导数判断单调性
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3 2
练习· 巩固
1（P99变式练习）
f x ax3 x 2 x 5 在（-∞，+∞）上单 设函数
调递增，求a的取值范围。 2（ P100 B组第6题） 已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在区间（1，+ ∞ ） 内恒成立，求实数a的取值范围。
go
(04浙江理工类)
来自百度文库
③令f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递增区间
f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递减区间
拓展· 延伸
2、利用导数求函数的单调区间
例2、设函数 f x 2 x3 3a 1x 2 1，其中a≥1， 求函数 的单调区间。 f x
解：f x 6 x 2 6a 1x 令 f x 0. 则x1 0，x a 1
x ⑷ 函数f (x)= ln x 1 1 的单调增区间. 2
1°什么情况下，用“导数法” 判断函数的单调性、 求单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。 2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ ①求定义域
②求 f '( x )
拓展· 延伸
3、求参数的取值范围 • 例3、已知k<0，函数 f x x k x ， ⑴若 f x 在x=1处取得极值，求k的值及 f x 的单调区间； ⑵若 f x 的单调减区间为[0，2]，求k的值； ⑶若 f x 在[0，2]上是减函数，求k的取值范 围。
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， f '( x )的图象如 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
1 2 x
y
y f '( x )
2 x
o y
o
(A)
(B)
y
y f ( x)
2
y f ( x)
P100 A组题5、6、7、8
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
1、用“导数法” 求单调区间的步骤： 首先要确定函数的定义域,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. 2、注意：在某一区间内 f ( x ) >(<)0只是函数f(x)在 该区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 3、基本思想方法：化归思想、分类讨论思想 4、利用函数求导的方法可以证明不等式、求极值等， 要进一步深入的学习。
x 6 x 2 0，在R上单调递增； f 当a=1时， 当a＞1时，即a-1＞0, f x 0 , 得x<0或x>a-1
∴单调增区间为（-∞，0）和（a-1，+ ∞ ） 若 f x 0 时，0＜x ＜a-1， ∴单调增区间为（0，a-1）
注意：要分类讨论两根的大小，确定单调区间。
应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必 是定义域内的某个区间。
1．求函数的单调区间 例1、基础训练：
增 ⑴函数y=x－3在[－3，5]上为_____函数； 增 ⑵函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为____函数， 减 在(－∞,1]上为_____函数；
⑶讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性;
授课人：莫婧华
回顾· 思考
判断函数单调性有哪些方法？ 定义法 图象法 判断函数 如图：
y x 的单调性。
3
y
y x3
o
函数在R上为____函数 观察：函数每一点 的导数的符号如何？
增
x
感受· 理解
函数及图象
y
y f ( x)
单调性
切线斜率 导数的正负 k 的正负
o a
b x
在 a, b 上 单调递增
k＞0
f '( x ) 0
y o a
y f ( x)
b x
在 a, b 上 单调递减
k＜0
f '( x ) 0
感受· 理解
函数 f ( x ) 在区间 a, b 上可导，
f '( x ) 0
f ( x )在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0
注意：
f ( x )在(a, b)内单调递减
练习· 巩固
1（P99变式练习）
f x ax3 x 2 x 5 在（-∞，+∞）上单 设函数
调递增，求a的取值范围。 2（ P100 B组第6题） 已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在区间（1，+ ∞ ） 内恒成立，求实数a的取值范围。
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(04浙江理工类)
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③令f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递增区间
f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递减区间
拓展· 延伸
2、利用导数求函数的单调区间
例2、设函数 f x 2 x3 3a 1x 2 1，其中a≥1， 求函数 的单调区间。 f x
解：f x 6 x 2 6a 1x 令 f x 0. 则x1 0，x a 1
x ⑷ 函数f (x)= ln x 1 1 的单调增区间. 2
1°什么情况下，用“导数法” 判断函数的单调性、 求单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。 2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ ①求定义域
②求 f '( x )
拓展· 延伸
3、求参数的取值范围 • 例3、已知k<0，函数 f x x k x ， ⑴若 f x 在x=1处取得极值，求k的值及 f x 的单调区间； ⑵若 f x 的单调减区间为[0，2]，求k的值； ⑶若 f x 在[0，2]上是减函数，求k的取值范 围。
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， f '( x )的图象如 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
1 2 x
y
y f '( x )
2 x
o y
o
(A)
(B)
y
y f ( x)
2
y f ( x)
P100 A组题5、6、7、8
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
1、用“导数法” 求单调区间的步骤： 首先要确定函数的定义域,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. 2、注意：在某一区间内 f ( x ) >(<)0只是函数f(x)在 该区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 3、基本思想方法：化归思想、分类讨论思想 4、利用函数求导的方法可以证明不等式、求极值等， 要进一步深入的学习。
x 6 x 2 0，在R上单调递增； f 当a=1时， 当a＞1时，即a-1＞0, f x 0 , 得x<0或x>a-1
∴单调增区间为（-∞，0）和（a-1，+ ∞ ） 若 f x 0 时，0＜x ＜a-1， ∴单调增区间为（0，a-1）
注意：要分类讨论两根的大小，确定单调区间。
应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必 是定义域内的某个区间。
1．求函数的单调区间 例1、基础训练：
增 ⑴函数y=x－3在[－3，5]上为_____函数； 增 ⑵函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为____函数， 减 在(－∞,1]上为_____函数；
⑶讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性;
授课人：莫婧华
回顾· 思考
判断函数单调性有哪些方法？ 定义法 图象法 判断函数 如图：
y x 的单调性。
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y
y x3
o
函数在R上为____函数 观察：函数每一点 的导数的符号如何？
增
x
感受· 理解
函数及图象
y
y f ( x)
单调性
切线斜率 导数的正负 k 的正负
o a
b x
在 a, b 上 单调递增
k＞0
f '( x ) 0
y o a
y f ( x)
b x
在 a, b 上 单调递减
k＜0
f '( x ) 0
感受· 理解
函数 f ( x ) 在区间 a, b 上可导，
f '( x ) 0
f ( x )在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0
注意：
f ( x )在(a, b)内单调递减