数控原理与系统——插补和刀补计算原理
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o
(xi2 x02 ) ( y2j y02 ) 0
F<0 P(x0,y0) x
偏差判别函数
0点在圆弧上 Fij ( xi2 x02 ) ( y2j y02 ) 0点在圆弧外
0点在圆弧内
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
二、逐点比较法圆弧插补（第Ⅰ 象限逆圆弧）
坐标进给
y
二、逐点比较法圆弧插补（第Ⅰ 象限逆圆弧）
偏差判别
y
F>0
圆弧上 xi2 y2j x02 y02 (xi2 x02 ) ( y2j y02 ) 0
圆弧外 xi2 y2j x02 y02 圆弧内 xi2 y2j x02 y02
(xi2 x02 ) ( y2j y02 ) 0
0点在直线上
偏差判别函数
Fij
xe
yj
xi
ye
0点在直线上方 0点在直线下方
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
一、逐点比较法直线插补
y
A(xe,ye)
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
F>0
坐标进给
直线上 直线上方
Fij 0 Fij 0
+△x或+△y方向
+△x方向
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
F<0 x
直线下方 Fij 0 +△y方向
➢ 进给：根据判断结果，控制相应坐标轴的进给方向。
➢ 运算：按偏差计算公式重新计算新位置的偏差值。
➢ 比较：若已经插补到终点，结束插补计算，否则重复上 述过程。（方框图和流程图见P28）
类型
坐标进给
偏差计算公式
Ⅰ直线 Ⅰ逆圆弧
Fij 0 Fij 0
Fij 0 Fij 0
x y
x y
Fi1, j Fi, j ye Fi, j1 Fi, j xe
圆弧上 Fij 0 -△ x或+△ y方向
F>0
圆弧外 圆弧内
Fij 0 Fij 0
-△ x方向 +△ y方向
F<0 o
新偏差计算 Fi1, j ( xi 1)2 x02 y2j y02 Fij 2xi 1 xi1 xi 1 y j y j
P(x0,y0)
x
Fi, j1 xi2 x02 ( yj 1)2 y02 Fij 2 yj 1
1. 基本原理
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不 断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的 方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ。
每进给一步需要四个节拍： 偏差判别 坐标进给 新偏差计算
终点比较
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
x
Fij 0
y
第三拍 运算
Fi1, j Fi, j 2 xi 1 xi1 xi 1 y j y j
Fi, j1 Fi, j 2 y j 1 xi xi y j1 y j 1
第四拍 比较
Ei j E终 1
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
二、逐点比较法圆弧插补（第Ⅰ 象限逆圆弧）
新偏差计算
+△x进给： Fi1, j xe y j ( xi 1) ye xe y j xi ye ye Fi , j ye
+△y进给： Fi, j1 xe ( y j 1) xi ye xe y j xi ye xe Fi , j xe
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
数控机床原理与系统
第二章 插补和刀补计算原理
概述 逐点比较法 数字积分法 数字脉冲乘法器 数据采样插补法 其它插补方法 刀具半径补偿
插补技术是数控系统的核心技术
数控机床原理与系统
§2-1 概述
1. 插补的定义
加工直线的程序 N3G01X-45000Y-75000F150
数控机床原理与系统
§2-1 概述
数学模型：直线、圆弧、二次曲线、螺旋线、自由曲线等
数控机床原理与系统
§2-1 概述
2. 分类
插补是数控系统必备功能，NC中由硬件完成， CNC中由软件实现，两者原理相同。
基准脉冲插补（脉冲增量插补）
➢ 逐点比较法 ➢ 数字脉冲乘法器 ➢ 数字积分法 ➢ 矢量判别法 ➢ 比较积分法 数据采样插补（单位时间）
3. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(5-3)=6
插补过程演示
Fi1, j Fi, j 2xi 1
Fi, j1 Fi, j 2 y j 1
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
逐点比较法总结
➢ 判别：判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏差状况。
一、逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
终点比较
用Xe+Ye作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算， 直到计数器为零为止。
总结
Fij xe y j xi ye
第一拍 判别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍 比较
Fij 0
Fij 0
x
y
Fi1, j Fi, j ye
Fi , j1 Fi , j xe
1. 插补的定义
数据密集化的过程。数控系统根据输入的基本 数据（直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终 点坐标、进给速度等）运用一定的算法，自动的在 有限坐标点之间形成一系列的坐标数据，从而自动 的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹 分析，以满足加工精度的要求。
要求：实时性好，算法误差小、精度高、速度均匀性好
Fi1, j Fi, j 2 xi 1 Fi, j1 Fi, j 2 y j 1
数控机床原理与系统
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
思考问题：
1. 不同象限的直线、圆弧插补算法相同吗？ 2. 同一象线的逆时针圆弧和顺时针圆弧插补算法 一样吗？
Ei j E终 1
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
一、逐点比较法直线插补
Fi1, j Fi, j ye
Fi, j1 Fi, j xe
3. 运算举例（第Ⅰ 象限） 加工直线OA，终点坐标xe=5, ye=3, E8=xe+ye=8, F00=0
插补过程演示
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补， 精度高。
一、逐点比较法直线插补
y
脉冲当量δ
A(xe,ye) 相对于每个脉冲信号，
机床移动部件的位移，
常见的有：0.01mm
0.005mm
o
0.001mm
x
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
一、逐点比较法直线插补
一、逐点比较法直线插补 y
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
偏差判别
直线上 直线上方
y j ye xi xe
y j ye xi xe
xe y j xi ye 0
o
xe y j xi ye 0
A(xe,ye) F>0 P(xi,yj) F<0
x
直线下方 y j ye
xi xe
xe y j xi ye 0
y j1 y j 1 xi xi
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
二、逐点比较法圆弧插补（第Ⅰ 象限逆圆弧）
终点比较
用(X0-Xe)+(Ye-Y0 )作为计数器，每走一步对计数 器进行减1计算，直到计数器为零为止。
总结
Fij
（xi2
x02）（y
2 j
y02）
第一拍 判别 第二拍 进给
Fij 0
(xi2 x02 ) ( y2j y02 ) 0
F<0 P(x0,y0) x
偏差判别函数
0点在圆弧上 Fij ( xi2 x02 ) ( y2j y02 ) 0点在圆弧外
0点在圆弧内
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
二、逐点比较法圆弧插补（第Ⅰ 象限逆圆弧）
坐标进给
y
二、逐点比较法圆弧插补（第Ⅰ 象限逆圆弧）
偏差判别
y
F>0
圆弧上 xi2 y2j x02 y02 (xi2 x02 ) ( y2j y02 ) 0
圆弧外 xi2 y2j x02 y02 圆弧内 xi2 y2j x02 y02
(xi2 x02 ) ( y2j y02 ) 0
0点在直线上
偏差判别函数
Fij
xe
yj
xi
ye
0点在直线上方 0点在直线下方
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
一、逐点比较法直线插补
y
A(xe,ye)
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
F>0
坐标进给
直线上 直线上方
Fij 0 Fij 0
+△x或+△y方向
+△x方向
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
F<0 x
直线下方 Fij 0 +△y方向
➢ 进给：根据判断结果，控制相应坐标轴的进给方向。
➢ 运算：按偏差计算公式重新计算新位置的偏差值。
➢ 比较：若已经插补到终点，结束插补计算，否则重复上 述过程。（方框图和流程图见P28）
类型
坐标进给
偏差计算公式
Ⅰ直线 Ⅰ逆圆弧
Fij 0 Fij 0
Fij 0 Fij 0
x y
x y
Fi1, j Fi, j ye Fi, j1 Fi, j xe
圆弧上 Fij 0 -△ x或+△ y方向
F>0
圆弧外 圆弧内
Fij 0 Fij 0
-△ x方向 +△ y方向
F<0 o
新偏差计算 Fi1, j ( xi 1)2 x02 y2j y02 Fij 2xi 1 xi1 xi 1 y j y j
P(x0,y0)
x
Fi, j1 xi2 x02 ( yj 1)2 y02 Fij 2 yj 1
1. 基本原理
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不 断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的 方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ。
每进给一步需要四个节拍： 偏差判别 坐标进给 新偏差计算
终点比较
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
x
Fij 0
y
第三拍 运算
Fi1, j Fi, j 2 xi 1 xi1 xi 1 y j y j
Fi, j1 Fi, j 2 y j 1 xi xi y j1 y j 1
第四拍 比较
Ei j E终 1
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
二、逐点比较法圆弧插补（第Ⅰ 象限逆圆弧）
新偏差计算
+△x进给： Fi1, j xe y j ( xi 1) ye xe y j xi ye ye Fi , j ye
+△y进给： Fi, j1 xe ( y j 1) xi ye xe y j xi ye xe Fi , j xe
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
数控机床原理与系统
第二章 插补和刀补计算原理
概述 逐点比较法 数字积分法 数字脉冲乘法器 数据采样插补法 其它插补方法 刀具半径补偿
插补技术是数控系统的核心技术
数控机床原理与系统
§2-1 概述
1. 插补的定义
加工直线的程序 N3G01X-45000Y-75000F150
数控机床原理与系统
§2-1 概述
数学模型：直线、圆弧、二次曲线、螺旋线、自由曲线等
数控机床原理与系统
§2-1 概述
2. 分类
插补是数控系统必备功能，NC中由硬件完成， CNC中由软件实现，两者原理相同。
基准脉冲插补（脉冲增量插补）
➢ 逐点比较法 ➢ 数字脉冲乘法器 ➢ 数字积分法 ➢ 矢量判别法 ➢ 比较积分法 数据采样插补（单位时间）
3. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(5-3)=6
插补过程演示
Fi1, j Fi, j 2xi 1
Fi, j1 Fi, j 2 y j 1
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
逐点比较法总结
➢ 判别：判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏差状况。
一、逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
终点比较
用Xe+Ye作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算， 直到计数器为零为止。
总结
Fij xe y j xi ye
第一拍 判别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍 比较
Fij 0
Fij 0
x
y
Fi1, j Fi, j ye
Fi , j1 Fi , j xe
1. 插补的定义
数据密集化的过程。数控系统根据输入的基本 数据（直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终 点坐标、进给速度等）运用一定的算法，自动的在 有限坐标点之间形成一系列的坐标数据，从而自动 的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹 分析，以满足加工精度的要求。
要求：实时性好，算法误差小、精度高、速度均匀性好
Fi1, j Fi, j 2 xi 1 Fi, j1 Fi, j 2 y j 1
数控机床原理与系统
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
思考问题：
1. 不同象限的直线、圆弧插补算法相同吗？ 2. 同一象线的逆时针圆弧和顺时针圆弧插补算法 一样吗？
Ei j E终 1
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
一、逐点比较法直线插补
Fi1, j Fi, j ye
Fi, j1 Fi, j xe
3. 运算举例（第Ⅰ 象限） 加工直线OA，终点坐标xe=5, ye=3, E8=xe+ye=8, F00=0
插补过程演示
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补， 精度高。
一、逐点比较法直线插补
y
脉冲当量δ
A(xe,ye) 相对于每个脉冲信号，
机床移动部件的位移，
常见的有：0.01mm
0.005mm
o
0.001mm
x
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
一、逐点比较法直线插补
一、逐点比较法直线插补 y
2. 算法分析（第Ⅰ 象限）
偏差判别
直线上 直线上方
y j ye xi xe
y j ye xi xe
xe y j xi ye 0
o
xe y j xi ye 0
A(xe,ye) F>0 P(xi,yj) F<0
x
直线下方 y j ye
xi xe
xe y j xi ye 0
y j1 y j 1 xi xi
数控机床原理与系统 §2-2 逐点比较法
二、逐点比较法圆弧插补（第Ⅰ 象限逆圆弧）
终点比较
用(X0-Xe)+(Ye-Y0 )作为计数器，每走一步对计数 器进行减1计算，直到计数器为零为止。
总结
Fij
（xi2
x02）（y
2 j
y02）
第一拍 判别 第二拍 进给
Fij 0