2021-2021年广东中山一中高一上第一次段考数学试卷

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2021年高一上学期第一次段考数学试题 Word版含答案

年高一上学期第一次段考数学试题 Word 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在答案卷指定的位置上。

） 1．设集合，，则A. B. C. D.2．函数的图像大致为3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A ．B ．C ．D ． 4．下列各组函数中和相同的是A. B. 2(),()(0)x f x g x x x x==≠ C 、⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈==)0,(,),0(,)(|,|)(x x x x x g x x f D.5．已知函数2(5)()(4)(5)x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则的值为A. B. C. D.6．根式（式中）的分数指数幂形式为A ．B ．C ．D ．7．已知a>0，且a≠1，则下述结论正确的是A ．B ．C ．D ．8. 方程2x-1+x=5的解所在区间是A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)9. 函数的定义域是( )A. B. C. D.10. 如果一个函数在其定义区间内对任意实数都满足()()()22x y f x f yf++≤,则称这个函数是下凸函数,下列函数(1) (2) (3)(4) 中是下凸函数的有A. (1),(2)B. (2),(3)C.(3),(4)D. (1),(4)二、填空题：(本题共4小题，每题5分共20分，答案填在答案卷指定的位置上) 11．已知幂函数的图像过点，则函数=____________.12. 函数的定义域是.13．若f(x)=(m-2)+mx+4 (x∈R)是偶函数，则f(x)的单调递减区间为_______。

14．若，则的取值.中山一中xx 上学期第一次段考高一数学试卷答题卷满分150分，时间120分钟二、填空题（每小题5分，共20分）11. ________________ 12. _______________ 13. _______________ 14. __________________三、解答题：本大题共6小题，共80分。

广东省中山市中山纪念中学2010-2021学年高一上学期第一次段考数学试题Word版含解析

广东省中山市中山纪念中学2010-2021学年高一上学期第一次段考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}|2A x R x =∈>，{}|13B x R x =∈-<<，则A B =（）A. ()1,3-B. ()1,-+∞C. ()2,3D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义结合数轴，即可求解.【详解】{}|2A x R x =∈>，{}|13B x R x =∈-<<，A B =()2,3故选:C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.下列函数中，与函数y x =是同一函数的是（）A. y =B. 2x y x=C. y =D. 2y =【答案】C 【解析】【分析】判断函数解析式和定义域是否与函数y x =相同，即可求解.【详解】选项A ，||y x x ==≠，所以不正确；选项B ，2x y x x==但定义域为{|0}x x ≠，而函数y x =的定义域为R ，所以不正确；选项C ，y x ==，定义域为R ，所以正确；选项D，2y x ==，但定义域为[0,)+∞，所以不正确.故选:C.【点睛】本题考查对函数定义的理解，判断两个函数是否相同，不仅要解析式相同，而且定义域也要一样，属于基础题.3.下列四个函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（） A. 1y x =- B. 2yx x C. 1y x=D. ||y x =【答案】D 【解析】【分析】逐项判断函数在(0,)+∞的单调性，即可得出结论. 【详解】选项A ，函数1y x =-在()0,∞+是减函数，所以错误；选项B ，函数2yx x 对称轴为12x =，在()0,∞+上没有单调性，所以错误；选项C ，函数1y x=在()0,∞+是减函数，所以错误；选项D ，函数00xx y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，在在()0,∞+是增函数函数，所以正确. 故选:D.【点睛】本题考查在指定区间函数的单调性，要熟练掌握简单函数的单调性，属于基础题.4.函数()f x x=的奇偶性为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 即奇又偶函数D. 非奇非偶函数【答案】A 【解析】【分析】按照判定函数奇偶性的步骤，先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，求()f x -，与()f x 对比，即可得出结论.【详解】()f x定义域为[2,0)(0,2]-，()()f x f x -==-，所以()f x 是奇函数. 故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性的判定，不要忘记定义域满足的条件，属于基础题.5.已知()214f x x x -=-，那么()f x =（）A. 241x x -+B. 24x -C. 223x x --D. 265x x -+【答案】C 【解析】【分析】令1t x =-，求出()f t ，即可求解. 【详解】令1t x =-，则1x t =+，22()(1)4(1)23f t t t t t =+-+=--， 2()23f x x x ∴=--.故选:C【点睛】本题考查由复合函数解析式求函数的解析式，常用的方法有：换元法、配凑法、待定系数法、解方程法，属于基础题.6.设函数()1,020xx f x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥，则(){}4f f f -=⎡⎤⎣⎦（）A. 2B. 1C. -2D. -1【答案】A 【解析】【分析】由内至外逐步求出函数值，即可求解.【详解】(){}4[(16)](4)2f f f f f f -===⎡⎤⎣⎦.故选:A.【点睛】本题考查分段函数的解析式，解题的关键要理解分段函数，属于基础题. 7.设120.7a =，130.7b =，0.73c =，则（） A. c b a << B. c a b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】C 【解析】【分析】,a b 是同底的指数幂，用函数单调性比大小，再考虑与特殊数对比，如1,0，即可求出结论【详解】110320.70.70.71,1a b <<=<<，0.70331,c a b c =>=∴<<.故选:C.【点睛】本题考查利用函数的单调性，比较指数幂大小，属于基础题》 8.函数||()2x x f x x=⋅的图象大致形状是（） A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置即可得到结果．【详解】函数f （x ）•2xx x=是奇函数，判断出B ，D 不符合题意；当x ＝1时，f （1）2=，选项C 不成立，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.9.设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()2f -，()f π-，()3f 的大小顺序为（）A. ()()()32f f f π->>-B. ()()()23f f f π->->C. ()()()32f f f π-<<-D. ()()()23f f f π-<-<【答案】A 【解析】【分析】根据已知，利用偶函数的对称性，将自变量转化到[0,)+∞，即可比较大小，得出结论. 【详解】()f x 为定义在R 上的偶函数，所以()2(2)f f -=，()()f f ππ-=，()f x 在[0,)+∞上为增函数，()(3)(2)f f f π>>，所以()(3)(2)f f f π->>-.故选:A.【点睛】本题考查函数性质的应用，利用函数的单调性和奇偶性比较抽象函数值的大小关系，属于基础题.10.函数()f x 对任意,x y R ∈满足：()()()f xy f x f y =+，且()98f =，则f =（）B. 2C. 4D. 6【答案】B 【解析】【分析】采用赋值法，令3x y ==求得(3)f ，再令x y ==. 【详解】3x y ==,(9)2(3)8,(3)4f f f ===，x y ==(3)24,2f f f ===.故选:B.【点睛】本题考查抽象函数的运用，求函数值，注意赋值法的应用，属于基础题.11.设函数()1,00,01,0x f x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则当ab 时，()()2a b a b f a b ++--的值应是（）A. aB. bC. a 、b 中较小者D. a 、b 中较大者【答案】D 【解析】【分析】分a b <、a b =和a b >三种情况分类讨论，求出()()2a b a b f a b ++--的值，即可得出正确选项.【详解】当a b <时，则0a b -<，()1f a b -=-，则()()()22a b a b f a b a b a b b ++--+--==；当a b =时，则0a b -=，()0f a b -=，则()()22a b a b f a b a ba b ++--+===；当a b >时，则0a b ->，()1f a b -=，则()()22a b a b f a b a b a ba ++--++-==.因此，()()2a b a b f a b ++--的值应是a 、b 中较大者.故选D.【点睛】本题考查函数功能的判断，解题时要对两变量的大小进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.12.已知直线y mx =与函数()211,0212,03xx x f x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（）A.)4B.)+∞C.)D.【答案】B 【解析】【分析】做出函数()f x 图像，直线y mx =过原点，对m 分类讨论，0m ≤，只有一个公共点，当0m >时，根据图像分析，只需210,()12x f x x >=+与y mx =有两个公共点，转化为 21102x mx -+=在(0,)+∞有两个不同的解，利用韦达定理和根的判别式即可求解. 【详解】做出函数()f x 如下图所示：当0m ≤，直线y mx =与函数()f x 只有一个公共点，不合题意；当0m >时，，直线y mx =与函数(),0f x x ≤部分只有一个公共点，要使直线y mx =与函数()f x 的图象恰好有3个不同的公共点，直线y mx =与函数21()1,02f x x x =+>有两个公共点，即方程21102x mx -+=在(0,)+∞有两个不同的解，故有2200m m ⎧∆=->⎨>⎩，解得2m >.故选:B【点睛】本题考查函数与直线的位置关系，等价转化为一元二次方程根的分布，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数1()12f x x x=+-的定义域为________.【答案】[1,2)(2,)-+∞【解析】【分析】根据偶次根式被开方非负和分母不为0列式可解得.【详解】要使函数有意义,只需1020x x +≥⎧⎨-≠⎩,解得1x ≥-且2x ≠.故函数()f x 的定义域为[1,2)(2,)-+∞.故答案为: [1,2)(2,)-+∞【点睛】本题考查了含偶次根式和分母的函数定义域的求法,属于基础题. 14.已知()f x 由下表给出，则()()1ff -=__________．【答案】3. 【解析】【分析】从里到外，逐步求出函数值，即可求解. 【详解】()()(1)11)31,(f f f f -=∴-==.故答案为:3【点睛】本题考查对函数定义的理解，考查复合函数值，属于基础题.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时， ()22f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________.【答案】22x x -+ 【解析】【分析】根据奇函数满足()()f x f x -=-,结合所给0x ≥时的解析式,即可求得0x <时的解析式. 【详解】令0x < 则0x ->因为当0x ≥时, ()22f x x x =+所以()22f x x x -=-因为奇函数满足()()f x f x -=- 所以()22f x x x -=-即()22f x x x =-+故答案为: ()22f x x x =-+【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式,注意自变量的取值范围,属于基础题.16.若函数()f x 同时满足：①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“友谊函数”.给出下列四个函数：①()f x x =；②()3f x x =-；③()2121x x f x -=+；④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，其中能被称为“友谊函数”的有__________（填相应的序号）．【答案】②④. 【解析】【分析】满足①，()f x 是奇函数，满足②，()f x 在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质.()f x x =单调性不满足；()3f x x =-显然满足；()2121x x f x -=+和()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，分别用奇偶性定义判定是否为奇函数，再判定它们在定义域内的单调性是否满足. 【详解】，①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数； ②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，不妨设12x x <，()()()()12121212()0f x f x f x f x x x x x --=->-，()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在定义域内是减函数；①()f x x =，在R 上是增函数，所以不是“友谊函数”； ②()3f x x =-显然是奇函数，且在R 上是减函数，所以是“友谊函数”；③()2121x x f x -=+定义域为R ，2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， ()2121x x f x -=+是奇函数，()2121221212121x x x x xf x -+-===-+++， 12,x x 是任意实数，设12x x <()1212112222(22)()2121(21)(1)x x x x x f x f x -=-+-+=+++，()()12111222,22,()0,()x x f x f x x f x x f x -<<<∴<，()2121x xf x -=+在R 上是增函数，所以不是“友谊函数”； ④()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩，()||()f x x x f x -==-，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数；根据二次函数的单调性，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩在R 上是减函数，所以是“友谊函数”. 故答案为: ②④.【点睛】本题以新定义为背景，考查函数性质的判定，对于常用函数的单调性和奇偶性要熟练掌握，判定时可以对函数解析进行化简，减少计算量，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算题.解不等式要将结果写成区间或集合的形式.（1）解不等式：()()214x x +->；（2）若1122x x --=1122x x -+的值. （3）124340.75348141610000---⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）(,3)(2,)-∞-⋃+∞；（2）3；（3）1120. 【解析】【分析】（1）按照一元二次不等式方法求解，即可求出结论；（2）将已知式子和所求都平方，转化为1x x -+，即可求解；（3）将根式化为分数指数幂，按指数幂的运算法则，即可求解得出结论.【详解】（1）()()214x x +->化为260,(3)(2)0x x x x +->+->， 3x ∴<-或2x >，∴不等式的解集为(,3)(2,)-∞-⋃+∞；（2）1122x x --=平方得1125,7x x x x ---+=∴+=， 1111222221)29,0(x x x x x x ---=+=+++>， 11223x x -∴=+；（3）124340.75348141610000---⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34133()42()4()234243()22210⨯-⨯⨯-⨯-=++-3233112221020---=++-= 【点睛】本题考查一元二次不等式，以及指数幂运算，考查计算能力，属于基础题.18.若集合{}5|3A x x =-≤≤和{}232|B x m x m =-+≤≤.（1）当3m =-时，求集合A B 和A B ；（2）当B A ⊆时，求实数m 的取值集合.【答案】（1）{|51},{|93}A B AB x x x x =-≤≤-=-≤≤；（2）[1,1](5,)-+∞.【解析】【分析】（1）3m =-代入集合B ，按交集和并集的定义，即可求出结论；（2）对集合B 是否空集，分类讨论，当B ≠∅，结合数轴，确定端点位置，即可求解.【详解】（1）当3m =-时，{|91}B x x =-≤≤-， A B {|51}x x =-≤≤-，A B {|93}x x =-≤≤；（2）当B =∅时，232,5m m m ->+>，满足题意，当B ≠∅时，B A ⊆，得23223523m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得11m -≤≤，综上，m 的取值范围是[1,1](5,)-+∞.【点睛】本题考查集合间的运算，并考查由集合的关系求参数，要注意不要遗漏空集，属于基础题.19.已知函数()2f x x bx c =++. （1）若函数()f x 是偶函数，且()10f =，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 在[]1,3-上的最大、最小值；（3）要使函数()f x 在[]1,3-上是单调函数，求b 的范围.【答案】（1）2()1f x x =-；（2）8，1-；（3）2b ≥或6b ≤-.【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出b 的值，再由()10f =，求出c ；（2）由（1）得()f x 对称轴为y 轴，结合函数[]1,3-特征，即可求解；（3）求出()f x 的对称轴，要使函数()f x 在[]1,3-上是单调函数，对称轴不在区间[]1,3-之间，可得出关于b 的不等式，即可求出结论.【详解】（1）函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=恒成立，22,20,x bx c x bx c bx x R -+=++=∈恒成立，0b =，2(),(1)10,1f x x c f c c ∴=+=+=∴=-，2()1f x x ∴=-（2）由（1）2()1f x x =-，当0x =时，取得最小值为1-，当3x =时，取得最大值为8；（3）()2f x x bx c =++对称轴为2b x =-，要使函数()f x 在[]1,3-上是单调函数，需12b -≤-或32b -≥，解得2b ≥或6b ≤-. 所以b 的范围是2b ≥或6b ≤-【点睛】本题考查二次函数的性质，并由性质求参数，对于常用函数的性质要熟练掌握，提高解题效益，属于基础题.20.如图，直角梯形OABC 位于直线()05x t t =≤≤右侧的图形面积为()f t .（1）试求()f t 的解析式；（2）画出函数()y f t =的图象.【答案】（1）2102()22225t t f t t t ⎧≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩；（2）详见解答. 【解析】【分析】（1 ）根据t 的位置，得到的图形分类讨论，当02t ≤≤，图形是直角三角形或一个点，当25t <≤图形是直角梯形，求出t 点坐标，根据图形的面积公式，即可求解；（2）根据（1）求出分段函数的解析式，求出各段图像，即为()y f t =的图象.【详解】（1）当02t ≤≤，(2,2)A ，直线OA 对应的函数为y x =，x t =与直线OA 交点的坐标为21(,),()2t t f t t ∴=，当25t <≤，1()2(2)222f t t t t =⨯⨯+-=-， 2102()22225t t f t t t ⎧≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩；（2）画出函数()y f t =的图象如下图所示：【点睛】本题考查几何图形的面积，考查分段函数的解析式及其图像，属于基础题.21.已知函数()21ax f x bx c+=+为奇函数，又()12f =，()522f =.（1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；（3）试求函数2y =[0,)+∞上的最小值.【答案】（1）1()f x x x=+；（2）详见解答；（3）2. 【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，可求出c 的值，结合()12f =，()522f =，解关于,a b 的方程，即可求出解析式；（2）根据对勾函数的单调性，可判断()f x 在()1,+∞上的单调递增，按照单调性的定义证明.（3）由（2）的结论，令11,t y t t=≥=+，即可求出结论. 【详解】（1）()21ax f x bx c+=+为奇函数，()()f x f x -=-恒成立， 2211ax ax bx c bx c++=--++ ，即,20,0bx c bx c c c -+=--=∴=， ()21ax f x bx +=，()()112415222a f b a f b +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩解得11a b =⎧⎨=⎩， 1()f x x x∴=+；（2）判断()f x 在()1,+∞上的单调递增，以下证明：设121x x >>，12121212121211()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-- 1212121212()(1)1=()(1)x x x x x x x x x x ----=， 1212121,1,0x x x x x x >>∴>->，1212()()0,()()f x f x f x f x ->∴>，()f x 在()1,+∞上的单调递增；（3）11,t y t t=≥=+，由（2）， 1y t t=+在[1,)+∞是单调递增， 1,0t x ∴==时，函数20)y x =≥取得最小值2.【点睛】本题考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性求参数，灵活运用函数的单调性求最值，考查学生的思维能力，分析问题和解决问题能力，属于中档题.22.对于函数()y f x =，若存在0x R ∈,使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）条件下，若()y f x =图象上的,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且AB 的中点在直线1y x a=-+-上，求b 的最小值. 【答案】（1）-1或3；（2）(0,1]；（31.【解析】【分析】（1）由已知可得()f x 的不动点，为方程()f x x =的解，将1,2a b ==-代入，解方程，即可得出结论；（2）由条件可得，将问题转化对于任意的实数b ，方程()f x x =有实数解，利用一元二次方程有实数解0∆≥，进而得到关于b 一元二次不等式恒成立，可求出a 的取值范围；（3）AB的中点在直线1y x a=-+-上，利用韦达定理结合不动点定义，将AB 中点坐标用,a b 表示，代入直线方程，b 表示成a 的函数，由a 的范围，利用函数思想求出b 的最小值.【详解】（1）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--，由2(),230,1f x x x x x =--=∴=-或3x =当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点为-1或3；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有不动点，即方程2(1)(1),0ax b x b x a +++-=≠时恒有实数解， 22(1)0440ax bx b b ab a ++-=∆=-+≥，，b R ∈上恒成立，2161600a a a ⎧∆=-≤⎨≠'⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围(0,1]；（3）设()f x 的不动点为12,x x ，则12b x x a+=-，且1122(),()f x x f x x ==，所以1122(,),(,)A x x B x x ，AB 的中点坐标为1212(,)22x x x x ++，即为(,)22b b a a --，代入1y x a=-+-得b a t =-=， 22211111,(1)122222a tb t t t =-=-++=--+，当1t a ==时，b 1-.【点睛】本题考查新定义问题，要认真审题，将问题转化为考查一元二次方程、一元二次不等式、二次函数，考查函数方程思想，属于较难题.。

广东省中中山市2021学年高一上学期第一次段考数学试题含答案解析

广东省中中山市2021学年高一上学期第一次段考数学试题含答案解析姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共12题）1、与为同一函数的是（）A． B． C． D．2、如果、、满足，且，那么下列选项成立的是（）A． B． C． D．3、已知x∈{1，2，x2}，则有（）A． B． C． D．4、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A． B．C． D．5、设，则（）A． B． C． D．6、已知正数、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．7、设，是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8、已知，，则=（）A． B． C． D．19、设，则的一个必要不充分条件是（）A． B．或 C． D．10、已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A． B．C． D．11、下列命题中，真命题为（）A．空集是任何一个非空集合的真子集 B．∀x∈R，C．∃x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|<2 D．∀a，b∈R，方程ax+b=0恰有一解12、若全集，，，则=（）A．[1，2] B．(-∞，0)∪(2，3] C．[0，1) D．(2，3]二、填空题（共4题）1、已知集合，，若B⊆A，则m值的集合为___________.2、函数，的值域为___________.3、函数的定义域为．4、不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围为___________.三、解答题（共6题）1、某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，经销A，B 商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．2、实数a，b满足a2+b2+2a-4b+5=0.若不等式ax2+bx+c<0的解为一切实数为真命题，求实数c的取值范围.3、若正数x，y满足x+3y=5xy，求：（1）3x+4y的最小值；（2）求xy的最小值．4、已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求的取值范围.5、若不等式ax2+bx+c≤0的解集为或，求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集.6、设全集，若，求.============参考答案============一、选择题1、 B【解析】根据定义域、值域、对应关系判断出正确选项.【详解】的定义域为，值域为.A选项中的定义域为，不符合.B选项中，定义域、值域、对应关系都与相同，符合题意. C选项中的定义域为，不符合.D选项中的值域为，不符合.故选：B【点睛】本小题主要考查相同函数的判断.2、 ACD【解析】利用不等式的性质确定正确选项.【详解】依题意满足，且，所以，由，所以A选项正确.当时，，所以B选项错误.，所以C选项正确.，所以D选项正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.3、 BC【解析】利用集合中元素的互异性，分三种情况讨论即可.【详解】由x∈{1，2，x2}，当，不满足集合中元素的互异性；当，满足集合中元素的互异性，符合题意；当或（舍），当满足集合中元素的互异性，符合题意；故选：BC.【点睛】本题主要考查了集合中元素的互异性，考查了分类讨论，属于较易题.4、 D【解析】由图形可知，，在直角中，由勾股定理可求，结合即可得出．【详解】由图形可知：，，在直角中，由勾股定理可得：，，，．故选：D【点睛】本题考查的是由几何图形来证明不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题.5、 B【解析】先计算，再计算．【详解】由题意，．故选：B.【点睛】本题考查分段函数，求值时要注意自变量的范围不同，选取的表达式可能就不相同．6、 B【解析】由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【详解】，所以，，则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．7、 D【解析】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.8、 A【解析】计算，，再计算交集得到答案.【详解】，，则.故选：A.【点睛】本题考查了函数值域，交集运算，属于容易题.9、 C【解析】根据必要条件和充分条件的概念逐一判断即可.【详解】由，有或，故的必要不充分条件中的取值范围应真包含集合或，可排除A、B；又或，或，验证可知，只有C选项符合.故选：C.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的概念，属于基础题.10、 AD【解析】利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可．【详解】已知，，且，对于选项A：∵2（a2+b2）≥+2=＝1，∴成立.（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项A正确；对于选项BC：，成立，（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项C不正确；故选项B不正确；对于选项BC：∵，∴（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项D正确.故选：AD．【点睛】本题主要考查基本不等式及不等式的性质的应用，注意取等条件，属于中档题．11、 AC【解析】利用定义判断选项A；由，整理得，即可判断选项B；特殊值代入可判断选项C；举反例可判断选项D.【详解】对于选项A：空集是任何一个非空集合的真子集，利用定义判断选项A正确；对于选项B：由，整理得，故选项B不正确；对于选项C：当，故选项C正确；对于选项D：当时，方程ax+b=0有无数多解，故选项D不正确；故选：AC.【点睛】本题主要考查了空集的概念，考查了判断全称命题以及特称命题的真假判断.属于较易题.12、 D【解析】先求出集合，再利用集合的补集运算求出，最后利用集合的交集运算求解即可. 【详解】由，得，则，又，得.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算.属于较易题.二、填空题1、 {-，0，}【解析】先求出集合，再由B⊆A，分和两种情况进行讨论即可得出结果. 【详解】由，又B⊆A，，①当时，，②当时，或，当时，；当时，；所以m值的集合为{-，0，}.故答案为：{-，0，}.【点睛】本题主要考查了利用集合间的包含关系求参数的问题.属于较易题.2、【解析】利用二次函数的基本性质可得出结果.【详解】，当时，.故答案为：.【点睛】本题考查二次函数在区间上值域的求解，考查计算能力，属于基础题.3、【解析】由题意得，因此定义域为.故答案为：.4、【解析】当时，不等式是一次不等式，检验的值是否符合题意，当，且时，不等式是二次不等式，不等式恒成立需满足即可,两种情况求并集.【详解】注意到方程的两根分别为和，于是讨论如下.当时，原不等式变为，显然对任意不会恒成立，所以不适合题意.当时，原不等式变为，显然对任意恒成立，所以适合题意.当，且时，依题意知应满足（满足前提条件）.综上知，所求实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了分类讨论的思想，二次不等式恒成立问题，属于中档题.三、解答题1、该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益．【解析】试题分析：投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，根据已知条件可得收益为的解析式，可知为分段函数．当时应用基本不等式求其最大值；当时应用二次函数配方法求最值．比较两个最值取最大的一个即为所求．试题解析：解：投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，并设获得的收益为万元．（1）当时，，当且仅当，即时取“＝”；（2）当时，，当时，取“＝”．∵，∴最大收益为11万元．∴该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益考点：1函数解析式；2基本不等式求最值；3二次函数求最值．2、 {c|c<-1}【解析】先利用已知条件求出的值，将不等式ax2+bx+c<0的解为一切实数为真命题转化为ax2+bx+c<0对一切实数恒成立，代入的值，求解即可得出答案.【详解】解：∵ 实数a，b满足a2+b2+2a-4b+5=0，∴ (a+1)2+(b-2)2=0，得a=-1，b=2，∵ 不等式ax2+bx+c<0的解为一切实数为真命题，∴-x2+2x+c<0对一切实数恒成立，等价于x2-2x-c>0对一切实数恒成立，∴(-2)2+4c<0，解得c<-1，∴实数c的取值范围为{c|c<-1}.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题.属于较易题.3、（1）3x+4y的最小值为5．（2）xy的最小值为．【解析】试题分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．（2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．∴3x+4y的最小值为1．当且仅当x=1，y=时取等号．∴3x+4y的最小值为5．（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴5xy≥，解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．∴xy的最小值为．考点：基本不等式．4、 (1) ,；（2）.【解析】试题分析：解分式不等式要先移项使一边为0，然后通分，根据分子与分母同号（或异号），转化为分子与分母的积大于0（或小于0），化为一元二次不等式找出解集，有关集合的包含关系问题，可借助工具数轴，根据集合之间的包含关系，列不等式后，解不等式组求出参数的范围，但要注意端点的等号是否可取.试题解析：（1）即,即.（2）.【点睛】解分式不等式要先移项使一边为0，然后通分，根据分子与分母同号（或异号），转化为分子与分母的积大于0（或小于0），化为一元二次（或高次）不等式找出解集；解一元二次不等式时，先把二次项系数化为正数，画开口向上的抛物线，根据判别式判断根的情况，有根则求根、标根，根据二次不等式的要求写出解集；有关集合的包含关系问题，可借助工具数轴，根据集合之间的包含关系，列不等式后，解不等式组求出参数的范围，但要注意端点的等号是否可取.5、 {x|x≤-3或x≥5}【解析】由题意知：和为方程ax2+bx+c=0的两根，利用韦达定理可得b=-a，c=-12a，代入到需要求的不等式求解即可.【详解】由题意知：和为方程ax2+bx+c=0的两根，∴ ，解得：b=-a，c=-12a，∴ 不等式bx2+2ax-c-3b≥0即为-ax2+2ax+15a≥0，∵a<0，∴x2-2x-15≥0，解得：x≤-3或x≥5，∴不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集为{x|x≤-3或x≥5}.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系.属于较易题. 6、【解析】由题意首先求得p,q的值，然后求得集合A,B，最后进行并集运算即可.【详解】由题意可知：，则：，解得：.从而：，.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的运算，集合与元素的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2020-2021学年广东省中山一中高三(上)第一次统测数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学（理科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．32．（5分）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）3．（5分）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+ g（x）=B．f（x）= g（x）=（）3C．f（x）=• g（x）=D．f（x）= g（x）=x04．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣25．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．127．（5分）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题11．（5分）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2]12．（5分）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）= ．15．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．16．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2020-2021学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学（理科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3【分析】本题考察集合间的包含关系，分成B=∅，B={1}，或B={2}讨论，求解即可．【解答】解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}；①当B=∅时，a=0，②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3，③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=，综上，a的值是0，3，，故选：A．【点评】本题容易忽略B=∅的情况．2．（5分）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+ g（x）=B．f（x）= g（x）=（）3C．f（x）=• g（x）=D．f（x）= g（x）=x0【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A中f（x）的定义域是{x|x=1}，g（x）的定义域是{x|x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数；B中f（x），h（x）的定义域是R，且对应关系相同，∴是同一函数；C中f（x）的定义域是{x|x≥1}，g（x）的定义域是{x|x≥1，或x≤﹣3}，∴不是同一函数；D中f（x）与g（x）的定义域都是{x|x≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数；故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，图象过点（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．【点评】解决奇函数的问题，常利用函数若在x=0处有意义，其函数值为0找关系．6．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．（5分）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程 log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．8．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，可知：c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．11．（5分）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2]【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．12．（5分）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】由题目给出的新定义可知满足关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，分别取i=1，j=1，2，3；i=2，j=1，2，3；i=3，j=1，2，3验证后即可得到答案．【解答】解：有定义可知满足（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i 后除以3等于0，i=1，j=1，（1+1）除以3的余数是2，（2+1）除以3的余数是0；i=1，j=2，（1+2）除以3的余数是0，（0+1）除以3的余数是1；i=1，j=3，（1+3）除以3的余数是1，（1+1）除以3的余数是2；i=2，j=1，（2+1）除以3的余数是0，（0+2）除以3的余数是2；i=2，j=2，（2+2）除以3的余数是1，（1+2）除以3的余数是0；i=2，j=3，（2+3）除以3的余数是2，（2+2）除以3的余数是1；i=3，j=1，（3+1）除以3的余数是1，（1+3）除以3的余数是1；i=3，j=2，（3+2）除以3的余数是2，（2+3）除以3的余数是2；i=3，j=3，（3+3）除以3的余数是3，（3+3）除以3的余数是0．所以满足条件的数对有（1，1），（2，2），（3，3）共3对．故选C．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是基础题型．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）= ﹣2 ．【分析】推导出f（x+2）=f（x），f（1）=0，由此利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，能求出f（﹣）+f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），f（1）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∵当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（﹣）+f（1）=﹣f（）+0=﹣f（）=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得 x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．16．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域是实数集，说明对任意实数x都有ax2﹣2x+a＞0成立，则该二次三项式对应的二次函数应开口向上，且图象与x轴无交点，由二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围；（2）只有内层函数（二次函数）对应的图象开口向上，且与x轴有交点，真数才能取到大于0的所有实数，由此列式求解a的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域为R，∴对任意x∈R都有ax2﹣2x+a＞0恒成立，则，解得：a＞1．∴使f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）；（2）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，∴ax2﹣2x+a能取到大于0的所有实数，则，解得：0＜a≤1．∴使f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（0，1]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域问题，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【分析】本题的关键是给出命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴若p是真命题．则a≤x2，∵x∈[1，2]，∴a≤1；∵命题q：“”，∴若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1∴若“p且q”为假命题，即实数a的取值范围a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ），对称轴，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（）∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ）解：对称轴，定义域x∈[2，5]①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m ＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①（1分）又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2（3分）∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．∴（5分）（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，（7分）当或时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（9分）（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴，（11分）∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|（13分）∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）消去参数t，可得曲线C1的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设出Q，求出M，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），消去参数可得：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．化为ρcosθ﹣2ρsinθ=7，它的普通方程为：x﹣2y﹣7=0．（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，Q的直角坐标为：（﹣4，4），设P（8cost，3sint），故M（﹣2+4cost，2+），PQ中点M到曲线C2上的点的距离d==（其中tanβ=），当sint=，cost=时，PQ中点M到曲线C2上的点的距离最小值为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

2021年广东省中山市中考一模数学试卷(含答案解析)

2021年广东省中山市中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．A．(600－2503)米C．(350＋3503)米9．龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔A．4B．2二、填空题11．已知∠α=60°，则∠α的余角等于12．我国南水北调东线北延工程1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为13．函数23=-中自变量y x14．若关于x的一元一次不等式组15．如图，在⊙O中，弦ABAB的长为______．三、解答题(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若106AB AC =，=，求tan 23．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）m m ﹣售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？(1)求抛物线的解析式；能否是等边三角形？请说明理由；(2)若点D为线段OC的中点，则POD(3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点角形与BMHV相似，求点P的坐标．参考答案：在正六边形ABCDEF 中，AF ∴1,2AG AE FAE FEA =∠=∠∴112FG AF ==，∴223AG AF FG =-=，∴AE 23=，故选B ．【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．11．30【详解】∵互余两角的和等于90°，∴α的余角为：90°-60°=30°.故答案为：3012．81.8910⨯【分析】把亿写成810，最后统一写成10n a ⨯的形式即可．【详解】解：由题意得：1.89亿=81.8910⨯，故答案为：81.8910⨯．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．13． 1.5x ≥【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．【详解】解：根据题意，230x -≥，∴ 1.5x ≥；故答案为： 1.5x ≥．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．14．2a ≥【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．【详解】解：2130x x a -⎧⎨-<⎩＜①②，解不等式①得：2x ＜，解不等式②得：x a ＜，关于x 的不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x ＜，2a ∴≥．∵AD 平分CAB ∠，∴OAD EAD ∠=∠．∵OD OA =，∴ODA OAD ∠=∠．∴ODA EAD ∠=∠．∴OD AE ∥．∴90ODF AEF ∠=∠=︒，∴,OD DF ^∵OD 是O 的半径，∴EF 是O 的切线；（2）连接BC ，交OD 于H ∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵106AB AC ==，，∴22210BC AB AC =-=∵90E ACB ∠=∠=︒，∴BC EF ∥，∴90OHB ODF ∠=∠=︒，∴OD BC ⊥，解不等式①得，x ≥95，解不等式②得，x ≤105，∴不等式组的解集是95≤x ≤105．∵x 是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案．（3）设总利润为W ，则W =（140﹣a ）x +80（200﹣x ）=（60﹣a ）x +16000（95≤x ≤105），①当50＜a ＜60时，60﹣a ＞0，W 随x 的增大而增大，∴当x =105时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．②当a =60时，60﹣a =0，W =16000，（2）中所有方案获利都一样．③当60＜a ＜70时，60﹣a ＜0，W 随x 的增大而减小，∴当x =95时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．24．(1)证明见解析(2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析(3)图③结论：PA PB PC+=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．【详解】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；（2）解：图②结论：PB PA PC=+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AC =AB ，CP =BF ，∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF ∠=∠，AF AP =，∴CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠，∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；（3）解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵当x =0时，222y x =-+∴C 点坐标为(0,4)，∴OC =4，∵D 点是OC 的中点，∴DO =2，∵在等边△POD 中，PN ⊥∴DN =NO =12DO =1，∵在等边△POD 中，∠NOP ∴在Rt △NOP 中，NP =NO∵△BMH ∽△PMC ，∴∠MHB =∠MCP =90°，∴∠GCP +∠OCB =90°，∵∠OCB +∠OBC =90°，∴∠GCP =∠OBC ，∴tan ∠GCP =tan ∠OBC =2，∵PG ⊥OG ，∴在Rt △PGC 中，2GC =GP ，设GP =a ，∴GC =12a ，∴GO =12a +OC =12a +4，∵PG ⊥OG ，PH ⊥OH ，∴可知四边形PGOH 是矩形，∴PH =OG =12a +4，∴P 点坐标为(a ,12a +4)，∴2142242a a a +=-++，解得：a =34或者0，∵P 点在第一象限，。

2021学年广东省中山市某校高一(上)第一次段考数学试卷(有答案)

2021学年广东省中山市某校高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题只有一项是符合题目要求的.1. 设集合M ={0, 1, 2}，N ={1, 3}，则M ∩N 是（）A.{1}B.{2}C.{3}D.{0, 1, 2, 3}2. 下列四个选项中正确的是（）A.1∈{0, 1}B.1∉{0, 1}C.1⊆{x, 1}D.{1}∈{0, 1}3. 下列图象中不能作为函数图象的是( ) A. B.C.D.4. 下列函数中与函数y =x 表示同一函数的是( )A.y =(√x)2B.y =√x 2C.y =√x 33D.y =x 2x5. 设函数g(x +2)=2x +3，则g(x)的表达式是（）A.2x +1B.2x −1C.2x −3D.2x +76. 若a =0.2m ，b =0.2n ，且m >n ，则a ，b 大小关系为（）A.a >bB.a <bC.a =bD.无法判断大小7. 下列函数中为偶函数，且在区间(0, +∞)上为增函数的是（）A.y=3−xB.y=|x|C.52D.y=−x2+48. 在同一坐标系中画出函数y=a x，y=x+a的图象，可能正确的是（）A. B.C. D.9. 已知函数f(x)={−2x,(x>0)3x，(x≤0)，则f[f(12)]=()A.−1B.13C.√3D.310. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x−2，那么不等式f(x)<0的解集是（）A.(0, +∞)B.(−2, 2)C.(−∞, −2)∪(2, +∞)D.(−∞, −2)∪(0, 2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.√(3−π)2=________．函数f(x)=√x+1+12−x的定义域为________．已知指数函数y=f(x)的图象经过点A(12, √3)，则f(3)=________．若函数f(x)=(k−2)x2+(k−1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）设全集U=R，集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2x−4≥x−2}（1）求A ∩B(2)(∁U B)∪A ．（1）计算：(94)12+(−9.6)0−(278)−23×(32)2；（2）设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)=f(x −2)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=x +1，求f(32)的值．已知函数f(x)=x +4x（1）求函数f(x)定义域；（2）判断并证明函数f(x)=x +4x 的奇偶性（3）证明函数f(x)=x +4x 在x ∈[2, +∞)上是增函数．已知函数f(x)=kx 2+(3+k)x +3，其中k 为常数，且满足f(2)=3（1）求函数f(x)的表达式；（2）求函数f(x)在[−1, 4]上的最大值和最小值；（3）设函数g(x)=f(x)−mx ，若g(x)在区间[−2, 2]上是单调函数，求实数m 的取值范围．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为p 元，写出函数p =f(x)的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）已知f(x)的定义域为(0, +∞)，且满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，又当x2> x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；(2)若有f(x)+f(x−2)≤3成立，求x的取值范围．参考答案与试题解析2021学年广东省中山市某校高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】由M与N，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={0, 1, 2}，N={1, 3}，∴M∩N={1}．故选：A．2.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】根据题意，分析选项可得：对于A、1是集合{0, 1}的元素，可得A正确；对于B、元素与集合之间关系判断错误，对于C、元素与集合之间的符号使用错误，对于D、集合与集合之间符号使用错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，分析选项可得：对于A、1是集合{0, 1}的元素，则有1∈{0, 1}，A正确；对于B、1是集合{0, 1}的元素，则有1∈{0, 1}，B错误；对于C、1是集合{x, 1}的元素，则有1∈{x, 1}，C错误；对于D、集合{1}是集合{0, 1}的子集，应有{1}∈{0, 1}，故D错误；故选A．3.【答案】B【考点】函数的对应法则函数的概念及其构成要素【解析】依题意，根据函数的图象可知对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应．【解答】解：根据函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，这时称y是x的函数．结合选项可知，只有选项B中是一个x对应1或2个y.故选B．4.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】3=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，解：∵y=√x3∴二者是同一函数．故选C．5.【答案】B【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】可令x+2=t，则g(t)=2(t−2)+3，从而可得g(x)的表达式．【解答】解：令x+2=t，则x=t−2，∴g(x+2)=2x+3可化为：g(t)=2(t−2)+3=2t−1，∴g(x)=2x−1．故选B．6.【答案】B【考点】不等式比较两数大小【解析】利用指数函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：∵0<0.2<1，m>n，a=0.2m，b=0.2n，∴a<b，故选：B．7.【答案】B【考点】函数的单调性及单调区间【解析】依次对四个选项中的四个函数的奇偶性与单调性进行验证即可．【解答】解：选项A：非奇非偶函数，错误；选项B：成立；选项C：常数函数，在区间(0, +∞)上不是增函数，错误；选项D ：是偶函数，但在区间(0, +∞)上为减函数，错误；故选B ．8.【答案】D【考点】函数的图象变换【解析】把a 看做直线y =x +a 在y 轴上的截距，对应函数y =x +a 单调递增，而函数y =a x 当a >1时单调递增，当0<a <1时，函数y =a x 单调递减，用以上两条选出答案．【解答】解：∵ a 为直线y =x +a 在y 轴上的截距，对应函数y =x +a 单调递增，又∵ 当a >1时，函数y =a x 单调递增，当0<a <1时，函数y =a x 单调递减， A 中，从图象上看，y =a x 的a 满足a >1，而直线y =x +a 的截距a <1，不符合以上两条，B 中，从图象上看，y =a x 的a 满足0<a <1，而直线y =x +a 的截距a >1，不符合以上两条，C 中，从图象上看，y =a x 的a 满足a >1，而函数y =x +a 单调递减，不符合以上两条，∴ 只有选项D 的图象符合以上两条，故选：D9.【答案】B【考点】函数的求值【解析】由已知中函数 f(x)={−2x,(x >0)3x ，(x ≤0)的解析式，将x =12代入，由内到外逐层去计算，可得答案．【解答】解：∵ 函数 f(x)={−2x,(x >0)3x ，(x ≤0)， ∴ f[f(12)]=f(−1)=13，故选：B10.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质【解析】先求出x >0时，f(x)=x −2时函数值的正负，由奇函数的性质可直接得到不等式f(x)<0的解集．【解答】解：①当x >0时，f(x)=x −2，则x >2时，f(x)>0，0<x <2时，f(x)<0；又∵ y =f(x)是定义在R 上的奇函数，∴ 不等式f(x)<0的解集为(−∞, −2)∪(0, 2)．故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】π−3【考点】方根与根式及根式的化简运算【解析】由√a n n ={a ，n 为奇数|a|，n 为偶数，我们易化简√(3−π)2得到结果．【解答】解：√(3−π)2=|3−π|=π−3,故答案为：π−3.【答案】[−1, 2)∪(2, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．【解答】解：根据题意：{x +1≥0，2−x ≠0，解得：x ≥−1且x ≠2，∴ 定义域是：[−1, 2)∪(2, +∞)，故答案为：[−1, 2)∪(2, +∞).【答案】27【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】设指数函数y =f(x)=a x ．(a >0, a ≠1)，图象经过点A(12, √3)，代入求出a 的值，再运用解析式求解．【解答】解：设指数函数y =f(x)=a x ．(a >0, a ≠1)∵ 图象经过点A(12, √3)，∴ a 12=√3，即a =3，∴ f(3)=33=27，故答案为：27【答案】[0, +∞)【考点】函数奇偶性的性质【解析】利用偶函数的定义f(−x)=f(x)，解出k 的值，化简f(x)的解析式，通过解析式求出f(x)的递减区间．【解答】解：∵ 函数f(x)=(k −2)x 2+(k −1)x +3是偶函数，∴ f(−x)=f(x)，即(k −2)x 2−(k −1)x +3=(k −2)x 2+(k −1)x +3，∴ k =1，∴ f(x)=−x 2+3，f(x)的递减区间是[0, +∞)．故答案为：[0, +∞)．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）【答案】解：由2x −4≥x −2得，x ≥2，则集合B ={x|x ≥2}，（1）由A ={x|−1≤x <3}得，A ∩B ={x|2≤x <3}，；（2）∁U B ={x|x <2}，所以(∁U B)∪A ={x|x <3}．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】解不等式2x −4≥x −2求出集合B ，（1）由交集的运算求出A ∩B ；（2）由补集的运算求出∁U B ，再由并集的运算求出(∁U B)∪A ．【解答】解：由2x −4≥x −2得，x ≥2，则集合B ={x|x ≥2}，（1）由A ={x|−1≤x <3}得，A ∩B ={x|2≤x <3}，；（2）∁U B ={x|x <2}，所以(∁U B)∪A ={x|x <3}．【答案】解：(1)(94)12+(−9.6)0−(278)−23×(32)2=32+1−49×94=32；（2）∵ 函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)=f(x −2)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=x +1，∴ f(32)=f(32−2)=f(−12)=f(12)=12+1=32．【考点】有理数指数幂的化简求值函数的求值【解析】（1）化负指数为正指数，化0指数幂为1，则答案可求；（2）直接利用函数的奇偶性与周期性求解．【解答】解：(1)(94)12+(−9.6)0−(278)−23×(32)2 =32+1−49×94=32；（2）∵ 函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)=f(x −2)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=x +1，∴ f(32)=f(32−2)=f(−12)=f(12)=12+1=32．【答案】解：（1）∵ 函数f(x)=x +4x ，∴ 分母x ≠0，∴ 函数f(x)定义域为{x|x ≠0, x ∈R}．（2）任取x ∈R ，则有f(−x)=−x +4−x=−(x +4x )=−f(x)， ∴ 函数f(x)=x +4x是奇函数．（3）在[2, +∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=(x 2+4x 2)−(x 1+4x 1)=(x 2−x 1)+(4x 2−4x 1)=(x 2−x 1)(1−4x 1x 2)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)x 1x 2．∵ 2≤x 1<x 2，∴ x 2−x 1>0，x 1x 2−4>0，∴ f(x 2)−f(x 1)>0，∴ f(x 2>f(x 1)．∴ 函数f(x)=x +4x 在x ∈[2, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明函数的定义域及其求法函数奇偶性的判断【解析】本题（1）直接根据分式有意义时分母不为0，求出x 的取值范围，得到本小题结论；（2）利用函数奇偶性定义，可证明本小题结论；（3）利用函数单调性定义证明本小题结论．【解答】解：（1）∵ 函数f(x)=x +4x ，∴分母x≠0，∴函数f(x)定义域为{x|x≠0, x∈R}．（2）任取x∈R，则有f(−x)=−x+4−x =−(x+4x)=−f(x)，∴函数f(x)=x+4x是奇函数．（3）在[2, +∞)上任取x1，x2，且x1<x2，则f(x2)−f(x1)=(x2+4x2)−(x1+4x1)=(x2−x1)+(4x2−4x1)=(x2−x1)(1−4x1x2)=(x2−x1)(x1x2−4)x1x2．∵2≤x1<x2，∴x2−x1>0，x1x2−4>0，∴f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2>f(x1)．∴函数f(x)=x+4x在x∈[2, +∞)上是增函数．【答案】解：（1）∵函数f(x)=kx2+(3+k)x+3，其中k为常数，且满足f(2)=6k+9= 3，可得k=−1，∴f(x)=−x2+2x+3．（2）∵f(x)=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，x∈[−1, 4]，∴当x=1时，函数取得最大值为4；当x=4时，函数取得最小值为−5．（3）由于函数g(x)=f(x)−mx=−x2+(2−m)x+3的图象的对称轴方程为x=1−m2，若g(x)在区间[−2, 2]上是单调函数，则1−m2≥2，或1−m2≤−2，求得m≤−2，或m≥6，即实数m的取值范围为{m|m≤−2, 或m≥6}．【考点】二次函数在闭区间上的最值函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）由函数f(x)满足f(2)=6k+9=3，求得k=−1，从而得到f(x)的解析式．（2）根据f(x)=−(x−1)2+4，x∈[−1, 4]，利用二次函数的性质求得函数f(x)在[−1, 4]上的最大值和最小值．（3）根据函数g(x)=−x2+(2−m)x+3的图象的对称轴方程为x=1−m2，g(x)在区间[−2, 2]上是单调函数，可得1−m2≥2，或1−m2≤−2，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f(x)=kx2+(3+k)x+3，其中k为常数，且满足f(2)=6k+9=3，可得k=−1，∴f(x)=−x2+2x+3．（2）∵f(x)=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，x∈[−1, 4]，∴当x=1时，函数取得最大值为4；当x=4时，函数取得最小值为−5．（3）由于函数g(x)=f(x)−mx=−x2+(2−m)x+3的图象的对称轴方程为x=1−m2，若g(x)在区间[−2, 2]上是单调函数，则1−m2≥2，或1−m2≤−2，求得m≤−2，或m≥6，即实数m的取值范围为{m|m≤−2, 或m≥6}．【答案】当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元．…【考点】函数模型的选择与应用分段函数的应用【解析】（1）根据当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，可求得一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元；（2）函数为分段函数，当0≤x≤100时，p为出厂单价；当100<x<550时，p=60−0.02(x−100)=62−x50；当x≥550时，p=51，故可得结论；（3）根据工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本，求出利润函数，利用利润为6000元，可求得结论．【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+60−510.02=550（个）因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．…(2)当0≤x≤100时，p=60；…当100<x<550时，p=60−0.02(x−100)=62−x50；…当x≥550时，p=51．…所以p={60(0<x≤100)62−x50(100<x<550)51(x≥550)(x∈N∗)…（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L=(p−40)x={20x(0<x≤100)22x−x250(100<x<550)(x∈N∗) 11x(x≥550)…当0<x≤100时，L≤2000；…当x≥500时，L≥6050；…当100<x<550时，L=22x−x 250．由{22x −x 250=6000100<x <550，解得x =500．答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元．… 【答案】解：(1)f(1)=f(1)+f(1)，∴ f(1)=0， f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2， f(8)=f(2)+f(4)=1+2=3．(2)∵ f(x)+f(x −2)≤3，∴ f[x(x −2)]≤f(8)，又∵ 对于函数f(x)有x 2>x 1>0时，f(x 2)>f(x 1)， ∴ f(x)在(0, +∞)上为增函数．∴ {x >0，x −2>0，x(x −2)≤8，解得2<x ≤4，∴ x 的取值范围为(2, 4]. 【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明函数的求值【解析】（1）由f(xy)=f(x)+f(y)，通过赋值法即可求得f(1)，f(4)，f(8)的值；（2）由“x 2>x 1>0时，f(x 2)>f(x 1)”可知f(x)在定义域(0, +∞)上为增函数，从而f[x(x −2)]≤f(8)可脱去函数“外衣”，求得x 的取值范围．【解答】解：(1)f(1)=f(1)+f(1)，∴ f(1)=0， f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2， f(8)=f(2)+f(4)=2+1=3．(2)∵ f(x)+f(x −2)≤3，∴ f[x(x −2)]≤f(8)，又∵ 对于函数f(x)有x 2>x 1>0时，f(x 2)>f(x 1)， ∴ f(x)在(0, +∞)上为增函数．∴ {x >0，x −2>0，x(x −2)≤8，解得2<x ≤4，∴ x 的取值范围为(2, 4].。

年广东中山一中高一上第一次段考数学试卷

2017-2018学年广东省中山一中高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1} 2．设集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x|x2≤4，x∈N}，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N=∅3．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，2，4}B．{4}C．{3，5}D．∅4．已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3 C．1或D．1或35．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=D．f（x）=|x|6．已知f（x+1）=x2+1，则f（2）=（）A．5 B．0 C．3 D．27．已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数9．已知函数f（x）=，若f（x）=17，则x=（）A．B．C．﹣4 D．﹣4或410．设函数f（x）是R上的奇函数，已知x∈（0，+∞），f（x）=2x，则f（x）在（﹣∞，0）上是（）A．增函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＜0 D．减函数且f（x）＞011．函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．12．对于函数f（x）的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；当f（x）=2x时，上述结论中正确的有（）个．A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是．14．若函数f（x）=a x（0＜a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m=．15．已知函数f（x）=2a﹣（a∈R）为R上的奇函数，则数a=．16．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题（共6小题，合计70分）17．（10分）化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．18．（12分）若集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=．（1）用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数；（2）求f（x）在区间[3，5]上的最值．20．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求f（8）的值；（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．21．（12分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1（﹣1≤x≤2）的最小值为g（a）．（1）求g（2）的值；（2）求g（a）的解析式．22．（12分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）=，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？2017-2018学年广东省中山一中高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】根据补集与交集的定义，写出∁U B与A∩∁U B即可．【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}，所以∁U B={x|x＜1}=（﹣∞，1），且集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩∁U B={﹣2，﹣1，0}故选：C【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目．2．设集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x|x2≤4，x∈N}，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N=∅【分析】化简集合M，N，即可得出结论．【解答】解：M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x|x2≤4，x∈N}={0，1，2}，∴M⊃N，故选C．【点评】本题考查集合的表示与关系，考查学生的计算能力，比较基础．3．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，2，4}B．{4}C．{3，5}D．∅【分析】由图知，图中阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）．【解答】解：图中阴影部分表示的集合是∁U（A∩B），∵A∩B={3，5}，∴∁U（A∩B）={1，2，4}，故选：A．【点评】本题考查了集合运算的图形表示．4．已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3 C．1或D．1或3【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B ⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．5．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=D．f（x）=|x|【分析】利用基本函数的单调性判断选项即可．【解答】解：f（x）=3﹣x是减函数；f（x）=x2﹣3x的对称轴为：x=，在（0，+∞）上不是增函数；f（x）=，在（0，+∞）上为减函数；f（x）=|x|在（0，+∞）上为增函数．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性的应用，基本函数的单调性是快速判断选项方法．6．已知f（x+1）=x2+1，则f（2）=（）A．5 B．0 C．3 D．2【分析】由已知中f（x+1）=x2+1，令x=1可得：f（2）【解答】解：∵f（x+1）=x2+1，令x=1则f（2）=2，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．7．已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】由于a∈（0，1），c∈（0，1），b=20.4 ＞20=1，故a、b、c中，b最大．再根据函数y=0.4x在R上是减函数，故=0.40.5 ＜0.40.2 ＜0.40=1，故c＞a，由此得到结论．【解答】解：∵a=∈（0，1），b=20.4 ＞20=1，c=0.40.2 ∈（0，1），故a、b、c中，b最大．由于函数y=0.4x在R上是减函数，故=0.40.5 ＜0.40.2 ＜0.40=1，∴1＞c＞a．故有b＞c＞a，故选A．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．8．已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．9．已知函数f（x）=，若f（x）=17，则x=（）A．B．C．﹣4 D．﹣4或4【分析】由已知函数为分段函数，并且x＞0时函数值为负数，所以使得f（x）=17的x≤0时的解析式，解方程可得．【解答】解：由题意，f（x）=17，即x2+117，且x≤0，所以x=﹣4；故选C．【点评】本题考查了分段函数的解析式；关键是明确使得等式成立的方程是对应的分段函数的x≤0的解析式．10．设函数f（x）是R上的奇函数，已知x∈（0，+∞），f（x）=2x，则f（x）在（﹣∞，0）上是（）A．增函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＜0 D．减函数且f（x）＞0【分析】分析指数函数的单调性及函数值域，结合奇函数在对称区间上单调性相同，函数值相反，可得答案．【解答】解：∵x∈（0，+∞），f（x）=2x，此时函数为增函数且f（x）＞0，又由函数f（x）是R上的奇函数，奇函数在对称区间上单调性相同，函数值相反，故f（x）在（﹣∞，0）上是增函数且f（x）＜0，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．11．函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．12．对于函数f（x）的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③；当f（x）=2x时，上述结论中正确的有（）个．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】利用函数的性质验证命题的真假即可．【解答】解：当f（x）=2x时，①f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2）；①正确；由①可知②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；不正确；③，说明函数是增函数，而f（x）=2x是增函数，所以③正确；所以正确的结论有2个，故选：B．【点评】本题考查函数的基本性质的应用，考查命题的真假的判断，是基础题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是{x|x≤0，且x≠﹣} ．【分析】根据分式函数的分母不等于0，偶次根式被开方数大于等于0，建立不等式组，解之即可求出函数的定义域．【解答】解：∵y=∴即∴函数y=的定义域是{x|x≤0，且x≠﹣}故答案为：{x|x≤0，且x≠﹣}【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及不等式的解法，同时考查了计算能力，属于基础题．14．若函数f（x）=a x（0＜a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m=2或．【分析】按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可．【解答】解：①当a＞1时，f（x）在[﹣1，2]上单调递增，则f（x）的最大值为f（2）=a2=4，解得：a=2，最小值m=f（﹣1）==；②当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，2]上单调递减，则f（x）的最大值为f（﹣1）==4，解得a=，此时最小值m=f（2）=a2=，故答案为：2或．【点评】本题考查指数函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，对指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），当a＞1时f（x）递增；当0＜a＜1时f（x）递减．15．已知函数f（x）=2a﹣（a∈R）为R上的奇函数，则数a=．【分析】根据奇函数的性质f（0）=0即可得出a的值．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=2a﹣=0，∴a=．故答案为：．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．16．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）【分析】根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，若∃x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）=b，则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；④例如①函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．故答案为：②③．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．三、解答题（共6小题，合计70分）17．（10分）化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）（2）都是根据指数的运算性质计算可得答案．【解答】解：（1）==；（2）∵a＞0，b＞0，∴===ab﹣1=．【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了指数的运算性质，是基础题．18．（12分）若集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据集合的基本运算求A∪B，即可求（∁U B）∩A；（2）根据A∩B=A，建立条件关系即可求实数m的取值范围．【解答】解集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x﹣m＜0}．（1）当m=3时，由x﹣m＜0，得x＜3，∴B={x|x＜3}，∴U=A∪B={x|x＜4}，那么∁U B={x|3≤x＜4}．∴A∩（∁U B）={x|3≤x＜4}．（2）∵A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜m}，∵A∩B=A，∴A⊆B，故：m≥4．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．19．（12分）设函数f（x）=．（1）用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数；（2）求f（x）在区间[3，5]上的最值．【分析】（1）利用定义证明即可；（2）根据单调性即可得在区间[3，5]上的最值．【解答】解：函数f（x）==1+（1）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），并且x1＜x2，则x1﹣x2＜0f（x1）﹣f（x2）==∵x1＞1，x2＞1（x1﹣1）（x2﹣1）＞0f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数；（2）由（1）可知函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数；∴f（x）在[3，5]上也是单调减函数，∴．【点评】本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的最值．20．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求f（8）的值；（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．【分析】（1）利用抽象函数的关系式，化简求解即可．（2）化简不等式利用抽象函数，以及函数的单调性求解即可．【解答】解：（1）由题意得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）又∵f（2）=1，∴f（8）=3；（2）不等式化为f（x）＞f（x﹣2）+3∵f（8）=3，∴f（x）＞f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴，解得2＜x＜．不等式的解集为：{x|2＜x＜}．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1（﹣1≤x≤2）的最小值为g（a）．（1）求g（2）的值；（2）求g（a）的解析式．【分析】（1）（2）利用换元法转化为二次函数问题讨论最小值．可得g（2）的值和g（a）的解析式【解答】解：（1）设t=2x，因为﹣1≤x≤2，所以≤t≤4，所以y=t2﹣2at．对称轴t=a．当a=2时，y=t2﹣4t=（t﹣2）2﹣4所以t=2时，y取最小值﹣4．所以g（2）=﹣4；（2）因为y=t2﹣2at，对称轴t=a，≤t≤4，所以当≤a≤4 时，即t=a时y取最小值﹣a2．所以g（a）=﹣a2；当a时，t=时，y取最小值，所以g（a）=；当a＞4，t=4 时，y 取最小值16﹣8a，所以g（a）=16﹣8a；综上所述g（a）=．【点评】本题考查的知识点是函数的转化思想，二次函数的图象和性质最值的讨论．属于中档题．22．（12分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）满足R（x）=，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？【分析】（1）根据利润=销售收入﹣总成本，列出解析式；要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，分0≤x≤5时和x＞5时分别求解即可；（2）分别求出0≤x≤5时和x＞5时f（x）的最大值，取最大的即可．【解答】解：依题意，G（x）=x+2，设利润函数为f（x），则f（x）=R（x）﹣G（x）=（1）要使工厂有赢利，即解不等式f（x）＞0，当0≤x≤5时，解不等式﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0．即x2﹣8x+7＜0．∴1＜x＜7，∴1＜x≤5．（2分）当x＞5时，解不等式8.2﹣x＞0，得x＜8.2．∴5＜x＜8.2．综上，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．（2）0≤x≤5时，f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，故当x=4时，f（x）有最大值3.6．而当x＞5时，f（x）＜8.2﹣5=3.2所以，当工厂生产400万台产品时，赢利最多．又x=4时，=240（元/台），故此时每台产品售价为240（元/台）．【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地掌握分段函数的求最值问题及解不等式问题．。

广东省中山一中高一数学上学期第一次段考试卷(含解析)

2015-2016学年广东省中山一中高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=﹣x2+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{（0，1）} C．{1} D．以上均不对2．与y=|x|为同一函数的是（）A．B．C．D．3．已知x∈{1，2，x2}，则有（）A．x=1 B．x=1或x=2C．x=0或x=2 D．x=0或x=1或x=24．若全集U=R，A=[1，3]，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（∁U B）=（）A．[1，2] B．（﹣∞，0）∪（2，3] C．[0，1）D．（2，3]5．下列函数在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y=x2B．y=C．y=（）x D．y=3﹣x6．下列各式中错误的是（）A．0.83＞0.73B．log0..50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.47．下列函数y=x，y=x，y=x，y=x中，定义域为{x∈R|x＞0}的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知对数函数f（x）过点（2，4），则f（）的值为（）A．﹣1 B．C．D．19．设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣D．10．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（）A．B． C．D．11．若f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，满足f（x）﹣2f（）=3x，则f（x）为（）A．偶函数B．奇函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数12．偶函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，﹣1）∪（1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）∪（1，4）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域为．14．函数y=x2﹣6x+6，x∈（﹣1，5]的值域为．15．若a＞0，b＞0，化简成指数幂的形式： = ．16．不等式x＜的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）17．求值：（1）2log510+log50.25（2）（5）0.5+（﹣1）﹣1÷0.75﹣2+（2）．18．设全集U=R，A={x|x2+px+12=0}，B={x|x2﹣5x+q=0}，若（∁U A）∩B={2}，A∩（∁U B）={4}，求A∪B．19．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．20．已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x）．（1）求出函数y=f（x）的解析式；（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即可）21．国家对出书所得稿费纳税进行如下规定：稿费总数不超过800元的不纳税；稿费总数超过800元而不超过4000元的，按超过部分的14%纳税；稿费总数超过4000元的按全稿酬的11%纳税．（1）建立纳税y元与稿费x元的函数关系；（2）若某人出版了一书共纳税420元，则这个人的稿费为多少元？22．已知f（x）=，（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域．（2）证明f（x）为奇函数．（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．2015-2016学年广东省中山一中高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=﹣x2+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{（0，1）} C．{1} D．以上均不对【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据函数值域求得集合M=[1，+∞），N}=（﹣∞，1]，根据集合交集的求法求得M∩N．【解答】解；集合M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞），N={y|y=﹣x2+1，x∈R}=（﹣∞，1]，∴M∩N={1}故选C．【点评】此题是个基础题．考查交集及其运算，以及函数的定义域和圆的有界性，同时考查学生的计算能力．2．与y=|x|为同一函数的是（）A．B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题．【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．【解答】解：A、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是[0，+∞），∴不是同一个函数B、∵两个函数的解析式一致，定义域是同一个集合，∴是同一个函数C、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴不是同一个函数D、∵y=|x|的定义域为（﹣∞，+∞）．的定义域是[0，+∞），∴不是同一个函数故选B．【点评】两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．3．已知x∈{1，2，x2}，则有（）A．x=1 B．x=1或x=2C．x=0或x=2 D．x=0或x=1或x=2【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系知x是集合的一个元素，分类讨论列出方程求出x代入集合检验集合的元素满足的三要素．【解答】解：∵x∈{1，2，x2}，分情况讨论可得：①x=1此时集合为{1，2，1}不合题意②x=2此时集合为{1，2，4}合题意③x=x2解得x=0或x=1当x=0时集合为{1，2，0}合题意故选：C．【点评】本题考查元素与集合的关系、在解集合中的参数问题时，一定要检验集合的元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性．4．若全集U=R，A=[1，3]，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（∁U B）=（）A．[1，2] B．（﹣∞，0）∪（2，3] C．[0，1）D．（2，3]【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，进一步求出∁U B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2﹣2x≤0，得0≤x≤2，∴B={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，∴∁U B=（﹣∞，0）∪（2，+∞），又A=[1，3]，∴A∩（∁U B）=（2，3]．故选：D．【点评】本题考查并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．5．下列函数在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y=x2B．y=C．y=（）x D．y=3﹣x【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据二次函数、反比例函数、指数函数，以及一次函数的单调性即可找出正确选项．【解答】解：A．y=x2在（﹣∞，0）上为减函数；B．反比例函数在（﹣∞，0）上为增函数，即该选项正确；C．指数函数在（﹣∞，0）上为减函数；D．一次函数y=3﹣x在（﹣∞，0）上为减函数．故选：B．【点评】考查二次函数，反比例函数，指数函数，以及一次函数的单调性．6．下列各式中错误的是（）A．0.83＞0.73B．log0..50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数值大小的比较；对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】通过构造函数，利用函数的单调性直接判断选项即可．【解答】解：对于A，构造幂函数y=x3，函数是增函数，所以A正确；对于B，对数函数y=log0.5x，函数是减函数，所以B正确；对于C，指数函数y=0.75x是减函数，所以C错误；对于D，对数函数y=lgx，函数是增函数，所以D正确；故选C．【点评】本题考查指数函数与对数函数的单调性的应用，基本知识的考查．7．下列函数y=x，y=x，y=x，y=x中，定义域为{x∈R|x＞0}的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，分别写出这四个函数的定义域，即可得出所以符合条件的函数有几个．【解答】解：函数y=x的定义域为R，函数y=x的定义域为{x|x≥0}；函数y=x的定义域为{x|x≠0}；函数y=x中的定义域为{x∈R|x＞0}；所以符合条件的函数只有1个．故选：A．【点评】本题考查了求常见的函数定义域的应用问题，是基础题目．8．已知对数函数f（x）过点（2，4），则f（）的值为（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】求对数函数解析式．【专题】函数的性质及应用．【分析】设出对数函数的解析式，求解即可．【解答】解：设对数函数为：f（x）=log a x，对数函数f（x）过点（2，4），可得4=log a2，解得a=，对数函数为：f（x）=log x，f（）==1．故选：D．【点评】本题考查对数函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．9．设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．先求f（），再求f[f（）]，由内而外．【解答】解：f（）=，，即f[f（）]=故选B【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．10．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（）A．B． C．D．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的对称性进行判断即可．【解答】解：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，则具备对称性的只有B，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．11．若f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，满足f（x）﹣2f（）=3x，则f（x）为（）A．偶函数B．奇函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）﹣2f（）=3x，把代换x可得：f（）﹣2f（x）=，联立消去f（）可得：f（x），即可判断出奇偶性．【解答】解：由f（x）﹣2f（）=3x，把代换x可得：f（）﹣2f（x）=，联立消去f（）可得：f（x）=﹣x﹣，x∈{x∈R|x≠0}．∵f（﹣x）=x+=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．故选：B．【点评】本题考查了函数的解析式、函数奇偶性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．偶函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B．（﹣4，﹣1）∪（1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）∪（1，4）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用偶函数的性质结合题意进行求解．【解答】解：求x•f（x）＜0即等价于求函数在第二、四象限图形x的取值范围．∵偶函数f（x）（x∈R）满足f（﹣4）=f（1）=0∴f（4）=f（﹣1）=f（﹣4）=f（1）=0且f（x）在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增如右图可知：即x∈（1，4）函数图象位于第四象限x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）函数图象位于第二象限综上说述：x•f（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）∪（1，4）故答案选：D【点评】考察了偶函数的单调性质，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域为[0，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】保证两个根式都有意义的自变量x的集合为函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则需解得0≤x≤1，所以，原函数定义域为[0，1]．故答案为[0，1]．【点评】本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x的取值集合．14．函数y=x2﹣6x+6，x∈（﹣1，5]的值域为[﹣3，13）．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】函数y=x2﹣6x+6的图象是开口朝上，且以直线x=3为对称轴的抛物线，求出x∈（﹣1，5]时的最值，可得答案．【解答】解：函数y=x2﹣6x+6的图象是开口朝上，且以直线x=3为对称轴的抛物线，若x∈（﹣1，5]，则：当x=3时，函数取最小值﹣3，当x=﹣1时，函数取最大值13，故函数y=x2﹣6x+6，x∈（﹣1，5]的值域为[﹣3，13），故答案为：[﹣3，13）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．15．若a＞0，b＞0，化简成指数幂的形式： = ．【考点】有理数指数幂的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用有理指数幂的运算法则求解即可．【解答】解： ==．故答案为：．【点评】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力、16．不等式x＜的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知中不等式可得x＞0，结合指数函数和对数函数的单调性，分当0＜x＜1时，当x=1时和当x＞1时三种情况，求解满足条件的x值，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：若使不等式x＜=x﹣1有意义，x＞0，当0＜x＜1时，原不等式可化为：，解得：x＜2，∴0＜x＜1；当x=1时，x=不满足已知中的不等式，当x＞1时，原不等式可化为：，解得：x＞2，∴x＞2；综上所述，不等式x＜的解集是（0，1）∪（2，+∞），故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查的知识点是指数函数和对数函数的单调性，分类讨论思想，难度中档．三、解答题（本大题共6小题，共80分）17．求值：（1）2log510+log50.25（2）（5）0.5+（﹣1）﹣1÷0.75﹣2+（2）．【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出；（2）利用指数的运算法则即可得出．【解答】解：（1）原式===2．（2）原式=﹣1×+==．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则，考查推理能力与了计算能力，属于基础题．18．设全集U=R，A={x|x2+px+12=0}，B={x|x2﹣5x+q=0}，若（∁U A）∩B={2}，A∩（∁U B）={4}，求A∪B．【考点】补集及其运算；并集及其运算；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用：“（C U A）∩B={2}，A∩（C U B）={4}，”得到4∈A且2∈B，列出方程组求得p，q，从而得出A，B，最后求出A∪B即可．【解答】解：∵∴A={3，4}，B={2，3}∴A∪B={2，3，4}【点评】本题考查补集及其运算、交集及其运算、并集及其运算，解答的关键是利用元素与集合的关系列出方程求解．19．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）定义域容易求出为{x|x≠﹣1}；（2）分离常数得到f（x）=，从而可以看出f（x）在（0，+∞）上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2）便可得出f （x）在（0，+∞）上单调递增．【解答】解：（1）要使f（x）有意义，则：x≠﹣1；∴函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}；（2）；∴x＞0时，x增大，减小，f（x）增大；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，证明如下：设x1＞x2＞0，则： =；∵x1＞x2＞0；∴x1﹣x2＞0，（x1+1）（x2+1）＞0；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．【点评】考查函数定义域的概念及其求法，分离常数法的运用，根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分．20．已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x）．（1）求出函数y=f（x）的解析式；（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即可）【考点】函数奇偶性的性质；函数的单调性及单调区间．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，根据已知可求得f（﹣x），根据奇函数的性质f（x）=﹣f（﹣x）即可求得f（x）的表达式．（2）结合二次函数的图象和性质，可得分段函数的单调递增区间．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x（1+x）．…又因为y=f（x）是奇函数所以f（x）=﹣f（﹣x）x（1+x）．…综上f（x）=…（2）函数y=f（x）的单调递增区间是[，]…【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．21．国家对出书所得稿费纳税进行如下规定：稿费总数不超过800元的不纳税；稿费总数超过800元而不超过4000元的，按超过部分的14%纳税；稿费总数超过4000元的按全稿酬的11%纳税．（1）建立纳税y元与稿费x元的函数关系；（2）若某人出版了一书共纳税420元，则这个人的稿费为多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）分0≤x≤800、800＜x≤4000、x＞4000三种情况讨论即可；（2）通过（1）计算出当800＜x≤4000、x＞4000时各自的稿费情况，进而可得结论．【解答】解：（1）由题意得f（x）=，即f（x）=；（2）由（1）可知当800＜x≤4000时有0.14x﹣112=420，解得x=3800；当x＞4000时有0.11x=420，解得x≈3818（舍去），综上所述，稿费为3800元．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于基础题．22．已知f（x）=，（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域．（2）证明f（x）为奇函数．（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．【考点】对数函数的定义域；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】（1）f（x）=，（a＞0，且a≠1）的定义域为：{x|}，由此能求出结果．（2）由f（x）=，（a＞0，且a≠1），知f（﹣x）==﹣=﹣f（x），由此能证明f（x）为奇函数．（3）由f（x）＞0，得，对a分类讨论可得关于x的方程，由此能求出使f（x）＞0成立的x的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，（a＞0，且a≠1）的定义域为：{x|}，解得f（x）=，（a＞0，且a≠1）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）∵f（x）=，（a＞0，且a≠1），∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．（3）∵f（x）=，（a＞0，且a≠1），∴由f（x）＞0，得，当0＜a＜1时，有0＜＜1，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，有＞1，解得0＜x＜1；∴当a＞1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（0，1），当0＜a＜1时，使f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）．【点评】本题考查f（x）的定义域的求法，证明f（x）为奇函数，求使f（x）＞0成立的x的取值范围，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。

广东省中山市一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学试卷(含答案)

A. x 0
B． x 0 或 x 4
C. | x −1| 1
D. | x − 2 | 3
8. 《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF⊥AB，设 AC＝a，BC＝b，则该图形
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中山一中 2020-2021学年度高一上学期第一次段考
数学科试卷答案
满分：150 分考试用时：120 分钟
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题（本道题共 8 小题，每道题 5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知 M＝{y | y = x2 +1, x R}， N＝{y | y = −x2 +1, x R} ，则 M N ＝（ A ）
（1）求集合 A，B；（2）若 B⊆A，求实数 m 的取值范围．
20．（本题 12 分）若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，求：（1）3x＋4y 的最小值；（2）求 xy 的最小值.
21．（本题 12 分）实数 a，b 满足 a2＋b2＋2a－4b＋5＝0. 若不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解为一切实数为真命题，求实数 c 的取值范围.
中山一中 2020-2021学年度高一上学期第一次段考
数学科试卷
满分：150 分考试用时：120 分钟
一、单项选择题（本道题共 8 小题，每道题 5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知 M＝{y | y = x2 +1, x R}， N＝{y | y = −x2 +1, x R} ，则 M N ＝（）

广东省中山市第一中学等七校2021届高三数学第一次联考试题文（含解析）

广东省中山市第一中学等七校2021届高三数学第一次联考试题文（含解析）新人教A 版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份。

总分值为150分，考试历时为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共50分）【试卷综析】试题比较平稳，大体符合高考温习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，表现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和大体技术的考察，同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察，这套试题以它的知识性、思辩性、灵活性，基础性充分表现了考素养，考基础，考方式，考潜能的检测功能.试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培育学生数学素养的方向进展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】一、已知全集U R =，集合{}|21x A x =>，{}|41B x x =-<<，那么A B 等于（）A.(0,1)B.(1,)+∞C. (4,1)-D. (,4)-∞- 【知识点】交集及其运算. A1【答案解析】A 解析：由A 中的不等式变形得：2x ＞1=20，解得：x ＞0，即A=（0，+∞）， ∵B=（﹣4，1），∴A∩B=（0，1）．应选：A ．【思路点拨】求出A 中不等式的解集确信出A ，找出A 与B 的交集即可. 【题文】二、已知i 为虚数单位，复数(2)z i i =-的模z =（）A. 1B.3 C ．5 D.3【知识点】复数求模. L4【答案解析】C 解析：∵z=i （2﹣i ）=2i+1，∴|z|=，应选：C ．【思路点拨】依照复数的有关概念直接进行计算即可取得结论. 【题文】3、在等差数列{}n a 中，已知1071=+a a ，那么=+53a a （）A. 7B. 8C. 9D. 10【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】D 解析：在等差数列{an}中，∵a1+a7=10，∴a3+a5=a1+2d+a1+4d=a1+（a1+6d ） =a1+a7=10．应选：D ．【思路点拨】在等差数列{an}中，由a1+a7=10，能求出a3+a5的值.【题文】4、设,a b 是两个非零向量，那么“0>⋅b a ”是“,a b 夹角为锐角”的（） A.充分没必要要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也没必要要条件【知识点】数量积的符号与两个向量的夹角范围的关系.充分条件；必要条件. A2 F3 【答案解析】B 解析：当＞0时，与的夹角＜＞可能为锐角，也可能为零角，故充分性不成立；当与的夹角＜＞为锐角时，＞0必然成立，故必要性成立．综上，＞0是与的夹角＜＞为锐角的必要而不充分条件，应选B ．【思路点拨】先看当＞0时，可否推出与的夹角＜＞是不是为锐角，再看当与的夹角＜＞为锐角时，＞0是不是必然成立，然后依照充分条件、必要条件的概念进行判定．【题文】5、在“魅力咸阳中学生歌手大赛”竞赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方不同离为（）A.5和1.6B.85和1.6C. 85和0.4D. 5和0.4 【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数. I2【答案解析】B 解析：依照题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，因此所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．应选B ．【思路点拨】依照均值与方差的计算公式，分别计算出所剩数据的平均数和方差分即可.【题文】6、若是直线m l ,与平面γβα,,知足：,,,//,γααγβ⊥⊂=m m l l 那么必有（） A.m l ⊥⊥,γα B.βγα//,m ⊥ C.m l m ⊥,//β D.γαβα⊥,//【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系. G3 G4 G5【答案解析】A 解析：∵m ⊂α和m ⊥γ⇒α⊥γ，∵l=β∩γ，l ⊂γ．∴l ⊥m ，应选A ．【思路点拨】m ⊂α和m ⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l ⊂γ．然后推出l ⊥m ，取得结果. 【题文】7、如下图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图别离是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，那么该几何体体积为（）A ．53B ．423C ．73D ．103【知识点】由三视图求面积、体积. G2【答案解析】A 解析：由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，由侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4， ∴三棱柱的体积为=2，由正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，∴三棱锥的体积为××1×1×1=，∴几何体的体积V=2﹣2×=．应选A ．【思路点拨】由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，依照侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4.【题文】8、概念运算“⊗”为：两个实数b a ,的“ab ”运算原理如下图，假设输人2,311cos2==b a π，那么输出P =（）A.－2 B ．0 C 、2 D.4 【知识点】程序框图. L1【答案解析】D 解析：由程序框图知，算法的功能是求P=的值，∵a=2cos =2cos=1＜b=2，∴P=2×（1+1）=4．应选：D ．【思路点拨】算法的功能是求P=的值，利用三角诱导公式求得a 、b 的值，代入计算241正视俯视侧视可得答案．【题文】9、在长为12 厘米的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形,邻边长别离等于线段,AC CB 的长,那么该矩形面积大于20平方厘米的概率为（）A.61B. 31C. 32D. 54【知识点】几何概型. K3【答案解析】C 解析：设AC=x ，那么BC=12﹣x ，矩形的面积S=x （12﹣x ）＞20 ∴x2﹣12x+20＜0，∴2＜x ＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==，应选C【思路点拨】设AC=x ，那么BC=12﹣x ，由矩形的面积S=x （12﹣x ）＞20可求x 的范围，利用几何概率的求解公式可求结论. 【题文】10、如图，))(,(00x f x P 是函数)(x f y =图像上一点，曲线)(x f y =在点P 处的切线交x 轴于点A ，x PB ⊥轴，垂足为B若PAB ∆的面积为12，那么0f x '()与0()f x 知足关系式（）A.00f x f x ='()()B.200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() C. 00f x f x =-'()() D. 200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． B12 【答案解析】B 解析：设A 的坐标为（a ，0），由导数的几何意义得： f'（x0）为曲线y=f （x ）在x=x0处切线的斜率，故P 点处的切线方程为y ﹣f （x0）=f'（x0）（x ﹣x0），令y=0，那么0﹣f （x0）=f'（x0）（x ﹣x0），即x=x0﹣，即a=x0﹣，又△PAB 的面积为，∴AB•PB=，即（x0﹣a ）•f（x0）=1，∴•f（x0）=1即f'（x0）=[f （x0）]2，应选B ．【思路点拨】依照导数的几何意义：f'（x0）为曲线y=f （x ）在x=x0处切线的斜率，写出切线方程，令y=0，求出A 点的坐标，别离求出AB ，PB 长，运用三角形的面积公式，化简即可. 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分．【题文】11．函数⎩⎨⎧≤>=030log )(2x x x x f x，那么=)]41([f f ＿＿＿【知识点】分段函数的函数值. B1 【答案解析】解析：，故答案为：【思路点拨】先求，，故代入x ＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可.【题文】12. 假设目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下仅在点(1,1)处取得最小值，那么实数k 的取值范围是 .【知识点】简单线性计划. E5【答案解析】（﹣4，2）．解析：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y 得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y 仅在点B （1，1）处取得最小值，那么阴影部份区域在直线z=kx+2y 的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x ﹣y=1的斜率，即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k ＜2，即实数k 的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性计划的知识，确信目标取最优解的条件，即可求出k 的取值范围.NM CABO【题文】13. 已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<，那么cos β= ．【知识点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的大体关系．C5 C2 【答案解析】解析：因为cosα=，cos （α﹣β）=，且0，∴α﹣β＞0，因此sinα==，α﹣β∈（0，），sin （α﹣β）==，cosβ=cos[（α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==故答案为：．【思路点拨】通过α、β的范围，求出α﹣β的范围，然后求出sinα，sin （α﹣β）的值，即可求解cosβ．【题文】14.（坐标系与参数方程）在极坐标系中圆4cos ρθ=的圆心到直线()6R πθθ=∈的距离是【知识点】简单曲线的极坐标方程. N3【答案解析】1 解析：∵圆ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ．化为一般方程为x2+y2=4x ，即（x ﹣2）2+y2=4，∴圆心的坐标为（2，0）．∵直线θ=（ρ∈R），∴直线的方程为y=x ，即x ﹣y=0．∴圆心（2，0）到直线x ﹣y=0的距离=1．故答案为：1．【思路点拨】先将极坐标方程化为一般方程，可求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出答案【题文】15．（几何证明选讲）如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠= ，假设⊙O 的半径为233OM ，那么MN 的长为【知识点】与圆有关的比例线段. N1【答案解析】2 解析：∵∠BNA=45°，圆心角AOB 和圆周角ANB 对应着相同的一段弧，∴∠AOB=90°，∵⊙O 的半径为2，OA=OM ，∴OM=2，在直角三角形中BM==4，∴依照圆内两条相交弦定理有4MN=（2+2）（2﹣2），∴MN=2，故答案为：2【思路点拨】依照圆心角AOB 和圆周角ANB 对应着相同的一段弧，取得角AOB 是一个直角，依照所给的半径的长度和OA ，OM 之间的关系，求出OM 的长和BM 的长，依照圆的相交弦定理做出结果．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．【题文】16．（此题总分值12分）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =，设函数()f x a b =⋅.（Ⅰ）求函数()f x 单调增区间；（Ⅱ）假设[,]63x ππ∈-，求函数()f x 的最值，并指出()f x 取得最值时x 的取值.【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用. F3 C7 【答案解析】（Ⅰ），（k∈Z）；（Ⅱ）f （x ）取得最小值0，现在，f （x ）取得最大值，现在.解析：（Ⅰ）∵=当，k∈Z，即，k∈Z，即，k∈Z 时，函数f （x ）单调递增，∴函数f （x ）的单调递增区间是，（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（x ）=sin （2x+）+，当时，，∴，∴当时，f（x）取得最小值0，现在2x+=﹣，∴，∴当时，f（x）取得最大值，现在2x+=，∴．【思路点拨】（Ⅰ）利用向量的数量积求出f（x）的解析式，再利用三角函数的图象与性质求出单调区间；（Ⅱ）由三角函数的图象与性质，结合区间x∈[﹣，]，求函数f（x）的最值和对应x的值．【题文】17、（此题总分值12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，取得相关的数据如下表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是不是与人的年龄有关？（2）假设全小区节能意识强的人共有350人，那么估量这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。

广东省中山市第一中学高一数学上学期第一次段考试题(含解析)

广东省中山市第一中学2017-2018学年高一数学上学期第一次段考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，易得：，又∴故选：C2. 设集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】，∴故选：B3. 设集合，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.【答案】A【解析】略4. 已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意是的子集，所以有或，结合，解得或，故选B．考点：集合的性质．5. 下列四个函数中，在上为增函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】A项, 在上为减函数,故A项错误; B项,在上为减函数,故B项错误;C项,在上为增函数,故C项正确;D项,在上为减函数,故D项错误;因此本题应选C.6. 已知，则A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴故选：D7. 已知，则三者的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数的图象与性质可知：；由函数的图象与性质可知：；∴故选：A8. 已知函数，则A. 是偶函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是增函数C. 是偶函数，且在上是减函数D. 是奇函数，且在上是减函数【答案】B【解析】试题分析：，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.9. 已知函数若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函数∴或解得：故选：C10. 设函数是R上的奇函数，已知，则在上是（）A. 增函数且B. 减函数且C. 增函数且D. 减函数且【答案】C【解析】因为函数是R上的奇函数，所以图象关于原点中心对称，在对称区间上单调性相同，函数值符号相反，所以在上是增函数且.故选：C11. 函数的图象的大致形状是A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，因为，所以在上单调递增，且函数值为正；在上单调递减，且函数值为负,故选：B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．12. 对于函数的定义域中任意的，有如下结论：① ；② ；③ .当时，上述结论中正确的有个．A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】当时，①==①正确；由①可知②；不正确；③;说明函数是增函数,而是增函数，所以③正确；故选：B.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数的定义域是________________．【答案】【解析】由题意，易得：，解得：∴函数的定义域是14. 若函数在 [-1,2]上的最大值为 4，最小值为 m，则 m= ______．【答案】或【解析】当时，函数在[-1,2]上单调递增，∴，解得：当时，函数在[-1,2]上单调递减，∴，解得：故m=或15. 已知函数为R上的奇函数，则数 __________．【答案】【解析】∵函数为R上的奇函数∴，即，∴.点睛：函数为R上的奇函数，易得：，在对称区间上单调性相同，函数值互为相反数，利用特例及性质本题可以速解，也可以利用函数的奇偶性定义来处理，同样可以得到结果.16. 函数的定义域为 A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②若为单函数，且，则；③若为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是________________．（写出所有真命题的编号）【答案】②③【解析】②是原命题的逆否命题，故正确；③符合函数的概念，正确；取特殊值，当时，故①不正确；④混淆区间和定义域，不正确。

【数学】广东省中山市第一中学2018-2019学年高一上学期第一次段考试题(解析版)

广东省中山市第一中学2018-2019学年高一上学期第一次段考数学试题一、选择题：共12个小题,每小题5分，共60分．每题只有一项是符合题目要求．1.下列说法正确的有（）①联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；②；③集合与集合是同一个集合；④空集是任何集合的真子集.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0∉N*，错误；对于③，集合{y=x2-1}列举的是一个等式，集合{（x，y）|y=x2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误；故选：A．2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求解函数的定义域可得：，结合交集的定义有：.本题选择C选项.3.如图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，即B与[C U（A∪C）]的交集组成的集合，即：B∩[C U（A∪C）]．故选：A．4.已知集合，且，则等于（）A. -1B.C.D. 或-1【答案】C【解析】或或∴当时，，不符合集合中元素的互异性，故应舍去.当时，，满足题意故选C．5.下列函数中，在区间上是增函数的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】选项，图象为开口向上的抛物线，对称轴为，函数在上单调递减，故不满足题意，错误；选项，故函数在上单调递减，当然在上单调递减，故错误；选项，在和均单调递增，显然满足在上单调递增，故正确；选项，在定义域单调递减，故不满足题意．本题选择C选项.6.设如果且那么符合条件的集合的个数是（）A. 4B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】∵A={1，2，3，4}，S⊆A，∴S={4}，{2}，{1，2 }，{1，4}，{2，3 }，{2，4}，{3，4}，{1，2，,3 }，{1，2，4}，{1，3，4}，（2，3，4），{1，2，3，4}，故满足S⊆A且S∩B≠ϕ的集合S的个数为12个，故答案为：D.7.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】要使原函数有意义，则，即，解得，且．所以，原函数的定义域为．故选：B．8.已知函数与的定义如图所示，则方程的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1，f（g（1））=2，f（g（2））=2，g（2）=3，∴只有f（g（1））=2满足，因此方程的解集是{1}．故选：A．9.已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】∵f（x）在（-∞，1]上是减函数，∴-a≥1，即a≤-1．∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a2+4a+4，最小值为f（1）=4+2a，∴，∴g（a）在（-∞，-1]上单调递减，∴g（a）的最小值为g（-1）=1．故选：B．10.若是定义在上的减函数，则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，求得，故选：A．11.设奇函数在是增函数，且，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】∵函数f（x）是奇函数，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴它在（-∞，0）上也是增函数．∵f（-x）=-f（x），∴f（-1）=f（1）=0．不等式x[f（x）-f（-x）]＜0可化为2xf（x）＜0，即xf（x）＜0，∴当x＜0时，可得f（x）＞0=f（-1），∴x＞-1，∴-1＜x＜0；当x＞0时，可得f（x）＜0=f（1），∴x＜1，∴0＜x＜1．综上，不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}．故选：D．12.已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数f（x）=x2-2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称，∴x1∈[-1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=-1，最大值为f（-1）=3，可得f（x1）值域为[-1，3]，又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[-1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（-1），g（2）]，即g（x2）∈[2-a，2a+2]，∵对任意的x1∈[-1，2]都存在x0∈[-1，2]，使得g（x1）=f（x0），∴，∴．二、填空题：每小题5分，满分20分.13.化简：= ______．（用分数指数幂表示）.【答案】【解析】.故答案为;.14.若，则的解析式为________________.【答案】【解析】令∴t≥1，即，即答案为.15.函数在区间上的值域是________________.【答案】【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增，故又即函数在区间上的值域是.即答案为.16.已知函数的定义域为，则可求的函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.【答案】【解析】函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数的图象，如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）已知集合，集合，全集，求，；（2）已知集合，，若，求实数的值．解：（1）由题设知或，，得，或.（2）若，则或，即或，得或，当时此时，集合不成立，当时，，，此时，不满足，所以.18.已知集合，.（1）若，求；（2）如果，求实数的取值范围.解：（1）时，，，.（2）得，，.当，即，符合；当，即，，符合；当，即，中有两个元素，，∴，综上，或.19.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值．解：（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.∵函数是定义在上的偶函数，且当时，.∴，∴. （3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小；当时，为最小.综上，有：的最小值为.20.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）用函数单调性定义证明：在上是增函数．解：（1）由，得，即的定义域；（2）证明：，任取，则，∵，∴，，，则，即，则函数在上是增函数.21.某种商品在天内每克的销售价格(元)与时间的函数图象是如图所示的两条线段（不包含两点）；该商品在30 天内日销售量(克)与时间(天)之间的函数关系如下表所示:克（1）根据提供的图象，写出该商品每克销售的价格(元)与时间的函数关系式；（2）根据表中数据写出一个反映日销售量随时间变化的函数关系式；（3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的值.（注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）解：（1）由图可知，，，，设所在直线方程为，把代入，得，所以. ，由两点式得所在的直线方程为，整理得，，，所以.（2）由题意，设，把两点，代入得，解得，所以，把点，代入也适合，即对应的四点都在同一条直线上，所以.（本题若把四点中的任意两点代入中求出，，再验证也可以）（3）设日销售金额为，依题意得，当时，配方整理得，当时，在区间上的最大值为900，当时，，配方整理得，所以当时，在区间上的最大值为1125.综上可知日销售金额最大值为1125元，此时.22.设是定义在上的函数，满足，当时，．（）求的值，试证明是偶函数．（）证明在上单调递减．（）若，，求的取值范围．解：（）∵，令得，∴．令，，，，令，则．即是定义在上的偶函数．（）∵，∴，设，，，，∵，则，即，即在上单调递减．（）∵，∴，∴，∵为偶函数，且在上单调递减，∴，综上，的取值范围为．。

2021年高一上学期第一次段考数学试卷含解析

2021年高一上学期第一次段考数学试卷含解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{1} B．{1，4} C．{2，3} D．{1，2，3，4}2．若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．D．{x|0＜x＜2}3．下列函数为偶函数的是（）A．y=x+1 B．y=x2C．y=x2+x D．y=x34．函数f（x）=+的定义域是（）A．[2，+∞）B．[2，3）C．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D．[2，3）∪（3，+∞）5．下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x+1|，g（x）=B．f（x）=，g（x）=x﹣1C．f（x）=，g（x）=（）2D．f（x）=x，g（x）=6．已知集合A={x|x≤0，x∈R}，B={a，1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤07．若集合A={x|（k+2）x2+2kx+1=0}有且仅有1个元素，则实数k的值是（）A．±2或﹣1 B．﹣2或﹣1 C．2或﹣1 D．﹣28．已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q⊆P，那么a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣19．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]内递减，那么实数a的取值范围为（）A．a≤2 B．a≤0 C．a≥2 D．a≥010．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）11．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）A．B．C．D．12．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是增函数，且f（3）=0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．14．已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=．15．一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]=4x﹣1，则f（x）=．16．给出以下四个命题：①若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；②函数f（x）=的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；③已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个；④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2， ++…++=xx．其中正确的命题有（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集U=R．，A={x|﹣4≤x＜2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0或x≥}，求A∩B，（∁U B）∪P，（A∩B）∩（∁U P）18．已知集合A={1，a，b}，B={a，a2，ab}，若A=B，求a+b的值．19．函数f（x）=x+．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在[，+∞）内是增函数．20．已知函数f（x）=．（1）求f（2），f（），f（3）、f（）的值；（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f（）有什么关系？并证明你的发现；（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（）+…+f（）的值．21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（x+4）．（1）求x＞0时，函数f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）的图象，并写出单调区间．22．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．xx学年山东省济南市平阴一中高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{1}B．{1，4}C．{2，3}D．{1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，能求出集合A∩B．【解答】解：∵A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，∴集合A∩B={2，3}．故选C．2．若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C． D．{x|0＜x＜2}【考点】并集及其运算．【分析】把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集．【解答】解：由，B={x|1≤x＜2}，两解集画在数轴上，如图：所以A∪B={x|0＜x＜2}．故选D3．下列函数为偶函数的是（）A．y=x+1 B．y=x2 C．y=x2+x D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断．【分析】对选项一一判断，A，C为非奇非偶函数，D为奇函数，B为偶函数．【解答】解：对于A，为非奇非偶函数；对于B，有f（﹣x）=f（x），为偶函数；对于C，f（﹣x）=x2﹣x≠±f（x），为非奇非偶函数；对于D，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数．故选：B．4．函数f（x）=+的定义域是（）A．[2，+∞）B．[2，3） C．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D．[2，3）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由偶次根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，分别求出x的取值集合后取交集即可得到原函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x≥2且x≠3．所以原函数的定义域为[2，3）∪（3，+∞）．故选D．5．下列四组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x+1|，g（x）=B．f（x）=，g（x）=x﹣1C．f（x）=，g（x）=（）2D．f（x）=x，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】判断各组中所给的两个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，从而作出判断．【解答】解：对于A，f（x）=|x+1|，定义域是R，g（x）==|x+1|，定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）==x﹣1，定义域是{x|x≠﹣1}，g（x）=x﹣1的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）==|x|，定义域是R，g（x）==x的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）=x的定义域是R，g（x）==|x|的定义域是R，对应关系不同，不是同一函数．故选：A．6．已知集合A={x|x≤0，x∈R}，B={a，1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤0【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出a的范围．【解答】解：集合A={x|x≤0，x∈R}，B={a，1}，A∩B≠∅，∴a≤0，故选：D．7．若集合A={x|（k+2）x2+2kx+1=0}有且仅有1个元素，则实数k的值是（）A．±2或﹣1 B．﹣2或﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2【考点】集合的表示法．【分析】讨论k=﹣2与k≠﹣2，从而求实数k的值．【解答】解：①当k+2=0，即k=﹣2时，x=，A={}符合题意；②当k+2=0，即k≠﹣2时，关于x的方程（k+2）x2+2kx+1=0只有一个根，则△=4k2﹣4（k+2）=0，解得k=2或k=﹣1．综上所述，k的值是±2或﹣1．故选：A．8．已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q⊆P，那么a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简P，再根据Q⊆P分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数a的取值集合．【解答】解：∵P={x|x2=1}={1，﹣1}，Q={x|ax=1}，Q⊆P，∴当Q是空集时，有a=0显然成立；当Q={1}时，有a=1，符合题意；当Q={﹣1}时，有a=﹣1，符合题意；故满足条件的a的值为1，﹣1，0．故选D．9．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]内递减，那么实数a的取值范围为（）A．a≤2 B．a≤0 C．a≥2 D．a≥0【考点】二次函数的性质．【分析】若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]内递减，则1﹣a≥1，解得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1﹣a为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，1]内递减，则1﹣a≥1，解得：a≤0，故选：B10．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）【考点】函数单调性的性质．【分析】由函数的单调性的性质可得0≤2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x ﹣1）＜f（），∴0≤2x﹣1＜，解得≤x＜，故选D．11．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可．【解答】解：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项A、B、D，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反．选项C，后面是直线增加，不满足题意；故选：C、12．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是增函数，且f（3）=0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（3）=0，f（x）＞0可化为|x|＜3，从而求解．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，∴在[0，+∞）上单调递减，∵f（3）=0，∴f（x）＞0可化为f（x）＞f（3），∴|x|＜3，∴﹣3＜x＜3，故选C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．14．已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=﹣3．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数的性质得f（﹣1）=﹣f（1），利用已知的解析式即可求值．【解答】解：因为f（x）是定义域在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），又当x∈[0，+∞）时，f（x）=x2+2x，则f（1）=1+2=3，即f（﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3．15．一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]=4x﹣1，则f（x）=﹣2x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由已知中一次函数f（x）是减函数，可设f（x）=kx+b（k＜0）．由函数f（x）满足f[f（x）]=4x﹣1，代入根据整式相等的充要条件，构造方程组，解出k，b值后，可得函数的解析式．【解答】解：由一次函数f（x）是减函数，可设f（x）=kx+b（k＜0）．则f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b，∵f[f（x）]=4x﹣1，∴解得k=﹣2，b=1∴f（x）=﹣2x+1．故答案为：﹣2x+116．给出以下四个命题：①若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；②函数f（x）=的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；③已知集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个；④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2， ++…++=xx．其中正确的命题有③④（写出所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据抽象函数定义域的求法，可判断①；根据反比例函数的图象和性质，可判断②；根据映射的定义，可判断③；根据已知得到=f（1）=2，进而可判断④【解答】解：①若函数f（x）的定义域为[0，2]，由2x∈[0，2]得：x∈[0，1]，即函数f（2x）的定义域为[0，1]；故错误；②函数f（x）=的单调递减区间是（﹣∞，0），（0，+∞），故错误；③∵集合P={a，b}，Q={﹣1，0，1}，∴满足f（b）=0的映射共有：，，共3个，故正确；④若f（x+y）=f（x）f（y），则f（x+1）=f（x）f（1），则=f（1）=2，又∵f（1）=2，∴++…++=2×1008=xx；故正确．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集U=R．，A={x|﹣4≤x＜2}，B={x|﹣1＜x≤3}，P={x|x≤0或x≥}，求A∩B，（∁U B）∪P，（A∩B）∩（∁U P）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】进行交集、并集，及补集的运算即可．【解答】解：A∩B={x|﹣1＜x＜2}，∁U B={x|x≤﹣1，或x＞3}；∴，，A∩B={x|﹣1＜x＜2}；∴（A∩B）∩（∁U P）={x|0＜x＜2}．18．已知集合A={1，a，b}，B={a，a2，ab}，若A=B，求a+b的值．【考点】集合的相等．【分析】根据集合元素的互异性得到关于a的方程组或，通过解方程组求得a、b的值，则易求a+b的值．【解答】解：由题意得①组或②，由①得a=±1，当a=1时，A={1，1，b}，不符合，舍去；当a=﹣1时，b=0，A={1，﹣1，0}，B={﹣1，1，0}，符合题意．由②得a=1，舍去，所以a+b=﹣1．19．函数f（x）=x+．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在[，+∞）内是增函数．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）先确定函数的定义域，再根据奇偶性的定义作出判断；（2）直接用定义证明函数的单调性．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（﹣x）=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数；（2）任取x1，x2∈[，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）（），因为≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0且x1x2＞2，因此，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[，+∞）内是增函数．20．已知函数f（x）=．（1）求f（2），f（），f（3）、f（）的值；（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f（）有什么关系？并证明你的发现；（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（）+…+f（）的值．【考点】函数的值．【分析】（1）由f（x）=，能求出f（2），f（），f（3）、f（）的值．（2）发现：f（x）+f（）=1．利用函数性质能进行证明．（3）由f（x）+f（）=1，能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（）+…+f（）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f（2）==，f（）==，f（3）==，f（）==．（2）由以上结果发现：f（x）+f（）=1．证明：∵f（x）=．∴f（x）+f（）=+==1．（3）∵f（x）+f（）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（）+…+f（）=．21．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（x+4）．（1）求x＞0时，函数f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）的图象，并写出单调区间．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）利用函数是奇函数，当x≤0时，f（x）=x（x+4，可求x＞0时，函数f（x）的解析式．（2）根据二次函数的性质作图即可．注意定义域的范围．【解答】解：（1）由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），当x≤0时，f（x）=x（x+4）．当x＞0时，则﹣x＜0，有f（﹣x）=﹣x（﹣x+4）=﹣f（x）．∴f（x）=x（﹣x+4）∴x＞0时，函数f（x）的解析式为f（x）=x（﹣x+4）（2）根据二次函数的性质作图，如下：通过图象可得：（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）是单调减区间．（﹣2，2）是单调增区间．22．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．xx年1月20日21326 534E 华38739 9753 靓24005 5DC5 巅QJ 22750 58DE 壞31957 7CD5 糕$28554 6F8A 澊R37315 91C3 釃30787 7843 硃26237 667D 晽25791 64BF 撿。

广东省中山市第一中学2018-2019学年高一上学期第一次段考(10月)数学试题(解析版)

中山市第一中学2018-2019 学年度第一学期高一级第一次段考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共12个小题,每小题5分，共60分．每题只有一项是符合题目要求．）1.下列说法正确的有（）①联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；②；③集合与集合是同一个集合；④空集是任何集合的真子集.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题的真假．【详解】对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0∉N*，错误；对于③，集合{y=x2-1}列举的是一个等式，集合{（x，y）|y=x2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误；故选：A．【点睛】本题考查集合的确定性，元素与集合的关系，列举法和描述法表示集合以及空集的有关性质，属于基础题．2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得集合A，然后进行交集运算即可.【详解】求解函数的定义域可得：，结合交集的定义有：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.如图中阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．【详解】由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，即B与[C U（A∪C）]的交集组成的集合，即：B∩[C U（A∪C）]．故选：A．4.已知集合，且，则等于（）A. -1B.C.D. 或-1【答案】C【解析】或或∴当时，，不符合集合中元素的互异性，故应舍去当时，，满足题意故选C．【点睛】本题主要考察了集合中元素的互异性，较难．解题的关键是求出的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．5.下列函数中，在区间上是增函数的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合函数的性质逐一考查函数的性质即可.详解：选项，图象为开口向上的抛物线，对称轴为，函数在上单调递减，故不满足题意，错误；选项，故函数在上单调递减，当然在上单调递减，故错误；选项，在和均单调递增，显然满足在上单调递增，故正确；选项，在定义域单调递减，故不满足题意．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数的单调性及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设如果且那么符合条件的集合的个数是（）A. 4B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】【分析】,根据A={1，2，3，4}，S⊆A，可得S={4}，{2}，{1，2 }，{1，4}，{2，3 }，{2，4}，{3，4}，{1，2，,3 }，{1，2，4}，{1，3，4}，（2，3，4），{1，2，3，4}，由此可得结论．【详解】∵A={1，2，3，4}，S⊆A∴S={4}，{2}，{1，2 }，{1，4}，{2，3 }，{2，4}，{3，4}，{1，2，,3 }，{1，2，4}，{1，3，4}，（2，3，4），{1，2，3，4}故满足S⊆A且S∩B≠ϕ的集合S的个数为12个故答案为：D【点睛】本题考查集合的包含关系，考查子集的含义，正确运用子集的含义是关键．7.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】原函数解析式中含有二次根式，含有分式和零次幂的指数式，让根式内部的代数式大于等于0，零次幂的指数式和分式的分母不等于0，求解x的交集即可．【详解】要使原函数有意义，则，即，解得，且．所以，原函数的定义域为．故选：B．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是函数解析式有意义的自变量x的取值集合，注意用集合或区间表示，是中档题．8.已知函数与的定义如图所示，则方程的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1，g（2）=2，g（3）=1，g（1）=3，即可得出方程的解集．【详解】：∵f（1）=2，f（2）=3，f（3）=1，f（g（1））=2，f（g（2））=2，g（2））=3，∴只有f（g（1））=2满足，因此方程的解集是{1}．故选：A．【点睛】本题考查了函数的值的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据f（x）的单调区间求出a的范围，利用f（x）的单调性求出f（x）的最大值和最小值，得出g（a）的解析式，利用g（a）的单调性计算g（a）的最小值．【详解】：∵f（x）在（-∞，1]上是减函数，∴-a≥1，即a≤-1．∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a2+4a+4，最小值为f（1）=4+2a，∴，∴g（a）在（-∞，-1]上单调递减，∴g（a）的最小值为g（-1）=1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的单调性判断，最值计算，属于中档题．10.若是定义在上的减函数，则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】】由题意可得3a-1＜0、-a＜0、且-a≤3a-1+4a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的范围．【详解】由题意可得，求得，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．11.设奇函数在是增函数，且，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及解不等式的综合类问题．在解答时，首先要结合奇偶性和单调性对不等式进行转化变形，将问题转化为解不等式：2xf（x）＜0，然后再分类讨论即可获得问题的解答．【详解】：∵函数f（x）是奇函数，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴它在（-∞，0）上也是增函数．∵f（-x）=-f（x），∴f（-1）=f（1）=0．不等式x[f（x）-f（-x）]＜0可化为2xf（x）＜0，即xf（x）＜0，∴当x＜0时，可得f（x）＞0=f（-1），∴x＞-1，∴-1＜x＜0；当x＞0时，可得f（x）＜0=f（1），∴x＜1，∴0＜x＜1．综上，不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}．故选：D．【点睛】本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及解不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了转化的思想、数形结合的思想以及函数单调性与奇偶性的知识．值得同学们体会和反思．12.已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数f（x）、g（x）在[-1，2]上的值域，根据对任意的x1∈[-1，2]都存在x0∈[-1，2]，使得g（x1）=f（x0），可g（x）值域是f（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．【详解】∵函数f（x）=x2-2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[-1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=-1，最大值为f（-1）=3，可得f（x1）值域为[-1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[-1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（-1），g（2）]即g（x2）∈[2-a，2a+2]∵对任意的x1∈[-1，2]都存在x0∈[-1，2]，使得g（x1）=f（x0）∴，∴．【点睛】本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，满分20分.）13.化简：= ______．（用分数指数幂表示）.【答案】【解析】.故答案为;.14.若，则的解析式为________________.【答案】【解析】【分析】（换元法）令注意，【详解】令，∴t≥1，即即答案为.【点睛】本题考查了函数的解析式的求法，常用求法本题中均有体现，是一道基础题．15.函数在区间上的值域是________________.【答案】【解析】【分析】根据函数在区间上上的单调性，求函数在区间上的值域.【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，故又即函数在区间上的值域是.即答案为.【点睛】本题考查利用函数的单调性求值域，属基础题.16.已知函数的定义域为，则可求的函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.【答案】【解析】函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数的图象，如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）已知集合，集合，全集，求，；（2）已知集合，，若，求实数的值．【答案】（1），或；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用交集，并集的运算法则求出A∩B．A∪B；（2）根据集合的基本运算进行求解即可．【详解】（1）由题设知或，，得，或.（2）若，则或，即或，得或，当时此时，集合不成立，当时，，，此时，不满足，所以.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合元素的互异性进行检验是解决本题的关键．18.已知集合，.（1）若，求；（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）时，，，可求，（2）首先求得集合A，然后结合题意分类讨论即可求得最终结果【详解】（1）时，，，.（2）得，，.当，即，符合；当，即，，符合；当，即，中有两个元素，，∴，综上，或.【点睛】本题考查交并补混合运算以及子集问题，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．19.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值．【答案】（1）和；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调递增函数；（2）令，则，根据条件可得，利用函数是定义在上的偶函数，可得，从而可得函数的解析式；（3）先求出抛物线对称轴，然后分当时，当，当时三种情况，根据二次函数的增减性解答.试题解析：（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.∵函数是定义在上的偶函数，且当时，.∴，∴.（3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小；当时，为最小.综上，有：的最小值为.点睛：本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式，分段函数的单调性，函数最值的求解等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中熟记分析函数性质的求解方法是解答的关键.20.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）用函数单调性定义证明：在上是增函数．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，得，可得的定义域；（2）证明：，任取，则，判断符号即可.【详解】（1）由，得，即的定义域；（2）证明：，任取，则，∵，∴，，，则，即，则函数在上是增函数.【点睛】本题考查函数定义域的求法，以及利用函数单调性定义证明，属基础题.21.某种商品在天内每克的销售价格(元)与时间的函数图象是如图所示的两条线段（不包含两点）；该商品在 30 天内日销售量(克)与时间(天)之间的函数关系如下表所示:天（1）根据提供的图象，写出该商品每克销售的价格(元)与时间的函数关系式；（2）根据表中数据写出一个反映日销售量随时间变化的函数关系式；（3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的值.（注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）【答案】（1）；（2）；（3）25.【解析】【分析】（1）设AB所在的直线方程为P=kt+20，将B点代入可得k值，由CD两点坐标可得直线CD所在的两点式方程，进而可得销售价格P（元）与时间t的分段函数关系式．（2）设Q=k1t+b，把两点（5，35），（15，25）的坐标代入，可得日销售量Q随时间t变化的函数的解析式（3）设日销售金额为y，根据销售金额=销售价格×日销售量，结合（1）（2）的结论得到答案．【详解】（1）由图可知，，，，设所在直线方程为，把代入得，所以.，由两点式得所在的直线方程为，整理得，，，所以，（2）由题意，设，把两点，代入得，解得所以把点，代入也适合，即对应的四点都在同一条直线上，所以.（本题若把四点中的任意两点代入中求出，，再验证也可以）（3）设日销售金额为，依题意得，当时，配方整理得，当时，在区间上的最大值为900当时，，配方整理得，所以当时，在区间上的最大值为1125.综上可知日销售金额最大值为1125元，此时.【点睛】本小题主要考查具体的函数模型在实际问题中的应用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及应用意识和运算求解能力22.设是定义在上的函数，满足，当时，．（）求的值，试证明是偶函数．（）证明在上单调递减．（）若，，求的取值范围．【答案】(1)；证明见解析.(2)证明见解析.(3).【解析】分析：（1）先求得，再求得，令，则，从而可得结论；（2）设，，，，∵，则，即，从而可得结果；(3)求得，可得，化为，从而可得结果.详解：（）∵令得∴．令，，，，令，则．即是定义在上的偶函数．（）∵，∴，设，，，，∵，则，即，即在上单调递减．（）∵，∴，∴，∵为偶函数，且在上单调递减，∴，综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.。

2020-2021学年广东省中山纪念中学高一(上)第一次段考数学试卷

2020-2021学年广东省中山纪念中学高一（上）第一次段考数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知全集U={0.1.2.3.4.5.6.7.8.9}.集合A={0.1.3.5.8}.集合B={2.4.5.6.8}.则（∁U A）∩（∁U B）=（）A.{5.8}B.{7.9}C.{0.1.3}D.{2.4.6}2.（单选题.5分）命题：“对任意的x∈R.x2+x+1＞0”的否定是（）A.不存在x∈R.x2+x+1＞0B.存在x0∈R.x02+x0+1＞0C.存在x0∈R.x02+x0+1≤0D.对任意的x∈R.x2+x+1≤03.（单选题.5分）已知函数f(x)=1x2+2.则f（x）的值域是（）A.{y|y≤ 12}B.{y|y≥ 12}C.{y|0＜y≤ 12}D.{y|y＞0}4.（单选题.5分）已知a∈R.则“a＞1”是“ 1a＜1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5.（单选题.5分）已知不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}.则不等式bx2-5x+a＞0的解集为（）A.{x|- 13＜x＜12}B.{x|x＜- 13或x＞12}C.{x|-3＜x＜2}D.{x|x＜-3或x＞2}6.（单选题.5分）设集合A={1.2.4}.B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}.则B=（）A.{1.-3}B.{1.5}C.{1.0}D.{1.3}7.（单选题.5分）设f（x）= {√x，0＜x＜12(x−1)，x≥1若f（a）=f（a+1）.则f（1a）=（）A.2B.4C.6D.88.（多选题.5分）下列各组函数中.两个函数是同一函数的有（）A.f（x）=|x|与g(x)=√x2B.f（x）=x+1与g(x)=x2−1x−1C.f（x）= |x|x 与g（x）= {1，x＞0−1，x＜0D. f(x)=√x2−1与g(x)=√x+1•√x−19.（多选题.5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数.下列命题中正确的有（）A.f（0）=0B.若f（x）在[0.+∞）上有最小值-1.则f（x）在（-∞.0]上有最大值1C.若f（x）在[1.+∞）上为增函数.则f（x）在（-∞.-1]上为减函数D.若x＞0时.f（x）=x2-2x.则当x＜0时.f（x）=-x2-2x10.（多选题.5分）对于实数a、b、c.下列命题中正确的是（）A.若a＞b.则ac＜bcB.若a＜b＜0.则a2＞ab＞b2C.若c＞a＞b＞0.则ac−a ＞bc−bD.若a＞b. 1a ＞1b.则a＞0.b＜011.（多选题.5分）下列求最值的运算中.运算方法错误的有（）A.若x＜0. x+1x =−[(−x)+1−x]≤−2√(−x)•1−x=−2 .故x＜0时. x+1x的最大值是-2B.当x ＞1时. x +2x−1≥2√x •2x−1.当且仅当 x =2x−1取等.解得x=-1或2．又由x ＞1.所以取x=2.故x ＞1时.原式的最小值为 2+22−1=4 C.由于 x 2+9x 2+4=x 2+4+9x 2+4−4≥2√(x 2+4)•9x 2+4−4=2 .故 x 2+9x 2+4的最小值为2D.当x.y ＞0.且x+4y=2时.由于 2=x +4y ≥2√x •4y =4√xy .∴ √xy ≤12.又 1x+1y≥2√1x•1y=2√xy≥212=4 .故当x.y ＞0.且x+4y=2时. 1x +1y的最小值为412.（填空题.5分）设函数f （x ）= {√2x −1−x 2，x ≥12f (x +2)，x ＜12.则f （-3）=___ ．13.（填空题.5分）函数f （x ）=2x 2−4x+5x−1（x ＞1）的最小值是___ ． 14.（填空题.5分）如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅游者在相距80km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系.有人根据函数图象.提出了关于这两个旅行者的如图信息：① 骑自行车者比骑摩托车者早出发3h.晚到1h ； ② 骑自行车者是变速运动.骑摩托车者是匀速运动； ③ 骑摩托车者在出发1.5h 后追上了骑自行车者； ④ 骑摩托车者在出发1.5h 后与骑自行车者速度一样．其中.正确信息的序号是___ ．15.（填空题.5分）若函数 f (x )={−x 2+(2−a )x ，x ≤0(2a −1)x +a −1，x ＞0在R 上为增函数.则a 取值范围为___ ．16.（问答题.10分）已知全集U=R.集合A={x|x 2-2x-15＜0}.集合B={x|（x-2a+1）（x-a 2）＜0}．（1）若a=1.求∁U A 和B ；（2）若A∪B=A .求实数a 的取值范围．17.（问答题.12分）为了保护环境.发展低碳经济.某单位在国家科研部门的支持下.进行技术攻关.采用了新工艺.把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨.最多为600吨.月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000 .且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时.才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利.求出最大利润；如果不获利.则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？18.（问答题.12分）已知函数f（x）= ax+bx2+1是定义在（-1.1）上的奇函数.且f（12）= 25．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（-1.1）上的单调性.并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+ 12）+f（t- 12）＜0．19.（问答题.12分）设函数f（x）对任意x.y∈R.都有f（x+y）=f（x）+f（y）.且x＞0.f（x）＜0；f（1）=-2．（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间[-3.3]上的最大值和最小值．20.（问答题.12分）已知f（x）=ax2+x-a.a∈R．（1）若a=1.解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）＞-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立.求实数a的取值范围；（3）若a＜0.解不等式f（x）＞1．21.（问答题.12分）已知幂函数f（x）=（p2-3p+3）x p2−32p−12满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f2（x）+mf（x）.x∈[1.9].是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在.求出m的值；若不存在.说明理由．（3）若函数h（x）=n-f（x+3）.是否存在实数a.b（a＜b）.使函数h（x）在[a.b]上的值域为[a.b]？若存在.求出实数n的取值范围；若不存在.说明理由．2020-2021学年广东省中山纪念中学高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知全集U={0.1.2.3.4.5.6.7.8.9}.集合A={0.1.3.5.8}.集合B={2.4.5.6.8}.则（∁U A）∩（∁U B）=（）A.{5.8}B.{7.9}C.{0.1.3}D.{2.4.6}【正确答案】：B【解析】：由题已知全集U={0.1.2.3.4.5.6.7.8.9}.集合A={0.1.3.5.8}.集合B={2.4.5.6.8}.可先求出两集合A.B的补集.再由交的运算求出（∁U A）∩（∁U B）【解答】：解：由题义知.全集U={0.1.2.3.4.5.6.7.8.9}.集合A={0.1.3.5.8}.集合B={2.4.5.6.8}. 所以C U A={2.4.6.7.9}.C U B={0.1.3.7.9}.所以（C U A）∩（C U B）={7.9}故选：B．【点评】：本题考查交、并、补集的混合计算.解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则2.（单选题.5分）命题：“对任意的x∈R.x2+x+1＞0”的否定是（）A.不存在x∈R.x2+x+1＞0B.存在x0∈R.x02+x0+1＞0C.存在x0∈R.x02+x0+1≤0D.对任意的x∈R.x2+x+1≤0【正确答案】：C【解析】：直接利用全称命题的否定是特称命题.写出结果即可．【解答】：解：因为全称命题的否定是特称命题.所以.命题：“对任意的x∈R.x2+x+1＞0”的否定是：存在x0∈R.x02+x0+1≤0．故选：C．【点评】：本题考查全称命题与特称命题的否定关系.基本知识的考查．3.（单选题.5分）已知函数f(x)=1x2+2.则f（x）的值域是（）A.{y|y≤ 12}B.{y|y≥ 12}C.{y|0＜y≤ 12}D.{y|y＞0}【正确答案】：C【解析】：根据条件知x2+2≥2.故0＜1x2+2≤12.即可得函数的值域．【解答】：解：∵x2+2≥2.∴ 0＜1x2+2≤12；∴f（x）的值域是{y|0＜y≤ 12}．故选：C．【点评】：本题考查了根据基本初等函数求值域问题.属于基础题．4.（单选题.5分）已知a∈R.则“a＞1”是“ 1a＜1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：A【解析】：“a＞1”⇒“ 1a ＜1”.“ 1a＜1”⇒“a＞1或a＜0”.由此能求出结果．【解答】：解：a∈R.则“a＞1”⇒“ 1a＜1”.“ 1a＜1”⇒“a＞1或a＜0”.∴“a＞1”是“ 1a＜1”的充分非必要条件．故选：A．【点评】：本题考查充分条件、必要条件的判断.考查不等式的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（单选题.5分）已知不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}.则不等式bx2-5x+a＞0的解集为（）A.{x|- 13＜x＜12}B.{x|x＜- 13或x＞12}C.{x|-3＜x＜2}D.{x|x＜-3或x＞2}【正确答案】：B【解析】：由不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}得到a、b的值.代入到不等式中确定出不等式.求出解集即可．【解答】：解：因为ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2-5x+b=a（x+3）（x-2）且a＜0解得a=-5.b=30．则不等式bx2-5x+a＞0变为30x2-5x-5＞0解得x＜- 13或x ＞12故选：B．【点评】：考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力.会解一元二次不等式的能力.6.（单选题.5分）设集合A={1.2.4}.B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}.则B=（）A.{1.-3}B.{1.5}C.{1.0}D.{1.3}【正确答案】：D【解析】：由交集的定义可得1∈A且1∈B.代入二次方程.求得m.再解二次方程可得集合B．【解答】：解：集合A={1.2.4}.B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}.则1∈A且1∈B.可得1-4+m=0.解得m=3.即有B={x|x2-4x+3=0}={1.3}．故选：D．【点评】：本题考查了交集及其运算.考查了一元二次不等式的解法.是基础题．7.（单选题.5分）设f （x ）= {√x ，0＜x ＜12(x −1)，x ≥1若f （a ）=f （a+1）.则f （ 1a）=（）A.2B.4C.6D.8【正确答案】：C【解析】：利用已知条件.求出a 的值.然后求解所求的表达式的值即可．【解答】：解：当a∈（0.1）时.f （x ）= {√x ，0＜x ＜12(x −1)，x ≥1.若f （a ）=f （a+1）.可得 √a =2a.解得a= 14 .则：f （ 1a ）=f （4）=2（4-1）=6．当a∈[1.+∞）时．f （x ）= {√x ，0＜x ＜12(x −1)，x ≥1 .若f （a ）=f （a+1）.可得2（a-1）=2a.显然无解．故选：C ．【点评】：本题考查分段函数的应用.考查转化思想以及计算能力． 8.（多选题.5分）下列各组函数中.两个函数是同一函数的有（） A.f （x ）=|x|与 g (x )=√x 2 B.f （x ）=x+1与 g (x )=x 2−1x−1C.f （x ）= |x|x与g （x ）= {1，x ＞0−1，x ＜0D. f (x )=√x 2−1 与 g (x )=√x +1•√x −1 【正确答案】：AC【解析】：判断函数的定义域与对应法则是否相同.即可判断两个函数是否为相同函数．【解答】：解：对于选项A ：函数g （x ）= √x 2 =|x|.两函数的定义域都、值域和解析式都相同.所以它们是同一个函数.对于选项B ：函数f （x ）的定义域为R.函数g （x ）的定义域为{x|x≠1}.它们的定义域不同.所以它们不是同一个函数. 对于选项C ：函数f （x ）= {1，x ＞0−1，x ＜0.两函数的定义域、值域和解析式都相同.所以它们是同一个函数.对于选项D：函数f（x）的定义域为{x|x≤-1或x≥1}.函数g（x）的定义域为{x|x≥1}.它们的定义域不同.所以它们不是同一个函数.故选：AC．【点评】：本题考查函数的基本性质.判断两个函数是否相同.需要判断定义域与对应法则是否相同．9.（多选题.5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数.下列命题中正确的有（）A.f（0）=0B.若f（x）在[0.+∞）上有最小值-1.则f（x）在（-∞.0]上有最大值1C.若f（x）在[1.+∞）上为增函数.则f（x）在（-∞.-1]上为减函数D.若x＞0时.f（x）=x2-2x.则当x＜0时.f（x）=-x2-2x【正确答案】：ABD【解析】：根据题意.由奇函数的性质依次分析选项.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A.函数f（x）是定义在R上的奇函数.则f（-x）=-f（x）.当x=0时.有f（0）=-f（0）.变形可得f（0）=0.A正确.对于B.若f（x）在[0.+∞）上有最小值-1.即x≥0时.f（x）≥-1.则有-x≤0.f（-x）=-f（x）≤1.即f（x）在（-∞.0]上有最大值1.B正确.对于C.奇函数在对应的区间上单调性相同.则若f（x）在[1.+∞）上为增函数.则f（x）在（-∞.-1]上为增函数.C错误.对于D.设x＜0.则-x＞0.则f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x.则f（x）=-f（-x）=-（x2+2x）=-x2-2x.D正确.故选：ABD．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用.注意函数的奇偶性与单调性的关系.属于基础题．10.（多选题.5分）对于实数a、b、c.下列命题中正确的是（）A.若a＞b.则ac＜bcB.若a＜b＜0.则a2＞ab＞b2C.若c＞a＞b＞0.则ac−a ＞bc−bD.若a ＞b. 1a ＞1b .则a ＞0.b ＜0 【正确答案】：BCD【解析】：利用不等式的性质和作差法判断即可．【解答】：解：对于实数a 、b 、c. A 错.c ＞0.不成立.B 对.a ＜b ＜0.因为a ＜0.所以a 2＞ab 成立.因为b ＜0.所以ab ＞b 2成立.C 对.若c ＞a ＞b ＞0.则c-a ＞0.c-b ＞0.且-a ＜-b.c-a ＜c-b.故 1 c−a ＞1c−b ＞0.又a ＞b ＞0.则 ac−a ＞bc−b成立. D 对. 1a ＞1b .则 1 a −1b ＞0.即 b−aab ＞0 .又a ＞b.则ab ＜0.故a ＞0.b ＜0．故选：BCD ．【点评】：考查了不等式的性质.作差法比较大小等.基础题． 11.（多选题.5分）下列求最值的运算中.运算方法错误的有（）A.若x ＜0. x +1x =−[(−x )+1−x ]≤−2√(−x )•1−x =−2 .故x ＜0时. x +1x 的最大值是-2 B.当x ＞1时. x +2x−1≥2√x •2x−1.当且仅当 x =2x−1取等.解得x=-1或2．又由x ＞1.所以取x=2.故x ＞1时.原式的最小值为 2+22−1=4C.由于 x 2+9x 2+4=x 2+4+9x 2+4−4≥2√(x 2+4)•9x 2+4−4=2 .故 x 2+9x 2+4 的最小值为2 D.当x.y ＞0.且x+4y=2时.由于 2=x +4y ≥2√x •4y =4√xy .∴ √xy ≤12 .又 1x +1y ≥2√1x •1y =√xy≥212=4 .故当x.y ＞0.且x+4y=2时. 1x +1y 的最小值为4【正确答案】：BCD【解析】：利用基本不等式的性质逐项检查即可.需要注意取等的条件．【解答】：解：对于A.符合基本不等式中的“一正二定三相等”.即A 的运算方法正确；对于B.当x ＞1时.x+ 2x−1 =x-1+ 2x−1 +1≥2 √(x −1)•2x−1 +1= 2√2 +1. 当且仅当x-1= 2x−1 .即x= √2 +1时.等号成立.即B 的运算方法错误；对于C.取等的条件是x 2+4= 9x 2+4 .即x 2+4=±3.显然均不成立.即C 的运算方法错误；对于D.第一次使用基本不等式的取等条件为x=4y.而第二次使用基本不等式的取等条件为x=y.两者不能同时成立.即D 的运算方法错误．故选：BCD ．【点评】：本题考查利用基本不等式处理最值问题.理解“一正二定三相等”是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.属于中档题． 12.（填空题.5分）设函数f （x ）= {√2x −1−x 2，x ≥12f (x+2)，x ＜12.则f （-3）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据题意.由函数的解析式可得f （-3）=f （-1）=f （1）.计算可得答案．【解答】：解：根据题意.f （x ）= {√2x −1−x 2，x ≥12f (x +2)，x ＜12.则f （-3）=f （-1）=f （1）= √2×1−1 -1=0. 故答案为：0【点评】：本题考查分段函数解析式的运用.涉及函数值的计算.属于基础题． 13.（填空题.5分）函数f （x ）= 2x 2−4x+5x−1（x ＞1）的最小值是___ ．【正确答案】：[1]2 √6 【解析】：由f （x ）= 2x 2−4x+5x−1 = 2(x−1)2+3x−1 =2（x-1）+ 3x−1.利用基本不等式即可求出．【解答】：解：∵x ＞1.∴x -1＞0. ∴f （x ）=2x 2−4x+5x−1 = 2(x−1)2+3x−1 =2（x-1）+ 3x−1≥2√2(x −1)(3x−1) =2 √6 .当且仅当2（x-1）= 3x−1时取等号.即x=1+ √62时.函数f （x ）=2x 2−4x+5x−1的最小值为2 √6 .故答案为：2 √6 ．【点评】：本题考查基本不等式的应用.属于基础题．14.（填空题.5分）如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅游者在相距80km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系.有人根据函数图象.提出了关于这两个旅行者的如图信息：① 骑自行车者比骑摩托车者早出发3h.晚到1h ； ② 骑自行车者是变速运动.骑摩托车者是匀速运动； ③ 骑摩托车者在出发1.5h 后追上了骑自行车者； ④ 骑摩托车者在出发1.5h 后与骑自行车者速度一样．其中.正确信息的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：利用函数的图象.判断摩托车与自行车的速度关系.判断命题的真假即可．【解答】：解：看时间轴易知 ① 正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线.匀速运动．而骑自行车者在3h 到4h 中停了1小时.故 ② 正确；他们的速度一直不一样.但在4.5h 时骑摩托车者追上了骑直行车者.故 ③ 正确. ④ 错误．故答案为： ① ② ③ ．【点评】：本题考查命题的真假的判断.函数的图象的识别与应用.是基本知识的考查． 15.（填空题.5分）若函数 f (x )={−x 2+(2−a )x ，x ≤0(2a −1)x +a −1，x ＞0在R 上为增函数.则a 取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.2]【解析】：由一次函数、二次函数.及增函数的定义便可得到 {2−a 2≥0a −1≥02a −1＞0 .从而解该不等式组即可得出a 的取值【解答】：解：f （x ）在（-∞.+∞）内是增函数；∴根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a 满足： {2−a 2≥0a −1≥02a −1＞0 ；解得1≤a≤2；∴a的取值范围为[1.2]．故答案为：[1.2]．【点评】：考查增函数的定义.一次函数及二次函数、分段函数的单调性.二次函数的对称轴．16.（问答题.10分）已知全集U=R.集合A={x|x2-2x-15＜0}.集合B={x|（x-2a+1）（x-a2）＜0}．（1）若a=1.求∁U A和B；（2）若A∪B=A.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为A∪B=A.所以B⊆A.对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论.求出a的取值范围．【解答】：解：（1）若a=1.则集合A={x|x2-2x-15＜0}={x|-3＜x＜5}.∴∁U A={x|x≤-3或x≥5}.若a=1.则集合B={x|（x-2a+1）（x-a2）＜0}={x|（x-1）2＜0}=∅.（2）因为A∪B=A.所以B⊆A.① 当B=∅时.a2=2a-1.解a=1.② 当B≠∅时.即a≠1时.B={x|2a-1＜x＜a2}.又由（1）可知集合A={x|-3＜x＜5}.∴ {2a−1≥−3.解得-1 ≤a≤√5 .且a≠1.a2≤5综上所求.实数a的取值范围为：-1 ≤a≤√5．【点评】：本题主要考查了集合的基本运算.是基础题．17.（问答题.12分）为了保护环境.发展低碳经济.某单位在国家科研部门的支持下.进行技术攻关.采用了新工艺.把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨.最多为600吨.月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示x2−200x+80000 .且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．为：y=12（1）该单位每月处理量为多少吨时.才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利.求出最大利润；如果不获利.则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【正确答案】：【解析】：（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=12x2−200x+80000 .两边同时除以x.然后利用不等式的性质进行放缩.从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S.则S=100x-y.把y值代入进行化简.然后运用配方法进行求解．【解答】：解：（1）由题意可知.二氧化碳的每吨平均处理成本为：yx =12x+80000x−200（4分）≥2√12x•80000x−200=200 .当且仅当12x=80000x.即x=400时.才能使每吨的平均处理成本最低.最低成本为200元．（8分）（2）设该单位每月获利为S.则S=100x-y （10分）= 100x−(12x2−200x+80000)=−12x2+300x−80000 = −12(x−300)2−35000因为400≤x≤600.所以当x=400时.S有最大值-40000．故该单位不获利.需要国家每月至少补贴40000元.才能不亏损．（16分）【点评】：此题是一道实际应用题.考查了函数的最值和不等式的基本性质.及运用配方法求函数的最值．18.（问答题.12分）已知函数f（x）= ax+bx2+1是定义在（-1.1）上的奇函数.且f（12）= 25．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（-1.1）上的单调性.并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+ 12）+f（t- 12）＜0．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的性质可知.f （0）=0.代入可求b.然后根据 f (12)=25.代入可求a ；（2）任取-1＜x 1＜x 2＜1.然后利用作差法比较f （x 1）与f （x 2）的大小即可判断；（3）结合（2）的单调性即可求解不等式．【解答】：解：（1）由奇函数的性质可知.f （0）=0. ∴b=0.f （x ）= ax1+x 2 .∵ f (12)=25 = 12a 1+14． ∴a=1.f （x ）= xx 2+1 ；（2）函数f （x ）在（-1.1）上是增函数．证明：任取-1＜x 1＜x 2＜1.则f （x 1）-f （x 2）= x 11+x 12 - x21+x 22 =x 1+x 1x 22−x 2−x 2x 12(1+x 12)(1+x 22) = (x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)＜0. 所以f （x 1）＜f （x 2）.所以函数f （x ）在（-1.1）上是增函数；（3）由 f (t +12)＜−f (t −12)⇒f (t +12)＜f (12−t) . ∴ { t +12＜12−t −1＜t +12＜1−1＜t −12＜1⇒{ t ＜0−32＜t ＜12−12＜t ＜32⇒−12＜t ＜0 −12＜t ＜0 ．故不等式的解集为（- 12 .0）．【点评】：本题主要考查了奇函数的性质及函数的单调性的定义在单调性的判断中的应用.及利用函数的单调性求解不等式.属于函数性质的综合应用．19.（问答题.12分）设函数f （x ）对任意x.y∈R .都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）.且x ＞0.f （x ）＜0；f （1）=-2．（1）证明f （x ）是奇函数；（2）证明f （x ）在R 上是减函数；（3）求f （x ）在区间[-3.3]上的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）先利用赋值法求出f（0）的值.欲证明f（x）是奇函数.即证明f（x）+f（-x）=0.再在题中条件中令y=-x即得；（2）利用单调性的定义证明.任取x1、x2∈R.且x1＜x2.证明即f（x1）＞f（x2）.即可；（3）利用（2）的结论得f（x）在[-3.3]上的最大值是f（-3）.最小值为f（3）．故只要求出f （3）和f（-3）即可．【解答】：证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）.得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）.∴f（x）+f（-x）=f（0）．又f（0+0）=f（0）+f（0）.∴f（0）=0．从而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函数．（2）任取x1、x2∈R.且x1＜x2.则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）．由x1＜x2.∴x2-x1＞0．∴f（x2-x1）＜0．∴-f（x2-x1）＞0.即f（x1）＞f（x2）.从而f（x）在R上是减函数．（3）由于f（x）在R上是减函数.故f（x）在[-3.3]上的最大值是f（-3）.最小值为f（3）．由f（1）=-2.得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（-2）=-6.f（-3）=-f（3）=6．∴最大值为6.最小值为-6．【点评】：本题主要考查了抽象函数及其应用.考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题．20.（问答题.12分）已知f（x）=ax2+x-a.a∈R．（1）若a=1.解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）＞-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立.求实数a的取值范围；（3）若a＜0.解不等式f（x）＞1．【正确答案】：【解析】：（1）当a=1.不等式即（x+2）（x-1）≥0.解此一元二次不等式求得它的解集．（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a-1＞0恒成立.当a=-2 时.显然不满足条件.故有{a+2＞0△=16−4(a+2)(a−1)＜0.由此求得a的范围．（3）若a＜0.不等式为 ax2+x-a-1＞0.即（x-1）（x+ a+1a ）＜0．再根据1和- a+1a的大小关系.求得此不等式的解集．【解答】：解：（1）当a=1.不等式f（x）≥1即 x2+x-1≥1.即（x+2）（x-1）≥0.解得x≤-2.或x≥1.故不等式的解集为{x|x≤-2.或x≥1}．（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a-1＞0恒成立.当a=-2 时.显然不满足条件.∴ {a+2＞0△=16−4(a+2)(a−1)＜0．解得 a＞2.故a的范围为（2.+∞）．（3）若a＜0.不等式为 ax2+x-a-1＞0.即（x-1）（x+ a+1a）＜0．∵1-（- a+1a ）= 2a+1a.∴当- 12＜a＜0时.1＜- a+1a.不等式的解集为 {x|1＜x＜- a+1a}；当 a=- 12时.1=- a+1a.不等式即（x-1）2＜0.它的解集为∅；当a＜- 12时.1＞- a+1a.不等式的解集为 {x|- a+1a＜x＜1}．【点评】：本题主要考查一元二次不等式的解法.函数的恒成立问题.体现了分类讨论的数学思想.属于中档题．21.（问答题.12分）已知幂函数f（x）=（p2-3p+3）x p2−32p−12满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f2（x）+mf（x）.x∈[1.9].是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在.求出m的值；若不存在.说明理由．（3）若函数h（x）=n-f（x+3）.是否存在实数a.b（a＜b）.使函数h（x）在[a.b]上的值域为[a.b]？若存在.求出实数n的取值范围；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据幂函数f（x）是幂函数.可得p2-3p+3=1.求解p.可得解析式；（2）由函数g（x）=f2（x）+mf（x）.x∈[1.9].利用换元法转化为二次函数问题求解最小值.可得m的值；（3）由函数h（x）=n-f（x+3）.求解h（x）的解析式.判断其单调性.根据在[a.b]上的值域为[a.b].转化为方程有解问题求解n的取值范围．【解答】：解：（1）∵f（x）是幂函数.∴得p2-3p+3=1.解得：p=1或p=2当p=1时.f（x）= 1x.不满足f（2）＜f（4）．当p=2时.f（x）= √x .满足f（2）＜f（4）．∴故得p=2.函数f（x）的解析式为f（x）= √x；（2）由函数g（x）=f2（x）+mf（x）.即g（x）= (√x)2+m√x .令t= √x .∵x∈[1.9].∴t∈[1.3].记k（x）=t2+mt.其对称在t= −m2.① 当−m2≤1.即m≥-2时.则k（x）min=k（1）=1+m=0.解得：m=-1；② 当1 ＜−m2＜ 3时.即-6＜m＜-2.则k（x）min=k（−m2）= −m24=0.解得：m=0.不满足.舍去；③ 当−m2≥3时.即m≤-6时.则k（x）min=k（3）=3m+9=0.解得：m=-3.不满足.舍去；综上所述.存在m=-1使得g（x）的最小值为0；（3）由函数h（x）=n-f（x+3）=n- √x+3在定义域内为单调递减函数.若存在实数存在实数a.b（a＜b）.使函数h（x）在[a.b]上的值域为[a.b]则h（x）= {n−√a+3=b①n−√b+3=a②两式相减：可得：√a+3−√b+3=a−b =（a+3）-（b+3）．∴ √a+3+√b+3=1③将③ 代入② 得.n=a+ √b+3 =a+1 −√a+3令t=√a+3 .∵a＜b.∴0≤t ＜12.得：n=t2-t-2=（t- 12）2- 94故得实数n的取值范围（−94.-2]．【点评】：本题主要考查幂函数解析式.函数最值的求解.方程与不等式的性质.讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．。

广东省中山市普通高中2022-2021学年高一上学期数学综合测试题01 Word版含答案

高一上学期数学综合测试题01满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B )∪C 等于( ) A ．{0,1,2,6,8} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8} D ．{1,3,6,7,8}2．如图，可作为函数y ＝f (x )的图象是( )3．已知f (x )，g (x )对应值如表．x 0 1 － 1 f (x )1－1x 0 1 －1 g (x )－11则f (g (1))的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．不存在4．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }；则B 中所含元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．105．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．46．f (x )＝－x 2＋mx 在(－∞，1]上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．{2}B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1]7．定义集合A 、B 的运算A *B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．A D ．B8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 的定义域为[a －1,2a ]的偶函数，则a ＋b 的值是( )A ．0 B.13 C ．1D ．－19．若f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上减函数，又f (－3)＝1，则不等式f (x )<1的解集为( ) A ．{x |x >3或－3<x <0} B ．{x |x <－3或0<x <3} C ．{x |x <－3或x >3} D ．{x |－3<x <0或0<x <3}10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)11．设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝( )A ．0B ．1 C.52 D ．5 12．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，若f (x )≥g (x )，f (x )，若f (x )<g (x ).则F (x )的最值是( ) A ．最大值为3，最小值－1 B ．最大值为7－27，无最小值 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.14．已知函数f (x )＝3x 2＋mx ＋2在区间[1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________．15.如下图所示，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．16．某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是产品数θ的函数，k (θ)＝40θ－120θ2，则总利润L (θ)的最大值是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，集合B ＝{x |－3≤x ≤2}．求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )．18．(本题满分12分)二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．19．(本题满分12分)图中给出了奇函数f(x)的局部图象，已知f(x)的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f(1)与f(3)的大小．20．(本题满分12分)为削减空气污染，某市鼓舞居民用电(削减燃气或燃煤)，接受分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0.5元计算．(1)设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；(2)小明家第一季度交纳电费状况如下：月份一月二月三月合计交费金额76元63元45.6元184.6元则小明家第一季度共用电多少度？21．(本题满分12分)设函数f(x)在定义域R上总有f(x)＝－f(x＋2)，且当－1<x≤1时，f(x)＝x2＋2.(1)当3<x≤5时，求函数f(x)的解析式；(2)推断函数f(x)在(3,5]上的单调性，并予以证明．22．(本题满分12分)定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2.(1)求f(0)的值；(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)>0；(3)解不等式f(3－x2)>4.答案1： C [解析]A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故选C.2： D3： C [解析]∵g(1)＝0，f(0)＝1，∴f(g(1))＝1.4： D[解析]x＝5，y＝1,2,3,4x＝4，y＝1,2,3，x＝3，y＝1,2，x＝2，y＝1共10个5： B [解析]f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(4)＋f(－1)＝3，故选B.6： C[解析]f(x)＝－(x－m2)2＋m24的增区间为(－∞，m2]，由条件知m2≥1，∴m≥2，故选C.7： D [解析]A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．因此(A*B)*A是图中阴影部分与A的并集，除去A中阴影部分后剩余部分即B，故选D.[点评]可取特殊集合求解．如取A＝{1,2,3}，B＝{1,5}，则A*B＝{2,3,5}，(A*B)*A＝{1,5}＝B.8： B [解析]由函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，得b＝0，并且a－1＝－2a，即a＝13，∴a＋b的值是13.9：C[解析]由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1即为f(x)<f(3)，∴x>3，当x<0时，f(x)即f(x)<f(－3)，∴x<－3，故选C.10： A [解析]若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∵3>2>1，∴f(3)<f(2)<f(1)，又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.11： C[解析]f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，∴f(2)＝1，∴f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.12： B [解析]作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.13： 1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ，∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 14： [2，＋∞)[解析] ∵－m6≤1，∴m ≥－6，f (2)＝14＋2m ≥14＋2×(－6)＝2. 15： 2[解析] 由已知，得f (3)＝1，f (1)＝2，则f (1f (3))＝f (1)＝2.16： 2 500万元[解析] L (θ)＝k (θ)－10θ－2000＝－120θ2＋30θ－2000.当θ＝302×120＝300时，L (θ)有最大值为：2500万元． 17[解析] 如下图所示，在数轴上表示全集U 及集合A ，B .∵A ＝{x |－2<x <3}， B ＝{x |－3≤x ≤3}．∴∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， ∁U B ＝{x |x <－3，或2<x ≤4}． ∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}；(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}； A ∩(∁U B )＝{x |2<x <3}；(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x ≤－2，或2<x ≤4}． 18[解析] (1)∵f (x )为二次函数且f (0)＝f (2)， ∴对称轴为x ＝1.又∵f (x )最小值为1，∴可设f (x )＝a (x －1)2＋1 (a >0) ∵f (0)＝3，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －1)2＋1，即f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)由条件知2a <1<a ＋1，∴0<a <12.19[解析] 奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f (3)>f (1)．20[解析] (1)当0≤x ≤100时，y ＝0.57x ；当x >100时，y ＝0.5×(x －100)＋0.57×100＝0.5x －50＋57＝0.5x ＋7. 所以所求函数式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ， 0≤x ≤100，0.5x ＋7， x >100. (2)据题意，一月份：0.5x ＋7＝76，得x ＝138(度)，二月份：0.5x ＋7＝63，得x ＝112(度)，三月份：0.57x ＝45.6，得x ＝80(度)．所以第一季度共用电： 138＋112＋80＝330(度)．故小明家第一季度共用电330度． 21[解析] (1)∵f (x )＝－f (x ＋2)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (x )＝f [(x －2)＋2]＝－f (x －2)＝－f [(x －4)＋2]＝f (x －4)． ∵－1<x ≤1时，f (x )＝x 2＋2，又∵当3<x ≤5时，－1<x －4≤1， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2.∴当3<x ≤5时，f (x )＝(x －4)2＋2.(2)∵函数f (x )＝(x －4)2＋2的对称轴是x ＝4，∴函数f (x )＝(x －4)2＋2在(3,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增．证明：任取x 1，x 2∈(3,4]，且x 1<x 2，有 f (x 1)－f (x 2)＝[(x 1－4)2＋2]－[(x 2－4)2＋2] ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－8)． ∵3<x 1<x 2≤4，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－8<0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．故函数y ＝f (x )在(3,4]上单调递减．同理可证函数在[4,5]上单调递增． 22[解析] (1)解：对任意x ，y ∈R ， f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)·f (0)，即f (0)·[f (0)－1]＝0.令y ＝0，得f (x )＝f (x )·f (0)，对任意x ∈R 成立，所以f (0)≠0，因此f (0)＝1.(2)证明：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f (x 2)·f (x 2)＝[f (x2)]2≥0. 假设存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．由f (3－x 2)>4，得f (3－x 2)>f (2)，即3－x 2>2. 解得－1<x <1.所以，不等式的解集是(－1,1)．则对任意x >0，有f (x )＝f [(x －x 0)＋x 0]＝f (x －x 0)·f (x 0)＝0. 这与已知x >0时，f (x )>1冲突．所以，对任意x ∈R ，均有f (x )>0成立． (3)解：令x ＝y ＝1有 f (1＋1)＝f (1)·f (1)，所以f (2)＝2×2＝4. 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1) ＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)·f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 1)·[f (x 2－x 1)－1]． ∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，由已知f (x 2－x 1)>1， ∴f (x 2－x 1)－1>0. 由(2)知x 1∈R ，f (x 1)>0.。

人教A版数学必修一中山一中—上学期第一次段考.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作中山一中2011—2012学年度上学期第一次段考高一数学试卷满分100分，时间120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在答案卷指定的位置上。

） 1．设集合{}2,3,4H =，{}1,3G =，则HG =（A ） {}1 （B ）{}2 （C ） {}3 （D ） {}1,2,3,42．下列各图中，不可能表示函数)(x f y =的图象的是（A ）（B ）（C ）（D ）3．下列函数在（∞-，∞+）内为减函数的是（A ） 2x y = （B ）1y x = （C ） 31y x =+ （D ） x y )21(=4．下列各组函数中)(x f 和)(x g 相同的是A.0)(,1)(x x g x f == B.xxx g x f ==)(,1)( C 、⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈==)0,(,),0(,)(|,|)(x x x x x g x x fD. 02)3)(3()(,3)3()(++=++=x x x g x x x f5．化简36639494()()(0)a a a ⋅>的结果为A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 26．已知函数25(5)()(2)(5)x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(8)f 的值为（A ）312- （B ） 174- （C ） 174 （D ） 76-7．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3xf x =，那么1()2f 的值是（A ）33（B ）3 （C ） 3- （D ） 9 8．已知0.230.23,0.2,3a b c --===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

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