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算法导论课程作业答案
算法导论课程作业答案Introduction to AlgorithmsMassachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Singapore-MIT Alliance SMA5503 Professors Erik Demaine,Lee Wee Sun,and Charles E.Leiserson Handout10Diagnostic Test SolutionsProblem1Consider the following pseudocode:R OUTINE(n)1if n=12then return13else return n+R OUTINE(n?1)(a)Give a one-sentence description of what R OUTINE(n)does.(Remember,don’t guess.) Solution:The routine gives the sum from1to n.(b)Give a precondition for the routine to work correctly.Solution:The value n must be greater than0;otherwise,the routine loops forever.(c)Give a one-sentence description of a faster implementation of the same routine. Solution:Return the value n(n+1)/2.Problem2Give a short(1–2-sentence)description of each of the following data structures:(a)FIFO queueSolution:A dynamic set where the element removed is always the one that has been in the set for the longest time.(b)Priority queueSolution:A dynamic set where each element has anassociated priority value.The element removed is the element with the highest(or lowest)priority.(c)Hash tableSolution:A dynamic set where the location of an element is computed using a function of the ele ment’s key.Problem3UsingΘ-notation,describe the worst-case running time of the best algorithm that you know for each of the following:(a)Finding an element in a sorted array.Solution:Θ(log n)(b)Finding an element in a sorted linked-list.Solution:Θ(n)(c)Inserting an element in a sorted array,once the position is found.Solution:Θ(n)(d)Inserting an element in a sorted linked-list,once the position is found.Solution:Θ(1)Problem4Describe an algorithm that locates the?rst occurrence of the largest element in a?nite list of integers,where the integers are not necessarily distinct.What is the worst-case running time of your algorithm?Solution:Idea is as follows:go through list,keeping track of the largest element found so far and its index.Update whenever necessary.Running time isΘ(n).Problem5How does the height h of a balanced binary search tree relate to the number of nodes n in the tree? Solution:h=O(lg n) Problem 6Does an undirected graph with 5vertices,each of degree 3,exist?If so,draw such a graph.If not,explain why no such graph exists.Solution:No such graph exists by the Handshaking Lemma.Every edge adds 2to the sum of the degrees.Consequently,the sum of the degrees must be even.Problem 7It is known that if a solution to Problem A exists,then a solution to Problem B exists also.(a)Professor Goldbach has just produced a 1,000-page proof that Problem A is unsolvable.If his proof turns out to be valid,can we conclude that Problem B is also unsolvable?Answer yes or no (or don’t know).Solution:No(b)Professor Wiles has just produced a 10,000-page proof that Problem B is unsolvable.If the proof turns out to be valid,can we conclude that problem A is unsolvable as well?Answer yes or no (or don’t know).Solution:YesProblem 8Consider the following statement:If 5points are placed anywhere on or inside a unit square,then there must exist two that are no more than √2/2units apart.Here are two attempts to prove this statement.Proof (a):Place 4of the points on the vertices of the square;that way they are maximally sepa-rated from one another.The 5th point must then lie within √2/2units of one of the other points,since the furthest from the corners it can be is the center,which is exactly √2/2units fromeach of the four corners.Proof (b):Partition the square into 4squares,each with a side of 1/2unit.If any two points areon or inside one of these smaller squares,the distance between these two points will be at most √2/2units.Since there are 5points and only 4squares,at least two points must fall on or inside one of the smaller squares,giving a set of points that are no more than √2/2apart.Which of the proofs are correct:(a),(b),both,or neither (or don’t know)?Solution:(b)onlyProblem9Give an inductive proof of the following statement:For every natural number n>3,we have n!>2n.Solution:Base case:True for n=4.Inductive step:Assume n!>2n.Then,multiplying both sides by(n+1),we get(n+1)n!> (n+1)2n>2?2n=2n+1.Problem10We want to line up6out of10children.Which of the following expresses the number of possible line-ups?(Circle the right answer.)(a)10!/6!(b)10!/4!(c) 106(d) 104 ·6!(e)None of the above(f)Don’t knowSolution:(b),(d)are both correctProblem11A deck of52cards is shuf?ed thoroughly.What is the probability that the4aces are all next to each other?(Circle theright answer.)(a)4!49!/52!(b)1/52!(c)4!/52!(d)4!48!/52!(e)None of the above(f)Don’t knowSolution:(a)Problem12The weather forecaster says that the probability of rain on Saturday is25%and that the probability of rain on Sunday is25%.Consider the following statement:The probability of rain during the weekend is50%.Which of the following best describes the validity of this statement?(a)If the two events(rain on Sat/rain on Sun)are independent,then we can add up the twoprobabilities,and the statement is true.Without independence,we can’t tell.(b)True,whether the two events are independent or not.(c)If the events are independent,the statement is false,because the the probability of no rainduring the weekend is9/16.If they are not independent,we can’t tell.(d)False,no matter what.(e)None of the above.(f)Don’t know.Solution:(c)Problem13A player throws darts at a target.On each trial,independentlyof the other trials,he hits the bull’s-eye with probability1/4.How many times should he throw so that his probability is75%of hitting the bull’s-eye at least once?(a)3(b)4(c)5(d)75%can’t be achieved.(e)Don’t know.Solution:(c),assuming that we want the probability to be≥0.75,not necessarily exactly0.75.Problem14Let X be an indicator random variable.Which of the following statements are true?(Circle all that apply.)(a)Pr{X=0}=Pr{X=1}=1/2(b)Pr{X=1}=E[X](c)E[X]=E[X2](d)E[X]=(E[X])2Solution:(b)and(c)only。
学习算法的经典教材推荐
学习算法的经典教材推荐在计算机科学领域，算法是一门重要的学科。
学习算法不仅可以提高我们解决问题的能力，还可以培养我们的逻辑思维和分析能力。
因此，选择一本好的算法教材是非常重要的。
在本文中，我将向大家推荐几本经典的算法教材，希望对大家的学习有所帮助。
1.《算法导论》（Introduction to Algorithms）《算法导论》是由Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest和Clifford Stein合著的一本经典教材。
这本书系统地介绍了算法设计和分析的基本原理，包括排序、图算法、动态规划等。
它以清晰的语言和丰富的示例，帮助读者理解算法的核心思想和实现细节。
《算法导论》适合作为算法课程的教材，也适合作为算法学习的参考书。
2.《算法（第4版）》（Algorithms, Part I）《算法（第4版）》是由Robert Sedgewick和Kevin Wayne合著的一本经典教材。
这本书以Java语言为基础，介绍了常见的算法和数据结构，包括排序、查找、图算法等。
它不仅提供了清晰的解释和示例代码，还包含了大量的练习题和编程项目，帮助读者巩固所学知识。
《算法（第4版）》适合初学者入门，也适合有一定算法基础的读者进一步深入学习。
3.《算法设计与分析基础》（Foundations of Algorithm Design and Analysis）《算法设计与分析基础》是由王晓东、王晓燕和李海霞合著的一本经典教材。
这本书以算法设计和分析为核心，介绍了常见的算法思想和技术，包括贪心算法、动态规划、分治算法等。
它注重理论与实践的结合，通过真实的案例和实验分析，帮助读者理解算法的应用场景和效果评估。
《算法设计与分析基础》适合计算机科学专业的学生和从业人员，也适合对算法感兴趣的读者。
4.《算法之美》《算法之美》是由吴军著的一本畅销书。
虽然不是传统的教材，但它以通俗易懂的语言，介绍了算法在现实生活中的应用和影响。
算法导论4-4
算法导论4-4读书笔记本章主要讲解了使⽤递归树⽅法求解递归式；在递归树中，每个节点表⽰⼀个单⼀⼦问题的代价，⼦问题对应某次递归函数调⽤。
我们将树中每层中的代价求和，得到每层代价，然后将所有曾的代价求和，得到所有层次的递归调⽤的总代价。
递归树适合⽤来⽣成好的猜测，然后可⽤代⼊法来验证猜测是否正确，但是在某种程度上，递归树法可能不够精确；课后练习由于本次课后练习的题⽬相似性较⾼，所以这⾥只做两题，第⼀和最后⼀道题4.4-1对递归式T(n)=3T(\lfloor n/2 \rfloor) + n，利⽤递归树确定⼀个好的渐近上界，⽤代⼊法进⾏验证。
上⾯是递归树，其中第i层有3^i个节点，每个节点的代价是(\frac{1}{2})^in，所以叶⼦节点的代价为3^{\log_2^n}，即n^{\log_2^3};所以总代价为：\begin{aligned} T(n)&=c\sum_{i=0}^{\log_2^n-1}(\frac{3}{2})^in + \theta(n^{\log_2^3}) \\[2ex] &=cn \ast \frac{(\frac{3}{2})^{\log_2^n}-1}{\frac{3} {2}-1} + \theta(n^{\log_2^3}) \\[2ex] &=2cn\ast {(\frac{3}{2})^{\log_2^n}} - 2cn + \theta(n^{\log_2^3})\\[2ex] &=2cn^{\log_2^3} - 2cn +\theta(n^{\log_2^3})\\[2ex] &=\theta(n^{\log_2^3}) \end{aligned}证明略4.4-9对递归式T(n)=T(\alpha n)+T((1-\alpha)n)+cn，利⽤递归树给出⼀个渐近紧确解，其中0<\alpha<1和c>0是常数。
《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号
![《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号](https://img.taocdn.com/s3/m/173f96e0afaad1f34693daef5ef7ba0d4a736daa.png)
《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号|概念回顾|当输⼊规模⼤到使只有运⾏时间的增长量级有关时，就使在研究算法的渐进效率。
⼏个重要渐进记号的定义：Θ(g(n))={ f(n): 存在正常数c1,c2和n0，使对所有的n>=n0，有0<=c1g(n)<=f(n)<=c2g(n) }O(g(n))={ f(n): 存在正常数c和n0，使对所有n>=n0，有0<=f(n)<=cg(n) }Ω(g(n))={ f(n): 存在正常数c和n0，使对所有n>=n0，有0<=cg(n)<=f(n) }o(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0>0，使对所有的n>=n0，有0<=f(n)<=cg(n) }ω(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0>0，使对所有的n>=n0，有0<=cg(n)<f(n) }|习题解答|3.1-1 设f(n)与g(n)都是渐进⾮负函数。
利⽤Θ记号的基本定义来证明max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。
证明：因为f(n)和g(n)都使渐进⾮负函数，同时假设存在这样的整数c1,c2和n0，使得：0<=c1(f(n)+g(n))<=max(f(n)+g(n))<=c2(f(n)+g(n)) 成⽴。
令c2=1，则第3个不等式显然成⽴，因为两正数之和定⼤于两个中的最⼤值；再令c1=1/2，则第2个不等式也成⽴，因为两正数中最⼤的⼀个数定⼤于或等于两数的平均值；第1个不等式，因为f(n)与g(n)都使渐进⾮负，所以也显然成⽴。
综上，既该等式确实成⽴。
最后再根据Θ记号的定义可得：max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。
3.1-2 证明对任意实常数a和b，其中b>0，有[2] (n+a)^b=Θ(n^b)证明：要想证明上式成⽴，先要来证明等式：[1] 0<=c1(n^b)<=(n+a)^b<=c2(n^b)也就使说存在两个正常数c1,c2，使得当n充分⼤时(n+a)^b，能够被夹在c1(n^b)和c2(n^b)中间。
《算法导论(第二版)》(中文版)课后答案
5
《算法导论（第二版） 》参考答案 do z←y 调用之前保存结果 y←INTERVAL-SEARCH-SUBTREE(y, i) 如果循环是由于y没有左子树，那我们返回y 否则我们返回z，这时意味着没有在z的左子树找到重叠区间 7 if y≠ nil[T] and i overlap int[y] 8 then return y 9 else return z 5 6 15.1-5 由 FASTEST-WAY 算法知：
15
lg n
2 lg n1 1 2cn 2 cn (n 2 ) 2 1
4.3-1 a) n2 b) n2lgn c) n3 4.3-4
2
《算法导论（第二版） 》参考答案 n2lg2n 7.1-2 (1)使用 P146 的 PARTION 函数可以得到 q=r 注意每循环一次 i 加 1，i 的初始值为 p 1 ，循环总共运行 (r 1) p 1次，最 终返回的 i 1 p 1 (r 1) p 1 1 r (2)由题目要求 q=(p+r)/2 可知，PARTITION 函数中的 i，j 变量应该在循环中同 时变化。 Partition(A, p, r) x = A[p]; i = p - 1; j = r + 1; while (TRUE) repeat j--; until A[j] <= x; repeat i++; until A[i] >= x; if (i < j) Swap(A, i, j); else return j; 7.3-2 （1）由 QuickSort 算法最坏情况分析得知：n 个元素每次都划 n-1 和 1 个，因 为是 p<r 的时候才调用，所以为Θ （n） （2）最好情况是每次都在最中间的位置分，所以递推式是： N(n)= 1+ 2*N(n/2) 不难得到：N(n) =Θ （n） 7.4-2 T(n)=2*T(n/2)+ Θ （n） 可以得到 T(n) =Θ （n lgn） 由 P46 Theorem3.1 可得：Ω (n lgn)
USC算法导论作业3
CSCI303Homework3Problem1(9-1):Given a set A of n numbers,we wish tofind the k largest in sorted order using a comparison-based algorithm.Find the algorithm that implements each of the following methods with the best asymptotic worst-case running time,and analyze the running time of the algorithms in terms of n and k.a.Sort the numbers,and list the k largest.b.Build a max-priority queue from the numbers,and call Extract-Max k times.e an order-statistic algorithm tofind the i th largest number,partition around that num-ber,and sort the k largest numbers.Solution1:a.Merge-Sort(A,1,n)return A[n−k...k]This algorithm takes only as long as it takes to Merge-Sort a list of n numbers,so its running time isΘ(n lg n).b.Build-Max-Heap(A)for i←1to kB[i]←Heap-Extract-Max(A)return BThis algorithmfirst calls Build-Max-Heap on A,which has worst-case asymptotic com-plexity O(n).Then it calls Heap-Extract-Max k times,each of which has worst-case asymptotic complexity O(lg n).So the worst-case asymptotic complexity for this algorithm is O(n+k lg n).c.i←Select(A,k)A[n]↔A[i]Partition(A)Merge-Sort(A,n−k,n)return A[n−k...k]This algorithmfirst calls Select,which has worst-case asymptotic complexity O(n), then calls Partition,which also has worst-case asymptotic complexity O(n),then calls Merge-Sort to sort just the last k elements,which has worst-case asymptotic complexity O(k lg k).So the worst-case asymptotic complexity for this algorithm is O(n+k lg k).Problem2(9.3-5):Suppose that you have a“black-box”worst-case linear-time median subroutine.Give a simple, linear-time algorithm that solves the selection problem for an arbitrary order statistic.Solution2:Simple-Select(A,p,r,i)if p=rreturn A[p]A[r]↔A[Index-Of-Median(A,p,r)] Partition(A,p,r)k← r−p+12if i=kreturn A[k]else if i<kreturn Simple-Select(A,1,k−1,i)elsereturn Simple-Select(A,k+1,r,i−k)Problem3(9.3-8):Let X[1,...,n]and Y[1,...,n]be two arrays,each containing n numbers already in sorted order. Give an O(lg n)-time algorithm tofind the median of all2n elements in arrays X and Y. Solution3:Two-List-Median(X,p,q,Y,s,t)mx←Index-Of-Median(X,p,q)my←Index-Of-Median(Y,s,t)X[mx]↔X[q]Y[my]↔Y[t]Partition(X,p,q)Partition(Y,s,t)if X[mx]=Y[my]return X[mx]else if X[mx]>Y[my]return Two-List-Median(X,p,mx−1,Y,my+1,t)elsereturn Two-List-Median(X,mx+1,q,Y,s,my−1)Problem4(8.1-1):What is the smallest possible depth of a leaf in a decision tree for a comparison sort?Solution4:Given an array A that contains n elements,the smallest possible depth of a leaf in a decision tree to sort A using a comparison-type sort is n−1.To verify that A is in sorted order takes n−1 comparisons,and if fewer comparisons are used then at least one element was not compared to any of the others,so that element might not be in the correct position.Problem 5(Derived from 8.1-4):You are given a sequence of n elements to sort and a number k such that k divides n .The input sequence consists of n/k subsequences,each containing k elements.The elements in a given subsequence are all smaller than the elements in the succeeding subsequence and larger than the elements in the preceding subsequence.Thus,all that is needed to sort the whole sequence of length n is to sort the k elements in each of the n/k subsequences.Show an Ω(n lg k )lower bound on the number of comparisons needed to solve this varient of the sorting problem using a comparison-type sorting algorithm.(Hint:It is not rigorous to simply combine the lower bounds for the individual subsequences.)Solution 5:We will construct a decision tree for this varient of the sorting problem and show that it has height at least n lg k .Each leaf of the decision tree corresponds to a permutation of the original sequence.How many permutations are there?Each subsequence has k !permutations,and there are n/k subsequences,so there are (k !)n/k permutations of the whole sequence.Thus the decision tree has (k !)n/k leaves.A binary tree with (k !)n/k leaves has height at least lg (k !)n/k .lg (k !)n/k =n/k lg(k !)=Θ(n/k ·k lg k )=Θ(n lg k )Therefore the lower bound on the number of comparisons needed to solve this varient of the sorting problem using a comparison-type sorting algorithm is Ω(n lg k ).。
《算法导论》习题答案
n/2
n! nn , n! o(nn )
3.2.4 是否多项式有界 lg n !与 lg lg n ！
设lgn=m，则 m! 2 m ( )m e2m ( )m em(ln m1) mln m1 nln ln n
∴lgn！不是多项式有界的。
T (n) O(lg n)
4.1.2 证明 T (n) 2T (n) n 的解为 O(n lg n)
设 T (n) c n lg n
T (n) 2c n lg n n c lg n n n c(n 1) lg(n / 2) n cn lg n c lg n cn n cn(lg n 1) n c(lg n 2n)
虽然用二分查找法可以将查找正确位置的时间复杂度降下来，但 是移位操作的复杂度并没有减少， 所以最坏情况下该算法的时间复杂 度依然是 (n2 )
2.3-7 给出一个算法， 使得其能在 (n lg n) 的时间内找出在一个 n 元
素的整数数组内，是否存在两个元素之和为 x
首先利用快速排序将数组排序，时间 (n lg n) ，然后再进行查找：
sin(n / 2) 2 1，所以 af (n / b) cf (n) 不满足。 2(sin n 2)
4.1.6 计算 T (n) 2T (
令 m lg n, T (2 ) 2T (2
m m/ 2
n ) 1 的解
) 1
令 T(n)=S(m),则 S (m) 2S (m / 2) 1 其解为 S (m) (m),T (n) S (m) (lg n)
4.2 The recursion-tree method 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.5 略
算法导论参考答案
算法导论参考答案算法导论参考答案算法导论是计算机科学领域中一本经典的教材，被广泛应用于计算机科学和工程的教学和研究中。
它涵盖了算法设计和分析的基本概念，以及各种常见算法的实现和应用。
本文将为读者提供一些算法导论中常见问题的参考答案，以帮助读者更好地理解和掌握这门课程。
1. 什么是算法？算法是一系列解决问题的步骤和规则。
它描述了如何将输入转换为输出，并在有限的时间内完成。
算法应具备正确性、可读性、健壮性和高效性等特点。
2. 如何分析算法的效率？算法的效率可以通过时间复杂度和空间复杂度来衡量。
时间复杂度表示算法执行所需的时间量级，常用的时间复杂度有O(1)、O(n)、O(logn)、O(nlogn)和O(n^2)等。
空间复杂度表示算法执行所需的额外空间量级，通常以字节为单位。
3. 什么是渐进符号？渐进符号用于表示算法的时间复杂度或空间复杂度的增长趋势。
常见的渐进符号有大O符号、Ω符号和Θ符号。
大O符号表示算法的上界，Ω符号表示算法的下界，Θ符号表示算法的平均情况。
4. 什么是分治法？分治法是一种算法设计策略，将问题分解为若干个子问题，并对子问题进行独立求解，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
典型的分治算法有归并排序和快速排序。
5. 什么是动态规划？动态规划是一种通过将问题分解为相互重叠的子问题来求解的方法。
它通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
典型的动态规划算法有背包问题和最短路径问题。
6. 什么是贪心算法？贪心算法是一种通过每一步选择局部最优解来求解整体最优解的方法。
贪心算法通常不能保证得到全局最优解，但在某些问题上能够得到近似最优解。
典型的贪心算法有霍夫曼编码和最小生成树算法。
7. 什么是图算法？图算法是一类用于解决图结构相关问题的算法。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图算法包括图的遍历、最短路径、最小生成树和网络流等问题的求解。
8. 什么是NP完全问题？NP完全问题是一类在多项式时间内无法求解的问题。
算法导论答案 (4)
算法导论答案第一章：算法概述啊算法的定义算法是一系列解决问题的明确指令。
它是一个有穷步骤集，其中每个步骤或操作由确定性和可行性特征。
算法是通过将预期的输入转换为输出来解决问题的工具。
第二章：插入排序插入排序的思想插入排序是一种简单直观的排序算法，其基本思想是将待排序的序列分为已排序和未排序两部分，每次从未排序的部分中取出一个元素，并将其插入到已排序部分的正确位置，直到所有元素都被排序。
插入排序的算法实现以下是插入排序的伪代码：INSERTION-SORT(A)for j = 2 to A.lengthkey = A[j]// Insert A[j] into the sorted sequence A[1.. j-1].i = j - 1while i > 0 and A[i] > keyA[i + 1] = A[i]i = i - 1A[i + 1] = key插入排序的时间复杂度插入排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n是排序的元素个数。
虽然插入排序的最坏情况下的复杂度很高，但是对于小规模的数据集，插入排序是一种较快的排序算法。
第三章：分治策略分治策略的基本思想分治策略是一种解决问题的思想，它将问题的规模不断缩小，直到问题足够小而可以直接解决。
然后将子问题的解合并起来，得到原问题的解。
分治策略的应用实例一种经典的应用分治策略的算法是归并排序。
归并排序将待排序的序列划分为两个子序列，分别排序后再将两个有序子序列合并为一个有序序列。
以下是归并排序的伪代码：MERGE-SORT(A, p, r)if p < rq = floor((p + r) / 2)MERGE-SORT(A, p, q)MERGE-SORT(A, q + 1, r)MERGE(A, p, q, r)MERGE(A, p, q, r)n1 = q - p + 1n2 = r - qlet L[1..n1+1] and R[1..n2+1] be new arraysfor i = 1 to n1L[i] = A[p + i - 1]for j = 1 to n2R[j] = A[q + j]L[n1 + 1] = infinityR[n2 + 1] = infinityi = 1j = 1for k = p to rif L[i] <= R[j]A[k] = L[i]i = i + 1elseA[k] = R[j]j = j + 1分治策略的时间复杂度归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是待排序序列的长度。
算法导论习题答案
算法导论习题答案算法导论习题答案算法导论是一本经典的计算机科学教材，讲述了算法设计与分析的基本原理。
在学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固所学的知识。
本文将针对算法导论中的一些习题进行解答，帮助读者更好地理解算法导论的内容。
习题1-1：证明对于任意两个实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
解答：根据绝对值的定义，我们可以将|a + b|、|a|和|b|分别表示为以下三种情况：1. 当a + b ≥ 0，a ≥ 0，b ≥ 0时，|a + b| = a + b，|a| = a，|b| = b。
此时，|a + b| ≤ |a| + |b| 成立。
2. 当a + b < 0，a < 0，b < 0时，|a + b| = -(a + b)，|a| = -a，|b| = -b。
此时，|a + b| ≤ |a| + |b| 成立。
3. 当a + b ≥ 0，a < 0，b < 0时，|a + b| = a + b，|a| = -a，|b| = -b。
此时，|a + b| ≤ |a| + |b| 成立。
综上所述，无论a和b的取值如何，都有|a + b| ≤ |a| + |b| 成立。
习题2-1：证明插入排序的运行时间是O(n^2)。
解答：插入排序是一种简单直观的排序算法，它的基本思想是将待排序的元素一个个地插入到已排好序的序列中。
在最坏情况下，即待排序的序列是逆序排列时，插入排序的运行时间最长。
假设待排序的序列长度为n，那么第一次插入需要比较1次，第二次插入需要比较2次，依次类推，第n次插入需要比较n-1次。
总的比较次数为1 + 2 + 3+ ... + (n-1) = n(n-1)/2。
因此，插入排序的运行时间是O(n^2)。
习题3-1：证明选择排序的运行时间是O(n^2)。
解答：选择排序是一种简单直观的排序算法，它的基本思想是每次从待排序的序列中选择最小的元素，放到已排序序列的末尾。
算法导论第二次作业答案
Solution: First, let’s analyze the Activity Selection Problem again: This is a problem using greedy algorithm: Input: 1. n activities a1, a2, . . . , an; 2. for i = 1, 2, . . . , n, the activity ai has a start time si and a finish time fi: [si, fi) Output: Pick a maximum set of activities that are compatible in time.
Solution: First, let’s analyze the Huffman Code again:
This is a problem using greedy algorithm:
Input: 1. n symbols s1, s2, . . . , sn ; 2. every symbol si has a frequency fi
Assume the time period of each activity is shown as following table:
i
123
si
157
fi
469
duration 3 1 2
We will choose the a2 which has the least duration among all three activities. However, it is obvious that the best arrangement is to choose {a1, a3}. So the approach of selecting the activity of least duration from among those that are compatible with previously selected activities does not work.
算法相关书籍
算法相关书籍随着计算机科学的不断发展，算法成为了计算机领域中一项重要的技术。
为了学习和掌握算法，读一些优秀的算法书籍是非常有帮助的。
本文将为大家推荐几本经典的算法相关书籍。
1.《算法导论》《算法导论》是计算机领域中最经典的算法教材之一，由Thomas H. Cormen等人合著。
该书全面介绍了算法设计与分析的基本原理和方法，内容涵盖了排序、图算法、动态规划、贪心算法等多个领域。
书中的算法示例和习题都很典型，有助于培养读者的算法思维和解决问题的能力。
2.《算法》《算法》是Sedgewick和Wayne合著的一本经典教材，是许多计算机科学专业的教学用书。
该书的特点是结合实际应用场景，深入浅出地讲解了各种经典算法的实现原理和应用技巧。
除了算法的基本知识，还介绍了一些高级主题，如字符串处理、并行算法等。
书中还提供了Java和C++的实现代码，方便读者实践应用。
3.《编程珠玑》《编程珠玑》是Jon Bentley编写的一本非常经典的算法书籍。
该书以问题解决为核心，通过一系列实例展示了如何运用适当的算法和技巧解决实际问题。
书中的问题涉及了排序、查找、字符串处理等多个领域，每个问题都有详细的解答和分析。
通过阅读这本书，读者可以培养出优秀的编程思维和解决问题的能力。
4.《算法设计手册》《算法设计手册》是Steven S. Skiena编写的一本实用型算法书籍。
该书主要关注算法设计的实际应用，通过大量的示例和实践案例，教会读者如何选择和设计合适的算法解决实际问题。
书中还提供了丰富的习题和解答，帮助读者巩固所学知识。
5.《挑战程序设计竞赛》《挑战程序设计竞赛》是G. Nakamura、T. Takahashi、T. Boku 等人合著的一本面向算法竞赛的教材。
该书主要介绍了常见的算法和数据结构，以及它们在ACM国际大学生程序设计竞赛中的运用。
书中的例题都是经典的竞赛题目，通过阅读和解答这些问题，读者可以提高自己的算法设计和编程能力。
算法导论5.3-3
算法导论5.3-3转⾃风清云淡的博客，他给出的解法⾮常的妙。
问题：描述RANDOM(a,b)的过程的⼀种实现，它只调⽤RANDOM(0,1)。
作为a和b的函数，你的程序的期望运⾏时间是多少？注：RANDOM(0,1)以等概率输出0或者1，要求RANDOM(a,b)以等概率输出[a,b]之间的数(整数)解决⽅案：1，取 n=b-a+1，取最⼩的正整数m，使得 2^m >= n2，调⽤RANDOM(0,1)，输出m-bit位整数N ( N >= 0 and N <= 2^m-1)3， if N >=0 and N <= b-athen return a+Nelse 重新执⾏步骤 2[a,b]之间每个数都是以 1/2^m 的概率输出的渐进运⾏时间分析：我觉得渐进时间分析应该⽤概率分析的⽅法，我觉得是服从⼏何分布：假设进⾏⼀系列伯努利试验，每次成功的概率是p，失败的概率是q=1-p，在取得⼀次成功前⼀共要进⾏多少次试验？令随机变量X为取得⼀次成功所要进⾏的试验次数，则X的取值范围{1,2,......}。
对k>=1，因为在⼀次成功前有k-1次失败，从⽽有Pr[X=k]= q^(k-1)p满⾜上式的分布称为⼏何分布 [见算法导论 P686]在算法中 p=(b-a+1)/2^m期望运⾏次数(算法中⽣成m位序列的调⽤次数)为： E[X]=sum(k*q^(k-1)p) [k=1......+⽆穷]=1/p=2^m/(b-a+1)⽤T表⽰调⽤⼀次RANDOM(0,1)所需要的时间，每次运⾏时间为输出m位bit的时间：O(log(b-a) × T)期望运⾏时间：O（T × log(b-a) × 2^m/(b-a+1) ）=(约等于)O(T × log(b-a)) (因为m=(约等于)log(b-a+1))。
算法导论第十五章习题答案
算法导论第十五章习题答案算法导论第十五章习题答案算法导论是一本经典的计算机科学教材，其中第十五章涵盖了图算法的内容。
本文将针对该章节中的习题进行解答，并对其中一些问题进行深入探讨。
1. 习题15.1-1题目要求证明：对于任意的有向图G=(V,E)，如果图中不存在从节点u到节点v的路径，则在每个强连通分量中，节点u和节点v都在同一个强连通分量中。
证明：假设存在一个强连通分量C，其中节点u在C中，节点v在C'中（C'为除了C之外的其他强连通分量）。
由于不存在从u到v的路径，所以在C中不存在从u到v的路径。
但是根据强连通分量的定义，C中的任意两个节点之间都存在路径。
所以存在一条从v到u的路径。
这与C'中的节点v不在C中矛盾，所以假设不成立，节点u和节点v必定在同一个强连通分量中。
2. 习题15.2-2题目要求证明：在一个有向无环图中，存在一个拓扑排序，使得任意两个非根节点u和v，u在v之前。
证明：假设存在一个有向无环图G=(V,E)，不存在上述所要求的拓扑排序。
即对于任意的拓扑排序，存在两个非根节点u和v，u在v之后。
那么我们可以得到一条从u到v的路径。
由于图中不存在环，所以路径上的节点不会重复。
我们可以将路径上的节点按照拓扑排序的顺序排列，得到一个新的拓扑排序，使得u在v之前。
这与假设矛盾，所以原命题成立。
3. 习题15.3-3题目要求证明：在一个有向图G=(V,E)中，如果存在一条从节点u到节点v的路径，那么在图的转置G^T中，存在一条从节点v到节点u的路径。
证明：假设存在一条从节点u到节点v的路径。
那么在图的转置G^T中，边(u,v)变成了边(v,u)。
所以存在一条从节点v到节点u的路径。
因此，原命题成立。
4. 习题15.4-1题目要求：给出一个算法，判断一个有向图G=(V,E)是否是有向无环图。
算法思路：我们可以使用深度优先搜索（DFS）来判断是否存在环。
具体步骤如下：1. 对于图中的每个节点v，设置一个状态标记visited[v]为false。
《算法导论》习题答案
《算法导论》习题答案Chapter2 Getting Start2.1 Insertion sort2.1.2 将Insertion-Sort重写为按非递减顺序排序2.1.3 计算两个n位的二进制数组之和2.2 Analyzing algorithms2.2.1将函数用符号表示2.2.2写出选择排序算法selection-sort 当前n-1个元素排好序后，第n个元素已经是最大的元素了.最好时间和最坏时间均为2.3 Designing algorithms计算递归方程的解(1) 当时，，显然有T((2) 假设当时公式成立，即，则当，即时，2.3.4 给出insertion sort的递归版本的递归式2.3-6 使用二分查找来替代insertion-sort中while循环j?n;if A[i]+A[j]<xi?i+1elsej?j-1if A[i]+A[j]=xreturn trueelsereturn false时间复杂度为。
或者也可以先固定一个元素然后去二分查找x减去元素的差，复杂度为。
Chapter3 Growth of functions3.1Asymptotic notation3.1.2证明对于b时，对于，时，存在，当时，对于，3.1-4 判断与22n是否等于O(2n)3.1.6 证明如果算法的运行时间为，如果其最坏运行时间为O(g(n))，最佳运行时间为。
最坏时间O(g(n))，即;最佳时间，即3.1.7:证明定义3.2 Standard notation and common functions 3.2.2 证明证明当n>4时，，是否多项式有界～与设lgn=m，则?lgn～不是多项式有界的。
mememmmm2设，，是多项式有界的3.2.5比较lg(lg*n)与lg*(lgn)lg*(lgn)= lg*n-1设lg*n=x，lgx<x-1较大。
算法导论doc
第1章算法在计算中的作用章算法在计算中的作用什么是算法?为什么要对算法进行研究?相对于计算机中使用的其他技术来说，算法的作用是什么?在本章中，我们就要来回答这些问题. 1. 1算法算法简单来说，所谓抹法(also*llem)就是定义良好的计算过程，它取一个或一组值作为输入，并产生出一个或一组值作为输出。
并产生出一个或一组值作为输出。
亦即，亦即，算法就是一系列的计算步驭，算法就是一系列的计算步驭，用来将输人数据转换用来将输人数据转换成输出结果。
成输出结果。
我们还可以将算法看作是一种工具。
用来解决一个具有良好规格说明的计算问题。
有关该问题的表述可以用通用的语言，来规定所需的输人/输出关系。
与之对应的算法则描迷了一个特定的计算过程，用于实现这一输人/输出关系输出关系例如.假设需要将一列数按非降顺序进行排序。
在实践中，这一问皿经常山现。
它为我们引入许多标准的算法设计技术和分析工具提供了丰富的问题场景。
下面是有关该排序间题的形式化定义，的形式化定义，输入:由n 个数构成的一个序列编出:对输人序列的一个排列(重排) 例如，给定一个输人序列(31. 41. 59. 26, 41, 58).一个排序算法返回的怕出序列是(26, 31. 41. 41. 58, 59).这样的一个输人序列称为该排序问趣的一个实例G .-e)。
一般来说，。
一般来说，某一个问题的实例包含了求解该间题所需的输人(它满足有关该同题的表述中所给出的任何限制)。
在计算机科学中，排序是一种基本的操作(很多程序都将它用作一种申间步骤)。
因此，迄今为止，科研人员提出了多种非常好的排序算法。
科研人员提出了多种非常好的排序算法。
对于一项特定的应用来说，对于一项特定的应用来说，对于一项特定的应用来说，如何选择最如何选择最佳的排序算法要考虑多方面的因素，其中最主要的是考虑待排序的数据项数、这些数据项已排好序的程度、对数据项取值的可能限制、对数据项取值的可能限制、打算采用的存储设备的类型打算采用的存储设备的类型〔内存、磁盘、磁带)等。
算法导论附录a习题答案
算法导论附录a习题答案算法导论附录A习题答案算法导论是一本经典的计算机科学教材，被广泛应用于计算机科学和工程的教育和研究领域。
附录A是该书中的一个重要部分，提供了一系列习题，用于帮助读者巩固和应用书中所讲述的算法概念和理论。
本文将回答附录A中的一些习题，旨在帮助读者更好地理解和运用算法导论中的知识。
习题1：给定一个由n个整数构成的数组A，设计一个算法，找到数组中的两个元素，使得它们的和等于给定的值x。
解答：可以使用哈希表来解决这个问题。
首先，遍历一遍数组A，将每个元素插入哈希表中。
然后，再次遍历数组A，对于每个元素a，计算目标值x与a的差值diff。
检查哈希表中是否存在diff，如果存在，则找到了满足条件的两个元素。
习题2：给定一个由n个整数构成的数组A，设计一个算法，找到数组中的一个元素，使得它出现的次数超过数组长度的一半。
解答：可以使用摩尔投票算法来解决这个问题。
首先，假设数组中的第一个元素为候选元素，初始化计数器count为1。
然后，遍历数组，对于每个元素a，如果a与候选元素相同，则计数器加1；否则，计数器减1。
如果计数器减到0，则将当前元素设为候选元素，并将计数器重置为1。
最后，返回候选元素即可。
习题3：给定一个由n个整数构成的数组A，设计一个算法，找到数组中的一个元素，使得它出现的次数严格大于n/3。
解答：可以使用摩尔投票算法的变种来解决这个问题。
首先，假设数组中的前两个元素为候选元素1和候选元素2，初始化计数器count1和count2为0。
然后，遍历数组，对于每个元素a，如果a与候选元素1相同，则计数器count1加1；如果a与候选元素2相同，则计数器count2加1；如果count1为0，则将当前元素设为候选元素1，并将计数器count1重置为1；如果count2为0，则将当前元素设为候选元素2，并将计数器count2重置为1。
最后，再次遍历数组，统计候选元素1和候选元素2的出现次数，如果其中一个元素的出现次数严格大于n/3，则返回该元素。
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1. Suppose we are comparing implementations of insertion sort and merge sort on the same machine. For inputs of size n, insertion sort runs in 8n2steps, while merge sort runs in (64n lg n) steps. For which values of n does insertion sort beat merge sort?Answer: if we want the insertion sort beat the merge sort, the condition that should be satisfied with is:8n2 < 64n lg nn < 8 lg n2n< n82<= n < =43So when n range from 2 to 43，the insertion sort beat the merge sort。
2. Algorithm Mystery(A: Array [i..j] of integer)if i=j then return A[i]elsek=i+floor((j-i)/2)temp1= Mystery(A[i..k])temp2= Mystery(A[(k+1)..j]if temp1<temp2 then return temp1 else return temp2What does the recursive algorithm above compute?Determine and state the two recurrence relations of this algorithm.Determine the values of constants in the recurrences by assuming that acomparison, returning a value, reading a value from an array cell, variable assignment, arithmetic operations and the floor function have a cost of 1 each.Use one of the methods discussed in class to determine the EXACT mathematical expression for T(n). Based on that expression, state the order of complexity of this algorithm.Now use a different method to solve the recurrences and show that the order of complexity you stated in (c) is right. Show details of your work if you want to get partial credit.Answer:(a) the recursive algorithm above compute the smallest integer in the A:Array[i..j](找序列里的最小值)（b）Divide and conquer algorithm. It divide the array into two parts ,each of the two parts continue divide the array into two parts ,and when it can’t be divided , it is recursive, and then ,compare the two part and get the smaller number.(分治方法，当递归时将数组分为两块来比较,递归取小的值) （c）Answer:T steps and time costreturned value calculate k function call compareT(1) 1 0 0 0T(2) 2 1 2 2T(3) 3 2 4 4T(4) 4 3 8 8…T(n) n n-1 2(n-1) 2(n-1)T(n)=n+(n-1)*5=6n-5complexity of this algorithm: O(n)(d)T(n) = 2T(n/2) + O（1）T(n) = 4T(n/4) + 3O（1）T(n) = 8T(n/8) + 7O（1）..T(n) = nT(1) + (2lgn-1)O（1）T(n) = O(n)So complexity of this algorithm: O(n)3. Provide an algorithm for Min-Heap-Increase-Key (A, i, key); use the same pseudo-code conventions as the Heap algorithms we discussed in Ch. 6. Answer:PARENT(i)return i/2LEFT(i)return 2*iRIGHT(i)return 2*i+1MIN-HEAPIFY(A,i)l=LEFT(i)r=RIGHT(i)if l<=A.heap-size and A[l] < A[i]smallest=lelsesmallest=iif r<=A.heap-size and A[r] < A[i]smallest=relsesmallest=iif smallest!=iexchange A[i] with A[smallest]MIN=HEAPIFY (A,smallest)A.heap-size = A.lengthfor i = A.length 」downto 1MIN-HEAPIFY(A,i)HEAPSORT(A)BUILD-MIN-HEAP(A)for i=A.length downto 2exchenge A[1] with A[i]A.heap-size = A.heap-size-1MIN-HEAPIFY(A,1)4. Illustrate the operation of Min-Heap-Insert (A, 5) on the heap A=<5, 7, 6, 9, 11, 15, 14, 12, 13, 18, 17, 16>. Use the heap of Fig. 6.5 (pp 141) as a model to show the operation of the Min-Heap-Decrease-Key call. For this problem you must first figure out how to change Max-Heap-Insert and Max-Heap-Increase-Key algorithms to get Min-Heap-Insert and Min-Heap-Decrease-Key algorithms, but you do not have to provide these algorithms in your answer.57 69 11 15 14 12 13 18 17 1657 69 11 15 14 12 13 18 17 16 +∞57 69 11 15 1412 13 18 17 16 557 69 11 5 14 12 13 18 17 16 1557 59 11 6 145. Using Figure 7.1 as a model, illustrate the operations of QUICKSORT which uses the Median-of-Three pivot picking strategy (assume that the median is swapped with the rightmost element and then the Partition algorithm is called) on the array <25, 33, 22, 45, 27, 37, 40, 28, 24>.Exchange median with the rightest6. Observe that the while loop of line 5-7 of the INSERTION-SORT procedure usesa linear search or scan (backward) through the sorted subarray A[1, … ,j-1]. Can we use a binary search instead to improve the overall worst-case running time of insertion sort to Θ(n lg n)?(reference 1: INSERTION-SORT12 13 18 17 16 15reference 2: binary search, also known as half-interval search or logarithmic search, is a search algorithm that finds the position of a target value, whether alone or part of a record, within a sorted array. It works by comparing the target value to the middle element of the array; if they are not equal, the lower or upper half of the array is eliminated depending on the result and the search is repeated until the position of the target value is found.)将插入排序的顺序查找改为二分查找算法：Answer：INSERTION-SORT(A)for j = 2 to A.lengthkey = A[j]//Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1]high = j-1low = 1while low < highmid = (low+high)/2if key ==A[mid] thenbreakif key < A[mid] thenhigh = mid-1if key > A[mid] thenlow = mid+1for i= mid to j-1A[i+1] = A[i]A[mid] = keyWith the overall worst-case the complexity of the binary search isΘ(n lg n) but when insert the complexity of the array move is still n ²，so in general the running time can’t inprove to Θ(n lg n).(最差情况下，二分查找法的时间复杂度是) Θ(n lg n)，但是插入时数组移动的时间复杂度仍然是n ²，所以总体运行时间不能提高到Θ(n lg n).。