高等代数 行列式计算方法小结.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
行列式的计算
而
D2 a 2 ab b2 , D1 a b
Dn aDn1 bn 2 (a 2 ab b 2 a 2 ab) b n ; Dn bDn1 a n 2 (a 2 ab b 2 a 2 ab) a n .
解
Dn 按c1展开
0 0 0 0 0 0 . a b ab 1 ab
(a b ) Dn1 abDn 2
Dn aDn1 b( Dn1 aDn 2 ) b n 2 ( D2 aD1 ) Dn bDn1 a( Dn1 bDn 2 ) a n 2 ( D2 bD1 )
2 3 n 1
3 4 1 2
n1 n n 1 . n3 n2 n 2 n1
2 3 n 1 3 4 1 2 n1 n n 1 n3 n2 n 2 n1
1 解 n( n 1) 1 D 2 1 1 rn rn1 rn1 rn 2 1 0 n ( n 1) r2 r1 2 0 0
b a b
b b a
1 b ri r1 a ( n 1)b 0 a b i 2,3, n 0 0
b 0 (a b )n1 a ( n 1)b . ab
行列式的计算
1 2 2) D n1 n
1 ri r1 n( n 1) 0 i 2,3 n 1 2 n
1 1 n n n n n 1
0 1 n 1 0 0 n 1
n ( n1) 2
1 n( n 1) 0 cn1 c1 cn 2 2 n
n( n 1) ( 1) 2
行列式的计算
2 3 1 1 1 1 n 1பைடு நூலகம் n 1
n1 n 1 1 n 1 1 1 1
1 1 n( n 1) 1 1 n 2 1 n 1
1 1 n 1 1 1 1 n 1
1 0 0 0
1 0 0
设 D a( x 1)( x 1)( x 2)( x 2), 令 x 0, 则
1 1 D 2 2
1 2 3 3
2 2 1 1
3 3 12, 5 9
a 3.
即
a 1 ( 1) 2 ( 2) 12,
D 3( x 1)( x 1)( x 2)( x 2).
行列式的计算
( n1)( n 2) 2
( 1)( n)n 2 ( 1)
( n 1)nn1 . 2
（四）升级法（加边法）
a1 b1 a2 a1 a2 b2 Dn a1 a2
解： 1)
an an , b1b2 bn 0. an bn
1、定义法：适用于0比较多的行列式． 2、利用性质化三角形行列式 3、 按行（列）展开
4、 其他方法： 分离因子法 箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法
行列式的计算
（一）分离因子法
例：计算
1 1 2 D 1 2 x 2 3 2 3
2 3 2 3 . 1 5 2 1 9 x
an 0 0 bn
ai 1 i 1 bi ci 1 0 c1 ( i 1,2 n 1) bi 0
a1 an b1 0 0 bn
ai b1b2 bn (1 ). i 1 bi
行列式的计算
n
（五）递推公式法
a b ab 0 1 a b ab 0 1 a b Dn 0 0 0 0 0 0
行列式的计算
（二）箭形行列式
bn 0 0 , ai 0, i 1,2,3 n. an ci 解：把所有的第 i 1列 ( i 1,, n) 的 倍加到 ai
第1列，得：
a0 c1 Dn1 c2 cn
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
bi ci Dn1 a1a2 an (a0 ). i 1 a i
行列式的计算
n
可转为箭形行列式的行列式：
1 a1 1 1 1 a2 1) 1 1 a1 x x x a2 x 2) x x 1 1 , ai 0, i 2,3 n. 1 an x x , ai 0, i 2,3 n. an x
an a2 1 a1 0 a1 b1 a2 an Dn 0 a1 a2 b2 an 0 a1 a2 an bn n1
行列式的计算
1 ri r1 ( i 2,3 n 1) 1 1 1
a1 b1 0 0
n
a2 0 b2 0
（把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式）
行列式的计算
（三）行（列）和相等的行列式
a 1) D b b b a b b . a
a ( n 1)b D 解： c1 c2 cn a ( n 1)b a ( n 1)b 1 b b a ( n 1)b 1 a b 1 b a
解：由行列式 D 定义知为 x 的4次多项式． 当 x 1 时，1，2行相同，有D 0 ， x 1 为D的根． 当 x 2 时，3，4行相同，有 D 0, 又
x 2为D的根．
故 D 有4个一次因式:x 1, x 1, x 2, x 2.
行列式的计算
而
D2 a 2 ab b2 , D1 a b
Dn aDn1 bn 2 (a 2 ab b 2 a 2 ab) b n ; Dn bDn1 a n 2 (a 2 ab b 2 a 2 ab) a n .
解
Dn 按c1展开
0 0 0 0 0 0 . a b ab 1 ab
(a b ) Dn1 abDn 2
Dn aDn1 b( Dn1 aDn 2 ) b n 2 ( D2 aD1 ) Dn bDn1 a( Dn1 bDn 2 ) a n 2 ( D2 bD1 )
2 3 n 1
3 4 1 2
n1 n n 1 . n3 n2 n 2 n1
2 3 n 1 3 4 1 2 n1 n n 1 n3 n2 n 2 n1
1 解 n( n 1) 1 D 2 1 1 rn rn1 rn1 rn 2 1 0 n ( n 1) r2 r1 2 0 0
b a b
b b a
1 b ri r1 a ( n 1)b 0 a b i 2,3, n 0 0
b 0 (a b )n1 a ( n 1)b . ab
行列式的计算
1 2 2) D n1 n
1 ri r1 n( n 1) 0 i 2,3 n 1 2 n
1 1 n n n n n 1
0 1 n 1 0 0 n 1
n ( n1) 2
1 n( n 1) 0 cn1 c1 cn 2 2 n
n( n 1) ( 1) 2
行列式的计算
2 3 1 1 1 1 n 1பைடு நூலகம் n 1
n1 n 1 1 n 1 1 1 1
1 1 n( n 1) 1 1 n 2 1 n 1
1 1 n 1 1 1 1 n 1
1 0 0 0
1 0 0
设 D a( x 1)( x 1)( x 2)( x 2), 令 x 0, 则
1 1 D 2 2
1 2 3 3
2 2 1 1
3 3 12, 5 9
a 3.
即
a 1 ( 1) 2 ( 2) 12,
D 3( x 1)( x 1)( x 2)( x 2).
行列式的计算
( n1)( n 2) 2
( 1)( n)n 2 ( 1)
( n 1)nn1 . 2
（四）升级法（加边法）
a1 b1 a2 a1 a2 b2 Dn a1 a2
解： 1)
an an , b1b2 bn 0. an bn
1、定义法：适用于0比较多的行列式． 2、利用性质化三角形行列式 3、 按行（列）展开
4、 其他方法： 分离因子法 箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法
行列式的计算
（一）分离因子法
例：计算
1 1 2 D 1 2 x 2 3 2 3
2 3 2 3 . 1 5 2 1 9 x
an 0 0 bn
ai 1 i 1 bi ci 1 0 c1 ( i 1,2 n 1) bi 0
a1 an b1 0 0 bn
ai b1b2 bn (1 ). i 1 bi
行列式的计算
n
（五）递推公式法
a b ab 0 1 a b ab 0 1 a b Dn 0 0 0 0 0 0
行列式的计算
（二）箭形行列式
bn 0 0 , ai 0, i 1,2,3 n. an ci 解：把所有的第 i 1列 ( i 1,, n) 的 倍加到 ai
第1列，得：
a0 c1 Dn1 c2 cn
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
bi ci Dn1 a1a2 an (a0 ). i 1 a i
行列式的计算
n
可转为箭形行列式的行列式：
1 a1 1 1 1 a2 1) 1 1 a1 x x x a2 x 2) x x 1 1 , ai 0, i 2,3 n. 1 an x x , ai 0, i 2,3 n. an x
an a2 1 a1 0 a1 b1 a2 an Dn 0 a1 a2 b2 an 0 a1 a2 an bn n1
行列式的计算
1 ri r1 ( i 2,3 n 1) 1 1 1
a1 b1 0 0
n
a2 0 b2 0
（把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式）
行列式的计算
（三）行（列）和相等的行列式
a 1) D b b b a b b . a
a ( n 1)b D 解： c1 c2 cn a ( n 1)b a ( n 1)b 1 b b a ( n 1)b 1 a b 1 b a
解：由行列式 D 定义知为 x 的4次多项式． 当 x 1 时，1，2行相同，有D 0 ， x 1 为D的根． 当 x 2 时，3，4行相同，有 D 0, 又
x 2为D的根．
故 D 有4个一次因式:x 1, x 1, x 2, x 2.
行列式的计算