第20届华杯赛决赛-小中组A详解

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第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题A 组试卷解析（小学中年级组A 卷）

一、填空题（每小题 10分, 共80分）

1. 计算: 3752(392)5030(3910)÷⨯+÷⨯=________.

【考点】整数计算

【难度】☆☆

【答案】61

【分析】原式3752(392)1006(392)=÷⨯+÷⨯

(37521006)78

47587861

=+÷=÷=

2. 右图中, G F D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠ 等于________度.

【考点】几何、角度计算

【难度】☆☆

【答案】360

【分析】连接CD ，有G F EDC ECD ∠+∠=∠+∠，这样就转化成

四

边形的内角和了，四边形的内角和是360度.

3. 商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡, 共卖1

4.57元. 若每张的售价相同, 且不超过买入价格的两倍, 则商店赚了________元.

【考点】数论、分解质因数

【难度】☆☆

【答案】4.7元

【分析】14.57元=1457分，14573147=⨯

每张的售价不超过买入价格的两倍，47是张数，31分是售价；

商店赚了(3121)47470-⨯=（分）=4.7元.

4. 两个班植树, 一班每人植3棵, 二班每人植5棵, 共植树115棵. 两班人数之和最多为________.

【考点】组合、最值问题

【难度】☆☆

【答案】37人.

【分析】设一班a 人，二班b 人，则有35115a b +=， 求两班人数最多，算式转化成： 3()2115a b b ++=，a b +最大，b 尽可能的小，2b =时，37a b +=。

两班人数之和最多的是37人.

5. 某商店第一天卖出一些笔, 第二天每支笔降价1元后多卖出100支, 第三天每支笔比

前一天涨价3元后比前一天少卖出200支. 如果这三天每天卖得的钱相同, 那么第一天每支笔售价是________元.

【考点】应用题

【难度】☆☆☆

【答案】4元

【分析】设第一天每支笔售价x 元，卖出n 支，有

(1)(100)(1)(100)nx x n nx x n =-+⎧⎨=+-⎩可得到1001001002200x n x n =+⎧⎨=-⎩，解得3004n x =⎧⎨=⎩

6. 一条河上有A, B 两个码头, A 在上游, B 在下游. 甲、乙两人分别从A, B 同时出发, 划

船相向而行, 4小时后相遇. 如果甲、乙两人分别从A, B 同时出发, 划船同向而行, 乙16小时后追上甲. 已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米, 则乙在静水中划船每小时行驶________千米.

【考点】行程、流水行船

【难度】☆☆☆

【答案】10

【分析】在流水行船问题中，两船相遇的速度和即两船船速和，两船追及速度差即两船船速差。 设乙船的速度是x 千米/小时；

4(6)16(6)x x +=-

解得10x =

7. 某个两位数是2的倍数, 加1是3的倍数, 加2是4的倍数, 加3是5的倍数, 那么这

个两位数是________.

【考点】数论、余数问题

【难度】☆☆☆

【答案】62

【分析】由题可知，此数是一个2的倍数，并且除以3、4、5都余2的数，这样的数最小是2，因为这

个数是两位数， 2+[345]=62、

、.

8. 在三个词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中, 每个汉字代表1至8之

间的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数字. 如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19, 且“尽”>“山”>“力”, 则“水”最大等于________.

【考点】数字谜、最值

【难度】☆☆☆☆☆

【答案】7

【分析】由题意得：

⎧⎪⎨⎪⎩

尽+心+尽+力=19 (1) 力+可+拔+山=19 (2)山+穷+水+尽=19 (3)可得357⨯=3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水=19

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而1～8的和是36，则有573621=-=2尽+1力+1山，与（1）比较得2-=山心.

“尽”>“山”>“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有

(+2)+1=212力+力+力，

“力”为4，此时山=5，心=3，尽=6； （1）式满足：6+3+6+4=19；

（3）式：5+++6=19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：

（2）式：4+++5=19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件。此时水最大为7.

若水最大取8时，有6()2()6()5()5()3()7()4()4()1()8()6()⎧⎪⎨⎪⎩

尽+心+尽+力=19 力+可+拔+山=19山+穷+水+尽=19，但此时6()尽、4()山、5()力不满足“尽”>

“山”>“力”，所以不符合要求。

故水最大为7.

二、简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程）

9. 有一批作业, 王老师原计划每小时批改6本. 批改了2小时后, 他决定每小时批改8本,

结果提前3小时批改完. 那么这批作业有多少本？

【考点】应用题

【难度】☆☆☆

【答案】84本

【分析】先考虑2小时后剩下的作业本。

36(86)9⨯÷-=（小时），剩下的作业本9小时完成。

全部作业：986284⨯+⨯=（本）.

10. 用五种不同的颜色涂正方体的六个面. 如果相邻的两个面不能涂同种颜色, 则共有

多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）

【考点】计数、组合

【难度】☆☆☆☆☆

【答案】35

【分析】(1)5种颜色取3种颜色，正方体的六个面两两对应，任意3种颜色都是一种染法. 有3

510

C =种；

(2)5种颜色取4种颜色，每4种颜色，先确定两种颜色染两组对面，剩下的两种颜色染一组

对面，有425430C C =种;

(3)5种颜色取5种颜色，先确定1种颜色染一组对面，剩下的4种颜色（用a 、b 、c 、d 表

示）有abcd 、acbd 、abdc ,3种染色方法，有15315C ⋅=种;

共有10301555++=种染法。

11. 如右图所示, 有一个圆圈填了数字1. 请在空白圆圈

内填上2, 3, 4, 5, 6中的一个数字, 要求无重复数字,