2015级抽象代数期末考试(数学类)
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。
A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。
5、环Z8的零因子有 -------------- 。
&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。
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《抽象代数》试题及答案本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案, 并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分)1.设Q是有理数集，规定f(x)= x+2； g(x) =》2+i,则(fg) (x)等于(B )A. x~+2.Y +1B. x~ + 3C. %2 + 4x + 5D. + x + 32.设/•是A到3的单射，g是B到C的单射, 则酊是A到C的(A )A,单射B,满射 C.双射 D.可逆映射3 .设S3= {(1), (1 2), (1 3), (23), (1 2 3), (1 3 2)},则S3中与元素(132)不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44 .在整数环Z中，可逆元的个数是( B)°A. 1个B. 2个C. 4个D.无限个5 .剩余类环Zio的子环有( B )oA. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6 .设G是有限群，acG,且a的阶|a|=12,则G中元素苛的阶为( B )A. 2B. 3C. 6D. 97.设G是有限群，对任意a,bcG,以下结论正确的是(A )A.(沥)「1=尸广B. b的阶不一定整除G的阶C. G的单位元不唯一D. G中消去律不成立8.设G是循环群，则以下结论不正硕的是(A )A.G的商群不是循环群B. G的任何子群都是正规子群C. G是交换群D. G的任何子群都是循环群9.设集合A={a,b,c},以下AXA的子集为等价关系的是(C )A.= ((a, a), (a, b), (a, c), (b, b)}B.R2= {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b), (c, c)}C.R}= {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}D.R4= {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b)}10.设f是A到3的满射，g是B到C的满射，则好是A到。
2015-2016-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准
A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2. 2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对. 三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分 四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分 令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
高等代数2-2(数学类)--期末考试答案--2019级
100 010
011
四、设A是n阶非零实对称矩阵，记Rn的两个子空间为U = {X ∈ Rn|AX = 0}, V = {AX|X ∈ Rn}证明:U 是V 在Rn的正交补空间.
证：取Rn中的一组标准正交基，取∀α ∈ U, ∀Aβ ∈ V (令α和Aβ都表示该向量在标准正交基下的坐标)， 则有α Aβ = (Aα) β = 0,由此可知α ⊥ Aβ,所以U 是V 在Rn的正交补空间,证毕。
i=1
七、设A, B是n × n实对称矩阵，A正定.证明:AB相似于对角矩阵.又若B也正定，则AB的 特征值为正实数.
证：（1）因为A为正定的实对称矩阵，所以必定存在一个正交矩阵T1使得T1−1AT1 = E，记B1 = T1−1BT1。 由B是实对称矩阵，则B一定相似于对角阵，所以B1也相似于对角阵,并记该对角阵为B2。于是存在一 个T2有T2−1B1T2 = B2,而T2−1T2−1B1T2 = B2T2 = E,因此(T1T2)−1AB(T1T2) = (T1T2)−1A(T1T2)(T1T2)−1B(T1T2) = B2,可知AB与对角矩阵相似。 （2）而B正定，则B2的对角元都为正实数，所以B2的特征值都为实数。而AB相似于B2，所以特征值相 同，所以AB的特征值也都为正实数，得证。
J1
0
J
=
J2 ...
0
Jn
而Vi的维数与属于λi的特征向量的秩相同，所以要证明题目结论，即证A的若当标准型中Ji中若当块的 个数等于属于λi的特征向量的秩。 设Ji若当块个数为m,属于λi的特征向量的秩为n,而对∀(λE − Ji),设其秩为Ri.显然Ri=ri-m.考虑齐次方 程组JiX = 0,则解得X的基础解系为属于λi的特征向量的极大无关组，基础解系的秩为ri − Ri = m,而 特征向量秩为n，所以m=n,得证。
抽象代数考试试题及答案
抽象代数考试试题及答案
在这份3000字的抽象代数考试试题及答案内容中，将为您详细解
析各种抽象代数考试题目，并给出相应的答案，帮助您更好地理解和
掌握这一领域的知识。
第一题：给定一个环R，证明R中每个理想都是主理想。
解答：首先，我们知道一个环中的理想是一个包含于该环的子集，
并且满足加法和乘法封闭性，对于任意r∈R和a，b∈I（I为R的一个
理想），有ra, rb∈I。
要证明R中每个理想都是主理想，即对于任意理想I，存在一个元
素r∈R，使得I = rR。
我们可以取r为I的一个生成元素，即r为使得I = rR的最小生成元素。
第二题：证明一个整数环不一定是唯一分解整环。
解答：反例：考虑整数环Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，Z并不是唯一
分解整环，因为在Z中存在不满足唯一分解性质的元素。
例如，2可以被分解为2 = (-1)(-2) = 1 * 2，即存在不同的唯一分解形式。
第三题：给定一个域K，证明K[x]（K上的多项式环）是唯一分解
整环。
解答：首先证明K[x]是整环。
然后证明K[x]是主理想整环（PID），意味着K[x]中的每个理想都是主理想。
再进一步证明K[x]是唯一分解
整环（UFD），即K[x]中每个非零元素都可以被分解为不可约元素的
乘积，且这个分解是唯一的。
通过以上试题及解答，我们可以看出在抽象代数领域中，需要深入
理解环、理想、整环、唯一分解整环等概念，并掌握相应的证明方法，才能较好地解决相关问题。
希望以上内容对您有所帮助，祝您学业有成！。
14-15抽象代数试卷A
东华大学2014~ 2015学年第一学期期末试题A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 抽象代数 使用专业 数学2012级 姓名__________学号_________一、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1.设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A 的一个等价关系。
2.设(G ，·)是一个群，那么，对于∀a ，b ∈G ，则(ab)－1＝___________。
3.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的置换之积)。
4.如果G 是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于∀a ∈G ，则元素a 的阶只可能是___________。
5.在3次对称群S 3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的一个正规子群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________。
6.设Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是___________。
7.设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么，n 是___________。
8.设Z ［x ］是整系数多项式环，(x)是由多项式x 生成的主理想，则(x)＝________________________。
9.设高斯整数环Z ［i ］＝{a ＋bi|a ，b ∈Z}，其中i 2＝－1，则Z ［i ］中的所有单位是______________________。
10. 在多项式环Z 11［x ］中，（［6］x ＋［2］）11＝ 。
二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）。
A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等2、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
抽象代数期末考试题及答案
抽象代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 群的元素满足的运算性质不包括以下哪一项？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 恒等元答案：C2. 以下哪个不是环的基本性质？A. 加法和乘法的封闭性B. 加法的结合律C. 加法和乘法的交换律D. 乘法对加法的分配律答案：C3. 向量空间的基具有什么性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 可以是任何一组向量D. 包含向量空间中所有向量答案：A4. 以下哪个不是群同态的性质？A. 保持群的运算B. 保持群的恒等元C. 保持群的逆元D. 保持群的子群答案：D5. 有限群的拉格朗日定理表述了什么？A. 群的阶数等于其任意子群的阶数B. 群的任意子群的阶数能整除群的阶数C. 群的任意子群的阶数等于群的阶数D. 群的阶数能整除其任意子群的阶数答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个群G的元素a的阶是最小的正整数n，使得______。
答案：a^n = e2. 如果环R中任意两个元素a和b满足ab=ba，则称R为______。
答案：交换环3. 向量空间V的一个子集W，如果W非空且对向量加法和数乘封闭，则称W为V的一个______。
答案：子空间4. 线性变换T: V → W，如果对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，都有T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)且T(cv) = cT(v)，则称T为______。
答案：线性的5. 一个群G的所有子群构成的集合，在包含关系下构成一个______。
答案：格三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述群的同态和同构的定义。
答案：群的同态是指两个群之间的函数，它保持群的运算。
具体来说，如果有两个群(G, *)和(H, ·)，函数f: G → H是一个同态，当且仅当对于所有a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) · f(b)。
同构是指一个双射同态，即同态f既是单射也是满射，这意味着G和H在结构上是相同的。
2015-2016-1《线性代数》期末试卷答案及评分标准
A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】． (A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】． (A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为 零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ， 由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=. ----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩， 由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη， 单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分 令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
2014-2015_2_期末试卷A
2014 —2015 学年第二学期考试统一用答题册考试课程复变函数与积分变换A 班级学号姓名成绩2015 年 7 月 1 日（试题共4页）一、选择题(每题3分，共27分) 1．一个复数乘以i -，则( ) （A ）复数的模不变，辐角减少π/2。
（B ）复数的模不变，辐角增加π/2。
（C ）复数的模增加，辐角减少π/2。
（D ）复数的模减少，辐角增加π/2。
2. 函数)33(332323y y x y i x xy x -++-+在复平面内 ( )（A ）处处解析 （B ）处处可导 （C ） 在坐标轴上可导 （D ）在坐标轴上解析 3．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）ie 23π-4． 设c 为正向圆周21=z ，则=-⎰-z z e cz d 121( ) （A ）12-ie π （B ）0 （C ）ie π2 （D ）ie π2- 5 .设C 为从原点沿0至i 21+的有向线段，则=⎰Cz z d Re ( )（A ）i -21 （B ）i +-21 （C ）i +21（D ）i --216．设C 为椭圆1322=+y x 正向，则积分⎰C z z d 1= ( )（A ）i π2 （B ）π （C ）0 （D ）i π2- 7. 设0=z 为函数22cos 21zz +-的m 级极点，那么=m ( ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 8．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n n i （B ）∑∞=+1!)43(n nn i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i9. =⎰-]d sin [03ttt t eL （ ）（A ）1)3(112+-s s （B ）1)3(112++s s（C ）1)3(112++-s s （D ）1)3(112+--s s二、填空题（每题3分，共27分）1．不等式12<-z 所表示的区域是 连通区域.2. 假设z i z z f sin )2cos()(+=，则=dzdf. 3. 复数=)2ln cos(i . 4. 设ix y y x z f --++=2)(22，则=')0(f .5. 设ξξξξd ze zf ⎰=-=43)()(，其中4≠z ，则=')5(f . 6．已知,)(22x y x x,y u --= 则由u 及其共轭调和函数构成的解析函数f (z ) = u + iv = . 7．级数5212++z z 在0=z 处的泰勒展开式的收敛域是 .8. 积分=⎰=11sin z dz z ． 9. 函数2411)(ωω+=F 的傅立叶逆变换为 .三、（10分）计算积分⎰-cz z πz zd )(cos 3, 其中曲线C 为不经过0，π的简单闭曲线.四、（10分）将))(1(1)(i z z z f -+=在适当的圆环域内展成以i 为心的幂级数.五、（10分）求函数⎩⎨⎧≤=其他,01||,)(t t t f 的傅立叶变换及逆变换，并计算积分ωωωωωωd sin cos sin 02t ⎰+∞-）（.六、（10分）利用拉普拉斯变换求解微分方程.0)0(,1)0(,0,sin 2='=≥=+'+''f f t t f f f七（6分）设)(z f 在1||≤z 上解析，且在1||=z 上，|,||)(|z z f ≤ 证明.2)21(≤'f。
2015-2016-2大学数学A2期末试题--标准答案
本科课程考试试题参考答案及评分标准开课单位：数学科学学院 学生所在学院： （2015 ～2016年第2学期） 课程编号 0910411012 学分/总学时 6/96 课程名称 高等数学A2课程类别 █公共课 □专业课 专业/年级 专业 2015 年级 修读方式 █必修 □选修 出题教师 大学数学部是否主干基础课是考试方式█闭卷 □开卷一、填空题 （1）2（2）2（3）4260x y z +--=（4）24212d (,)d d (,)d x xxx f x y y x f x y y +⎰⎰⎰⎰（6）D（5）[4,6)二、选择题 （1）C （2）B （3）C （4）A （5）A三、计算题（本题满分 45分，每小题9分）1. 解：积分区域D 关于y 轴对称，函数221xyx y ++关于x 是奇函数，故22d d =01D xyx y x y ++⎰⎰------3分从而22122222002d d 12d d d =d d =2=2d 111D D D xyx yx y x yx y x y x y πρρθρ++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------6分ln 2π=----9分 2. 解：122zxf yf x∂=+∂------4分 21112221222211122221221=2(2)(2)42()()zx yf xf f y yf xf x yxyf x y f xyf f f f ∂++++∂∂=++++=-----------5分(3)d d d x x y z ΩΩ∂-⎰⎰⎰⎰⎰⎰注：1.出题教师负责制订课程考试试题参考答案及评分标准（列出答案要点即可），不够可另附页。
2.试题参考答案及评分标准与试题一并交学院。
3.试卷评完后，此表随同试卷交学院，由学院妥善保存。
抽象代数考核练习题答案
抽象代数考核练习题答案抽象代数考核练习>> 在线答题结果单选一、单选1、设映射f：A→B和g：B→C，如果gf是双射，那么g是（）。
（分数：2 分）A. A、单射B. B、满射C. C、双射D. D映射标准答案是：C。
您的答案是：C2、设M是数域F上的全体100阶方阵的集合，规定～如下：A～B 等价于A的秩=B的秩（A，B 属于M），那么M的所有不同的等价类为（）。
（分数：2 分）A. A、100个B. B、101个C. C、102个D. D 103个标准答案是：B。
您的答案是：B3、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。
（分数：2 分）A. A、｛1，－1，i , －i｝B. B、｛1，－1｝C. C、｛1，－1，i｝D. D｛1｝标准答案是：C。
您的答案是：C4、设G是一个100阶的交换群，H是 G的子群， H 的阶=10，则 G/H中10阶元的个数为（）。
（分数：2 分）A. A、9B. B、4C. C、1D. D 5标准答案是：B。
您的答案是：B5、6阶非交换群的所有子群的个数是（）。
（分数：2 分）A. A、2B. B、3C. C、6D. D 4标准答案是：C。
您的答案是：C6、在模100的剩余环中，零因子的个数是（）（分数：2 分）A. A、58B. B、59C. C、60D. D 57标准答案是：D。
您的答案是：D7、在6次对称群S6中，=（16）（23）（456）的阶为（）。
（分数：2 分）A. A、6B. B、12C. C、4D. D 8标准答案是：B。
您的答案是：B8、设N是G的不变子群，f:G--G/N,g--gN, 那么kerf=（）。
（分数：2 分）A. A、G/NB. B、GC. C、ND. D 空集标准答案是：C。
您的答案是：C9、在模60的剩余类加群（Z60，+）中，<[12]>∩<[18]>=（）。
（分数：2 分）A. A、<[6]>B. B、<[36]>C. C、<[-24]>D. D、<[6]>标准答案是：B。
抽象代数期末考试题及答案
抽象代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪个条件？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项答案：D2. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 结合律C. 分配律D. 交换律答案：D3. 向量空间中的线性无关性意味着什么？A. 向量可以表示为其他向量的线性组合B. 向量之间存在非平凡的线性组合等于零向量C. 向量之间不存在非平凡的线性组合等于零向量D. 向量空间的维数等于向量的数量答案：C4. 以下哪个是有限域的特征？A. 域中元素的数量是有限的B. 域中元素的数量是无限的C. 域中存在乘法单位元D. 域中存在加法单位元答案：A5. 以下哪个是理想的定义？A. 环中的一个子集，对加法封闭B. 环中的一个子集，对乘法封闭C. 环中的一个子集，对加法和乘法封闭D. 环中的一个子集，对减法封闭答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个群G中存在元素a，使得对于所有g∈G，有gag^{-1}=g，则称a是G的一个________。
答案：单位元2. 一个环R中，如果对于任意的a, b∈R，都有ab=ba，则称R是一个________。
答案：交换环3. 向量空间V的一组基是V中的一组向量，它们________。
答案：线性无关且张成V4. 一个域F的特征是指最小的正整数n，使得n⋅1_F=0，其中1_F是F的乘法单位元。
如果不存在这样的n，则称F的特征为________。
答案：05. 一个环R的理想I，如果对于任意的r∈R和i∈I，都有ri∈I和ir∈I，则称I是R的一个________。
答案：主理想三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是群的同构，并给出一个例子。
答案：群的同构是指两个群之间存在一个双射同态映射，这个映射保持群的运算结构。
例如，整数加法群（ℤ，+）和模n整数加法群（ℤ_n，+）是同构的，因为它们之间存在一个保持加法运算的双射映射。
2015-2016-1《线性代数》期末试卷A问题详解及评分实用标准
标准文档A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
2015下高等代数A
2015年秋季学期《高等代数 》课程期末考试试卷（A 卷）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、下列命题为真的是( ).A. 最大公因式不唯一；B. 有理数域不是最小的数域；C. 若3()()p x f x , 则()p x 是()f x 三重因式；D. 若()f x 有重因式, 则()f x 有重根.2、已知432()341f x x x x x =+---，32()1g x x x x =+--， 则((),())f x g x =（ ）(A) 21x + ； (B) 1x - ； (C) 1x + ； (D) 以上答案都不对.3、在6级行列式中, 132132465465324314516625;a a a a a a a a a a a a 这两项应带有什么符号 ( ).A. 正，正；B. 正，负；C. 负，正；D. 负，负.4. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ ）.A. 向量组s ααα,,,21Λ中如果存在1r +个不同的向量构成的向量组的话，则必线性相关；B. .r s ≤C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果r ααα,,,21Λ为s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组， 则必与s ααα,,,21Λ等价.5、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,,（1），下列结论为假的是（D ）A. 若0,1,2...i b i s ==，则方程组（1）的任意两个解之和还是（1）的解 ；B. 若0,1,2...i b i s ==，则方程组（1）的任意解的倍数还是（1）的解；C. 若存在某个0,i b ≠，则方程组（1）的任意两个解之和不是（1）的解;D. 若存在某个0,i b ≠，则方程组（1）的任意解之差是（1）的解.二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1、已知矩阵方程2122212111X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 则X = ．2. 一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、t 个未知量，其系数矩阵的秩为p ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于 ． 3、排列(1)321n n -L 的逆序数为4、1827641491612341111= 。
抽象代数的基本概念测试题
抽象代数的基本概念测试题一、选择题：选择正确答案，并将其字母编号写在括号内。
1. 下列哪个不是群的必要条件？(A) 封闭性 (B) 结合性 (C) 幂等性 (D) 存在逆元素2. 以下哪种运算不满足交换律？(A) 加法 (B) 减法 (C) 乘法 (D) 除法3. 设G为群，e为其单位元素，则对于任意x∈G，下列哪个成立？(A) x·e = x (B) x−1 = e (C) x·x−1 = e (D) e·e = x4. 设G为群，n为正整数，下列哪个命题成立？(A) (xy)n = xn · yn (B) (xy)n = xn + yn (C) (xy)n = xn · yn−1 (D) (xy)n = xn + yn−15. 下列哪个是环的性质？(A) 封闭性 (B) 结合性 (C) 幂等性 (D) 可逆性二、填空题：根据题意填写正确的答案。
1. 设H为群G的子群，若H=G，则称H为________。
2. 若a为群G中元素x的逆元素，则a满足________关系。
3. 设f: G → H是群G到群H的同态映射，若f是双射，则称f为________。
4. 设G为有限群，其元素个数记为|G|，则对于任意x∈G，有________。
5. 若G为交换群，设a,b∈G，则(a·b)n = ________。
三、简答题：1. 请简述群的定义和群的四个基本性质。
2. 什么是子群？请举例说明。
3. 什么是同态映射？请说明同态映射的基本性质。
4. 请简述环的定义和环的基本性质。
5. 什么是有限群和无限群？请举例说明。
6. 请简述交换群的定义以及交换群与群的区别。
四、证明题：证明：设G为非空集合，定义二元运算·，若对于任意a,b∈G，有a·b=b·a，则G构成一个交换群。
（证明略）五、计算题：计算以下运算，并给出结果。
1. 设集合G = {1, 2, 3, 4, 5}，运算为模6的加法，即a + b ≡ (a + b) mod 6，计算3 · 4。
抽象代数 历届试题
2005-2006抽代期末1.(10分)设Ｒ是一个整环，则Ｒ上的一元多项式环Ｒ[x]是否还是整环？若是，请证明之，若不是请举出反例．2.(15分)给出唯一因子分解整环（高斯整环）、主理想整环和欧几里得整环的涵义并说明它们之间的关系．3.(15分)构造一个具有16个元素的有限域，从中任选两个非零非单位元的相异元素，计算它们的和、差、积、商．4.(10分)证明有限域上的任一不可约多项式一定可分．5.(20分)(1)证明2次扩张一定是正规的．(2)设Ｅ/Ｋ和Ｋ/Ｆ均为正规扩张，举例说明Ｅ/Ｆ不一定为正规扩张．6.(30分)设Ｑ为有理数域，f(x)＝x^4－2∈Ｑ[x]．(1)求f(x)的分裂域Ｅ．(2)求此分裂域Ｅ的Galois群Gal(Ｅ/Ｑ)．(3)求Gal(Ｅ/Ｑ)的所有子群及这些子群所对应的Ｅ/Ｑ的中间域(每阶子群举出一例)．(4)由于Ｑ的特征为0，所以Ｅ/Ｑ一定为单代数扩张，给出此扩张的一个本原元素θ，即使得Ｅ＝Ｑ(θ)，求θ的极小多项式的所有根．2008年冯荣权1.来自杨的 P139 182题2.证明存在非唯一分解因子整环3.p为素数，求Z(p^n) [x]中的可逆元，零因子，幂等元4.杨的 P542 7485.体中的华罗庚恒等式6.2年前考试题最后一题，把2改成3.2008-2009冯荣权一、判断正误，并证明或举反例。
（1）如果一个群的子群H的任意两个左陪集相乘还是左陪集，则H是正规子群。
（2）E/K是代数扩张，K/F是代数扩张，则E/F是代数扩张（3）E/K是正规扩张，K/F是正规扩张，则E/F是正规扩张二、G是奇次交换群。
α为自同构。
α^2为恒同映射。
G1={g|α(g)=g,g属于G}。
G2={g|α(g)=g逆,g属于G}求证G1，G2为子群，且G=G1×G2三、丘维声《抽象代数基础》75页推论8和例1四、构造27阶有限域并找出生成元。
五、忘了……六、证明Z(p^n)的剩余类环R上的非可逆元构成一个理想P，该理想为极大理想。