2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(上)第一次月考数学试卷2 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试

卷2

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 已知集合A ={1,2，9}，B ={1,7}，则A ∩B =______．

2. 已知f(x)=x 3(e x +e −x )+6,f(a)=10，则f(−a)=_________

3. 已知命题p ：a ≤x ≤a +1，命题q ：x 2−4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范

围是________．

4. 幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m

2−2m+1

在区间(0,+∞)上是增函数，则m =______．

5. 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5=−2，a 8=16，则S 6_______．

6. 若命题“∀x ∈(0,+∞)，x +1

x ≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是____． 7. 若tan α+1

tan α=

10

3

，α∈(π4,π2)，则sin (2α+π

4)=________． 8. 已知函数f(x)={x −1,x <0

log 2x −3,x >0

，则f(16)+f(−12)=______．

9. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4+a 5=25，S 6=57，则{a n }的公差为______．

10. 已知函数f (x )=2sin (ωx +π

6)(ω>0)的图象向右平移2π

3个单位后与原图象关于x 轴对称，则ω

的最小值是_________．

11. 已知函数f(x)={|x +1|,x ≤0

|log 2x|,x >0

，若方程f(x)=a(a ∈R)有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<

x 2

12. 已知向量a ⃗ =(3,−4)，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =5√3

2

，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ=________．

13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2−b 2=2bcsinA ，

则2tanA −3tanB 的最小值为_______．

14. 已知函数f(x)=|4x −x 2|−a 有4个零点，那么实数a 的取值范围是____. 二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）

15. 设命题p ：函数f(x)=(a −1

2)x 在R 上单调递减，命题q ：函数g(x)=x 2−2x −1在[0,a]上的

值域为[−2,−1].若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题．求实数a 的取值范围．

16.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A−C=π

3

，求sin B的值．

17.已知等比数列{a n}是单调增数列，且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2，a4的等差中项．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{b n}满足1

a n =b1

2+1

−b2

22+1

+b3

23+1

−⋯+(−1)n+1b n

2n+1

，求数列{b n}的通项公式．

18.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水

域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)，看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为400√3平方米，设∠BAC=θ．

(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；

(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

19.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=xe x．

(1)求f(x)−g(x)的极值；

(2)当x∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．

20.已知函数f(x)=a(x+lnx)−xe x，

(1)当a=1时，求函数f(x)的极大值；

(2)若f(x)<0在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：{1}

解析：解：∵A={1,2，9}，B={1,7}；

∴A∩B={1}．

故答案为：{1}．

进行交集的运算即可．

考查列举法的定义，以及交集的运算．

2.答案：2

解析：

【分析】

本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题.构造奇函数f(x)−6，然后利用奇函数的性质即可求得结果．

【解答】

解：因为f(x)=x3(e x+e−x)+6,

所以f(x)−6=x3(e x+e−x),

因为[f(−x)−6]+[f(x)−6]=−x3(e−x+e+x)+x3(e x+e−x)=0,

所以f(x)−6为奇函数．

所以[f(−a)−6]+[f(a)−6]=0，

所以f(−a)=12−f(a)=12−10=2．

故答案为2．

3.答案：(0,3)

解析：

【分析】

本题考查充分不必要条件的判断，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题，先解x2−4x<0，得00

a+1<4解得即可．

【解答】

解：∵x2−4x<0，得0

∴由p是q的充分不必要条件，得{a>0

a+1<4，解得0

故a的取值范围是(0,3)．

故答案为(0,3)．