直线的方向向量与法向量的求法
方向向量和法向量
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C
课件直线的方向向量与平面的法向量
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量[解析] 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝z ＝0，n ·AC →＝－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝0， 即n ＝(1,1,0)，则平面ABC 的一个法向量为(1,1,0)． [答案] (1,1,0)(答案不惟一)[合 作 探 究·攻 重 难]直线的方向向量及其应用(1)已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A (2,0,1)，B (2,6,3)，P 是直线AB 上一点，且满足AP ∶PB ＝3∶2，则直线AB 的一个方向向量为________，点P 的坐标为________.【导学号：71392185】[精彩点拨] (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB →即是直线AB 的一个方向向量，利用AP →＝35AB →求点P 的坐标．[解析] (1)由l 1∥l 2可知，向量(－7,3,4)和(x ，y,8)共线，所以x －7＝y 3＝84，解得x ＝－14，y ＝6.(2)AB →＝(0,6,2)是直线AB 的一个方向向量． 由AP ∶PB ＝3∶2，得AP →＝35AB →.设P (x ，y ，z )，则(x －2，y ，z －1)＝35(0,6,2)，即x －2＝0，y ＝185，z －1＝2·35， 解得x ＝2，y ＝185，z ＝115， 所以直线AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115.[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115[名师指津]1．应注意直线AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.求平面的法向量如图3-2-1，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SBA 与平面SCD 的法向量．图3-2-1[精彩点拨] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n ，再利用待定系数法求解．[自主解答] ∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，12. [名师指津]1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.[再练一题]1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BB 1，C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量.【导学号：71392186】[解] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1.设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4，∴n ＝(－3,2，－4).证明平面的法向量在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点． 图3-2-2求证：D 1F →是平面ADE 的法向量. 【导学号：71392187】 [精彩点拨] 要证明D 1F →是平面ADE 的法向量，只需证明D 1F ⊥平面ADE 即可．[自主解答] 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， AE →·D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， 所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．[名师指津] 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.2．如图3-2-3所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，PA ＝AD ＝1，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．图3-2-3(1)建立适当的空间直角坐标系，写出向量MN →的坐标； (2)求证：MN →为平面PCD 的一个法向量．[解] (1)由PA ⊥正方形ABCD 所在平面知PA ，AB ，AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．图3-2-3由PA ＝AD ＝1得P (0,0,1)，C (－1,1,0)，D (－1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.(2)证明：由(1)MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，PC →＝(－1,1，－1)，PD →＝(－1,0，－1)，则MN →·PC →＝－12×(－1)＋0×1＋12×(－1)＝0，MN →·PD →＝－12×(－1)＋0×0＋12×(－1)＝0，∴MN ⊥PC ，MN ⊥PD .又∵PC ∩PD ＝P ，PC ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .∴MN →为平面PCD 的一个法向量.方向向量与法向量的特征[1．如何正确地判断直线的方向向量？[提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定惟一一条过点A 且平行于向量a 的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．2．过空间任意一定点P ，能否作出平面α的法向量？能作几条？ [提示] 由于过空间任意一点P ，有且仅有一条直线PO 垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO 的方向向量有无数个，因此，过点P 的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？ [提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝()2，2，－1.【导学号：71392188】[精彩点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [自主解答] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·ν＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥ν，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u ·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [再练一题]3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)． [解] (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，∴a ·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，∴ν＝－3u ，∴ν∥u ，即α∥β.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a 和b 在同一直线上，则m ＝________.[解析] ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴m 3＝4－2， ∴m ＝－6.[答案] －62．若点A (0,1,2)，B (－1,0,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为________．[解析] AB →＝(－1，－1,0)，即为l 的一个方向向量．[答案] (－1，－1,0)3．若向量a ＝(x,2,1)，b ＝(1，y,3)都是直线l 的方向向量，则x ＋y ＝________.[解析] 据题意可知，a ∥b ，故存在实数λ，使a ＝λb ，即(x,2,1)＝λ(1，y,3)，即x ＝λ，2＝λy,1＝3λ，解得λ＝13，y ＝6，x ＝13，x ＋y ＝13＋6＝193. [答案] 1934．若直线l ⊥α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，则m 为________.【导学号：71392189】[解析] ∵(m,2,4)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝12λ，2＝λ，4＝2λ，∴m ＝1.[答案] 1 5．如图3-2-4，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．图3-2-4[解] 法一：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)．∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．法二：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)， ∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．。
3.2.1直线的方向向量与平面法向量
线线垂直
l ⊥ m ⇔ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 ；
l ⊥α ⇔ a ∥ u ⇔ a = ku ；
线面垂直
面面垂直
α ⊥ β ⇔ u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rr 的方向向量,根据下列 例1 (1)设a ‚ 分别是直线 l 1 ‚l 2 的方向向量 根据下列 设 b
的位置关系: 条件判断 l1 与 l2 的位置关系 r r r r ① a = (2,3, −1), b = (−6, −9,3) ② a = (5,0,2), b = (0,4,0)
r 1.若直线 u 若直线l的方向向量为 1.若直线 的方向向量为a = (1, 0, 2) ,平面 α 平面 r 的法向量为µ = (−2, 0, −4) ,则l与 α 的位置 则与
3.若平面 3.若平面 α、 β 的法向量分别 u r r β 为 µ = (1, 2, −2) ， = (−3, −6, 6) ，则α 、 v 的位置关系是
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直, 例3 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直. 则该直线与此平面垂直 已知:直线 已知 直线m,n是平面 α 内的任意两条相交直线 直线 是平面 内的任意两条相交直线, 求证:l 且l⊥m,l ⊥n.求证 ⊥α ⊥ 求证
rr rr a rr rr rr rr rr rr ⊥ ⊥ ⋅⋅ = = ⊥ b , a ⋅⋅b = 0 ⊥ =
1、点的位置向量 、
在 空 间 中 ， 我 们 取 一 定 点 O作 为 基 点 ， 那 么 空 间 中 任 意 一 点 P的 位 置 就 可 以 用 uuu r uuu r 向 量 OP来 表 示 。 我 们 把 向 量 OP称 为 点 P的 位 置 向 量 。
直线的方向向量和法向量
量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量重点难点剖析1．空间直线的方向向量：如果一非零向量s平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． 若),,(p n m s = ，那么s 的坐标p n m ,,称作这条直线的方向数， 而s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦．显然一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行，从方向上可以分成两组，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量． 2．利用向量求距离的方法(1) 利用|AB|=|AB AB AB ∙可以求解有关距离问题；求线段的长度：2AB AB x ===(2) 设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是A ′B ′，则有|''A B |=|AB ·e |，由此可求点到线，点到面的距离问题。
其中以法向量的应用最常用。
求P 点到平面α的距离：||||PM n PN n ⋅=，（N 为垂足，M 为斜足，n 为平面α的法向量）。
3．平面与方程平面方程为三元一次方程0Ax By Cz D +++=；反之，一个这样的三元一方程也一定表示一个平面.这是因为，取方程的一组解000,,x y z ，则有0000Ax By Cz D +++=，从而有000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.它表示过点0M 000(,,)x y z 且以{,,}n A B C =为法向量的一个平面方程，这个方程与0Ax By Cz D +++=是同解的，故三元一次方程表示平面。
方程0Ax By Cz D +++=为平面的一般式方程，其中,,x y z 的系数就是平面的法向量的坐标，即平面法向量的法向量{,,}n A B C =.平面与三元一次方程之间有一一对应关系.不同的法向量对应三元一次方程表示不同的平面，它们的位置关系由系数,,A B C 和常数D 来确定。
当系数,,A B C 或常数D [中某些个]为零时，平面有明显的位特征： 如0Ax By Cz ++=确定的平面过坐标原点；0By Cz D ++=的法向量为{0,,},n B C =表明这平面垂直于与x 轴；类似地，0Ax Cz D ++=确定的平面垂直于y 轴，0Ax By D ++=确定的平面垂直于z 轴；再者，0Ax D +=表示平行于坐标面yOz 的平面；0By D +=表示平行于坐标面xOz 的平面，0Cz D +=表示平行于坐标面xOy 的平面； 而0(0)Ax x =⇔=是坐标面yOz 的方程，0(0)By y =⇔=是坐标面xOz 的方程，0(0)Cz z =⇔=是坐标面xOy 的方程.典例分析例1 已知(3,0,4)AB =，AC =（5，-2，-14），求BAC ∠角平分线上的单位向量．分析 欲求角平分线上的单位向量，由于0a a a=，我们只需先在角平分线上求出任一向量，它可以看作是菱形的对角线向量，由此就不难求出单位向量．解 ：在AB 、AC 上分别取'B 、'C ，使''AB AC =，以'AB 、'AC 为邻边作平行四边形''AC DB ，则''AD AB AC =+即为ABC ∠的平分线上的向量，特别的可取'AB 、'AC 为单位向量，'113,0,4)(3,0,4)5AB AB AB==-=-，'''112,14)(5,2,14)15AC AC AC ==--=--． 于是''11(3,0,4)(5,2,14)515AD AB AC =+=-+-- 352414(,0,)41515515=-+--2(2,1,1)15=-．AD 上的单位向量有两个向量，它们为(2,1,1)6AD AD±=点评：利用向量解决几何问题时，要与几何图形相联系．与向量a 平行的向量的方向有两个，故需要添“±”号.例2 求△ABC 所在平面的单位法向量，其中A （－1，－1，0）、B （1，1，1）、C （3，4，3） 分析：求出平面内的两个向量后，利用待定法求解.解：∵，，，，，AB AC →=→=()()221453 设，，n x y →=()1则由··n AB n AC x y x y →→=→→=⎧⎨⎪⎩⎪⇒++=++=⎧⎨⎩0022104530 ∴，，n →=-()1211于是单位法向量为±±，，＝±，，n n →→=--||()()231211132323点评：一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.例3 设平面π过原点与点(6,3,2)M -，并且与平面1π：428x y z -+=垂直，求平面π的方程.解： 由π过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=，由过点M 得6320A B C -+=； 再由π⊥1π即1{,,}{4,1,2}n A B C n =⊥=-，得420A B C -+=；联立6320,420A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩解得,3.2B AC A =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以平面π的方程为302x y z +-=，即 2230x y z +-=.点评：平面0Ax By Cz D +++=的法向量为{,,}n A B C =.例4 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离解：如图，设CD =4i ，=4j ，=2k ， 以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2) ∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-， (0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-设⊥BM 平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++)1(=++c b a ， ∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )由⊥BM 平面EFG ，得GE BM ⊥，EF BM ⊥，于是 0B M G E ⋅=，BM EF ⋅=∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-⋅--+=-⋅--+10)0,2,2()2,42,42(0)2,4,2()2,42,42(c b a c c b b a c c b b a整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==1131171115c b a ．∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)116,112,112(． ∴||11BM ⎛==故点B 到平面EFG 1111另法：∵(0,4,0B ， (2,4,0)E ，(4,2,0)F ，(0,0,2)G 设EFG 的方程为：0A x B y C z D +++=则240420,6220A B D D D A B D A B C C D ++=⎧⎪++=⇒==-=-⎨⎪+=⎩取D ＝－6，则A=B=1,C=3,所以EFG 的方程为：360x y z ++-=， 所以点(0,4,0)B 到平面EFG的距离为：11d ===. 点评：（1）向量法求解距离问题的步骤：① 建立适当的空间直角坐标系；② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。
直线的方向向量与法向量的求法
直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→
n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？
【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→
或， 所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→; 又∵A B k NP =
，∴直线NP 的方程为B
C x A B y -=， 易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B
C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→， 所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或． 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．
例、求下列直线的方向向量与法向量：
（1）0532=+-y x ； （2）073=+x ．
解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ， 直线的法向量为)23,1()3,2(-=-=→→n n 或；
（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，
直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．。
高中数学-立体几何中的向量方法-法向量、平行、垂直
l
平面 α的向量式方程
a
a AP 0
P
A
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1，0)
22
DE (0, 1 , 1) DB =(1,1，0)
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1)
D
则n DE, n DB
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， 求证：PA//平面EDB.
Z
证法1 立体几何法
P
证法2 向量
E
证法3 法向量
D
C Y
A
G
B
X
证法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
A
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
x y 0
1,
1 X
E
C Y
B
用向量方法解决几何问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
二、 立体几何中的向量方法 ——平行关系
直线的方向向量和平面的法向量
为n=(x，y，z ) 则 由n ⋅ DA = 0 ，n ⋅ DE = 0得
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F = (0, , −1) 2 所以 D1 F ⊥ 平 面ADE
x + 0+ 0 = 0 =0， 则x =0，不妨取y = 1，得z = −2 1 1， x + y + 2 z = 0 所以n=( 0， - 2)
或AP = ta
用向量来表示点、直线、 一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑶平面 空间中平面 α 的位置可以由 α 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定. 条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 对于平面 α 上的任 存在有序 有序实数 一点 P ,存在有序实数 对 ( x , y ) ,使得
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 注意：这里的线线平行包括线线重合， 面平行包括线在面内，面面平行包 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合. 括面面重合.
三、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 α, β 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m ⇔ a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ；
课时小结
一、平行关系： 平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ， 平面
α1 , α 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线平行 l1 // l 2 ⇔ e1 // e 2 ⇔ e 1 = λ e 2 ；
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
直线的方向向量与法向量的求法
直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→
n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？
【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→
或， 所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→; 又∵A B k NP =
，∴直线NP 的方程为B
C x A B y -=， 易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B
C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→， 所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或． 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．
例、求下列直线的方向向量与法向量：
（1）0532=+-y x ； （2）073=+x ．
解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ， 直线的法向量为)2
3,1()3,2(-=-=→→n n 或；
（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，
直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．。
第二章 2.2.1 第2课时 直线的方向向量与法向量
第2课时 直线的方向向量与法向量学习目标 1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．知识点一 直线的方向向量定义：一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l .(1)a ＝(1,0)表示所有倾斜角为0°(即与y 轴垂直)的直线的一个方向向量． b ＝(0,1)表示所有倾斜角为90°(即与x 轴垂直)的直线的一个方向向量．(2)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(3)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．(4)如果直线l 的倾斜角为θ，则a ＝(cos θ，sin θ)为直线l 的一个方向向量． 如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线l 的一个方向向量． (5)如果a ＝(u ，v )为直线l 的一个方向向量，则 当u ＝0时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 当u ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝tan θ＝v u .知识点二 直线的法向量定义：一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，记作v ⊥l .(1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．(2)当x 0，y 0不全为0时，若a ＝(x 0，y 0)为直线l 的方向向量，则v ＝(y 0，－x 0)为直线l 的法向量；若v ＝(x 0，y 0)为直线l 的法向量，则a ＝(y 0，－x 0)为直线l 的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量．( √ ) 2．一条直线的所有方向向量都共线．( √ )3．如果a 为直线l 的法向量，则λa (λ≠0)也是直线l 的法向量．( √ )4．直线l 的一个方向向量为a ＝(2，－1)，则v ＝(2,1)为直线l 的一个法向量．( × )一、直线的方向向量例1 (1)直线l 过点P (1，－3)，Q (4，3－3)，求直线l 的一个方向向量、斜率和倾斜角． 解 方法一 PQ →＝(4，3－3)－(1，－3)＝(3，3)． ∴PQ →＝(3，3)为直线l 的一个方向向量， ∴k ＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. 故该直线的斜率为33，倾斜角为30°. 方法二 k PQ ＝(3－3)－(－3)4－1＝33，∴tan θ＝33，∴θ＝30°. 直线l 的一个方向向量a ＝(1，k )＝⎝⎛⎭⎫1，33. (2)平面内点A (－1，－5)，B (2,1)，C (4,5)，证明：A ，B ，C 三点共线． 解 方法一 k AB ＝1－(－5)2－(－1)＝63＝2，k AC ＝5－(－5)4－(－1)＝105＝2.∵k AB ＝k AC ，∴A ，B ，C 三点共线． 方法二 AB →＝(2,1)－(－1，－5)＝(3,6)， AC →＝(4,5)－(－1，－5)＝(5,10)＝53AB →.∴AB →∥AC →，又AB →与AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 直线的方向向量的求法(1)在直线上任找两点P ，Q ，则PQ →(QP →)为直线l 的一个方向向量． (2)已知直线的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线的一个方向向量．(3)a ＝(t ,0)(t ≠0)表示与x 轴平行或重合的直线的方向向量，a ＝(0，t )(t ≠0)表示与y 轴平行或重合的直线的方向向量．跟踪训练1 (1)直线l 的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为________． 答案 －33 ⎝⎛⎭⎫1，－33 解析 ∵θ＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33. ∴a ＝⎝⎛⎭⎫1，－33为直线的一个方向向量． (2)直线l 过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l 的方向向量为a ＝(m ，n )，则mn ＝________. 答案 0解析 依题意，直线l 垂直于x 轴，∴m ＝0，n 为任意非零实数，∴mn ＝0. 二、直线的法向量例2 (1)直线l 过点A (－1,3)和B (3,2)，则直线l 的法向量为( ) A ．(－1,4) B ．(2,5) C ．(5，－2) D ．(－1，－4)答案 D解析 AB →＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l 的一个方向向量， ∴直线l 的法向量v ＝(－1，－4)．(2)直线l 的法向量为v ＝(3，－3)，则直线l 的斜率为________，倾斜角为________． 答案3330° 解析 v ＝(3，－3)为直线l 的法向量， 则a ＝(－3，－3)为直线l 的方向向量． ∴k ＝－3－3＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. ∴直线l 的斜率为33，倾斜角为30° 反思感悟 直线的法向量的求法若直线的方向向量为a ＝(x 0，y 0)，则直线的法向量v ＝(y 0，－x 0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．跟踪训练2 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的法向量所在直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°， 又直线PQ 的法向量与直线PQ 垂直， 故PQ 的法向量所在直线的倾斜角为30°. 三、直线的方向向量和法向量的应用 例3 (1)直线l 的方向向量为⎝⎛⎭⎫cos α，32sin 2α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π 解析 ∵α≠π2＋k π，k ∈Z ，∴cos α≠0，sin α≠±1.令直线l 的倾斜角为θ， ∴tan θ＝32sin 2αcos α＝3sin α.∵sin α∈(－1,1)， ∴tan α∈(－3，3)， ∴又θ∈[0，π)， 故θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π. (2)直线l 上两点A (－2,3)，B (4，m )，若直线l 的法向量为v ＝(2，－3)，则m ＝________. 答案 7解析 AB →＝(4，m )－(－2,3)＝(6，m －3)，∴AB →为直线l 的一个方向向量． ∴AB →⊥v ，∴6×2＋(－3)·(m －3)＝0， ∴m ＝7.反思感悟 直线的方向向量与法向量的关系一条直线有无数个方向向量和无数个法向量，任意两个方向向量是共线的，任意两个法向量也是共线的，任意一个方向向量和任意一个法向量是相互垂直的．跟踪训练3 已知a >0，b >0，且向量u ＝(a ,3)和v ＝(1－b ,2)都是直线l 的法向量．求2a ＋3b 的最小值．解 ∵u ，v 都是直线l 的法向量，则u ∥v ， ∴2a －3(1－b )＝0， 即2a ＋3b ＝3，∴13(2a ＋3b )＝1，且a >0，b >0. ∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·13(2a ＋3b ) ＝13⎝⎛⎭⎫4＋9＋6b a ＋6a b ＝133＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥133＋2×2b a ×a b ＝253， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝35时，等号成立．∴当a ＝b ＝35时，2a ＋3b 最小为253.1．直线过点(－3,0)，(－2，3)，则该直线的一个方向向量为( ) A ．(－1，3) B ．(1，－3) C ．(1，3) D ．(5，3)答案 C解析 直线的方向向量为a ＝(－2，3)－(－3,0)＝(1，3)． 2．直线AB 的方向向量a ＝(3，－3)，则该直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．150°答案 D解析 a ＝(3，－3)＝3⎝⎛⎭⎫1，－33， ∴k ＝－33， ∴tan θ＝－33，又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°. 3．直线l 1与l 2的法向量分别为v 1＝(2，－3)，v 2＝(3，－1)，则直线l 1与l 2的斜率k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1＝k 2 C ．k 1<k 2 D ．不确定答案 C解析 v 1＝(2，－3)，则l 1的方向向量a 1＝(－3，－2)， ∴斜率k 1＝－2－3＝23.v 2＝(3，－1)，则l 2的方向向量a 2＝(－1，－3)， ∴斜率k 2＝－3－1＝3，∴k 2>k 1.4．已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a ＝(4，m )，则m 的值为( ) A.433 B ．－4 3 C ．4 3 D ．－34答案 B解析 θ＝120°，∴k ＝tan 120°＝－ 3. ∴直线的一个方向向量为a 0＝(1，－3)， ∵a ∥a 0，∴1×m －4×(－3)＝0，∴m ＝－4 3.5．已知向量m ＝(a ，a 2＋1)(a ≠0)，直线AB 的一个方向向量为n ，则m 与n 共线，则直线AB 的斜率的取值范围是________________． 答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 ∵m ∥n ，∴m ＝(a ，a 2＋1)为直线AB 的一个方向向量， ∴k AB ＝a 2＋1a ＝a ＋1a.①当a >0时，a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时取等号，所以a ＋1a∈[2，＋∞)．②当a <0时，a ＋1a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－a )＋1(－a )≤－2，当且仅当(－a )＝1(－a )，即a ＝－1时取等号， 所以a ＋1a∈(－∞，－2]．综上有k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．知识清单： (1)直线的方向向量． (2)直线的法向量．(3)直线的方向向量和法向量的应用． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆．1．直线AB 的方向向量为a ＝(3－1,2)，则直线AB 的斜率为( ) A.3＋1 B.3－1 C.3－12D.3＋12答案 A解析 a ＝(3－1,2)， ∴k ＝23－1＝3＋1. 2．过点A (2，3)，B (0，－2)的直线的一个法向量为( ) A ．(－5，－2) B ．(－2，－5) C ．(－5，2) D ．(5，2)答案 C解析 AB →＝(0，－2)－(2，3)＝(－2，－5)为直线的一个方向向量， 所以该直线的一个法向量v ＝(－5，2)．3．直线的倾斜角为120°，一个法向量为v ＝(m ，m ＋1)，则m 的值为( ) A ．1－ 3 B.3＋1 C.3＋32D ．－3＋32答案 D解析 k ＝tan 120°＝－3，∴直线的一个方向向量为a ＝(1，－3)． ∴a ⊥v ，又v ＝(m ，m ＋1)， ∴m －3(m ＋1)＝0， 解得m ＝－3＋32.4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在的直线的方向向量为a ＝(－3，0)，则AC 与AB 所在直线的斜率之和为( ) A ．－2 3 B ．0 C. 3 D ．2 3 答案 B解析 a ＝(－3，0)，∴BC 所在直线的斜率为0. 又△ABC 为等边三角形，∴AB 与AC 所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°， ∴k AB ＋k AC ＝tan 60°＋tan 120°＝0.5．(多选)已知直线l 过点A (4,2)，B (－1,2＋3)，则直线l 的方向向量可以是( ) A ．(－5，3) B ．(5，－3) C ．(3，5) D ．(53，－3) 答案 ABD解析 直线l 的一个方向向量为AB →＝(－1,2＋3)－(4,2)＝(－5，3)， 所以与AB →共线的向量都能作为直线的方向向量， 故选ABD.6．(多选)下列说法正确的是( )A ．若直线垂直于y 轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)B ．若直线的一个方向向量为(a ，a ＋1)，则该直线的斜率为k ＝a ＋1aC ．若直线的法向量为v ＝(x 0，y 0)，则a ＝(y 0，－x 0)能作为该直线的一个方向向量D ．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 答案 ACD解析 由直线的方向向量、法向量的定义知A ，C ，D 正确， 选项B 中当a ＝0时，不成立，故选ACD.7．直线l 的一个法向量为u ＝(3，－3)，则直线l 的倾斜角为________． 答案 π3解析 直线l 的法向量为u ＝(3，－3)， 则直线l 的一个方向向量a ＝(－3，－3)， 则斜率k ＝－3－3＝ 3.∴tan θ＝3，且θ∈[0，π)， 故θ＝π3.8．直线l 过点A (2，a )，B (3,1)，C (b ，－2)，则1a ＋3b ＝________；若直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－3)，则 a ＋b ＝________. 答案 1152 解析 AB →＝(1,1－a )， BC →＝(b －3，－3)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴－3－(1－a )(b －3)＝0， 即(a －1)(b －3)－3＝0. ∴ab －3a －b ＝0.∴3a ＋b ＝ab ，同除以ab 得3b ＋1a ＝1，若m ＝(2，－3)为直线l 的一个方向向量， 则m ∥AB →，m ∥BC →∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－(1－a )×2＝0，－6＋3(b －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝5，∴a ＋b ＝152.9．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (2m －1,1)． (1)当m 为何值时，直线的倾斜角为锐角；(2)若直线的方向向量为a ＝(0，－2 020)，求m 的值． 解 (1)倾斜角θ为锐角，则k ＝tan θ>0， 又k ＝2m ＋5－1(m ＋3)－(2m －1)＝2m ＋4－m ＋4>0，即(m ＋2)(m －4)<0， 解得－2<m <4.(2)直线的方向向量为a ＝(0，－2 020)， ∴直线的斜率不存在．故M ，N 两点的直线垂直于x 轴． ∴m ＋3＝2m －1，即m ＝4.10．已知菱形四边形ABCD 中，点A (－1，－2)，B (2,1)，直线BC 的方向向量为a ＝(3,6)，BD 的法向量为v ＝(－2，－3)，求点C 的坐标． 解 设点C 的坐标为(x 0，y 0)，BC →＝(x 0－2，y 0－1)． ∴BC →∥a ，∴(x 0－2)×6－3(y 0－1)＝0， 即2x 0－y 0－3＝0.①又AC →＝(x 0＋1，y 0＋2)，四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，∴AC →为BD 的一个法向量， ∴AC →∥v ，－2(y 0＋2)＋3(x 0＋1)＝0，即3x 0－2y 0－1＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝7.∴点C 的坐标为(5,7)．11．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线PQ 绕点P 逆时针旋转120°，所得直线的一个方向向量为( )A ．(－3，1)B ．(3，－1)C ．(－1，3)D ．(－3，－3)答案 D解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°.绕点P 逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，∴k ＝tan 60°＝ 3.∴所得直线的一个方向向量为a ＝(1，3)，所以与a 共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.12．将直线l 沿y 轴负方向平移a (a >0)个单位长度，再沿x 轴正方向平移(a ＋1)个单位长度，得到直线l ′，此时直线l ′与l 重合，若直线l 的方向向量为a ＝(2，－1)，则a 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 答案 B解析 设直线l 上一点为A (m ，n )，则平移后的坐标为A ′(m ＋a ＋1，n －a )．∵A 与A ′都在直线l 上，∴AA ′——→＝(m ＋a ＋1，n －a )－(m ，n )＝(a ＋1，－a )为直线l 的一个方向向量．∴AA ′——→∥a ，∴－2a ＋(a ＋1)＝0，∴a ＝1.13．直线l 的法向量为v ＝(1，a 2＋1)，则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－π2，3π4B.⎣⎡⎦⎤0，3π4C.⎣⎡⎦⎤3π4，πD.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 直线l 的法向量为v ＝(1，a 2＋1)，∴方向向量a ＝(a 2＋1，－1)，k ＝－1a 2＋1＝－1a 2＋1. 又∵a 2＋1≥1，∴0<1a 2＋1≤1. ∴k ∈[－1,0)，∴tan θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.14．已知点A (－3，－1)，B (1，a )，C (5，a 2＋1)，若A ，B ，C 不能构成一个三角形，则a 的值为________．答案 0或2解析 ∵A ，B ，C 不能构成一个三角形，∴A ，B ，C 三点共线．AB →＝(4，a ＋1)，AC →＝(8，a 2＋2)，∴AB →∥AC →，4(a 2＋2)－8(a ＋1)＝0，即a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当a ＝0或a ＝2时，A ，B ，C 三点共线，不能构成三角形．15．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，若直线l 的方向向量为a ＝(2x ，－3y )，则直线l 的斜率的取值范围为____________．答案 [－3，－1]解析 直线l 的方向向量为a ＝(2x ，－3y )，则k ＝－3y 2x ＝－32·y x， ∵y x ＝－2x ＋8x ＝－2＋8x， 又∵2≤x ≤3，∴83≤8x≤4， ∴23≤y x≤2， ∴－3≤－32·y x≤－1， 即k ∈[－3，－1]．16．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是函数y ＝x 3的图像上任意三个不同的点．求证：若A ，B ，C 三点共线，则x 1＋x 2＋x 3＝0.证明 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AC →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)， ∴(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，即(x 2－x 1)(x 33－x 31)－(x 3－x 1)(x 32－x 31)＝0.∴(x 2－x 1)(x 3－x 1)(x 23＋x 3x 1＋x 21)－(x 3－x 1)(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＝0，即(x 2－x 1)(x 3－x 1)[(x 23＋x 3x 1＋x 21)－(x 22＋x 2x 1＋x 21)]＝0，即(x 2－x 1)(x 3－x 1)(x 23＋x 3x 1－x 22－x 2x 1)＝0.又A ，B ，C 三点不共点，∴x 1≠x 2，x 1≠x 3，x 2≠x 3， ∴x 23＋x 3x 1－x 22－x 2x 1＝0， 即(x 3－x 2)(x 3＋x 2)＋x 1(x 3－x 2)＝0，即(x 3－x 2)(x 3＋x 2＋x 1)＝0，∵x 2≠x 3，∴x 1＋x 2＋x 3＝0，即证原等式成立．。
高二数学直线的方向向量与平面的法向量
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量 e 以及与 e 共线 的向量叫做直线l的方向向量。
e
A
B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
l1
e1
e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
l
e1
n1
l1 1 e1 // n1 e1 n1
2
n2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
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盼着爷能过来 可总得别到信儿 就经常到院门口看您是否过来 那去の次数多咯 别小心就受咯风 ”“您们那帮奴才就别晓得劝劝您家主子吗？任由着她受咯风都别管别顾？都是 怎么当の差事？皮痒咯还是怎么着？”“爷 奴婢知错咯 求爷看在奴婢还要服侍主子の份上 暂且饶过奴婢那壹次 别要责罚！”菊香还别待说完 早就吓得扑通壹声跪在咯地上 声 音中还带着哭腔 “早怎么别去知会爷 都耗到咯那会儿才说？”“回爷 主子是怕爷担心 壹直别让奴婢跟秦公公说 只是 今天那病又加重咯 才请咯太医 可是喝咯药也别见好 那 到咯夜里头 非但别见好 还又咳上咯 奴婢才别顾主子の命令 斗胆去请您 ”淑清病咯 对此他の心中很是愧疚 那些天壹直在照顾水清 没想到淑清都病咯两天咯 他都别晓得 若别 是菊香去怡然居找他 别晓得还要耽搁多久才能来看望她 虽然他现在壹门心思都在水清身上 但是淑清也是他の诸人 别要说他们以前曾经有过那么深の感情 就算是他们以前关系 壹般 只要是他の诸人 他也别能熟视无睹 别管别顾 他是她们の夫君 他有责任将她们照顾好 于是他转过头来 对淑清说道：“您也是 那么大人咯 怎么也别晓得照顾好自己？爷 要是过来 自然会差人提前传口信 秋日里风凉 您更是要当心 那些天您就好好在床上躺着养病 别要整日里胡思乱想 把身子养好咯才是正经事 ”“多谢爷 妾身那点儿小病别碍事 若别是病在床上起别咯身 定是会拦咯菊香 别让她去找您の ”“您瞧瞧您 说の那叫啥啊话 您病咯 爷能别来看您吗？菊香能来找爷 那就对咯！爷确实是要责罚她 恰恰就是因为 她找得太晚咯 若是早两天 也别至于让您病成那样 ”第壹卷 第898章 回去他说の是真心话 他确实是嫌菊香找他找得太晚咯！但是他只说咯半截话 假设菊香能早些找他 他能早 些劝慰淑清 她の病也别至于壹日重过壹日 另外假设她能早两天找他 而别是今天那各尴尬の日子 他也别至于对冰水清如此愧疚 他们才刚刚两各人步入正轨 足足耗咯十三天の时 间 才借着撕衣裳那各极为难得の玩笑契机开始两各人第二次の浓情蜜意 可是为啥啊偏偏竟是今天？水清好别容易发自内心地接纳咯他 别再拘谨羞涩 好别容易在他の耐心安抚之 下沉入梦乡 别再惊慌得彻夜难眠 为啥啊偏偏就是今天？他要从热被窝里被请来烟雨园 留给她壹各人如此别堪の局面去独自面对 偏偏水清又是壹各极为敏感之人 虽然走之前他 特意看咯她壹眼 晓得她没什么被吵醒 仍在安然地沉睡 可是他の心中特别没什么底 他别晓得她那是真正の没什么被吵醒 还是善解人意地在装睡 毕竟她以前装昏、装睡、装病企 图蒙骗他の别良记忆太多咯 在与水清渐入佳境之际就偏偏赶上淑清又病下咯 那样の无巧别成书令他顾此失彼 应接别暇 陷入咯极度の矛盾之中 淑清病咯 别陪她于情于理说别过 去 可是水清呢？已经下定决心要陪伴她成长の每壹天 那才短短の十三天 他怎么能够将她壹各人扔下管 特别是今晚 那各最敏感の时刻 而且他第壹各缺席の日子竟然是陪伴在另 外壹各诸人の身边 假设今天因为别の事情他歇在朗吟阁 倒是还能有效地减轻他の内疚与自责 可却偏偏是烟雨园……他要回去！仿佛是壹瞬间 他没什么任何理由就决定咯他要回 去 毕竟淑清只是轻微の风寒 已经经过太医の诊治 药也喝下咯 也没什么发烧 只是还有些咳嗽 应该没什么大碍 关于病情 他确实有足够の理由踏实下心来 于是 他开口说道： “好咯 下次身子有啥啊别舒服 早些禀报爷 别再拖得那么久 幸好那壹次只是小病 万壹拖得时间长咯 可就别好咯 ”说完 他转向咯菊香：“那壹次看在您及时禀报の份上 爷就 别追究您服侍主子别力の错处 下次再若如此 爷决别会轻饶 从现在开始 好生服侍您家主子 先别要出门咯 特别注意把窗子关严实咯 小凉风更容易闹大病 ”“回爷 奴婢壹定好 生服侍主子 再也别
直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定
方程组
r nnr
• •
r ar b
0 0
aa12
x x
b1 y b2 y
c1z c2z
0 0
可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
三、平行关系：
ur ur
设直线
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
1
,
2
的法向量分别为
ur
nur1 ,
n2
，则
ur
ur
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
ur uur ur uur
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
r
r
r
e
直线l上的向量e 以及与e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
r
eB
A
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以
用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平直如面于果的平nr⊥法面向，量，那：则如称么果这向表个量示向nr向量叫垂量做直nr平的于面有平向面 线的段法,记所向作在量nr直.⊥线垂，
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义
立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义一、知识梳理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )题组二：教材改编2．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．题组三：易错自纠4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下平面ABC 单位法向量的是5．直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有()A．l∥αB．l⊥αC．l与α斜交D．l⊂α或l∥α6．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对三、典型例题题型一：利用空间向量证明平行问题典例如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E，F，G分别是线段P A，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.引申探究：若本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.思维升华：(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．跟踪训练如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.题型二：利用空间向量证明垂直问题命题点1：证线面垂直典例如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.命题点2：证面面垂直典例如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PDC.思维升华：证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．跟踪训练如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC ＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)P A⊥BD；(2)平面P AD⊥平面P AB.题型三：利用空间向量解决探索性问题典例如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．思维升华：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．跟踪训练：如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由． 注意：利用向量法解决立体几何问题典例 (12分)如图1所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，如图2所示．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．四、反馈练习1．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)2．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．63.如图，F 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )A ．B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EBC ．B 1E ＝12EB D ．E 与B 重合 4．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________________________．5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________．答案 ①②③7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .8.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .9.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a 3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C1C内11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和为________．12．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．。
立体几何中的向量方法之方向向量与法向量平行垂直
巩固性训练1
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
证法2 ＭＮ ＝MA AD DN
1 1 AB AD DC 2 2 1 1 AB AD ( AC AD ) 2 2 1 1 1 AB AC AD 2 2 2
A M
B N C
D
1 1 1 MN AB ( AB AC AD) AB 0 2 2 2
又a, b不共线, 所以v是的一个法向量 于是 v 同时是、的一个法向量
∥ .
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG. 证 ：如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P
β
例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行 已知 :直线l与m相交,
u
ｍ ｌ
a
α
l , m , l∥ , m∥ 求证∥ .
证明 取l,m的方向向量a, b
b
v
β
取 ,的法向量u, v.
l∥ , m∥ a v, b v
∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
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直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线l ：Ax By C =0的斜率存在时，直线与坐标轴分
别交于M N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP,交横轴于点P,则，向 量m'是直线的方向向量，向量n 是直线的法向量，那么，如何求这两 个向量呢?
又••• k NP 二 B ,•••直线 NP 的方程为 y 二"Bx- C ,
A
A B 易知p 當0，故NP 珂晋,B)罟(诗罟(1厂或号(AB),
—■ 1 —■
所以，直线的法向量 n =(1,)或n 二(A, B) • k
说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可.
例、求下列直线的方向向量与法向量:
(1) 2x -3y 5 = 0 ; (2) 3x 7 = 0 .
解：(1)直线的方向向量为m' = (-3,-2)或m = (1,2),
3 直线的法向量为n 、
所以，直线的方向向量 m = (1,k)或m=(B,-A);
C C
「(1,k)或二 ABg ，
(2,-3)或n = (1^|);
(2)直线的方向向量为m〔(0,-3)或(0,1)或(0,-1),
直线的法向量为二(3,0)或(1,0)或(-1,0).
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