《41第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

教学过程

课堂导入

以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？

复习预习

1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．

2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？

所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．

知识讲解

考点1 向量的有关概念

考点2 向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c)

减法求a与b的相反向量－b的

和的运算叫做a与b的差

a－b＝a＋(－b)

数乘求实数λ与向量a的积的运

算

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；

当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ

＝0时，λa＝0

λ(μa)＝(λμ) a

(λ＋μ)a＝λa＋μa

λ(a＋b)＝λa＋λb

考点3 共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

例题精析 【例题1】

【题干】设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；

③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若

a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

【例题2】

【题干】如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝1

3

OB .设OA uu u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，用a ，b 表示向量OC u u u r ，DC u u u r .

【解析】OC u u u r ＝OB uuu r ＋BC uuu r ＝OB uuu r ＋2BA uu u r

＝OB uuu r ＋2(OA uu u r －OB uuu r )

＝2OA uu u r －OB uuu r

＝2a －b . DC u u u r ＝OC u u u r －OD u u u r ＝OC u u u r －23

OB uuu r

＝(2a －b )－2

3b

＝2a －53b .

【例题3】

【题干】已知a ，b 不共线，OA uu u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，OC u u u r ＝c ，OD u u u r ＝d ，OE uuu r

＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，

e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．

【解析】由题设知，CD uuu r ＝d －c ＝2b －3a ，CE uuu r

＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充

要条件是存在实数k ，使得CE uuu r ＝k CD uuu r

，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，

整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .

因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧

t －3＋3k ＝0，

t －2k ＝0，

解之得t ＝6

5.

故存在实数t ＝6

5使C ，D ，E 三点在一条直线上．

课堂运用 【基础】

1.如图，已知AB u u u r ＝a ，AC uuu r ＝b ，BD u u u r ＝3DC u u u r ，用a ，b 表示AD u u u r ，则AD u u u r

＝( ) A ．a ＋3

4b B.14a ＋34b C.14a ＋14b

D.34a ＋14b

解析：选B ∵CB u u u r ＝AB u u u r －AC uuu r ＝a －b ，又BD u u u r

＝3DC u u u r ，

∴CD uuu r ＝14CB u u u r ＝14(a －b )，∴AD u u u r ＝AC uuu r ＋CD uuu r ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .

2．已知向量p ＝a |a |＋b

|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,1] C ．(0,2]

D ．[0,2]

解析：选D a |a |与b

|b |均为单位向量，当它们同向时，|p |取得最值2，当它们反向时，|p |取得最小值0.故|p |∈[0,2]．

3．(2013·保定模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM

u u u u r

＝x AB u u u r ，AN uuu r ＝y AC uuu r ，则x ·y x ＋y

的值为( )

A ．3 B.13 C ．2

D.12

解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝1

3

.

【巩固】

4．在▱ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r

＝b ，AN uuu r ＝3NC uuu r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r ＝________(用a ，b 表示)．