1 71＋22＋32＋42 <4，⋯照此律，第五个不等式 _______________________________ ．n 个不等式的左＝1＋111分析：察不等式的左，第22＋32＋⋯＋（n＋1） 2，右＝ 2（ n＋1）－ 1，n＋ 1因此第五个不等式11111111＋22＋32＋42 ＋52＋62< 6.8．下是用同格的黑、白两色正方形瓷的若干案，按此律，第n 个案中需用黑色瓷________ (用含 n 的代数式表示 )．分析：第 (1) ，(2) ，(3) ，⋯个案黑色瓷数挨次：15－ 3＝ 12， 24－ 8＝ 16，35－ 15＝20，⋯由此可猜第n 个案黑色瓷数：12＋ (n－ 1) ×4＝ 4n＋ 8.答案： 4n＋ 89． 1 是一个 1 的正三角形，分接个三角形三中点，将原三角形剖分成 4个三角形 (如 2)，再分接 2 中一个小三角形三的中点，又可将原三角形剖分成 7个三角形 (如 3)，⋯，依此推，第 n 个中三角形被剖分红a n个三角形，第 4个中最小三角形的__________ ；a100＝ __________．1答案：29810．的面 S＝π r2，周 c＝ 2π r，二者足 c＝ S′(r)，比此关系写出球的公式的一个是：________．分析：的面、周分与的体和表面比可得，球的体 V＝43π R3，表面S＝ 4πR2，足 S＝V′(R)．432答案： V 球 ＝ π R ，S 球＝ 4π R ， 足 S ＝ V ′(R)．11．在等差数列 { a n } 中，若 a 10＝ 0， 有等式 a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a 19－n (n ＜ 19， n ∈ N * )建立． 比上述性 ，在等比数列 { b n } 中，若 b 9 ＝1， 有等式 __________________ 建立．分析： a 10 是等差数列 { a n } 的前 19 的中 ，而 b 9 是等比数列 { b n } 的前 17 的中*．因此答案 ：b 1 b 2 ⋯b n ＝ b 1b 2 ⋯b 17－ n ( n ＜ 17， n ∈ N )．答案： b 1b 2⋯b n ＝ b 1b 2⋯b 17－n (n ＜ 17， n ∈N * )．2212． a n 是首 1 的正 数列，且 (n ＋ 1)a n ＋ 1－ na n ＋ a n ＋ 1·a n ＝0(n ≥1， n ∈ N) ， 出 个数列的一个通 公式．分析：当 n ＝ 1 ， a 1＝ 1，且 2a 22－ a 21＋ a 2· a 1＝ 0，即 2a 22 ＋ a 2 － 1＝ 0 解得 a 2＝ 12；21 21当 n ＝2 ，由 3a 3－ 2 2 ＋2a 3＝ 0，即 6a 23 ＋ a 3 － 1＝ 0，解得 a 3＝ 13，⋯1由此猜想； a n ＝ n .13．在 x2＋ y 2＝ r 2 中， AB 直径， C 上异于 AB 的随意一点， 有 k AC · k BC ＝－ 1，你能用 比的方法得出 x 2 y 22＋ 2＝ 1(a ＞ b ＞0) 中有什么 的 ？a b分析： A(x 0 ，y 0 ) 上的随意一点， A 点对于中心的 称点 B 的坐 (－ x 0， －y 0)，点 P(x ， y) 上异于 A ， B 两点的随意一点，·k ＝ y － y 0 y ＋ y 0 y 2－ y 20k AP · ＝ x 2 2BP x － x 0 x ＋ x 0 － x 0.因为 A ， B ，P 三点都在 上．x 2 y 22＋ 2＝ 1，x 2－ x 02y 2－y 20∴a b两式相减有2 2 a 2 ＋b 2 ＝0，x 0y 0＝ 1，a 2 ＋b 22－ y 222.∴ y220＝－ b2，即 k AP · k BP ＝－ b 2x － x 0aa故 x 2 y 2a 2＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)中 中心的一条弦的两个端点 A ， B ，P 上异于A ， B2的随意一点， 有 k · k BP ＝－ b 2APa .?品尝高考1．(2014 ·西卷 )已知 f(x)＝x ，x ≥ 0，若 f 1(x)＝ f(x)，f n ＋ 1(x)＝ f( f n (x)) ，n ∈ N ＋， f 2 014(x)1＋ x的表达式 ________．xx分析：由 f 1(x)＝ x? f 2(x)＝ fx＝ 1＋ x ＝ x ；又可得 f 3 (x)＝ f(f 2(x)) ＝1＋ x1＋ x x x1＋ x1＋2x1＋1＋ x1＋1＋ 2x＝ x ，故可猜想1＋ 3xxf 2 014(x)＝ 1＋ 2 014x.答案：x1＋ 2 014x2． (2013 ·西卷 ) 察以下等式：(1＋ 1)＝ 2×12(2＋ 1)(2＋ 2)＝ 2 × 1×3(3＋ 1)(3＋ 2)(3＋ 3)＝ 23× 1×3× 5 ⋯照此 律，第 n 个等式可 _______________________________ ． 答案： (n ＋1)( n ＋ 2) ·⋯·(n ＋n)＝ 2n × 1× 3× 5×⋯× (2n － 1)3． (2013 湖·北卷 )在平面直角坐 系中，若点 P(x ，y)的坐 x ， y 格点． 若一个多 形的 点所有是格点， 称 多 形 格点多 形． S ，其内部的格点数 N ， 界上的格点数 L .比如 中 △ ABC的 S ＝ 1，N ＝ 0， L ＝ 4.均 整数， 称点 P 格点多 形的面 是格点三角形，(1) 中格点四 形 DEFG 的 S ， N ， L 分 是 ________； (2)已知格点多 形的面 可表示 S ＝ aN ＋ bL ＋ c ，此中 a ，b ， c 常数．若某格点多形 的 N ＝ 71， L ＝ 18， S ＝ ________(用数 作答 )．分析： (1)四 形 DEFG 是一个直角梯形， 察 形可知：S ＝( 2＋2 2)× 2× 1＝3，N2＝1，L ＝6.(2)由 (1) 知， S 四边形 DEFG ＝a ＋ 6b ＋ c ＝ 3.S △ ABC ＝ 4b ＋c ＝ 1.2 的正方形， 正方形中S ＝在平面直角坐 系中，取一“田 ”字型四 形，组成4， N ＝ 1， L ＝ 8.S ＝a ＋ 8b ＋ c ＝4.立解得 a ＝ 1， b ＝ 1， c ＝－ 1.2∴ S ＝N ＋ 1L － 1，2N ＝ 71， L ＝ 18， ∴若某格点多 形 的S ＝71＋ 1× 18－ 1＝79. 2答案： (1)3，1， 6 (2)794． 古希腊 达拉斯学派的数学家 常在沙 上画点或用小石子表示数．他 研究 下 所示的三角形数：将三角形数1， 3， 6， 10，⋯数列 { a n} ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的序成一个新数列{ b n} ，能够推：(1)b2 012是数列 { a n} 中的第 ________；(2)b2 k－1＝ ________(用 k 表示 )．分析：由以上律可知三角形数1， 3， 6，10，⋯的一个通公式a＝ n（ n＋1），n2写出其若干有：1， 3，6， 10， 15， 21， 28， 36，45， 55，66， 78， 91， 105， 120，此中能被 5 整除的 10， 15，45， 55， 105， 120 ，故 b1＝ a4， b2＝a5，b3＝ a9， b4＝ a10， b5＝ a14， b6＝ a15.进而由上述律可猜想：5k（ 5k－ 1）b2k＝ a5k＝(k 正整数 )，b2k－1＝a5k－1＝（ 5k－ 1）（ 5k－ 1＋1）＝5k（ 5k－ 1），22故 b2 012＝ b2×1 006＝ a5 030，即 b2 012是数列 { a n} 中的第 5 030 ．5k（ 5k－ 1）答案： (1)5 030(2)2点：本考推理，猜想的能力，推理型重在猜想，不必定要明，但猜想需要有必定的和能力，不可以凭空猜想．。
人教版数学选修1-2第二章2.1.1合情推理应用案巩固提升
[A 基础达标]1.下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误解析：选B.根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．2．已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式为a n ＝( ) A.2（n ＋1）2 B.2n （n ＋1） C.22n －1 D.22n －1解析：选 B.a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝16＝23×4，a 4＝110＝24×5，故猜想a n ＝2n （n ＋1）. 3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A ．①B ．①②C ．①②③D ．③解析：选C.正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．4．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D.由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.5．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，…，则72 017的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：选C.因为71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 017＝4×504＋1，所以72 017的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.6．设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2)，则x 2，x 3，x 4分别为________．猜想x n ＝________．解析：x 2＝f (x 1)＝21＋2＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25，所以x n ＝2n ＋1. 答案：23，24，25 2n ＋17.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有________．解析：根据平面几何与立体几何中的类比规律，边类比成面，三角形类比成四面体，所以正三角形类比成正四面体．故类比猜想在空间中有：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值8.观察下列不等式：1＋122＜32， 1＋122＋133＜53， 1＋122＋132＋142＜74， …照此规律，第五个不等式为________．解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162＜1169．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n .解：因为S n ＝n 2·a n (n ≥2)，a 1＝1，所以S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2，a 2＝13＝23×2. S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3. S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n （n ＋1）. 10.通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1，32－22＝2×2＋1，42－32＝2×3＋1，…，(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，将以上各式分别相加得：(n ＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，类比上述求法，求12＋22＋32＋…＋n 2的值． 解：类比可得，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…，23－13＝3＋3＋1，将以上各式累加得(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3n （n ＋1）2＋n ，因此有12＋22＋32＋…＋n 2＝（n ＋1）3－1－n －3n （n ＋1）23＝n （n ＋1）（2n ＋1）6. [B 能力提升]1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C.记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225.2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案：1∶83.如图所示，在△ABC 中，a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P -ABC 中，S1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.4.(选做题)观察下面两式：(1)tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1；(2)tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论．解：猜想：如果α＋β＋γ＝π2，α，β，γ都不为π2， 则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝π2，所以α＋β＝π2－γ， 所以tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－γ＝1tan γ，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan αtan β＋(tan α＋tan β)tan γ＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan γ＝tan αtan β＋(1－tan αtan β)1tan γtan γ ＝tan αtan β＋1－tan αtan β＝1.。
高中数学新人教B版选修1-2合情推理
■orER ZHANG合情推理与演绎推理2.12抽象问謹情境化 新知无师自通推理.归纳推理（乙）（乙）[对应学生用书P11]（3）推理一般分为合情推理与演绎推理图（甲 推理2.合情推理（1）根据一个或几个已知事实（或假设）得岀一个判断，这种思维方式就是推理1.推理的概念与分类合情推理提示：由图知：a i = OA i = 1前提为真时，结论可能为真的推理, 叫做合情推理.常用的合情推理有归纳推理和类比 问题1:图（甲）是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 A 7A 8= 1,把图（乙）中的（2）推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实 （或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结 ______直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1, OA 2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA 1= A 1A 2= A 2A 3试计算 a 1, a 2, a 3, a 4的值 OA n 的长度构成数列{a n }a 2 = OA 2 = J OA 2 + A 1A 2= , 12+ 12= J 2, a 3 = OA 3 = \/OA 2 + A 2A 3 = ^（x/2 J + 12 = V 3a4 = OA4 = OA3 + A3A4 = ® 2 + 1 =申=2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a.}的通项公式a n吗？提示：能猜想出a n= n.(n € N +)问题3:直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由特殊推想出一般结论.归纳推理(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程.⑵归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).mro 类比推理已知三角形的如下性质(1) 三角形的两边之和大于第三边；1(2) 三角形的面积等于高与底乘积的2.问题1:试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.1(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的3.问题2:以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征.问题3:以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是.归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理.类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).［归纳-升华-领悟］----------------------------- 、1. 归纳推理的特点：(1) 归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.(2) 归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠.2. 类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现.⑵类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能.3. 归纳推理和类比推理都属于合情推理.运駅/点巫也也：T-W总瑟［对应学生用书P12］数、式中的归纳推理［例1］根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式:(1) a i = 1, a n + 1 = 2a n+ 1(n€ N +);. a n(2) a1 = 1, a n+1 = ~(n€ N + ).1十a n［思路点拨］由a1求a 由a2求af由a3求af分析a2、a3、a4的结构特征猜想通项公式［精解详析］(1)由a n + 1 = 2a n+ 1 及a〔= =1 得a2= 2 x 1 + 1 = 3,a3= 2X 3 + 1 = 7, a4= 2X 7 + 1 = 15,a5= 2X 15+ 1 = 31.由a1= 1 = 21—1, a2= 3= 22—1,a3= 7= 23—1, a4= 15 = 24—1, a5= 31 = 25—1, 可归纳猜想a n= 2n—1(n€ N +).⑵当n = 1 时，a1= 1，由a n+1= an (n € N +)得1 + a nB A W01a i 1 a2=1 + a i = 2， a 22 1a3=右==3，1+ 2 1 a 331 a4=右=4. 1+ 31可归纳猜想：｛a n ｝的通项公式a n = n［一点通］归纳猜想数列通项公式的具体步骤是： (1) 通过条件求得数列中的前几项；(2) 观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式.1. 将全体正整数排成一个三角形数阵：4 5 6 7 89 1011 1213 1415根据以上排列规律，数阵中第 n 行(n 》3)的从左到右的第3个数是.解析：前1行共1个数； 前2行共1 + 2= 3个数； 前3行共1 + 2+ 3= 6个数；前4行共1 + 2+ 3+ 4= 10个数； 前5行共1 + 2+ 3+ 4+ 5= 15个数；前 n — 1 行共 1 + 2+ 3+ 4+ - + (n — 1)= 因此，第n 行第3个数是全体正整数中第答案： 2 n — n +62•在数列｛a n ｝中，a 1= 1且S n , 5+1,23成等差数列，计算 生，S 4并猜想S n 的表达式.解：依题意得 2S n + 1= S n + 2S 1, S 1 = a 1 = 1. 当 n = 1 时，2S 2= S| + 2S 1,个数.c 3 3…£ = 一 S*i = —；2 2 1 23 7当 n = 2 时，2S 3= S 2 + 2S i =㊁ + 2 =㊁；Ss =4；7 15当 n = 3 时，2S 4= S 3 + 2S i = 4 + 2 =才,B. 31D . 36［思路点拨］解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块 “公共”的有菱形纹正六边形.［精解详析］法一：有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6 + 5X (6 — 1)= 31.法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需 6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块"公共”的菱形纹正六边形 )，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为： 6 + 5X (6 —1)= 31.答案：B［一点通］解决图形中归纳推理的方法(1) 从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2) 从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较， 数值发生了怎样的变化.猜想S n =2n - 12“-1 (n € N +).几何中的归纳推理 [例2]有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(C . 32 第一牛图秦)第二个图案第三个图案- S A PBC + S A FAC + S ^PAB = S ^ABC ,3.如图，第n 个图形是由正（n + 2）边形“扩展”而来（n = 1,2,3，…），则第n 个图形中 的顶点个数为（）解析：第一个图形共有12= 3X 4个顶点，第二个图形共有20 = 4X 5个顶点，第三个图 形共有30= 5X 6个顶点，第四个图形共有 42= 6 X 7个顶点，故第n 个图形共有（n + 2）X （n+ 3）个顶点.答案：B 4.把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形（如下图），则第七个三角形数是.解析：第七个三角形数为 1 + 2 + 3+ 4+ 5 + 6 + 7= 28. 答案：28类比推理的应用［例3］ （12分）如图所示，在平面上，设 h a , h b , %分别是△ ABC 三条边上的高，P 为证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.A . (n + 1)(n + 2) C . n△ ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为P a , P b ，P c ，可以得到结论瓷+瓷+穿1［精解详析］1?BC p a；BC h a& PBCS^ABC’ ,△ 1 3同理, P b= S^PAC P c = FAB h b SS BC ' h c S^ ABC(2分)-S A PBC+S A FAC+S^PAB = S^ABC,类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体 ABCD 中，设 h a , h b ,h e ，h d 分别是四面体的四个顶点到对面的距离， P 为四面体内 任意一点，P到相应四个面的距离分别为 P a ，P b ，P e ，P d ，可以得到结 论計壯計h d =1.(8分)•' V p -BCD + V p - ACD + V p -ABD + V p -ABC = V A -BCD ，• P a +P b + 囚+ Pd • h a h b h e h dVp -BCD+Vp - ACD+Vp -ABD+Vp - ABC=1.V A -BCD［一点通］(1) 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元 素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.(2) 平面图形与空间图形类比如下：平面图形 占八、、线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体""暑値臬制"和5•实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质： a b = b a ， a b = b a ，(a + b) e = a c + b e ， (a + b) e = a e + b e. 则由①(a b) e = a (b e)，②若 0， a e = a b ，贝U b = e ，猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？ 解：猜想：①(a b) e = a (b e)， ②若 a 工 0， a e = a b ，贝U b = e ，证明如下：1S ABCD P aP a 3 V P - BCD h a 1V A - BCD’BCD h aP b V P - ACD P e V P -ABD P d V p - ABCh b V A - BCD’h e V A -BCD 'h d V A -BCD’P »+ P e _ S A PBC + S A FAC + S A PABSx ABC1. （4分）同理,（10分） （12 分） h b h eA这两个结论都不正确.①式左边表示与e共线的向量，右边表示与a共线的向量，e与a不一定共线，就不一定相等.②a e= a b，|a||e| eos〈a，e>= |a| |b| eos〈a，b>，可得|e| eos〈a，e>= |b| eos〈a，b>，则c , b 在a 方向上的投影相等，b , c 不一定相等.6.如图所示，在△ ABC 中，a = b c os C + c c os B ,其中a , b , c 分别为角 A , B , C 的 对边•写出对空间四面体性质的猜想.解：如图所示，在四面体 P —ABC 中，S i ,色，S 3, S 分别表示△ PAB , △ PBC , △ PCA , △ ABC 的面积，a 3, 丫依次表示面FAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想 S = S i cos a+ S 2 cos 3+ S 3 cos 丫［方法-规律 —J 、结］ --------------------------1•用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事 例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.2•进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一 点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.3•多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些. ⑵这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.(3) 这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.1. 观察下列各式： 1= 12,2+ 3+ 4 = 32,3 + 4 + 5 + 6+ 7= 52,4+ 5 + 6 + 7+ 8+ 9+ 10 =72,…，可以得出的一般结论是( )2A . n +(n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n - 2) = n2B. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 2) = (2n — 1)2C. n + (n + 1) + (n + 2) + •••+ (3n — 1) = n2D. n +(n + 1) + (n + 2) + …+ (3n — 1) = (2n — 1)解析：观察很容易发现规律： n +(n + 1) + (n + 2)+…+ (3n — 2) = (2n — 1)2.应用阪YINGYQNG课下训练经典化，贵衽触类旁通［对应学生用书P15］答案：B2. 已知｛b n｝为等比数列，b5 = 2,贝V Sb2b3…b g= 29若｛a n｝为等差数列，a5= 2,则｛a n｝的类似结论为()9. a i + a2+•…+ a9= 29A . a i a2a3…a?= 2BC. a i a2…a9 = 2x 9D. a i + a2+…+ a9= 2 x 9答案：D3 •用火柴棒摆“金，如图所示：鱼”①②③按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A. 6n —2B. 8n—2C. 6n + 2D. 8n+2解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1= 8= 6 + 2.又a2= 14= 6X 2 + 2, a3= 20 = 6x 3 + 2,…所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n + 2.答案：C4•平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A•空间中平行于同一直线的两直线平行B •空间中平行于同一平面的两直线平行C. 空间中平行于同一直线的两平面平行D. 空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比.答案：Dx5. (山东高考)设函数f(x)= ― (x>0)，观察：x I 2xfi(x)= f(x)= x + 2，xf2(x) = f(fl(x))= 3x+ 4，xf3(x) = f(f2(x))= 7x| 8，xf4(x)= f(f3(x))=亦x i品，根据以上事实，由归纳推理可得：当n € N +且n>2 时，f n(x)= f(f n-i(x))=.X —、 xf 2（x ） = 22— 1 x + 22，f3（x ）= 23- 1 X + 23， f4（x ） = 24— 1x + 24， X ____ f n （x ） = 2n — 1 x + 2n . 6. 给出下列推理: (1)三角形的内角和为(3 — 2) 180 °四边形的内角和为(4 — 2)180°五边形的内角和为(5 — 2) 180°所以凸n 边形的内角和为(n — 2) 180°;(2) 三角函数都是周期函数， y = tan x 是三角函数，所以y = tan x 是周期函数；(3) 狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的， 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4) 在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空 间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行.其中属于合情推理的是.(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断.因为 (1)(3)都是归纳推理， ⑷是类比推理，而 ⑵不 符合合情推理的定义，所以⑴(3)(4)都是合情推理.答案：⑴⑶⑷17. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1 且 S n - 1+ S + 2 = 0(n > 2)，计算 S 1，S 2, S 3 , S 4,并猜想S n 的表达式.解：当 n = 1 时，S 1= a 1= 1 ；1 1当 n = 2 时，&=一 2 一 S 1 = — 3，…S 2=—：； S 2 31 5 3当 n = 3 时，§ = — 2 — S 2= — 3，二 S 3=— 5；1 7 5当 n = 4 时，(=—2 — &=_?二 S 4=—刁.S 4 5 72n — 3解析：由已知可归纳如下:f l （x ） = 答案: X ___2n — 1 x + 2n x猜想：S n= —2n—1 (n€ N +).&已知椭圆具有以下性质：已知 M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭 圆上任意一点，若直线 点P 的位置无关的定值. PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM , k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与 2 试对双曲线 x a 解：类似的性质为: 已知 M , N 是双曲线 2 y = 1(a > 0, b > 0)写出类似的性质，并加以证明. 2 x —2 a 2 -y2= 1(a > 0, b > 0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线 PM , PN 的斜率都存在，并记为 k pM ，k pN ,那么k pM 与k pN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点 M 、P 的坐标为(m , n), 2 2•••点M(m , n)在已知双曲线拿—y 2= 1上, 2 2 , 2 .m n 2 b 2 2•-孑-^= 1，得 n =尹-b ,(x . y),贝U N 点的坐标为(-m ,— n). 同理 y 2= O^x 2- b 2 2 2 二 y — n 2 —m 2). 2 2 y — n y +n y ― n 贝U k pM k PN = - = 2~x — m x + m x — m a x — m 2 2 2 b 2 x — m 2= -2 • ~2。
最新精编高中人教A版选修1-2高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》检测题2和答案
合情推理与演绎推理测试题2（选修1-2）班级 姓名 学号得分 一、选择题：1、与函数x y =为相同函数的是（ ）A.2x y = B.xx y 2= C.x e y ln = D.x y 2log 2=2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角都大于60度；C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角至多有两个大于60度。
5、当=n 1，2，3，4，5，6时，比较n 2和2n 的大小并猜想 （ ） A.1≥n 时，22n n > B. 3≥n 时，22n n >C. 4≥n 时，22n n >D. 5≥n 时，22n n > 6、已知"1""1",,22≤+≤∈y x xy R y x 是则的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c 的值是( ) A. 1 B. 2 C.3 D.48、 对“a,b,c 是不全相等的正数”，给出两个判断：①0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ；②a c c b b a ≠≠≠,,不能同时成立， 下列说法正确的是（ ） A ．①对②错B ．①错②对C ．①对②对D ．①错②错9、设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定 10、():344,(),x x y x y y x y ≥⎧⊗=⊗=⎨<⎩定义运算例如则下列等式不能成立．．．．的是（ ）A ．x y y x ⊗=⊗B ．()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗C ．222()x y x y ⊗=⊗D ．)()()(y c x c y x c ⋅⊗⋅=⊗⋅ （其中0>c ）二、填空题：11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
【精品习题】高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.1 合情推理(二) Word版含解析
2.1.1 合情推理(二)一、基础过关1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与ax ＋y类比，则有ax ＋y＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④3．在等差数列{a n }中，若a n <0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是( ) A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7 B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8 C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8 D ．b 4＋b 5>b 7＋b 84．已知扇形的弧长为l ，半径为的r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________.5．类比平面直角坐标系中△ABC 的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 3)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________．6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有_____________________________________． 二、能力提升7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________． ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(pk 2＋p ，p k)，请你写出弦MN 的中点坐标：________.10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11．如图(1)，在平面内有面积关系S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12. 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．答案1．D 2．C3．A 4.12lr5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 446.T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 1007．② 8．①②③ 9．(pk 2＋p ，－pk ) 10.a 3811．解 类比S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB， 有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC证明：如图(2)：设C ′，C 到平面PAB 的距离分别为h ′，h . 则h ′h ＝PC ′PC， 故V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝13·S △PA ′B ′·h ′13S PAB ·h＝PA ′·PB ′·h ′PA ·PB ·h＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.12．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.13．解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．。
2020年高二数学人教选修1-2同步练习：2.1.1 合情推理(一) Word版含解析
第二章 推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理(一)一、基础过关1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．1282．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－63．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1134．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)25．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 二、能力提升6．设x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈R*)的个位数字是________．7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层．第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题．(1)按照要求填表：n 1234…S n136…(2)S10＝________.(3)S n10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；(2)b2k－1＝________.(用k表示)11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； (3)求出f (n )．三、探究与拓展13．在一容器内装有浓度r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．答案1．B 2．A 3．B 4．C5．f (2n )>n ＋226．7 7．①8．a n ＝3n －1(n ∈N *) 9．(1)10 (2)55 (3)n (n ＋1)210．(1)5 030 (2)5k (5k －1)211．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)．12．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分． (2)f (n ＋1)＝f (n )＋n ＋1.(3)f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22.13．解 b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p )；b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)2r ＋15p ＋452p ]；b 3＝ab 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋4253p ]；归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ]．.....................................使用本文档删除后面的即可 致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
最新精编高中人教A版选修1-2高中数学达标习题2.1.1合情推理和答案
温馨提示：课时自测·当堂达标1.下列推理是归纳推理的是 ( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则点P 的轨迹是椭圆B.由a 1=1,a n =3n-1,求出S 1,S 2,S 3,猜想数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2+y 2=r 2的面积S=πr 2,猜想出椭圆+=1的面积S=ab πD.以上均不正确【解析】选B.归纳推理是由特殊到一般的推理,只有选项B 符合.2.已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=(n ∈N *),则可归纳猜想{a n }的通项公式为( )A.a n =B.a n =C.a n =D.a n =【解析】选B.由已知a 1=1,a 2==,a 3===,a 4===,……由此猜想a n =. 3.类比平面正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,在正四面体的下列性质中,你认为比较恰当的是 ( )①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;②各面都是全等的正三角形,任意相邻的两个面所成的二面角都相等; ③各面都是全等的正三角形.A.①B.①②C.①②③D.③【解析】选C.由平面几何与立体几何的类比特点可知,三条性质都是恰当的.4.观察下列各式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……,这些等式反映了自然数间的某种规律,设n 表示自然数,用关于n 的等式表示为________.【解析】由已知四个式子可分析规律(n+2)2-n 2=4n+4.答案:(n+2)2-n 2=4n+45.在公比为4的等比数列{b n }中,若T n 是数列{b n }的前n 项积,则有,,也是等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地在公差为3的等差数列{a n }中,若S n 是{a n }的前n 项和,写出相应的结论,判断该结论是否正确,并加以证明.【解析】结论:S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30也是等差数列且公差为300.此结论是正确的,证明如下:因为数列{a n }的公差d=3.所以(S 30-S 20)-(S 20-S 10)=(a 21+a 22+…+a 30)-(a 11+a 12+…+a 20) ==100d=300.同理:(S 40-S 30)-(S 30-S 20)=300,所以S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30是等差数列且公差为300.。
2016-2017学年高二数学人教A版选修1-2第2.1.1 合情推
绝密★启用前2.1.1合情推理一、选择题1．【题文】已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式2S ⨯=底高，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A ．22rB ．22l C ．12lrD ．不可类比2．【题文】如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大3．【题文】下列推理是类比推理的是（）A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |=2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确4．【题文】设()()11112,23f n n n n=++++>∈N ，经计算可得 (4)2,f >5(8),2f >(16)3,f >7(32)2f >. 观察上面结果，可得出的一般结论是（）A ．()()2122,2n f n n n +>≥∈N B ．()()222,2n f n n n +≥≥∈N C ．()()222,2n n f n n +≥≥∈ND ．()()222,2n n f n n +>≥∈N5．【题文】在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ） A ．18 B.19 C.164 D.1276．【题文】如图，第个图形是由正2+n 边形“扩展”而来（⋅⋅⋅=,3,2,1n ），则在第个图形中共有个顶点（）A ．)2)(1(++n nB ．)3)(2(++n nC ．2nD ．7．【题文】如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2016次跳跃后它将停在的点是()A ．1B ．2C ．3D ．48．【题文】将正整数排成下表：1 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……则表中数字2 017出现在( ) A ．第44行第78列 B ．第45行第78列 C ．第44行第77列 D ．第45行第81列二、填空题9．【题文】已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________.10．【题文】在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间的关系为________.11．【题文】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()12n n +＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数N (n ，3)＝12n 2＋12n ， 正方形数N (n ，4)＝n 2， 五边形数N (n ，5)＝32n 2－12n ， 六边形数N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________.三、解答题12．【题文】已知：2223sin 30sin 90sin 1502︒+︒+︒=；2223sin 5sin 65sin 1252︒+︒+︒=. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.13．【题文】已知()f x =()()01f f +，()()12f f -+，()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.14．【题文】（1）证明：当1>a 时，不等式223311aa a a +>+成立； （2）要使上述不等式223311a a a a +>+成立，能否将条件“1>a ”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；（3）请根据（1）、（2），试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．2.1.1合情推理 参考答案与解析一、选择题 1． 【答案】C【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r ，∴S 扇＝12lr .考点：类比推理. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】A【解析】由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色是白色． 考点：归纳推理. 【题型】选择题 【难度】较易3． 【答案】C【解析】A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 是类比推理．故选C. 考点：推理的类型及特点. 【题型】选择题 【难度】较易 4． 【答案】D 【解析】()2422>f ，()2523>f ，()2624>f ，()2725>f ，所以推得一般结论是()()222,2n n f n n +>>∈N ，故选D. 考点：归纳推理. 【题型】选择题 【难度】较易 5． 【答案】D【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的外内切球、外接球的半径比为1∶3，则它们体积比为 1∶27. 考点：类比推理. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】B【解析】第一个图形是正三角形的每边变成4条线段，第二个图形是正方形的每边变成5条线段，第三个图形是正五边形的每边变成6条线段，第四个图形是正六边形的每边变成7条线段，…，因此，第个图形是正2n +边形的每边变成3n +条线段，从而它是(2)(3)n n ++边形，共有(2)(3)n n ++个顶点．故选B ． 考点：归纳推理．【题型】选择题 【难度】一般 7． 【答案】D【解析】记a n 表示青蛙第n 次跳跃后所在的点数，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝2，a 6＝4，…，显然{a n }是一个周期为3的数列，故a 2016＝a 3＝4，答案为D ． 考点：归纳推理. 【题型】选择题 【难度】一般8． 【答案】D【解析】第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 017＜2 025，∴2 017在第45行．又2 025－2 017＝8，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 017在第89－8＝81列． 考点：归纳推理. 【题型】选择题 【难度】一般二、填空题 9．【答案】sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32【解析】观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即30°＋60°＝90°，90°＋60°＝150°；5°＋60°＝65°，65°＋60°＝125°.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32. 考点：归纳推理. 【题型】填空题 【难度】较易 10．【答案】2ABC S ＝S △OBC ·S △DBC【解析】将直角三角形的一条直角边长类比为与棱AD 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比为△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积，可得2ABC S ∆＝S △OBC ·S △DBC ． 考点：类比推理. 【题型】填空题 【难度】一般 11．【答案】1000【解析】已知式子可化为()22113243,3,2222N n n n n n --=+=+ ()()22224244315245,4,,5,222222N n n n n N n n n n n ----==+=-=+()226246,62,22N n n n n n --=-=+由归纳推理可得()224,22k kN n k n n --=+，1000. 考点：归纳推理的应用. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12．【答案】2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=【解析】一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=. 证明：左边()()1cos 21201cos 21201cos 2=222ααα--︒-+︒-++[]313cos(2120)cos 2cos(2120)222ααα=--︒+++︒=， 所以等式成立.考点：归纳推理，三角函数的化简. 【题型】解答题 【难度】一般13．【答案】()()1f x f x -++=【解析】由()f x =()()01f f +==，()()12f f -+，()()23f f -+==，归纳猜想一般性结论为()()1f x f x -++=， 证明如下：()()1x f x f x -++=====考点：合情推理. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】（1）见解析（2）上述不等式的条件可放宽为0>a 且1≠a （3）若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有n nm m aa a a 11+>+【解析】（1）证明：352233)1)(1()1(1aa a a a a a --=+-+,∵1a >， ∴510,10a a ->->，∴0)1)(1(35>--aa a ，∴不等式223311a a a a +>+成立． （2）∵()()1112345++++⋅-=-a a a a a a ，则对任意0>a 且1≠a ，式子1-a 与15-a 同号，∴条件可放宽为0>a 且1≠a ．（3）根据（1）（2）可推知：若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有nnm m a a a a 11+>+．mn m n m n m m nm n aa a a a aa )1)(1()1(1)1(--=---=-+--， 若1>a ，则由1,,1,1m n m n m n m n a a *+->≥∈⇒>>⇒N 不等式成立；若10<<a ，则由1,,01,01m n m n m n m n a a *+->≥∈⇒<<<<⇒N 不等式成立． 综上得：若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有nnm m a a a a 11+>+成立． 考点：不等式的应用. 【题型】解答题 【难度】较难。
人教版高中数学选修1-2练习：合情推理
第二章推理与明2.1合情推理与演推理合情推理A基稳固一、1．以下推理是推理的是()A． F 1， F2定点，点P 足 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a>|F 1F 2|，得 P 的迹B．由 a1＝ 1， a n＝ 3n－ 1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前n 和 S n的表达式x2y22222C．由 x＋ y＝ r的面π r ，猜想出a2＋b2＝1的面S＝πabD．科学家利用的沉浮原理制造潜艇分析：由推理的定知， B 推理．答案： B2．依据出的数塔猜123 456 ×9＋ 7 等于 ()1× 9＋ 2＝ 1112× 9＋ 3＝111123× 9＋ 4＝ 1 1111 234×9＋ 5＝ 11 11112 345× 9＋ 6＝ 111 111A． 111 1110B． 1 111 111C． 1 111 112D． 1 111 113分析：由 1×9＋ 2＝ 11；12× 9＋ 3＝ 111；123× 9＋ 4＝ 1 111；1234× 9＋ 5＝ 111 111；⋯可得，等式右各数位上的数字均 1，位数跟等式左的第二个加数同样，因此 123 456 ×9＋7＝ 1 111 111.答案： B3．察形律，在其右下角的空格内画上适合的形()分析：察看可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个暗影一个空白，应为黑色矩形．答案： A4．设 n 是自然数，则1(n2－ 1)[1－ (－ 1)n]的值 ()8A．必定是零B．不必定是偶数C．必定是偶数D．是整数但不必定是偶数分析：当 n 为偶数时，1 2－ 1)[1－(－1)n]＝ 0 为偶数；(n8当 n 为奇数时 (n＝ 2k＋ 1， k∈N) ，18(n2－ 1)[1－ (－ 1)n]＝18(4k2＋ 4k) ·2＝ k(k＋ 1)为偶数．因此1(n2－ 1)[1－ (－ 1)n]的值必定为偶数．8答案： Cx y5．在平面直角坐标系内，方程a＋b＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x 轴， y 轴， z 轴上的截距分别为a， b， c(abc≠0)的平面方程为()A.x＋y＋z＝ 1 B.x＋y＋z＝ 1 a b c ab bc caC.xy＋yz＋zx＝1D． ax＋ by＋ cz＝ 1 ab bc ca分析：从方程＋zc＝ 1.答案： A二、填空题x＋y＝ 1 的构造形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应当是a bx＋ ya b6．已知 a1＝ 1，a n＋1>a n，且 (a n＋1－ a n)2－ 2(a n＋1＋ a n)＋ 1＝ 0，计算 a2，a3，猜想 a n＝ ________．分析：计算得a2＝ 4，a3＝ 9，因此猜想a n＝ n2.答案： n27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶ 2.则它们的面积比为1∶ 4.近似地，在空间中，若两个正四周体的棱长比为1∶ 2，则它们的体积比为________．1V 1 3S 1h 11 1 11 1Sh分析： V 2 ＝ 1＝S 2·h 2 ＝ 4×2＝8.3S 2h 2答案： 1∶ 88．察看以下各式：－ x－x；④ (xcos x) ′＝ cos x － xsin x.① (x 3) ′＝ 3x 2；② (sin x) ′＝ cos x ；③ (e x － e ) ′＝ e x ＋ e 根 据 其 中函 数 f(x) 及 其 导 数 f ′(x)的 奇 偶 性 ， 运 用 归 纳推 理 可 得 到 的 一个 命 题 是__________________________________________ ．分析：关于①， f(x)＝ x 3 为奇函数， f ′ (x)＝ 3x 2 为偶函数；关于②， g(x)＝ sin x 为奇函数，f ′ ( x)＝ cos x 为偶函数； 关于③， p(x)＝ e x － e － x 为奇函数， p ′ ( x)＝ e x ＋ e －x 为偶函数； 关于④，q(x)＝ xcos x 为奇函数， q ′ (x)＝ cos x － xsin x 为偶函数．概括推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：2＋422＋52 ≥ (1×9＋× 2；(1)(9) 4 5)(62＋ 82)(2 2＋ 122) ≥ (6 ×2＋8×12)2；(132＋ 52)(102＋ 72 ) ≥ (13 ×＋105×7)2.请你察看这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为 22222(a ＋ b )(c ＋ d ) ≥(ac ＋ bd) .证明：由于 (a 2＋ b 2)(c 2＋ d 2)－ (ac ＋ bd)2＝ a 2c 2 ＋ b 2c 2 ＋ a 2d 2 ＋ b 2d 2－ (a 2c 2 ＋ 2abcd ＋ b 2d 2 )＝b 2c 2 ＋ a 2d 2－ 2abcd ＝ (bc － ad)2≥ 0，因此 (a 2＋ b 2)(c 2 ＋d 2 ) ≥(ac ＋ bd)2.10．如下图，在△ ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，此中 a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四周体性质的猜想．解：如右图所示， 在四周体 PABC 中，设 S 1，S 2，S 3，S 分别表示 △ PAB ，△ PBC ，△ PCA ，△ ABC 的面积， α ， β， γ 挨次表示平面 PAB ，平面 PBC ，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间， 其表现形式应为S ＝ S 1·cos α ＋ S 2·cos β ＋ S 3·cosγ.B 级能力提高1．用火柴棒摆“金鱼”，如下图：依据上边的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为()A． 6n－ 2B． 8n－ 2C． 6n＋ 2D． 8n＋ 2分析：从①②③能够看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8 根，故可概括出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋ 2.答案： C2．等差数列 {a n}中， a n>0，公差 d>0 ，则有 a4· a6 >a3· a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若 b n>0 ， q>1 ，写出 b5， b7， b4， b8的一个不等关系 ________．分析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋ b8>b5＋ b7.答案： b4＋ b8>b5＋ b73．察看以下等式：①sin210°＋ cos240°＋ sin 10° cos 40°＝3 4；②sin26°＋ cos236°＋ sin6° cos36°＝3 4.由上边两题的构造规律，你可否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想： sin2α＋ cos2(α＋ 30° )＋ sin α cos(α＋ 30° )＝3 4.证明：左侧＝1－cos 2α＋1＋cos（2α＋60°）＋sinαcos(α＋30°)22＝1－cos 2α＋ cos 2α cos 60°－ sin 2α sin 60°＋223sin αsin α2 cos α －211cos 2α－33sin 2α－1－ cos 2α＝ 1－ cos 2α＋4sin 2α＋4424＝34＝右侧故 sin2α＋ cos2(α＋ 30° )＋ sin αcos(α＋ 30° )＝3. 4。
人教版数学选修1-2第二章2.1.1合情推理
2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．2.合情推理1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )(2)由个别到一般的推理为归纳推理．( )答案：(1)× (2)√2．数列5，9，17，33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．128答案：B3．下面类比推理中恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C4．各项都为正数的数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，猜想数列{a n }的通项为________．答案：a n ＝n （n ＋1）2探究点一 数、式中的归纳推理(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．(2)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 2＋a n(n ＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解] (1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2，即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22. (2)当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝12＋1＝13； 当n ＝3时，a 3＝132＋13＝17；当n ＝4时，a 4＝172＋17＝115. 通过观察可归纳出a n ＝12n －1.由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．1.(1)观察下列等式1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________________________．(2)已知数列{a n }满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)．①求a2，a3，a4，a5；②归纳猜想通项公式a n.解：(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．故填：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．(2)①当n＝1时，a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，当n＝2时，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，同理可得a4＝15，a5＝31.②由于a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，所以可归纳猜想a n＝2n－1(n∈N*)．探究点二几何图形中的归纳推理如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N*)．[解析]依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．[答案]153n－3解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．2.根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．解析：分别求出前4个图形中线段的数目，并加以归纳，发现规律，得出猜想．图形①～④中线段的条数分别为1，5，13，29.因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.答案：509探究点三 类比推理及其应用(1)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝________．(2)在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.[解析] (1)T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝b 2n －1n. (2)类比条件： 两边AB 、AC 互相垂直――――――――――――――――→平面→空间、边垂直→面垂直侧面ABC 、ACD 、ADB 互相垂直． 结论：AB 2＋AC 2＝BC 2――――→边长→面积S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD . [答案] (1)b 2n －1n(2)设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB＝S 2△BCD(1)对于数列中的类比问题，除了等差数列和等比数列是一类重要的类比对象外，还可以将等差数列、等比数列的定义、性质等进行推广，与其他相关数列问题进行类比．(2)平面与空间的类比是一种常见的类比，一般地：平面图形中的点与空间图形中的线(线段)相类比；平面图形中的线与空间图形中的线或平面相类比；平面图形中的周长与空间图形中的表面积相类比；平面图形中的面积与空间图形中的体积相类比；平面中的三角形、正方形与空间中的四面体、正方体相类比；平面中的圆与空间中的球相类比等．3.在平面几何中，对于Rt △ABC ，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，C ＝90°.则：(1)cos 2A ＋cos 2B ＝1；(2)Rt △ABC 的外接圆的半径r ＝12a 2＋b 2；(3)S △ABC ＝12ab .把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论．解：(1)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(核验：因为S 1＝S cos α，S 2＝S cos β，S 3＝S cos γ)(2)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m 、n 、t ，则这个直四面体的外接球半径为R ＝m 2＋n 2＋t 22.(核验：补形为长、宽、高分别为m 、n 、t 的长方体)(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m 、n 、t ，则这个直四面体的体积为V ＝13mnt .1．归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等．(2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，需要经过逻辑证明和实践检验．因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠．(4)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果．(2)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．(3)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．3．合情推理的特点(1)合情推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．(2)合情推理的结论往往超越了前提所界定的范围，仅仅是一种猜想，既可能为真，也可能为假．(3)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；合情推理不能作为数学证明的工具，但常常能为我们提供证明的思路和方向．[A 基础达标]1.下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误解析：选B.根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．2．已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式为a n ＝( ) A.2（n ＋1）2 B.2n （n ＋1） C.22n －1 D.22n －1解析：选 B.a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝16＝23×4，a 4＝110＝24×5，故猜想a n ＝2n （n ＋1）. 3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A ．①B ．①②C ．①②③D ．③解析：选C.正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．4．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D.由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.5．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，…，则72 017的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：选C.因为71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 017＝4×504＋1，所以72 017的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.6．设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2)，则x 2，x 3，x 4分别为________．猜想x n ＝________．解析：x 2＝f (x 1)＝21＋2＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25，所以x n ＝2n ＋1. 答案：23，24，25 2n ＋17.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有________．解析：根据平面几何与立体几何中的类比规律，边类比成面，三角形类比成四面体，所以正三角形类比成正四面体．故类比猜想在空间中有：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值8.观察下列不等式：1＋122＜32， 1＋122＋133＜53， 1＋122＋132＋142＜74， …照此规律，第五个不等式为________．解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162＜1169．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n .解：因为S n ＝n 2·a n (n ≥2)，a 1＝1，所以S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2，a 2＝13＝23×2. S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝a 1＋a 28＝16＝24×3. S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n （n ＋1）. 10.通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1，32－22＝2×2＋1，42－32＝2×3＋1，…，(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，将以上各式分别相加得：(n ＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，类比上述求法，求12＋22＋32＋…＋n 2的值． 解：类比可得，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…，23－13＝3＋3＋1，将以上各式累加得(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3n （n ＋1）2＋n ，因此有12＋22＋32＋…＋n 2＝（n ＋1）3－1－n －3n （n ＋1）23＝n （n ＋1）（2n ＋1）6. [B 能力提升]1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C.记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225.2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案：1∶83.如图所示，在△ABC 中，a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P -ABC 中，S1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.4.(选做题)观察下面两式：(1)tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1；(2)tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论．解：猜想：如果α＋β＋γ＝π2，α，β，γ都不为π2， 则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝π2，所以α＋β＝π2－γ， 所以tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－γ＝1tan γ，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan αtan β＋(tan α＋tan β)tan γ＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan γ＝tan αtan β＋(1－tan αtan β)1tan γtan γ＝tan αtan β＋1－tan αtan β＝1.。
高中数学合情推理人教版选修1-2
合情推理典型例题例1 观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( )（A ） 10 （B ） 13 （C ） 14 （D ） 100解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为1,2,3,4,… n 由2)1(+n n ≤100 n ∈*N 得,n=14,所以应选（C ） 例2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。
解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补例3、观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin 30cos604++= 2020003sin 20cos 50sin 20cos504++= 2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
解析 猜想：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα++++=。
证明 00022001cos21cos(602)sin(302)sin30sin cos (30)sin cos(30)222ααααααα-+++-++++=++ 00cos(602)cos2111[sin(302)]222ααα+-=+++-0002sin(302)sin30111[sin(302)]222αα-+=+++- 003113sin(302)sin(302)4224αα=-+++= 练习一、选择题1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( )(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两相互垂直，则可得” （ ）(A)AB 2+AC 2+ AD 2=BC 2+ C D 2 + BD 2(B)BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯2222 (C)2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++(D)AB 2×AC 2×AD 2=BC 2 ×C D 2 ×BD 23、已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 ( ) A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二、填空题4、依次有下列等式：222576543,3432,11=++++=++=，按此规律下去，第8个等式为 。
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数学·选修1－2(人教A版)2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理►达标训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33 D．27答案：B2．已知三角形的三边长分别是a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝12(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为()A．V＝13abcB．V＝13ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)解析：根据类比的一般原理，三角形的边长和面积分别类比于四面体的面积和体积，因而可以得出答案C.答案：C3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数． 答案：B4．等比数列{}a n 满足：m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .由此类推可得，在等差数列{}a n 中，若有m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则有( )A ．a m ·a n ＝a p ·a qB ．a m ＋a n ＝a p ＋a q C.a m a n ＝a pa q D ．a m －a n ＝a p －a q答案：B5．下面使用类比推理正确的是( ) A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ” B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案：C6．如右图所示，面积为S 的凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝ 1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则 i ＝14(a i h i)＝2Sk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则i＝14(S i H i)＝()A.4VK B.3VKC.2VK D.VK解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝12(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝13(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.答案：B►素能提高1．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋82．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n个图中三角形被剖分成a n个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________；a100＝________.…图1 图2 图3答案：182983．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为_____________________________．解析：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1n ＋2，右边＝n ＋－1n ＋1， 所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1164．(2013·广州二模)数列{a n }的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第k ＋1个1之间有2k －1个2，即数列{a n }为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝______；S 2013＝______.答案：36 39815．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)的变量，请你写出类似于①的式子②：_______________________________________.②式可以用语言叙述为：_______________________________.解析：V (R )＝43πR 3，又⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，故②式可填＝4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数6．(2013·江门佛山二模)将集合{2s ＋2t |0≤s ＜t 且s ，t ∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于第i 行第j 列的数记为b ij (i ≥j ＞0)，则b 43＝________.答案：207．在等差数列{}a n 中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{}b n 中，若b 9＝1，则有等式______________________成立．解析：a 10是等差数列{}a n 的前19项的中间项，而b 9是等比数列{}b n 的前17项的中间项．所以答案应为：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)8．在平面内观察发现：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜测凸n 边形有几条对角线．解析：凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条对角线；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条对角线；…归纳猜测：凸n 边形的对角线条数，比凸n －1边形多对角线，于是得到凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．►品味高考1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．解析：由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为a n ＝n n ＋2，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15. 从而由上述规律可猜想：b 2k ＝a 5k +＝5k k ＋2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝k －k －1＋2＝5k k －2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．答案：(1)5 030 (2)5k k －2点评：本题考查归纳推理，猜想的能力．归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想．2．(2013·陕西卷)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________________________．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________； (2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)四边形DEFG 是一个直角梯形，观察图形可知：S ＝(2＋22)×2×12＝3，N ＝1，L ＝6.(2)由(1)知，S 四边形DEFG ＝a ＋6b ＋c ＝3. S △ABC ＝4b ＋c ＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S ＝4，N ＝1，L ＝8.则S ＝a ＋8b ＋c ＝4.联立解得a ＝1，b ＝12，c ＝－1.∴S ＝N ＋12L －1，∴若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝71＋12×18－1＝79.答案：(1)3,1,6 (2)79。