2009年中国数学奥林匹克(CMO)

2009中国数学奥林匹克解答

一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．

（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；

（2）若 EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．

，

二、求所有的素数对（p ，q ），使得q p pq 55+．

三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A 是一个正2n +1边形，

{}1221,,,+=n A A A P ．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．

C

B

四、给定整数3≥n ，实数n a a a ,,,21 满足 1min 1=-≤<≤j i n

j i a a ．求∑=n

k k a 1

3

的最小值．

五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n ，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？

六、给定整数3≥n ，证明：存在n 个互不相同的正整数组成的集合S ，使得对S 的任意两个不同的非空子集A ，B ，数

A

x

A

x ∑∈ 与

B

x

B

x ∑∈

是互素的合数．（这里∑∈X

x x 与X 分别表示有限数集X 的所有元素之和及元素个数．）