北航第二次应用泛函作业

第二次应用泛函作业

从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）、度量空间（有度量结构的集合）。对线性空间而言，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚，就引入了基（相当于三维空间中的坐标系）的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。

但线性空间中的元素没有“长度”（相当于三维空间中线段的长度），为了量化线性空间中的元素，所以又在线性空间引入特殊的“长度”，即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋范线性空间。但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，所以在线性空间中又引入了内积的概念。

因为有度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，所以又引入了完备的概念，完备的内积空间就称为Hilbert空间。

线性赋范空间就是定义了范数的线性空间，所谓范数就是线性空间到数域的一个映射，其满足范数公理（正定性，齐次性，三角不等式），可以理解为线性空间元素的长度。内积空间就是定义了内积的线性空间，而内积可以看成是两个元素作用生成一个数，按一般向量内积理解即可。度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足正定性、对称性、三角不等式。

一般而言，定义了内积可以诱导出范数（也就是与自己做内积再开根号），定义了范数可以诱导出度量（两元素的度量即为元素差的范数），但度量诱导范数需要加一点限制。所谓希尔伯特空间就是定义了内积的线性空间，并且按照内积诱导出的度量是完备的（完备就是柯西序列在内部收敛）特别的，实数域上的有限维希尔伯特空间叫做欧几里得空间；复数域上的有限维希尔伯特空间叫做酉空间。

泛函分析的空间理论一个有重大意义的事实是：n

R中的极限论及基于极限概念的分析理论的许多结果，仅依赖于模长性质，而与模长的定义无关，因而实际上并不依赖于Euclid空间的特殊构造。这就说明了若某个向量空间上定义了一种类似于模长的概念，它具有正定性，齐次性，三角不等式性质，则定义极限之后，就可将Euclid空间中那些仅依赖于性质的概念与结论直接推广于该空间，从而得到经典分析的一个具有广阔发展余地的拓广，从而引向赋范空间概念。