几何模型纸模图
七年级数学辅导： 立体图形的展开与折叠
几何（一）立体图形的展开与折叠【知识要点】1、 折叠：将一个平面图形折叠起来，就得到一个立体图形；即平面图形立体化.2、展开：将一个立体图形的表面展开，就得到一个平面图形；即立体图形平面化.3、欧拉公式：顶点数＋面数－边数=2【典型例题】例1 观察图1-1中平面展开图的折叠过程，并回答1号面、2号面、3号面的对面分别是几号面。
例2 如图1-2，可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小的是_____________.例3 如图1-3所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）这个多面体的面数，顶点数和棱数总和是多少？图1-3图1-2图1-1例4请问出正方体的展开图有多少种？请分别画出。
例5 下图(图1-4)是一个正方体,四边形APQC 表示用平面截正方体的截面,其中P,Q 分别是EF,FG 的中点,请在右下方的展开图中画出四边形APQC 四条边.例6 如图1-5所示，在正方体两个相距最远的顶点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛，蜘蛛可以从哪条最短的路径爬到苍蝇处？说明你的理由。
例7 在五彩缤纷的世界里，其中有各种各样的立体图形，已知一个十二面体如图1-6所示，试求该十二面体的顶点数和棱数。
图1-6十二面体图1-5C B AD GQF P E H 图1-4 A B F E H D CG G C C DD H例8 如图1-7，将三个同样的正方体重叠放在不透明的桌面上，每个正方体的六个面上分别写有1,2,3,4,5,6,并且相对的两个面上的数字之和是7,现在有5个面上的数字不论从哪个角度都看不到,这5个看不到的面上的数字的乘积是_________________.【练习与拓展】一、选择题：1.图1-8中的长方形折叠后能围成一个三棱柱，这个三棱柱的底面一定是（ ）A ．三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形2.六个立方体A 、B 、C 、D 、E 、F 的可见部分如图1-9，下边是其中一个立体__________的侧面展开图。
泰坦尼克号简易纸模型图纸二
Asse m bly inst ruct ions forT i tan icAbout R MS T i tan i cTi tanic i s p robably the bes t-known sh ip in modern hi s tory. S ince s ink ingin 1912 her s to ry has been re to ld many t imes in books and f i lm, and hasente red popula r cul tu re a s a t a le o f human pr ide and t r agedy.The Royal Mai l S teamer T i tan ic was the second o f th ree mass ive oceanl ine rs in tended by the White S ta r L ine to domina te the lucra t ive t ransa t lan t icpassenger t r ade. T i tan ic was s l ight ly heav ie r than her s i s te r-ship Olympic,making he r the la rges t sh ip in the wor ld a t 883f ee t long and over 46,000tons. The sh ips were a t the lead ing edge of engineer ing t echnology a t the t ime fea tur ing rec ip roca t ing and tu rbine s t eam engines develop ing 50,000 horsepower,a modern e lec t r i ca l sys tem power ing cargo c ra nes and passenger e l eva tors,and an ar rangement o f wate r t igh t compar tments and emergency doors tha t caused them to be dec la red“v i r tua l ly uns inkable”. Passenger ameni t i es were no l es s advanced. F i r s t-c la ss passengers enjoyed accom modat ions and mea ls equa l to the f ines t ho te l s,and a gymnasium,swim ming poo l and squash cour t fo r r ec rea t ion. Second c las s,though le ss lav ish, was the equiva len t o f f i r s t c l ass on many o ther l ine rs. By compar ison th i rd c l ass, o r s t ee rage, was ra ther spar t an but comfor tab le by the s tandards o f the day.After sea t r ia l s T i tan ic l e f t Southampton fo r he r f i r s t com merc ia l voyage on 10 Apri l 1912,s topping a t Cherbourg and Queens town be fore head ing across the At lant i c to New York. Shor t ly before midn igh t on 14 Apr i l an iceberg was seen in T i tanic’s pa th and before the sh ip could turn as ide the s ta rboard s ide g razed the ice, opening s ix o f the fo rward compartments be low the water l ine. When i t became apparen t tha t th e pumps could no t keep up wi th the incoming wa ter and tha t the sh ip would founder, Capta in Edward Smith o rdered the evacuat ion o f passengers by l i f eboat.Due to outda ted mar i t ime r egula t ions T i tan ic had l i feboa t capac i ty fo r fa r f ewer than the number o f people aboard.In sp i te o f th i s the f i r s t l i f eboat s were lowered only ha l f-ful l,the passengers be ing re luctan t to l eave the apparen t secur i ty o f the l iner. While f i r s t- and second-c l ass had easy access to the boat deck those in s t eerage,roused f rom thei r cabins deep in the sh ip,f aced de lays and obs t ruct ions. Most r eached t he deck too la te to f ind a p l ace in the boat s.By 2:00 a.m.the bows o f the ship were submerged and the c rowded s t e rn began to r i se above the wa ter. Twenty minutes l a te r the l ight s f ina l ly fa i l ed and the hul l,s t r essed beyond i t s l imi ts by the unsuppor ted weigh t p ro t ruding f rom the sea, b roke in two. The fo rward par t sank im media te ly whi le the s te rn hung ve r t i ca l ly fo r a shor t t ime before fo l lowing. The sea was f i l l ed with s t rugg l ing men, women and ch i l dren but in the f r eez ing wate r mos t would soon d ie o f exposure. Of the 2200 passenger s and c rew on ly 700 survived the n igh t.The loss o f th i s l a rges t and most modern ocean l ine r caused shock wor ldwide. Formal inqu i r ies were he ld in both Br i ta in and the USA, and sa fe ty regula t ions fo r passenger sh ips were im media te ly s t r eng thened.Improvements inc luded inc reased l i f eboat capac i ty, 24-hour r adio wat ches on sh ips,and the es t abl i shment o f an in te rnat ional i ce pa t ro l to warn of the presence o f i ce in the sea lanes.Ti tanic’s s i s t e r sh ip Olympic en joyed a long,success ful ca reer be fore f ina l ly be ing sc rapped in 1935. The th i rd sh ip in the c l ass, Br i tanni c, never ente red passenger se rv ice bu t was t aken in to use a s a hospi t a l sh ip dur ing the F i r s t Wor ld War,and sank in 1916 a f te r s t r ik ing a mine in the Aegean Sea.Long af t e r s inking T i tan ic again made newspaper head l ines in 1985 when a team led by Dr. Rober t Ba l la rd d i scovered the wreck. S i nce then severa l exped i t ions have v is i t ed the s i t e,in some cases recover ing a r t i f ac t s. Cur ren t ly T i tan ic r es t s a t a dep th o f 12,500fee t and i s s lowly decay ing. Some exper t s e s t imate the r emaining s t ruc tu re o f the once-grea t l ine r wi l l have co l lapsed by the middle o f the 21s t century.The ModelThis model i s a 1:1200sca le wa ter l ine r ep l ica o f T i tan ic, and i s approx imate ly 9inches long.M odel par t s a re con ta ined in the document t i tanic_parts.pdf. The op t iona l d i splay base i s in document t i tan ic_base.pdf. P r in t ou t t he par t s document on 8.5"x11" o r A4 s i ze whi t e paper card s tock su i tab le to your p r in te r. 67lb.cover s tock(approx. 8.5thousand ths o f an inch o r 0,2 m m th ick)i s r ecom mended.A word of cau t ion:th i s model i s not su i t able fo r assembly by young chi ld ren, due to the use of sharp too ls and the complexi ty o f some assembly s teps. Prev ious exper i ence wi th ca rd model ing i s s t rongly recom mended.I f you have any com ments o r sugges t ions regard ing th i s k i t,you can contac t me by emai l a t model s@curre l l.ne t.Too lsBefore beg inning, you wi l l need the fo l lowing too ls and mater ia l s:a) b) c) d) e) f)whi te g luea glue appl i ca tor such as a smal l pa in tbrush o r toothp ick, and wate r o r g lue so lvent on hand to r inse theb rush a sharp kni fe fo r cut t inga f la t cu t t ing su r facea rule r o r s t r a igh t edgea scor ing too l o rb lun t kn i fe forc reas ing the fo ld l inesa f la t p iece of wood or foam core fo r a bu i ld ing suppor t o r d i sp lay base(op t iona l)spray adhes ive fo r a t tach ing the d i sp lay su r face to the baseg)h)t i t an i c_i n s t r.pd f v1.0© Apr i l2007by Ra lph Cur r e l l h t tp://ww w.cur r e l l.ne t Page1o f6Hintsa) b) c) d) e)Selec t a we l l -l i t , comfor tab le work a rea tha t wi l l r emain und is tu rbed when you a re not the re . Keep your hands and too ls c lean when work ing , to avo id ge t t ing g lue on vi s ib le par t s o f the model . I t ’s ea s ie r to s tay organ ized i f you only cu t out those par t s you need for each s tep . M ake sure your kni fe i s sharp . When cu t t ing s t r a igh t l ines , u se a s t r a igh t -edge . Study the d iagrams ca refu l ly , and a lways te s t -f i t the pa r t s before apply ing g lue .Asse m blyPortAft (Stern)Forward(Bow)StarboardIn these ins t ruc t ions , the t e rms fo rward (bow) and a f t (s t e rn) r e fer to the f ron t and rear ends of the ship . Por t and s t a rboard r e fe r to the le f t and r ight s ides . Scor ing o f pa r t s i s ind ica ted by th in b lack l ines ou ts ide the pa r t ’s ou t l ine , and by dashed or shaded l ines on the par t ’s su r face . For smal l pa r t s such as the deckhouses and c ranes i t i s r ecom mended tha t ou ts ide corners (‘mounta in ’ fo lds ) a re scored b y gen t ly scr ib ing t he score l ine wi th a kn i fe re sul t ing in a sharp corner when fo lded . Score par t s be fore cu t t ing them out . In the d iagrams , subassembl ies a re ident i f i ed by a number wi th in a c i rc le (e .g . ), cor responding to the s tep in which i t was assembled . Step 1: Lamina te the la t e ra l fo rmers to heavy ca rd s tock , such tha t the combined th i ckness i s abou t 1m m or 0.04 inches . Cut ou t the formers af te r lamina t ing . Assemble the l eng thwise fo rmer (s tep 2) t aking ca re to on ly g lue the cent ra l (b lue shaded) a rea and a l lowing the f l a ps a t the bot tom to fo ld ou tward . Cu t the upper p rof i l e a f t e r g lu ing and fold as shown in the d iagrams . Assemble the in t e rna l s t ruc ture by g l uing the la t e ra l fo rmers in to s lo t s in the leng thwise fo rmer (s tep 3). Some p ieces must be o r ien ted such tha t the p r in ted s ide f aces a f t ; these a re l abe l led as such . At tach the we l l deck s t i f feners (s tep 4) in to the appropr ia t e s lo t s . At th i s s tage the model should be a t t ached to e i ther a temporary work base (s tep 5) o r to the opt ional d i sp lay base (s tep 6). Th is p revent s the f rame f rom warping dur ing subsequen t s teps . I f us ing a t emporary base , app ly on ly a smal l amount o f g lue so the sh ip may be la t e r d etached eas i ly . At tach the fo recas t l e and poop decks to the f r ame (s tep 7). The fo rward t ip o f the fo recas t l e wi l l p ro t rude s l ight ly beyond the f ron t o f the f rame.The shap ing and a t tach ing o f the hu l l su r faces a re some what cha l leng ing . Dry-f i t t ing and ca refu l a t t ent ion to the d rawings wi l l he lp . At t ach the connec t ing s t r ips to the main and s t e rn sec t ions o f the s t a rboard hul l sur face (s tep 8). To avo id gaps , bend the par t s as c lose ly as poss ib le to match the contour o f the f rame before g lu ing the s te rn sec t ion to the main sec t ion . Repea t for the por t hul l pa r t s and g lue por t and s t arboard toge ther a t the rudder on ly (s tep 9). S l ide the hul l p ieces a round the f rame f rom the s t e rn , such tha t the rudder i s pos i t ioned undernea th t he s te rn overhang (s tep 10). The rear edge of the hu l l p l a t ing shou ld a l ign wi th the cen t re o f the r earmost la t e ra l fo rmer . Beginn ing a t the s t ern and working fo rward , g lue the hul l sur face to the f r ame. The wel l deck cu tout s on the top o f the hu l l should match the fo re and a f t bulkheads o f the well decks . F inal ly , jo in the por t and s t a rboard su r faces where they meet a t the bow. Form the coun te r p la t ing in to shape (s tep 11) and a t t ach over the s t e rn f ramework . I f you a re us ing a temporary work base , the sh ip may be de tached now. Fold and a t tach the decks and bulkheads jus t beh ind the fo rward we l l deck (s tep 12) and in f ront o f the a f t wel l deck (s tep 13). The a f t promenade deck B48 has a somewhat complex shape and requi res p rec i se scor ing and ca re ful fo ld ing . At tach the boat deck (s tep 14) so tha t the top of the longi tud ina l fo rmers p rot rude th rough the ho les in the deck . Steps 15 through 20 show the as sembly o f the va r ious deckhouses to the boat deck , beg inn ing a f t and work ing fo rward . Severa l o f these requi re care fu l fo ld ing , so c lose a t ten t ion to the d rawings i s recom mended. Blue loca t ing marks a re pr in ted on the boa t deck indica t ing the pos i t ion o f the deckhouses .Bend the wheelhouse bu lwark B14 to shape (s tep 21) and a t t ach to the f ront o f the boa t deck , add ing the wing roofs B13. Bu i ld and a t tach the off ice rs quar te r s and whee lhouse to the boa t deck (s tep 22) such tha t the f ron t o f the wheelhouse abu ts the f ron t f ace of the bu lwark added in the p rev ious s t ep . I t may be necessa ry to t r im s l igh t ly the rea r edge o f pa r t B51 to ach ieve a snug f i t aga inst the deckhouse a f t . At t ach the promenade deck s ides (s tep 23), wi th the r a i sed bulwarks p rot rud ing above the boa t deck and the f ron t edge nes t ed beneath the br id ge wing overhangs a s shown in the d iagram. A typ ica l e l ec t r ic c rane as sembly i s shown in s tep 24. At t ach the c ranes and cargo ha tches as shown in the d iagram (s tep 25). Fold and a t t ach the dock ing b r idge to the s t e rn (s tep 26). The forward ca rgo ha tch , b reakwater and anchor c rane a re added in s tep 27. Step 28 shows a typica l funne l a ssembly . Note tha t the funnel s a re no t iden t ica l in s ize . A l e t t e r i s p r in ted on the connec t ing s t r ip , cor responding with the le t te r a t the funnel ’s loca t ion on the deckhouse roof . Also , the funne l cap for the a f t funne l i s d i f fe r en t f rom the o ther th ree f unnel s . Attach the funne ls (s tep 29) wi th the seam fac ing the s t e rn , so tha t the funne ls s lope af t s l ight ly . Build and a t t ach the compass p l a t form (s tep 30). For g rea ter r ea l i sm you may rep lace the bo t tom suppor t B42 with four l egs made f rom wire . A t emplate fo r shap ing the two mast s i s shown on the par t s shee t . Too thp icks whi t t l ed o r sanded to s i ze , o r s t re t ched p l as t i c sprue , a re recom mended fo r these par t s . Bu i ld and a t t ach the c row ’s nes t and inse r t the mast s in to the ho les in the deck (s tep 31). The base of th e mas ts shou ld res t in no tches cu t in to the in t e rna l fo rmer . I f des i r ed , shrouds (suppor t ing cab les fo r the mast s ) can be made f rom f ine wi re o r ny l on l ine . Attach the upper ends o f the shrouds to the mast and the lower ends to the ou ter edge o f the we l l deck . Const ruct the l i f eboa ts as shown (s tep 32). There a re th ree s izes o f l i feboa t , a t tached to the upper decks as indica ted in the d iagram.t i t an i c_i n s t r .pd f v1.0 © Apr i l 2007 by Ra lph Cur r e l l h t tp ://ww w.cur r e l l .ne t Page 2 o f 61La minate la tera l formers toheavycardstock2LengthwiseformerA20Glueonly inarea ind icatedbyblueshading(o ther areaswi l l fo ldou tward).C ut formerlayout f ro mpartssheet 'A '. C o m binedth icknessshouldbe approx imate ly1m m or0.04inches.C utupperpro f i leands lotsa f terglu ing.ABCNOPDEFGHIJKLMAft ForwardBo w a ndsternf lapsfo ldouthor izontal l y . C entref laps fo ld outwardasshown.3Latera l formers4W el ldeck st i f feners5O pt ional temporarybase(So me partso mit ted forc lar i ty .) A17facesfwdE Tokeepthef ra mefro m w arp ingat tachtoaf la tp ieceofwood orplast ic .Useon lyas mal l a m ou ntofg luesothe basecanbelater A5A4 af tdetached.Bo wfwdA3A2 A18DA1Su ggestedglu ingpoints indicatedby 'x '.CC2af tA BAaf tAt tachre main ingformersA6-A16 in thesa me m ann er .Stern6O pt ionald isp laybase7Forecast leandpoopdeckO p enholeformast .Thebasesurface is inf i le t i tan ic_base.pd f .At tachtoaf la tp ieceofwood, plast i cor foa mcore.Bo wB62Stern8Starboardhul lsur faceA19(inkeds idefac ingdo wn)9Joinportandstarboardhul lsur faces A21,26-28Asse m bleas mir ror A23+A24(inkeds idefac ingdo wn)imageofs tarboardhu l l .A23A24A25U pperf lapbendsoutwardtowards ternToped gel inesupwi thb lack/whi te de m arkat iononhul l .Glueatrudderon ly .R e m aindero fhu l lspreadsto cover fra me.Be ndsur faceparts tom atchf ra mesha peatstern.8t i t an i c_i n s t r .pd f v1.0 © Apr i l 2007 by Ra lph Cur r e l l h t tp ://ww w.cur r e l l .ne tPage 3 o f 610 Attachhul lsur facetof rameopenslotaf tW el ldeckcu tou tshoulda l ignwi th foreandaf tbu lkheadsof thewel ldeck.Be ging lu ingat thesternand work forward.Al ignrearedgeofhu l lp la tewi ththecent reof therearmost la tera l former.Joinhul lp la teswheretheym eetatbow.Posit ionrudderunderoverhangingcounter.Stern Bo w11 Counter 12 Forwardbr idgeandpromenadedecksA22B12B1113 Aftbr idgeandpromenadedecks B48Scoreandfo ldasshown.(Unders idev iew)Foldf laps tocrea tewal lsB58O p enholeformast.14 Boatdeck 15 SecondclassentranceB38 B15 B36 B35B37B39Foldtodoubleth icknessandcuttoshape16 S m okeroo mandfunneldeckhouse 17 Tankroo mandskyl ightsB50 B41dB40B40 FwdopenslotB49B34(Unders ide)Foldf lapsassho wntocreatewal lst i t an i c_i n s t r.pd f v1.0© Apr i l2007by Ra lph Cur r e l l h t tp://ww w.cur r e l l.ne t Page4o f618 No.3funneldeckhouse19 LoungeroofB76Foldtodoubleth ickness andcuttoshapeFwdccB80Scoreand fo ldasshown.B79(inkeds ideshow nfac ingdo wn) Scoreand fo ldasshownB7720 No.2funneldeckhouseandskyl ight21 W heelhousebulwarksB65 B14Scoreandshapeassho wnB67 Frontands idesofB14at tachtoedgeofboatdeckasshow n.B68bB13B66B64(inkeds ideshow nfac ingdo wn) Scoreand fo ldasshown22 Off icers 'quar tersand wheelhouse23 Pro m enadesidesB60B52Foldtodoubleth ickness andcuttoshapeB17aB61Theseed gesare f lushwiththetopof theboatdeck .B51B16Tr imrearedge i fnecessaryto achieveasnugf i t .24 Elect r iccranes25 Locat ionofcranesandcargohatchesB74B59+B72 B63+B70B59+B28H atchesB6,7,8,9,10 Foldtot r ip le th ickness andcuttoshape.24B10 B9 B8B7 B6At tachtoblue locat ing marks ondeck.B59(inkeds ideshow n facingdown)B59+B75B59+B73 B63+B71 B59+B29t i t an i c_i n s t r .pd f v1.0 © Apr i l 2007 by Ra lph Cur r e l l h t tp ://ww w.cur r e l l .ne tPage 5 o f 626 Dockingbr idge 27 Forecast ledeta i ls28 No.1funnelB2aaB78Scoreand fo ldasshown.B20B21Inkedsur face B3B4B19Lineup wi th funne lsea mB46B18sho wnfacingdownB5B18,B19and B 46fo ld todouble th ickness andcuttoshapeAt tachto locat ing m arksondeck.At tachtoblue locat ing marks ondeck.funne l sea m29 AttachfunnelsB22-25,B46Funnelsea ms faceaf t2830 Co mpasspla t formB26,27,30,31,46O pt ional ly ,rep laceB42with suppor t legs mad efrom wire.B43 B42B32,33,44,45,47N o.4funne lcapAt tachto loungeroo fbe tween funne ls3and4.sea mLetterpr in tedonfunne lconnect ingst r ip correspondsto let terondeckhouseroof .31 M astsandcrow'snestCreate mastsus ingtoothp icksorst retchedInser tmasts in toholes indeck plast i csprueus ingthete mplateonthepar ts sheet fors ize.Mastsareround incross- sect ionandco loureddarkbrown. (baseofmastrests innotch in in ternal former).Mastss lopeto reara tsa mea ngleasfunne ls (approx .9°f romver t ica l). Shrouds(i fused)maybe m ade f ro mf inewireorny lonl ine.At tachlowerendsofshroudsto outeredgeofwel ldeck .B53O pt ionalshrouds (suppor tcab les)Bo wSternD eckleve laf tforward32 Li feboatsB81 B54+B5525ftcut terontopofco l laps ible27ftcol laps ib le30ft l i feboat27foot col laps ib le l i feboat(4boats)69B56+B5730foot l i feboat (14boats)25footcu t ter (2boats)t i t an i c_i n s t r .pd f v1.0 © Apr i l 2007 by Ra lph Cur r e l l h t tp ://ww w.cur r e l l .ne t Page 6 o f 6。
几何15长方体与正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED CBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．板块一 长方体与正方体的表面积【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例 2】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2cm．【例3】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【巩固】用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【例4】（05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【例5】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【例6】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是________．【例7】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多______ 块．【例8】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例9】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________．【例10】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?【例11】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【例12】一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个．求原来长方体的体积与表面积．【例13】将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体．在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一个面涂红色的有块，原来长方体的体积是立方分米．【例14】右图是由27块小正方体构成的3⨯3⨯3的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【例15】有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？【例16】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【例17】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【例18】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【巩固】把正方体的六个表面都划分成4个相等的正方形．用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【例 19】 (第九届“迎春杯”决赛)把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成 个小正方体．【巩固】(第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块．最多可放 块．444433333【例 20】 有甲、乙、丙3种大小的正方体木块，棱长比是1:2:3．如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？【例 21】 用112⨯⨯、113⨯⨯、122⨯⨯三种小木块拼成333⨯⨯的正方体．现有足够多的122⨯⨯ 的小木块，还有14块113⨯⨯的小木块，如果要拼成10个333⨯⨯的正方体，则最少需要112⨯⨯的小木块________块．【例 22】 把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．图1图2【例23】（第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：【例24】(第三届“华杯赛”复赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？【巩固】(第七届“祖冲之杯”数学邀请赛)现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【例25】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【例26】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右．那么这个几何体至少用了块木块．【巩固】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？【例 27】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33223323322323111111【例 28】 如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？正视图俯视图侧视图【例29】(第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图a，从正面看这个立体图形，如下图b，则这个立体图形的表面积最多是________．a b【例30】（2009年“希望杯”二试六年级）用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要块小立方体．【例31】(第十届华杯赛)第9届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004年5月10日在潮州举行，北京的选手们用N个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004，从左面看是9的模型(如图)．问：N最大为多少？N最小为多少?【例32】(日本第七届算术奥林匹克)有很多白色或黑色的棱长是1cm的小正方体．取其中的27个，拼成一个棱长是3cm的大正方体，每一面都各用2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。
《纸模型-摩天大楼》(教学设计)-苏教版劳动四年级上册
《纸模型摩天大楼》（教学设计）苏教版劳动四年级上册教学目标：1. 让学生了解摩天大楼的基本结构和特点，提高学生的空间想象力。
2. 培养学生动手操作能力，提高学生的审美观念。
3. 培养学生合作精神，提高学生的创新能力。
教学内容：1. 摩天大楼的基本结构与特点。
2. 纸模型的制作技巧。
3. 摩天大楼的设计与创新。
教学重点与难点：重点：摩天大楼的基本结构与特点，纸模型的制作技巧。
难点：摩天大楼的设计与创新。
教具与学具准备：教具：PPT、纸张、剪刀、胶水、尺子、画笔。
学具：纸张、剪刀、胶水、尺子、画笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍摩天大楼的定义及其基本结构与特点。
2. 展示一些著名的摩天大楼图片，引导学生欣赏其美。
二、基本技能训练（10分钟）1. 教授纸模型制作技巧，包括折叠、剪切、粘贴等。
2. 分组讨论，让学生合作完成一个简单的纸模型。
三、摩天大楼的设计与创新（10分钟）1. 引导学生思考摩天大楼的设计要素，如形状、色彩、材质等。
2. 学生分组讨论，设计出一个具有创新性的摩天大楼纸模型。
四、实践操作（10分钟）1. 学生根据设计方案，动手制作摩天大楼纸模型。
2. 教师巡回指导，解答学生制作过程中遇到的问题。
五、展示与评价（5分钟）1. 学生展示自己的作品，阐述设计理念。
2. 教师对学生的作品进行评价，给予肯定和鼓励。
板书设计：1. 摩天大楼的基本结构与特点。
2. 纸模型的制作技巧。
3. 摩天大楼的设计与创新。
作业设计：1. 学生回家后，尝试用纸张制作一个摩天大楼纸模型。
课后反思：重点关注的细节是“摩天大楼的设计与创新环节”。
补充说明：摩天大楼的设计与创新环节是本节课的核心部分，旨在培养学生的创新能力、审美观念和空间想象力。
在这个环节中，学生需要根据所学的摩天大楼基本结构与特点，结合纸模型的制作技巧，设计出一个具有创新性的摩天大楼纸模型。
一、引导学生思考摩天大楼的设计要素1. 形状：摩天大楼的形状是其最基本的 design element。
立体图形的表面积计算与多面体模型分析
专题一一、专题精讲例1.把十九个棱长为1厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，如图1所示，求这个立体图形的表面积。
答案解析：由于此立体图形的三个面的投影的面积分别是10平方厘米，8平方厘米，9平方厘米，所以此立体图形表面积为（10+8+9）×2=54（平方厘米）。
（注：如果一个立体图形没有被“挖洞”的问题，那么它的表面积应该是从上、下、左、右和前、后六个方向看到的平面图形的面积的总和。
而此立方体图形，从前后、上下、左右分别看到的图形分别如图2所示。
（图2）例2. 如图3所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿着虚线折，沿着实线粘）。
请问：这个多面体的面数、顶点和棱数各是多少？答案解析：从展开图中可以看出，粘合的多面体有12个正方形和8个三角形，从而它有20个面。
这个多面体上部的中间是一个正三角形，它的三边与三个正方形相连，因此这个多面体的上部共有9个顶点。
同理，它的下部也有9个顶点，因此这个多面体的顶点数为18。
由欧拉公式，这个多面体的棱数=20+18-2=36，即这个多面体有36条棱。
答：粘合后的多面体有20个面，18个顶点，36条棱。
例3.如图4所示是一个长方体，上、下两面被分成6×5=30个正方形，前后两个面被分成6×4=24个正方形，左右两个面被分成5×4=20个正方形，那么图中共有多少个正方体？多少个长方体？答案解析：图4中长方体的长边上有6+5+4+3+2+1=21条线段；宽边上有5+4+3+2+1=15条线段；高上有4+3+2+1=10条线段。
所以图形中的长方体（包含正方体）的总数有21×15×10=3150（个）。
而图4中有最小的正方体6×5×4=120（个），由8个最小正方体组成的正方体有5×4×3=60（个），由27个最小正方体组成的正方体有4×3×2=24（个），由64个最小正方体组成的正方体有3×2×1=6（个），因此，图4中共有正方体120+60+24+6=210（个）。
小学奥数4-5-2 长方体与正方体(二)
长方体与正方体（二）对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．例题精讲如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．HGEDFCcbA a B①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体=2(ab+bc+ca)；长方体的体积：V长方体=abc．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：S正方体=6a2，V正方体=a3．长方体与正方体的体积立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体V=abhV=Sh 三要素：a、b、h二要素：S、h一要素：a二要素：S、hV=a3正方体不规则形体的体积常用方法：①化虚为实法②切片转化法③先补后去法④实际操作法⑤画图建模法V=Sh【例1】一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于立方厘米。
【例2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。
【例3】一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【例4】如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米。
8个这样的铁环依此连在一起长厘米。
【例5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?高宽长【例6】某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为235厘米、445厘米、515厘米的尼龙带进行加固（如下图），若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米，那么这个长方体包装箱的体积是立方米。
自制几何模型
自制几何模型，领略数学之美数学在我们眼里经常是枯燥、古板的。
铺天盖地的公式，抽象的线条和坐标。
相信大多数人都曾为之头痛不已。
今天我们放松一下，带大家一起来做个模型，领略下数学之美。
材料：纸板(木板、塑料也行，加工难度要高一点)，胶水工具：剪刀，刀片首先下载这个模板(pdf格式)将模板中的S状图形打印到纸上，你可以根据自己的需要控制打印的尺寸。
建议稍大一点，这样子虽然剪裁需要花费多一点时间，但是装配起来会容易许多。
小心的将纸模上的S形裁剪下来。
然后以此为样板，从你准备的纸板或木板上裁剪出30个这样的S形下来。
这是个需要耐心和体力的活。
如果刀子足够锋利的话，可以节省不少时间。
建议在裁剪过程中经常更换一下刀片。
凑足30块S形纸板以后，真正具有挑战性的工作才刚刚开始。
首先我们来观察一下这个成品的细节，注意看各个边角。
每一块S形的交汇处都是一样的：S形两端的平坦部分整齐的粘在一起。
这还只是个基本原则，还有很多迷宫般的细节要处理。
为了更好的理解这些细节，请注意观察下列几何图示。
将整个模型的最外端各点联合起来，其实是一个简单的12面体。
每个顶点其实也是三个接壤的五边形的共同顶点。
随便选择三个这样的五边形，就能确定下这么一个点，然后我们顺着这个点画一条直线，连接到其相对的另一个顶点，连接两个相对顶点的这样一条线，就是我们要架设S形的轴心线。
如图：如果我们画上多条这样的线会是什么样子呢?请看：这样我们就很容易得到了多块S形的架设路径。
但是，这些如上图所示，这些线条是相交的。
而实际中我们的S形都是各自独立完整的一块。
怎么办?解决之道就是将线条弯曲，以避免交叉。
如下图：12画上多条线看看从顶部来看，还可以看到一个完美的漩涡状图形：我们把每一对顶点都连上线，完整的示意图就出现了。
请注意，我们的每个顶点都有三条这样的线。
试试看就知道了。
去掉示意图的外皮，一个完美的几何模型出现了，看起来非常奥妙。
照着线条去组装你的纸板吧，感受那份渐渐显现的神奇。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
建筑场景比萨斜塔纸模型图纸Torre pendente di Pisa
/c-park/en/View of completed modelLeaning Tower of Pisa, Italy*This model was designed for Papercraft and may differ from the original in some respects.Parts list(pattern):Seven A4 sheets(No.1 to No.7)No. of Parts:44*Build the model by carefully reading the Assembly Instructions, in the parts sheet page order.Construction on the world-famous Leaning Tower of Pisa, the bell tower of the Pisa Cathedral, began in 1173. However, construction was halted numerous times as the tower began to lean as its weight began to destabilize the ground beneath. It took some 200 years to complete the tower. With a lean that continued to progress even after its completion, the tower underwent thorough repairs from 1990 through 2001, which are intended to keep it from falling over for the next 200 years.Front viewSide view 1 Side view 222 2 2 2 210Cut out123Assembly InstructionsMountain fold(dotted line)Make a mountain fold.Valley fold(dashed and dotted line)Make a valley fold.Scissors line(solid line)Cut along the line.Cut in line(solid line)Cut along the line.Glue spot(Red dot)Glue parts with the same shape together.Glue spot(Green dot)Glue within the same part.Glue spot(Blue dot)Glue to the rear of the other part.GlueThe glue spot(colored dot)shows where to apply the glue.Tools and materialsAssembly tip CautionScissors, set square, glue(We recommend stick glue), pencil, used ballpoint pen, toothpicks, tweezers, (useful for handling small parts)Before gluing, crease the paper along mountain fold and valley fold lines and make sure rounded sections are nice and stiff.Glue, scissors and other tools may be dangerous to young children so be sure to keep them out of the reach of young children.View of completed modelAssembly Instructions:Three A4 sheets(No.1 to No.3)*This model was designed for Papercraft and may differ from the original in some respects.*Hint: Trace along the folds with a rulerand an exhausted pen (no ink) to get a sharper, easier fold.*Build the model by carefully reading the Assembly Instructions, in the parts sheet page order./c-park/en/Indicates where sections should be glued together.Before starting assembly:Writing the number of each section on its back side before cutting out the sections is highly recommended.(* This way, you can be sure which section is which even after cutting out the sections.)Glue the upper glue tabs of part 3 to the inside areas with circles on the printed side of part 4.Reverse side of part 4Printed side of part 4Carefully glue the lower glue tabs of part 3 to the glue areas of part 1, one at a time.Use parts 1 - 4 to build six identical components.161718192021222423Glue part 16-24 to the top surface.Glue parts 1 - 4 together so that their columns are aligned.Refer to this illustration when inserting the tower into the stand.Finished!。
小学数学竞赛：长方体与正方体(二).学生版解题技巧 培优 易错 难
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形示例 体积公式 相关要素长方体V abh = V Sh =三要素：a 、b 、h 二要素：S 、h正方体3V a =V Sh =一要素：a 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 ③先补后去法 ④实际操作法 ⑤画图建模法【例 1】 一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于 立方厘米。
例题精讲长方体与正方体（二）【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有___________块。
【例 3】一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【例 4】如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米。
8个这样的铁环依此连在一起长厘米。
【例 5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?高宽长【例 6】某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为235厘米、445厘米、515厘米的尼龙带进行加固（如下图），若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米，那么这个长方体包装箱的体积是立方米。
正方体11种展开图
类型六：十字型
总结词
由两个相同的等腰直角三角形和两个相同的矩形组成的展开图，呈十字形状。
详细描述
这种类型的展开图在正方体的两个相对的面上保留了一个矩形，而其他面则由两个等腰直角三角形组成，整体呈 十字形状。
类型七：二字型
总结词
由两个相同的矩形和两个相同的等腰直角三角形组成的展开图，呈二字形状。
详细描述
正方体11种展开图
• 正方体的基本特性 • 正方体的11种展开图 • 正方体展开图的制作方法 • 正方体展开图的应用场景 • 正方体展开图的挑战与未来发展
01
正方体的基本特性
定义与特性
01
正方体是一种三维几何体，由六 个正方形面组成，每个面都是等 大的正方形。
02
正方体的体对角线、棱和面都是 对称的，具有高度的空间对称性 。
05
正方体展开图的挑战与未来发展
当前面临的挑战
寻找新的展开方式
目前已知的正方体展开图种类有 限，需要探索新的展开方式以丰
富其多样性。
证明无解的存在
对于某些特定条件下的正方体展开 问题，需要证明无解的存在，这需 要深入的数学理论支持。
实际应用中的限制
正方体展开图在实际应用中可能受 到材料、工艺等因素的限制，需要 解决这些实际问题。
正方体的几何属性
正方体的体积是边长的三次方，记作 V=a^3，其中a是正方体的边长。
正方体的表面积是6倍的边长的平方， 记作A=6a^2。
正方体的展开与折叠
正方体的展开是将正方体的表面沿某些边展开成平面的过程，通常用于制作纸盒等 包装材料。
正方体的折叠则是将展开的平面重新折回成立体的过程，常用于制作纸艺模型和玩 具。
详细描述
阿基米德之多面体
阿基米德多面体半正多面体(semi-regular polyhedra)是指由一种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多边形。
阿基米德曾研究半正多面体(虽然其研究纪录已佚)，故有人将半正多面体的一类称作阿基米德多面体。
特点1.边长相等。
在每一种多面体中各种正多边形面的边长都相等。
2.顶点连接情况相同。
3.中心到各个顶点的距离相同。
当多面体的中心是外接球的中心时，各个顶点同处在外接球的球面上。
4.中心到各条边中心的距离相同。
当多面体的中心是内接球的中心时，各条边的中心点都处在内接球的球面上。
5.各相邻顶点的夹角相同。
球”的构成方式只有一种.我对这一事实产生兴趣并进行了进一步研究,发现“足球”属于阿基米德多面体,而阿基米德多面体的种类数一直不很明确.本文就利用角亏公式,用几何构图与分类讨论的方法证明了阿基米德多面体有且仅有16种(类),并且得到了这16种(类)阿基米德多面体.角亏公式阿基米德多面体可证明:用且仅用等边长的正五边形与正六边形构成的凸多面体只有一种(图1).而“足球”属于阿基米德多面体,这类多面体所有多面角均全等(即构成多面角的面角均对应相等,且不同面角在多面角中的排列顺序也相同,镜面对称也视为全等);且各个面是边数不全相同的正多边形,因此是正多面体的自然推广.众所周知,可以证明正多面体只有五种;因此自然就要问:阿基米德多面体究竟有多少种?阿基米德曾研究过这个问题,并给出了13种图形,但其研究已失传;张远南老师曾经用代数计算的方法,给出了20种(类)“巴基球类体”,其中有15种实际就是阿基米德多面体.对此我也进行了研究,得到一些初步想法,在此写出来,请大家多多指教. 问题:阿基米德多面体(即所有多面角均全等,且各个面是边数不全相等的正多边形的多面体)共有多少种?4.1基本单位定义:简单凸多面体上具有共同顶点的多边形所组成的几何图形称为该多面体的一个基本单位(图2绿色部分).4.2基本公式本文主要运用角亏公式(Descartes Total Angular Defect)进行计算.对于任意简单凸多面体而言,我们称以该多面体的任意一个顶点为顶的多面角的所有平面角度数之和与360的差为这个顶点多面角的角亏.所谓角亏公式是指对于任意的简单凸多面体来说，所有顶点多面角角亏之和等于720.4.3五条引理引理一:在阿基米德多面体中,所有基本单位均全等(这里把经旋转平移可以重合或者镜面对称的空间图形视为全等).证明:因为阿基米德多面体所有多面角均全等,所以它们的对应面角均全等.而面角即正多边形的内角,正多边形的内角度数决定于其边数(如正n边形,其内角度数),而阿基米德多面体是由边长均相等的正多边形组成,所以所有基本单位均全等.推论:在阿基米德多面体的任一基本单位中,至少包含组成该多面体的所有不同种正多边形各1个.证明:假设在阿基米德多面体某一基本单位中不包含组成该多面体的某种正多边形,则由引理一,所有该多面体的基本单位中均不包含这种正多边形.这与这种多面体包含这种正多边形矛盾,故假设不成立.因此推论得证.引理二:对于任意阿基米德多面体,它的每个多面角所包含的面角度数之和小于360,并且720，是每个多面角角亏的整数倍.证明:因为阿基米德多面体为凸多面体,所以每个多面角所包含的面角度数之和小于360?.又因为多面体的顶点数必为整数,同时由引理一可知, 阿基米德多面体每个顶点的角亏均相等,所以有:.故引理得证.引理三: 任一阿基米德多面体至多由三种不同的正多边形组成.证明:假设某一阿基米德多面体由四种或四种以上正多边形组成,则由引理一的推论知,该多面体的每个基本单位中,至少包含四种不同正多边形.则该多面体的每个多面角的面角度数之和至少为(即包含正三角形,正方形,正五边形与正六边形各1个) ,这与引理二矛盾.所以假设不成立.引理三得证.引理四: 阿基米德多面体的任意顶点最多引出五条棱.证明:假设某一阿基米德多面体的一个顶点引出六条或以上的棱,则该顶点周围至少有六个正多边形.则该顶点多面角所包含的面角的度数之和至少为(即包含6个正三角形) 这与引理二矛盾.故假设不成立,引理四得证.引理五:对于一个每个顶点引出三条棱的阿基米德多面体而言,若它包含边数为奇数的正多边形,则所有与该正多边形共棱的多边形为同种正多边形.证明:假设某一每个顶点引出三条棱的阿基米德多面体中一基本单位包含边数为奇数的正多边形,并且与其共棱的正多边形中有不同正多边形,如图3灰色部分“1”与“2”,则由引理一可得,“1”与“3”为同种正多边形,“2”与“4”为同种正多边形,同理类推,则必有一处“?”使得该处无论放置何种正多边形均会与引理一矛盾.故假设不成立,引理五得证.4.4分类讨论研究阿基米德多面体,需研究其组成(即包含的不同正多边形的数量).由引理一可知,为找到全部阿基米德多面体,须从基本单位开始研究.所以,从顶点引出的棱数以及构成图形的多边形种类数两方面进行分类研究.由引理三和引理四可知,这一分类方法只需研究以下六种情况:(1)一个顶点引出三条棱,同时由两种图形构成;(2)一个顶点引出三条棱,同时由三种图形构成;(3)一个顶点引出四条棱,同时由两种图形构成;(4)一个顶点引出四条棱,同时由三种图形构成;(5)一个顶点引出五条棱,同时由两种图形构成;(6)一个顶点引出五条棱,同时由三种图形构成.4.4.1一个顶点引出三条棱,同时由两种图形构成在这种情况下,在阿基米德多面体的一个基本单位中,必然包括两个相同正多边形.若这两个相同正多边形的边数为奇数,则无论另一个正多边形为何种正多边形,均与引理五矛盾(图4即含有两个正五边形的情况,此时与正五边形共棱的多边形不是同种正多边形).因此,这两个相同正多边形边数必为偶. 又由引理二,这两个相同的正多边形的边数不能大于十(否则,若这两个正多边形为正十二边形,则即使另一个正多边形为正三角形,其度数之和也已经达到:,这与引理二矛盾).同时,由于引理二有“ 720?是每个多面角角亏的整数倍”,因此在这种情况下,至多只可能有以下几种组成方式:编号两个相同的正多边形另一个正多边形1 正四边形任意非正四边形的正多边形2 正六边形正三角形3 正六边形正四边形4 正六边形正五边形5 正八边形正三角形6 正十边形正三角形在编号1中,如果设非正四边形的正多边形的边数为n,则图形共包括2n个顶点,2个正n边形和n个正四边形.在编号2-6中,以编号2为例,有:由引理一,各多面角角亏数为所以这个阿基米德多面体的顶点数为又因为每个顶点周围有2个正六边形和1个正三角形,同时每个正六边形有6个顶点,每个正三角形有3个顶点,所以在这个阿基米德多面体中,共有正六边形,共有正三角形.即共有正六边形和正三角形各4个. 同理,我们可知另外几个阿基米德多面体包含的正多边形数量如下:编号正多边形一个数正多边形二个数2 正六边形 4 正三角形 43 正六边形 8 正四边形 64 正六边形 20 正五边形 125 正八边形6 正三角形 86 正十边形 12 正三角形 20这些图形是否都存在呢?编号1的一类图形显然是存在的,当两个非正四边形的正多边形的边数不断增加,则需要的正四边形也不断增加;当边数增加到趋近于正无穷时,最后图形趋近于圆柱型(图5即两个这类图形). 第二类组成总共五个, 由引理一,在确定了其中一个基本单位后,其相邻的基本单位也都确定(如图6,在确定了1,2,3的排列后,4,5,6,7也依次确定).依次类推,这五种组成分别只能得到唯一的一种一种图形.这些图形恰好都可以用五种正多面体经过割角操作得到(如图7,即编号4的情况.正二十面体切去图中粉色部分,即编号4的阿基米德多面体.粉色部分的端点为正二十面体的各条棱三等分点).在承认五种正多面体存在的前提下,我们认为它们也是存在的(图8为这五个图形的电脑3D简图).4.4.2一个顶点引出三条棱,同时由三种图形构成在这种情况下,由引理五,组成阿基米德多面体的正多边形边数必为偶数(否则若含有边数为奇数的正多边形,则与之共棱的正多边形必不相同,与引理五矛盾).由引理二,组成阿基米德多面体的正多边形必包括正四边形和正六边形(否则,即使使用正四边形,正八边形和正十边形各1个,其每个多面角的面角度数之和也已经达到, 即使使用正六边形,正八边形和正十边形各1个,其每个多面角的面角度数之和也已经达到);同时必然不包含正十二边形(否则,即使使用正四边形,正六边形和正十二边形各1个,其每个多面角的面角度数之和也已经达到).因此在这种情况下,阿基米德多面体的组成情况只能是以下两种:编号正多边形一正多边形二正多边形三7 正四边形正六边形正八边形8 正四边形正六边形正十边形利用与编号2-6相同的方法,我们可以求得这两种情况下,阿基米德多面体包含的正多边形数量:编号正多边形一个数正多边形二个数正多边形三个数7 正四边形 12 正六边形 8 正八边形 68 正四边形 30 正六边形 20 正十边形 12这两种组成下的阿基米德多面体是存在的.与4.4.1同理,这两种组成分别只能确定一种图形.我用纸做模型验证,这两种图形均存在(图9为电脑3D简图). 4.4.3一个顶点引出四条棱,同时由两种图形构成在这种情况下,又有两种可能:在一个基本单位中含有三个相同正多边形和另一个不同正多边形;或者含有两组同种正多边形各两个.4.4.3.1 含有三个相同正多边形和另一个不同正多边形由引理二,三个相同的正多边形只可能是正三角形或正四边形(如果是正五边形,则即使另一正多边形是正三角形,其多面角的面角度数之和也已经为). 因此,这种情况下只有以下几种组成方式:编号三个相同的正多边形另一个正多边形9 正三角形任意非正三角形的正多边形10 正四边形正三角形在编号9中,如果设两个非正三角形的正多边形的边数为n,则图形共包括2n个顶点和2n个正三角形.利用与编号2-6相同的方法可以求得,在编号10的情况下,分别有正三角形8个和正四边形18个.这两种组成能否作出图形呢?编号9的图形结构是上下各一个相同的正多边形,周围用正三角形连接,是存在的(图10为n=6时此类图形的纸模型照片).编号10的组成情况下,可以得到两种不同的图形(图11),这两种图形的组成完全相同,但是正多边形排列不同,既不能重合,也不是镜面对称,因此是不同图形.4.4.3.2由两组同种正多边形各两个组成由引理二,这两种正多边形只可能是正三角形和正四边形;或者正三角形和正五边形.利用与编号2-6相同的方法,可以得到每种可能组成包含的正多边形数量: 编号正多边形一个数正多边形二个数11 正三角形 8 正四边形 612 正三角形 20 正五边形 12这两种组成是否能够构成阿基米德多面体呢?首先与4.4.1同理，这两种组成分别只能够成一种图形；并且这两种图形恰好分别可以用正六面体和正十二面体经过割角操作得到(图12即编号12的情况.把正十二面体的每个多面角如图切去一部分,得到粉色的部分,即得编号12的阿基米德多面体.粉色部分的端点是正十二面体的棱二等分点),故我们认为它们也都是存在的. 4.4.4一个顶点引出四条棱,同时由三种图形构成在这种情况下,一个基本单位中必然有且只有两个相同种类的正多边形.由引理二,它们只可能是正三角形或正四边形. 如果是正三角形,则如图14,无论这两个正三角形在基本单位(图中阴影部分)中是否共棱,均会出现与引理一矛盾的“？”位置,故不成立. 因此它们只可能是正四边形.由引理二,另两个正多边形必为正三角形和正五边形.利用与编号2-6相同的方法可以求得:编号正多边形一个数正多边形二个数正多边形三个数13 正三角形 20 正四边形 30 正五边形 12这种组成的一个基本单位中,正三角形,正四边形与正五边形是如何分布的呢?由图15可知,为满足引理一,在一个基本单位（图中阴影部分）中,正四边形必须不共棱.因此所有正四边形均不共棱.这种组成能构成阿基米德多面体,我用纸做模型初步验证了它的存在(图16为电脑3D简图).与4.4.1同理,这种组成下只有一种阿基米德多面体.4.4.5一个顶点引出五条棱,同时由两种图形构成由引理二,此时只有以下两种可能:在一个基本单位中,含有四个正三角形和一个正四边形;或在一个基本单位中,含有四个正三角形和一个正五边形. 利用与编号2-6相同的方法可以求得:编号正多边形一个数正多边形二个数14 正三角形 32 正四边形 615 正三角形 80 正五边形 12这两种组成能构成阿基米德多面体.在这两种组成下,分别各有两个不同的图形,但与编号10不同,这两组图形分别是镜面对称的,因此可以看作是同一种图形.由于这两种(四个)图形结构复杂,我用纸做模型初步证明了存在性(图17为这两种组成中的各一种图形的纸模型照片).4.4.6一个顶点引出五条棱,同时由三种图形构成在这种情况下,即使一个基本单位中只有3个正三角形,1个正四边形和1个正五边形,其多面角的面角度数和也达到378?,与引理二矛盾,故不成立.因此,这种情况下不存在阿基米德多面体.综上，我们就得到了几种正多面体有类似之处的多面体——“阿基米德多面体”.它们是由不全相同的正多边形组成,且所有多面角均全等的简单凸多面体. 在不考虑镜面对称得到新图形的前提下(即编号14,15),阿基米德多面体一共只有16种(类).它们包含的正多边形个数如下表:编号正多边形一个数正多边形二个数正多边形三个数1 正四边形 n 正n边形2 正六边形 4 正三角形 43 正六边形 8 正四边形 64 正六边形 20 正五边形 125 正八边形6 正三角形 86 正十边形 12 正三角形 207 正四边形 12 正六边形 8 正八边形 68 正四边形 30 正六边形 20 正十边形 129 正三角形 2n 正n边形10 正三角形 8 正四边形 1811 正三角形 8 正四边形 612 正三角形 20 正五边形 1213 正三角形 20 正四边形 30 正五边形 1214 正三角形 32 正四边形 615 正三角形 80 正五边形 12证明这些多面体的存在性有以下这些方法:对于结构简单的阿基米德多面体(编号2-6,11-12),利用切割正多面体构造的方法进行证明;对于包含无限种的多面体组(编号1,9),进行举例类推验证;对于结构复杂,同时构造方法也复杂的阿基米德多面体(编号7-8,10,10*,13-15),制作纸模型进行验证.但是,这些方法是否已足够证明它们的存在性,还不能完全肯定,有待进一步的研究来验证(比如使用电脑三维作图,或想办法得出构造方法等).本文得到的阿基米德多面体,大致可以分成三类: 第一类(编号1,9):这两组阿基米德多面体的个数是无限的,在上下面的多边形的边数趋近于无穷时,图形趋近于圆柱,同时“厚度”趋近于零.在生产生活中,这类图形可以用于盒子的设计.第二类(编号2-8,10-13,10*):这十二种图形具有很好的对称性,即有很多镜面对称的对称平面.第三类(编号14-15):这两种图形不具有镜面对称性,没有镜面对称的对称平面,但它们具有很好的旋转对称性,即有许多旋转对称的对称轴.同时,这两种图形的镜面对称图形与这两种图形本身不能重合,但具有这两种图形的所有性质.在本文中就不把它们看作不同的多面体了.在这次研究中,我们得到了许多很美的图形,对于角亏公式的应用也有了更进一步的认识.如编号14和15两种图形具有特殊的对称性,是在研究开始时预料不到的;而由于利用几何构造的思路,使得本文得到的多面体更全面.这一切都使说明,数学之美,无处不在.。