九年级-初三数学尖子生辅导四
最新九年级初三数学假期尖子生学习课外提高学习讲义
例 5．二次函数 y (x 1)2 (x 3)2 与 y (x a)2 (x b)2 的图象关于 y 轴对称，则 (a 1)2 (1 b)2 的值为
()
A．9
B．10
C．20
D．25
例 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 1 x2 经过平移得到抛物线 y 1 x2 2x ，其对称轴与两段抛
D． y x2 x 2
6．如图，把抛物线 y 1 x2 平移得到抛物线 m ，抛物线 m 经过点 A(6, 0) 和原点 O(0, 0) ，它的顶点为 P ， 2
它的对称轴与抛物线 y 1 x2 交于点 Q ，则图中阴影部分的面积为 ． 2
7．如图，抛物线 y1 x2 2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2 ，回答下列问题：
最新九年级初三数学假期尖 子生学习课外提高学习讲义
目录
第 1 讲 二次函数的图像性质…………………………………………03 第 2 讲 二次函数的应用………………………………………………16 第 3 讲 实际问题应用题………………………………………………28 第 4 讲 二次函数几何综合……………………………………………40 第 5 讲 圆的基本性质与定理…………………………………………49 第 6 讲 圆有关的位置与切线…………………………………………75 第 7 讲 圆有关计算……………………………………………………90 第 8 讲 圆相关重难点…………………………………………………112
为底的等腰三角形，则点 P 的坐标为
．
四．二次函数图象与几何变换 1.平移规律：“左加右减，上加下减”
2.对称规律：通过顶点以及开口方向判断 关于 x 轴对称，顶点横坐标不变，纵坐标互为相反数，开口相反； 关于 y 轴对称，顶点横坐标互为相反数，纵坐标不变，开口相同；
九年级尖子生辅导方案
九年级尖子生辅导方案尖子生，作为优秀学生的代表，在学业上有着出色的表现和潜力。
为了更好地指导九年级尖子生，让他们发挥出更大的潜力，我们制定了以下九年级尖子生辅导方案。
一、目标设定在九年级阶段，尖子生的学习目标应该更具挑战性。
我们要求尖子生通过这一年的努力，达到以下三个方面的目标：1. 学科知识：掌握九年级教材的所有知识点，并能够灵活运用于解决实际问题；2. 学习能力：培养较强的学习方法和学习策略，提高学习效率；3. 综合素质：不仅在学术上有出色的表现，还要培养良好的人际交往能力、领导力和创新思维。
二、课程安排为了实现目标设定，我们将对尖子生进行专门的课程安排，包括以下几个方面：1. 知识点深度解析：每周安排专门的知识点深度解析课程，由资深老师讲解，帮助尖子生对重点知识进行深入理解和运用。
2. 自主学习时间：每天安排1小时的自主学习时间，尖子生可以根据自己的学习进度和需求，选择自主学习或进行课堂巩固复习。
3. 模拟考试训练：每月安排一次模拟考试，以检验尖子生的学习进展和提前适应高中的考试形式。
4. 学习方法指导：定期组织学习方法指导课程，帮助尖子生培养良好的学习习惯和高效的学习方法。
三、个性化辅导每个尖子生的学习能力和学科特长都有所不同，因此在辅导过程中，我们将注重个性化辅导，满足每个尖子生的不同需求。
1. 个别辅导：定期进行个别辅导，针对尖子生的学习问题和困难进行针对性解答和指导，帮助他们克服学习难题。
2. 挑战性项目：为了培养尖子生的创新思维和解决问题的能力，我们将开展挑战性项目，提供实践机会，鼓励尖子生充分发挥自己的才能。
四、家校合作在尖子生辅导过程中，家庭的参与和支持至关重要。
我们将积极与家长进行沟通，建立良好的家校合作关系，达到以下几个方面：1. 家长会议：定期举行家长会议，分享学生的学习情况和进展，为家长提供更清晰的指导和建议。
2. 家庭作业辅导：提供家庭作业指导册，帮助家长更好地辅导尖子生完成作业，并及时反馈学习情况。
九年级数学尖子生寒假培优教程(4)
F九年级数学寒假尖子生培优教程(4)--圆、锐角三角函数综合1.⊙O 的内接等腰△ABC 中，AB=AC ，半径是5㎝，圆心O 到BC 的距离为3㎝，则腰长是________。
hw02-022.如图，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交A 于M 、N 两点，若点M 的坐标是(-4，-2)，则点N 的坐标是________. hw02-123.如图,在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=6,BC=8, ⊙O 为的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA=______.hw06-074.如图,在平面直角坐标系xOy 中，⊙P 与y 轴相切于点C ，⊙P 的半径为4，直线y=x 被截得的弦AB 长为4P 的坐标为. ________ hw07-145.如图，⊙P 在第一象限，半径为3,动点A 沿着⊙P 运动一周，在 点A 运动的同时，作点A 关于原点O 的对称点B ，再以AB 为底边作等腰三角形△ABC ，点C 在第二象限，且sinA=45,点C 随点A 运动所形成的图形的面积为 ．cn02-106.如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方圆弧上，半径AE 、CF 交于点G ，半径BE 、CD 交于点H ，且C 是 AB的中点，若扇形的半径为4，则图中四边形EGCH 的面积为__________平方单位。
cn02-087. 如图, 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝60°，AC=10,将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ’，折痕为BE ，则AE 的长度为 .8.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点G 是重心，过点G作矩形GECF ，当GF ：GE=1：2时，则∠B 的正切值是.9. 如图, 在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC于点D 、E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F 。
2020-2021学年九年级数学上册尖子生课时培优题典 专题4
专题4.5相似三角形判定定理的证明姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•岳麓区校级期末）如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（）A．B．7 C．8 D．9【分析】由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，即可判定△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解析】∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，∴，∴CD．故选：A．2．（2020•肥东县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE，∠AED ＝∠B，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】证明△BAE∽△CED，推出可得结论．【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，∴∠DEC＝∠BAE，∴△BAE∽△CED，∴，∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE，∴，∴CE，故选：C．3．（2020•成都模拟）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，连接AD，点F在线段AD上，EF∥BD，且交AB于点E，FH∥AC，且交CD于点H，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据EF∥BD，可得△AEF∽△ABD，根据FH∥AC，可得△DHF∽△DCA，再根据相似三角形的性质即可求解．【解析】∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴，故A错误；，．∵FH∥AC，∴△DHF∽△DCA，∴，故B错误；，，∴，故C错误；，故D正确．故选：D．4．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，△ABC中，AD＝AC，延长CD至B，使BD＝CD，ED⊥BC交AB于E，EC交AD于F，下列四个结论：①EB＝EC：②BC＝2AD；③△ABC∽△FCD；④若AC＝6，则DF＝3．其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝CE，BC＝2BD＝2CD，故①正确；②错误；根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠ACB，推出△ABC∽△FCD；故③正确；根据相似三角形的性质得到，得到DF＝3，故④正确．【解析】∵BD＝CD，ED⊥BC，∴BE＝CE，BC＝2BD＝2CD，故①正确；②错误；∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACB，∵∠B＝∠ECB，∴△ABC∽△FCD；故③正确；∴，∵BC＝2CD，∴AD＝AC＝2FD＝6，∴DF＝3，故④正确；故选：C．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，点D，E是正△ABC两边上的点，将△BDE沿直线DE翻折，点B 的对应点恰好落在边AC上，当AC＝4AF时，的值是（）A．B．C．D．【分析】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠的性质得到∠DFE＝∠B＝60°，BD＝DF，BE＝EF，根据相似三角形的性质得到，设AF＝x，则AC＝4x，CF＝3x，解方程组即可得到结论．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，∴∠DFE＝∠B＝60°，BD＝DF，BE＝EF，∴∠AFD+∠ADF＝∠AFD+∠CFE＝120°，∴∠ADF＝∠CFE，∴△ADF∽△CFE，∴，∴，∵AC＝4AF，∴设AF＝x，则AC＝4x，CF＝3x，∴，∴，①﹣②得，3BD﹣BE＝4BE﹣4BD，∴7BD＝5BE，∴，故选：D．6．（2020•萧山区模拟）已知平行四边形ABCD，点E是DA延长线上一点，则（）A．B．C．D．【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB∥CD，AD∥BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△AEM∽△DEC，∴，故A错误；∵AM∥CD，∴，故B正确；∵BM∥CD，∴△BMF∽△DCF，∴，故C错误，∵ED∥BC，∴△EFD∽△CFB，∴，∵AB∥CD，∴△BFM∽△DFC，∴，∴，故D错误．故选：B．7．（2020•碑林区校级四模）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC 于点F．若AB＝4，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．1【分析】由矩形性质知∠B＝∠C＝90°，得∠BAE+∠BEA＝90°，再由AE⊥EF知∠BEA+∠CEF＝90°，从而得∠BAE＝∠CEF，即可证△ABE∽△ECF得，代入计算可得．【解析】∵E是BC的中点，BC＝6，∴BE＝CE＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴，即，解得CF，故选：A．8．（2020•黄岛区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若BC＝8，AB＝10，则CE的长为（）A．3 B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解一：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，∴AC＝6，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∴，∵FC＝FG，∴，解得：FC＝3，即CE的长为3．解二：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CF A＝90°，∠F AD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠F AD，∴∠CF A＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG．∵BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，∴AC＝6．设FG＝x，则FC＝x．∵S△ABC＝S△AFC+S△AFB，∴6x10x6×8，∴x＝3．∴CE＝3．故选：A．9．（2020•宝山区二模）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC＝3，AD ＝2，EF：EH＝2：3，那么EH的长为（）A．B．C．D．2【分析】设EH＝3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出△AEH的边EH上的高，根据△AEH与△ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解析】如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，∴，解得：x，则EH．故选：B．10．（2020•下城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E 在AC上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（）A．B．C．D．2【分析】根据∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，即可判定△ABC∽△BEC，再根据相似三角形的性质，即可得到BC的长，进而得到BE的长．【解析】由旋转可得，△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，DE＝AC＝3，∴∠C＝∠BEC，又∵∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠BEC，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC，∴，即BC2＝CE×CA，∴BC，∴BE，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•舞钢市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB中点，连接CE，交BD于点F，若EF＝1，则CF的长是2．【分析】利用平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则BE AB CD，再证明△BEF∽△DCF，然后利用相似比可计算出CF的长．【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵点E是AB中点，∴BE AB CD，∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∴CF＝2EF＝2．故答案为2．12．（2020春•文登区期末）如图，点D是△ABC中AB边上的一点，且AD＝2BD，连接CD，取CD的中点E，连接BE并延长，交AC于点F．若AC＝5，则CF＝．【分析】过点C作AB的平行线，交BF的延长线于G，则∠G＝∠DBE，依据△BDE≌△GCE，即可得出CG＝BD，再根据△ABF∽△CGF，即可得到CF的长．【解析】如图所示，过点C作AB的平行线，交BF的延长线于G，则∠G＝∠DBE，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，又∵∠BED＝∠GEC，∴△BDE≌△GCE（AAS），∴CG＝BD，∵AD＝2BD，∴AB＝3BD＝3CG，∵AB∥GC，∴△ABF∽△CGF，∴，∴CF AC5，故答案为：．13．（2019秋•呼兰区期末）如图，已知△ADC中，∠ADC＝90°，AB交CD于E，且AB＝AC，∠BCD＝45°，DE：CE＝9：7，BC＝2，则AE的长度为．【分析】过点B作BH⊥CD于点H，作BF⊥AD交AD的延长线于点F，求出BH＝DF＝2，证明△ACD ≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝CD，设DE＝9x，CE＝7x，则CD＝16x，AD＝16x﹣2，证明△ADE∽△CDA，由相似三角形的性质得出，得出方程（16x﹣2）2＝16x•9x，解方程求出x，则可得出AD和DE的长，由勾股定理可求出答案．【解析】过点B作BH⊥CD于点H，作BF⊥AD交AD的延长线于点F，∵∠BCD＝45°，BC＝2，∴∠HCB＝∠HBC＝45°，∴CH＝BH＝2，∵∠BHD＝∠HDF＝∠F＝90°，∴四边形HDBF为矩形，∴BH＝DF＝2，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ACD＝∠ABH，∵∠ADH＝∠BHD＝90°，∴BH∥AD，∴∠ABH＝∠BAF，∴∠BAF＝∠ACD，又∵∠AFB＝∠ADC＝90°，∴△ACD≌△BAF（AAS），∴AF＝CD，∵DE：CE＝9：7，∴设DE＝9x，CE＝7x，∴CD＝16x，∴AD＝16x﹣2，∵∠ADE＝∠ADC，∠EAD＝∠ACD，∴△ADE∽△CDA，∴，∴AD2＝CD•DE，∴（16x﹣2）2＝16x•9x，解得x或x（舍去），∴AD＝6，DE，∴AE．故答案为：．14．（2020•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE ＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为．【分析】根据题干条件可证得△DEF∽△BCF，从而得到，由线段比例关系即可求出函数解析式．【解析】在矩形中，AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∵BD10，BF＝y，DE＝x，∴DF＝10﹣y，∴，化简得：，∴y关于x的函数解析式为：，故答案为：．15．（2020•顺德区模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E 是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝或1．【分析】分情况讨论：∠CED＝90°和∠CDE＝90°，利用角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．【解析】分两种情况：①当∠CED＝90°时，如图1，过E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AD＜BC，∴AB与CD不平行，∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，∴∠BCE＝∠DCE，∴AE＝EF，EF＝BE，∴AE＝BE AB，②当∠CDE＝90°时，如图2，∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，∴∠BCE＝∠DCE＝30°，∵∠A＝∠B＝90°，∴BE＝ED＝2AE，∵AB＝3，∴AE＝1，综上，AE的值为或1．故答案为：或1．16．（2020•浉河区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝4或6．【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．【解析】如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故，则，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴，即，解得：MN＝6，故答案为：4或6．17．（2019秋•锦江区校级月考）如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝3，AC＝2，AB＝m，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是5或2．【分析】当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，得出，AE BE①，当∠ACE＝∠BED 时，△ACE∽△BED，得出，即AE×BE＝AC×BD＝6②，由①②得出BE2＝6，解得BE＝3，AE＝2，得出m＝5；当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；设AE＝x，则BE＝m﹣x，得出x：3＝2：（m﹣x），整理得x2﹣mx+6＝0，方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，解得m＝2，当m＝2时，AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；AE＝BE时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；即可得出答案．【解析】∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，∴，∴AE BE①，当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，∴，即AE×BE＝AC×BD＝2×3＝6②，由①②得：BE2＝6，解得：BE＝3，∴AE＝2，∴AB＝AE+BE＝5，即m＝5；当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；设AE＝x，则BE＝m﹣x，∴x：3＝2：（m﹣x），整理得：x2﹣mx+6＝0，方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，解得：m＝±2（负值舍去），∴m＝2；当m＝2时，AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；AE＝BE时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；综上所述，△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是5或2；故答案为：5或2．18．（2019秋•淅川县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为或2．【分析】根据折叠的性质得到BE＝EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，∵BC＝4，∴CE＝4﹣BE，∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，∴或，即或，解得：BE或2，故答案为：或2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•靖远县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．【分析】根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC＝∠BEC＝90°，再证明∠F AE＝∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．【解答】证明：∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠F AE+∠AFE＝90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BFD＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠F AE＝∠CBE，∴△AFE∽△BCE．20．（2020•南海区校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于E、D两点．（1）请用尺规作图作出AB的垂直平分线DE；（2）连接BD，证明：△ABC∽△BDC．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出线段AB的垂直平分线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质求出∠BAC＝∠ABD，故可得出∠CBD的度数，再由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD．∵∠BAC＝40°，∠ABC＝80°，∴∠BAC＝∠ABD，∴∠CBD＝80°﹣40°＝40°，即∠CBD＝∠BAC．∵∠C是公共角．∴△ABC∽△BDC．21．（2019秋•全椒县期末）如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；（2）根据第一问可得到AD：AE＝AC：AB，有一组公共角∠A，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．【解答】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）连接DE，∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE＝AC：AB，∴AD：AC＝AE：AB，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC．22．（2018秋•枞阳县期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止．点D运动速度为1cm/s，点E运动速度为2cm/s．如果两个点同时运动，多长时间△ADE与△ABC相似？【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D 与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．【解析】如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．23．（2018秋•霍邱县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是AB上的一点，AD＝2，在线段AC上是否存在一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出AE的长；如果不存在，请说明理由．【分析】由勾股定理的逆定理可得∠BAC＝90°，由相似三角形的性质可求解．【解析】存在，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴或，∴，∴AE或，24．（2020春•吴中区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F 为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．（1）求证：△DFC∽△CBE；（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AD∥BC，CD∥AB，则根据平行线的性质得到∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，再证明∠DFC＝∠B，则可判断△DFC∽△CBE；（2）利用平行四边形的性质得到BC＝AD＝4，利用平行线的性质得DE⊥DC，则利用勾股定理可计算出CE＝3，然后利用相似比求出DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFE+∠B＝180°，而∠DFE+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，∴△DFC∽△CBE；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝4，∵DE⊥AB，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，在Rt△DEC中，CE3，∵△DFC∽△CBE，∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，∴DF．。
万唯中考九年数学尖子生文档
万唯，一个中考九年级的数学尖子生，经过多年的努力和坚持，他在数学领域取得了非凡的成就。
下面我将为大家介绍一下他的学习经历和他成为尖子生的秘诀。
万唯从小就展现出了对数学的超强兴趣和天赋，尤其擅长于解题和分析。
他在小学时期成绩一直名列前茅，老师和同学都对他的数学能力赞叹不已。
进入初中后，他依然保持着对数学学习的热情，并且加倍努力地学习。
万唯成为数学尖子生的秘诀主要有以下几点。
首先，他有很强的自学能力和主动性。
无论是在课堂上还是在课后，他总是能够深刻理解老师讲解的内容，并能够独立解决问题。
他经常观察并记录每个学习过程中的问题和疑惑，并积极地去寻找答案。
其次，万唯对于数学题目的分析能力非常强。
他擅长于从不同的角度去思考问题，并总结出解题的通用方法和技巧。
无论是常见的数学题目还是较为复杂的难题，他都能够准确抓住核心，迅速解答。
此外，万唯能够灵活运用数学知识解决实际问题。
他常常把书本上的数学知识应用到实际生活中，通过解决实际问题来加深对数学的理解和记忆。
这种实践式的学习方法使得他对数学知识的掌握更加深入。
最后，万唯十分注重练习和巩固。
他每天都有固定的练习时间，并且会针对自己做错的题目进行有针对性的复习和训练。
他相信只有通过不断的练习和巩固，才能将数学知识真正地融会贯通。
通过这些努力和坚持，万唯成功地成为了中考九年级的数学尖子生。
他在各种数学竞赛和考试中都取得了优异的成绩，被许多学校和培训机构争相邀请。
他的经历告诉我们，只要有足够的兴趣和努力，每个人都有可能成为数学领域的尖子生。
万唯的数学尖子生之路，不仅仅是他个人的成功经验，也为广大学生提供了一个学习的榜样和借鉴。
希望更多的学生能够向他学习，并通过自己的努力和坚持，在数学学习道路上迈出自己的成功之步。
“尖子生”的中考数学复习秘籍
“尖子生”的中考数学复习秘籍“尖子生”的中考数学复习秘籍导语：数学中考复习是同学提高中考成果的关键环节，认真完成这个阶段的教学任务，不仅有利于同学消化、巩固、归纳数学基础学问，而且有利于同学解决问题的力气，下面是我为大家整理的常见的中考数学的复习方法，欢迎阅读，仅供参考，更多相关的学问，请关注CNFLA学习网的栏目!中考数学的复习方法：但初三数学复习学问点多，内容广，要想在短暂的几个月时间内全面透彻复习学校三年所学的数学学问，形成基本技能，提高解题技巧、力气，并非易事。
如何提高复习的效率和质量，是每位数学老师和同学所关怀的。
以下我综合个人多年教学中的一些体会和牧区中考数学考试特点对学校数学复习谈一些个人阅历。
一、留意考纲分析，把握中考动向中考复习前，初三数学老师须进行考纲分析，统一方向，依据考纲争论数学命题的走向和中考复习策略。
原初三数学老师可依据上一届考试走向、中考复习体会及中考后的反思和数学老师沟通。
初三数学老师依据中考数学命题的特点，及早把握中考动态，考试内容、范围、重难点，渗透到平常的复习中。
组织特地的中考考纲分析专题研讨会，将对初三老师的复习起到指导作用，对初三老师把握中考动向，订正复习偏差，产生乐观而深刻的影响。
邀请初二数学老师模拟中考命题、试题内容严格依据考纲改编及自编，着重考查同学把握基础学问、基本技能的娴熟程度。
每次考完后老师与同学都要准时做总结，初三数学老师写试卷分析。
这样既让老师对中考复习的把握更精确，又有利于同学查找差距，奋力拼争。
二、制定合理的复习方案学校数学内容多而杂，基础学问和基本技能又分散在三年的教科书中。
因此，必需依据大纲规定的内容和归纳的'学问要点，细心编制复习方案。
切实可行的复习方案能让复习有条不紊地进行下去，起到事半功倍的效果。
我们认为，中考的数学复习最好是分三阶段进行。
第一阶段，考纲规定基础学问所占比例70%，因此利用一个半月时间全面系统复习基础学问。
2021年九年级中考数学 尖子生培优 数与式专题(含答案)
2021中考数学尖子生培优数与式专题一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列整数中，与最接近的整数是()A.3B.4C.5D.62. 下列二次根式是最简二次根式的是()A.B.C.D.3. 分式12a2b与1ab2的最简公分母是()A．ab B．2a2b2 C．a2b2 D．2a3b34. 计算(－a－b)2的结果是( )A．a2＋b2B．a2＋2ab＋b2C．a2－b2D．a2－2ab＋b25. 下列运算正确的是( )A．－2(3x－1)＝－6x－1B．－2(3x－1)＝－6x＋1C．－2(3x－1)＝－6x－2D．－2(3x－1)＝－6x＋26. 下列交换加数位置的变形中，正确的是( )A．1－4＋5－4＝1－4＋4－5B．1－2＋3－4＝2－1－4－3C．5.5－4.2－2.5＋1.2＝5.5－2.5＋1.2－4.2D．13＋2.3－5－4.3＝13＋5－2.3－4.37. 4张长为a，宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2.若S1=2S2，则a，b 满足()A .2a=5bB .2a=3bC .a=3bD .a=2b8. （2020·临沂）计算11x y x y ---的结果为（ ） A.(1)(1)x y x y -+-- B.(1)(1)x y x y --- C.(1)(1)x y x y ---- D.(1)(1)x y x y +--9. 观察下列等式:70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+…+72019的结果的个位数字是 ( ) A .0 B .1 C .7D .810. 若把分式3xyx －y(x ，y 均不为0)中的x 和y 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．不变D ．扩大为原来的6倍二、填空题（本大题共8道小题）11. （2020·武威）要使分式有意义，x 需满足的条件是 ．12. 分解因式a 3-4a的结果是 ______________.13. 计算:-÷= .14. （2020·宜宾）分解因式：a 3﹣a ＝．15. 已知:[x ]表示不超过x 的最大整数.例:[4.8]=4，[-0.8]=-1.现定义:{x }=x -[x ]，例:{1.5}=1.5-[1.5]=0.5，则{3.9}+{-1.8}-{1}= .16. 若关于x 的分式方程=a 无解，则a 的值为 .17. 观察如图所示的“蜂窝图”：则第n (n 是正整数)个图案中“”的个数是________．(用含n 的式子表示)18.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n (n 是正整数)个图案中有________个涂有阴影的小正方形．(用含n 的式子表示)三、解答题（本大题共8道小题）19. 化简:（a -32－a +32）·（a 2－4）20. 解方程：(1)(x －1)(1＋x )－(x ＋2)(x －3)＝2x －5； (2)5x (x ＋2)－(x ＋1)(x －1)＝4(x 2－6)．21. （2020·乐山）已知：y ＝2x ，且x ≠y ，求(1x －y ＋1x ＋y )÷x 2yx 2－y 2．22.小明从家里出发骑车到公园去玩，当他意识到骑过头的时候，已经走了4.5km ，他又往回骑了1.2 km 才到达目的地． (1)列算式求出小明家离公园有多远； (2)求小明骑车行驶的总路程．23.阅读理解阅读材料：因为|x |＝|x －0|，所以|x |的几何意义可解释为数轴上表示数x 的点与表示数0的点之间的距离．这个结论可推广为：|x 1－x 2|的几何意义是数轴上表示数x 1的点与表示数x 2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)等式|x －2|＝3的几何意义是什么？这里x 的值是多少？ (2)等式|x －4|＝|x －5|的几何意义是什么？这里x 的值是多少？ (3)式子|x －1|＋|x －3|的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？24. 阅读材料，并完成下列问题:观察分析下列方程:①x+=3，②x+=5，③x+=7. 由①，得方程的解为x=1或x=2， 由②，得方程的解为x=2或x=3， 由③，得方程的解为x=3或x=4.(1)观察上述方程及其解，可猜想关于x 的方程x+=a+的解为 ; (2)请利用你猜想的结论，解关于x 的方程=a+.25. 分解因式：()()2121510n na ab ab b a +---(n 为正整数)26. 分解因式：212146n m n m a b a b ++--(m、n 为大于1的自然数)2021中考数学 尖子生培优 数与式专题-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】B[解析] 原式＝(－a)2－2·(－a)·b ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.5. 【答案】D6. 【答案】C7. 【答案】D[解析]S 1=b (a +b )×2+ab ×2+(a -b )2=a 2+2b 2，S 2=(a +b )2-S 1=(a +b )2-(a 2+2b 2)=2ab -b 2. ∵S 1=2S 2，∴a 2+2b 2=2(2ab -b 2)，整理，得(a -2b )2=0，∴a -2b=0，∴a=2b.故选D .8. 【答案】A【解析】根据异分母分数加减法的法则先进行通分，然后计算即可，如下：(1)(1)11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y x y y x x y x y y x xy x xy y y x y x y x ---=-==----------++---所以选A.9. 【答案】A[解析]根据70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，可知个位数字的变化周期为4，相邻的四个数和的个位数字为0.∵2020÷4=505，故70+71+…+72019的结果的个位数字是0，故选项A 正确.10. 【答案】A[解析] 由题意得3·3x·3y 3x －3y ＝3·9xy 3（x －y ）＝3·3xyx －y，所以分式的值扩大为原来的3倍．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1，故答案为x≠1．12. 【答案】a（a＋2）（a－2）【解析】a3-4a=a（a²－4）＝a（a＋2）（a－2）13. 【答案】-14. 【答案】a（a+1）（a﹣1）【解析】先提取公因式a，再运用平方差公式进行分解，a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a （a+1）（a﹣1）．15. 【答案】1.1[解析]根据题意可得:{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=1.1，故答案为:1.1.16. 【答案】-1或1[解析] 解分式方程=a，得x=.因为分式方程无解，所以x=-1或a=1.所以x==-1或a=1.所以a=-1或a=1.17. 【答案】3n＋1 [解析]根据题意可知，第1个图案中有4个“”，第2个图案中有7个“”，第3个图案中有10个“”，第4个图案中有13个“”，由此可得出后一个图案都比前一个图案多3个“”，所以第n个图案中“”的个数为4＋3(n－1)＝3n＋1.故答案为3n＋1.18. 【答案】(4n＋1) [解析] 第1个图中有5个阴影小正方形，从第2个图起，每个图中的阴影小正方形个数都比前一个图中多4，所以第n(n为正整数)个图中阴影小正方形的个数＝5＋4(n－1 )＝4n＋1.三、解答题（本大题共8道小题）19. 【答案】解：原式＝a a a a +--+（32）-3（2）（2）（2）·（a ＋2）（a －2）＝3a ＋6－3a ＋6＝12．20. 【答案】解：(1)(x －1)(1＋x)－(x ＋2)(x －3)＝2x －5，x 2－1－(x 2－x －6)＝2x －5， x 2－1－x 2＋x ＋6－2x ＋5＝0， －x ＋10＝0， x ＝10.(2)5x(x ＋2)－(x ＋1)(x －1)＝4(x 2－6)， 5x 2＋10x －x 2＋1＝4x 2－24， 10x ＝－25， x ＝－2.5.21. 【答案】解：原式＝ ＝＝，∵，∴ ，∴原式＝＝.22. 【答案】[解析] 把从家向公园行驶的方向记为正，则小明两次行驶的路程分别为＋4.5km ，－1.2km ，它们的和就是小明家与公园的路程，它们的绝对值的和就是小明行驶的总路程．解：(1)把从家向公园行驶的方向记为正，由题意，得(＋4.5)＋(－1.2)＝3.3(km)．答：小明家离公园3.3 km.(2)|＋4.5|＋|－1.2|＝4.5＋1.2＝5.7(km)． 答：小明骑车行驶的总路程是5.7 km.23. 【答案】解：(1)等式|x －2|＝3的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点之间的距222))((2y x y x y x y x x -÷-+y x y x y x x 222222-⨯-xy 2x y 2=2=xy 221离等于3.这里x 的值是－1或5.(2)设数轴上表示数x ，4，5的点分别为P ，A ，B ，则等式|x －4|＝|x －5|的几何意义是点P 到点A 的距离等于点P 到点B 的距离．这里x 的值是412.(3)设数轴上表示数x ，1，3的点分别为P ，M ，N ，则式子|x －1|＋|x －3|的几何意义是点P 到点M 的距离与点P 到点N 的距离的和．结合数轴可知，当1≤x≤3时，式子|x －1|＋|x －3|的值最小，最小值是2.24. 【答案】解:(1)x=a 或x= (2)=a+， 则=a+， 即x+=a+， 变形为(x-1)+=(a-1)+，所以x-1=a-1或x-1=， 解得x=a 或x=.25. 【答案】()()2535na ab a b --【解析】原式()()()()()()212221510532535n n n na ab ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦ 注意整体思想的运用！26. 【答案】2112(23)n m n a b a b +---【解析】(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-。
2024年数学培优补差工作计划范文(七篇)
2024年数学培优补差工作计划范文为指导我国教育事业发展，落实学校整体教学规划，本方案旨在深入实施学生辅导工作，特别关注成绩优异与成绩欠佳学生的个性化辅导。
一、辅导工作指导思想遵循学校整体教学规划，着力提升前____%学生的学术水平，同时对后____%学生给予特别关注和辅导。
对表现优异的学生提供必要的学术滋养，对成绩较差的学生则秉持更高期望与更多关爱，以无限耐心与毅力确保辅导成效。
二、学习困难原因分析深入探究学生学业困难之根源，主要包括以下几点：1. 学生流动性较大，每学期均有学生转入转出，转出的往往是成绩较好的学生，而转进的通常是成绩较差的学生。
多数学生为留守儿童，或在老家缺乏有效监管，家长才将其带至身边。
2. 学习习惯不良：学习困难的学生往往缺乏良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，仅将其视为完成父母和教师布置的任务。
由于大多数学生为外来务工人员子女，家长忙于工作，缺乏有效的学习监管。
学生普遍贪玩，上课注意力不集中，缺乏自控能力，导致学习效果不佳。
3. 家庭因素：学生家庭文化程度普遍较低，家长对教育的期望值不高，缺乏辅导能力。
部分家长教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的家长则过于放纵孩子，甚至对学习持消极态度，认为读书无用，这些因素均影响了学生的学习积极性。
三、有效培优补潜措施充分利用课余时间，针对不同情况的学生进行个性化辅导，实施“因材施教、对症下药”的原则。
具体措施如下：1. 课堂教学中，潜能生进行板演，中等生负责订正，优等生解决难题。
2. 座位安排上，采取“好潜同桌”模式，即“兵教兵”。
3. 课堂练习分为三个层次：基础题、中等题和拓广题，以满足不同层次学生的需求。
4. 优化备课流程，提高课堂教学效率，确保在有限时间内完成高质量的培优补潜工作。
四、培优转差目标及学生帮扶名单确立培优转差目标，制定学生帮扶名单如下：周述涛-刘洋闵玉鑫-雷永胜喻圣江刘超-姜琦葛月娥-王海娜张峰-谢宗领赵兴超-罗坤坤苟娅莉-佘旺汪红霞-谭月果祝娜萍-杨阳在素质教育的背景下，作为教育工作者，我们将持续探索有效的方法和经验，以使我们的培优补差工作更加高效、有成效。
2020-2021学年九年级数学上册尖子生课时培优题典 专题4
专题4.4探索三角形相似的条件姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•宿豫区期末）如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．D．2．（2019秋•岳麓区校级期末）如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为（）A．B．7 C．8 D．93．（2020春•工业园区期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B．若AD＝2，BD＝3，则AC 等于（）A．5 B．6 C．D．4．（2020•顺德区模拟）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，DB＝7，EC＝3，则AE的长是（）A．B．3 C．4 D．5．（2020•宜兴市一模）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG＝∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．6．（2020•金坛区二模）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．若AB ＝4，AD＝3，则CF的长是（）A．3 B．C．4 D．7．（2020春•文登区期末）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BD•AB C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB8．（2019秋•建湖县期末）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2019秋•南关区期中）如图，在△ABC中，∠A＝76°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．10．（2020•昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•高要区一模）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，要使△AEF与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可）12．（2020•江西模拟）如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是．13．（2020•普陀区一模）如图，在△ABC与△AED中，，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需填一个条件）．14．（2019秋•濮阳期末）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，AB＝6，AC＝8，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，AF的长是．15．（2019秋•玄武区期末）如图，在△ABC和△APQ中，∠P AB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC，则这个条件可以是．16．（2019秋•淮阳县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过秒时，△PBQ与△ABC相似．17．（2020春•招远市期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在AC边上．当AN＝时，△AMN与原三角形相似．18．（2020春•莱州市期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•海淀区校级期末）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB，BC＝3．求证：△BCD∽△BAC．20．（2020•淮安模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）求证：△ADE∽△ABD．21．（2019秋•松桃县期末）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．22．（2019春•西湖区校级月考）如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．（l）求证：△BEF∽△CDF；（2）求证：DE•BF＝EF•BC．23．（2017秋•武冈市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点P从B点出发，沿BC 方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时分别从B、C出发，经过多少时间△CPQ与△CBA相似？24．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，．（1）当时，求证△ABC∽△A'B'C'．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．。
初三数学秋季版(尖子培优)第4讲——梯形及梯形中常作的辅助线(教案)
学科教师辅导教案学员编号：年级：初三课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T——梯形中常见辅助线的作法C——梯形的专题讲解C——梯形的中位线星级★★★★★★★★授课日期及时段教学内容梯形中常见辅助线的作法1、掌握几种常见且较难的梯形辅助线的作法。
2、会利用的辅助线求解较复杂的有关梯形的综合性问题。
-未知的梯形可以分解成已知的三角形和平行四边形来解题，即再如：一元二次方程解法的核心思想是降元，由二次降到一次，其中的因式分解法也很好体现了分解的数学思想。
分解是由已知探索未知的一种有效方法。
1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.以上知识点的基本图形如下:[例1]已知：如图2,在梯形ABCD中,AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC，.求证：AB＝2CD. 分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作 ,交AB于E.∵ AB平行于CD,且 ,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又 ,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件 ,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵ ,∴∴是直角三角形,∵ , ,∴ .∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴ .1、在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面积。
初三数学尖子生辅导四
初三数学尖子生辅导四一、如图，已知反比例函数y＝kx（k＞0，k为常数）的图象通过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C.（1）写出反比例函数的解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM；（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．初三数学尖子生辅导四答案一、解答：（1）∵反比例函数y＝kx的图象通过点A（1，4），点B（m，n），∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x；（2）∵点A（1，4），点B（m，n），∴AC＝4－n，BC＝m－1，ON＝n，OM＝1，∴ACNO＝4nn＝4n－1，∵点B（m，n）在y＝4x上，∴4m＝n，∴ACNO＝m－1，而BCMO＝11m-，∴ACNO＝BCMO，又∵∠ACB＝∠NOM＝90°，∴△ACB∽△NOM；（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m－1＝2，∴m＝3，∴B（3，43），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则4334k bk b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得：43163kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB所在直线的解析式为y＝－43x+163.二、分析：（1）第连续接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；（2）第一由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易患△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．解答：（1）证明：连接OC．∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC．∵FA通过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF．∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF．∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°．∴OC⊥PC．∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2．∴BE=CE=1．在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，∴．设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2=OE2+CE2．∴r2=（3﹣r）2+1．解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．∴△OCE∽△CPE，∴．∴．∴．点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意把握辅助线的作法，注意把握数形结合思想与方程思想的应用．。
九年级数学下学期尖子生辅导训练试题4 试题
第10周尖子生班练习班级 姓名1、如图，在Rt△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm ，把△ABC以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C′处，那么AC 边扫过的图形〔图中阴影局部〕的面积是___ ____cm 2．〔不取近似值〕2、如图2，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 点，假设△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，那么FC 的长为_______．3．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图①的方式进展折叠，使折痕的左侧局部比右侧局部短1cm ；展开后按图②的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧局部比右侧局部长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的间隔 是________cm ．4、如图，直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，抛物线y ＝x2－x －6与x 轴交于A ，B 两点〔点A 在点B 左侧〕，与y 轴交于点C.假如点M 在y 轴右侧的抛物线上， S△AMO＝23S△COB，那么点M 的坐标是5、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地局部的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．6、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子〔如图①〕．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，•两块板子的重叠局部为五边形ABCFE围成的区域〔如图②〕．由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．〔1〕求FC的长；〔2〕利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的间隔 x〔cm〕为多少时，矩形的面积y〔cm2〕最大？最大面积是多少？〔3〕假设想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．第10周尖子生班练习答案1、9π2、73、1cm4、〔1，－6〕，〔4，6〕5、解：〔1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE ＝25〔m 〕 由DE ∥FC 得，FC ED AC AE =，得FC ＝24〔m 〕 S △ABC =12 ×40×24=480〔m 2〕 (2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S △ABC =12×64×24=768〔m 2〕6、〔1〕由题意，得△DEF∽△CGF，∴6030,60DF DE FC FC CG FC -=∴=，∴FC=40〔cm 〕． 〔2〕如图，设矩形顶点B 所对顶点为P ，那么①当顶点P 在AE 上时，x=60，y 的最大值为60×30=1 800〔cm 2〕．②当顶点P 在EF 上时，过点P 分别作PN⊥BG 于点N ，PM⊥AB 于点M ．根据题意，得△GFC∽△GPN．∴PN FC NG CG =．∴NG=32x ，∴BN=120－32x ． ∴y=x〔120－32x 〕=－32〔x －40〕2+2 400． 图1 图2 A∴当x=40时，y的最大值为2 400〔cm2〕．③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2 400〔cm2〕．综合①②③，得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2 400cm2．〔3〕根据题意，正方形的面积y〔cm2〕与边长x〔cm〕满足的函数表达式为：y=－32x2+120x．当y=x2时，正方形的面积最大．∴x2=－32x2+120x．解之，得x1=0〔舍去〕，x2=48〔cm〕．∴面积最大的正方形的边长为48cm．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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【关键字】掌握、思想、分析
九年级-初三数学尖子生辅导四
1、如图，已知反比例函数y＝k
x
（k＞0，k为常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C.
（1）写出反比例函数的解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．
初三数学尖子生辅导四答案
1、解答：（1）∵反比例函数y＝k
x
的图象经过点A（1，4），点B（m，
n），
∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4
x
；
（2）∵点A（1，4），点B（m，n），
∴AC＝4－n，BC＝m－1，ON＝n，OM＝1，
∴AC
NO
＝
4n
n
-
＝
4
n
－1，
∵点B（m，n）在y＝4
x
上，
∴4
m
＝n，∴
AC
NO
＝m－1，而
BC
MO
＝
1
1
m-
，
∴AC
NO
＝
BC
MO
，
又∵∠ACB＝∠NOM＝90°，
∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，
∴m－1＝2，∴m＝3，
∴B（3，4
3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则
4
3
3
4
k b
k b
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，解得：
4
3
16
3
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴AB所在直线的解析式为y＝－4
3
x+
16
3
.
2、分析：
（1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC ，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；
（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC 的长．
解答：（1）证明：连接OC．
∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴FA⊥BC ．
∵FA经过圆心O，
∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2．∴BE=CE=1．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，
∴．
设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴OC2=OE2+CE2．∴r2=（3﹣r）2+1．解得，
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．
∴△OCE∽△CPE，∴．
∴．
∴．
点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．。