高中物理基本模型之：小船渡河问题

高中物理《小船渡河问题》专题训练与解析

例1．游泳运动员以恒定的速率垂直于河岸渡河，当水速突然变大时，对运动员渡河时间和经历的路程产生的影响是()

A．路程变大，时间延长B．路程变大，时间缩短

C．路程变大，时间不变D．路程和时间均不变

【答案】C

【解析】运动员渡河可以看成是两个运动的合运动：垂直河岸的运动和沿河岸的运动

运动员以恒定的速率垂直河岸渡河，在垂直河岸方向的分速度恒定

由分运动的独立性原理可知，渡河时间不变①

但由于水速变大，沿河岸方向的运动速度变大

又因为时间不变，所以沿河岸方向的分位移变大，故总的路程变大②[来源:学科网]

例2．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为()

A．v sinαB．v

sinα

C．v cosαD．v

cosα

【答案】C

【解析】把人的速度v沿着绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示：

几何关系：v1=v cosα，所以船的速度大小为v cosα

例3．无风时气球匀速竖直上升，速度大小为3m/s．现吹水平方向的风，使气球获4m/s的水平速度，气球经一定时间到达某一高度h，则有风后()

A．气球实际速度的大小为7m/s

B．气球的运动轨迹是曲线

C．若气球获5m/s的水平速度，气球到达高度h的路程变长

D．若气球获5m/s的水平速度，气球到达高度h的时间变短

【答案】C

【解析】有风时，气球实际速度的大小v=32＋42m/s=5m/s①

气球沿合速度方向做匀速直线运动，轨迹为直线②

水平速度增大，但气球飞行的时间不变，水平方向的位移增大，竖直方向的位移不变，合位移增大，故气球到达高度h的路程变长③

例4．如图所示，船从A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4m/s ，则船从A 点开出的最小速度为(取sin37°=0.6,cos37°=0.8)(

)

A ．2m/s

B ．2.4m/s

C ．3m/s

D ．3.5m/s 【答案】B

【解析】当船头方向与合速度方向即与直线AB 垂直时，船的速度最小

此时有v 船=v 水sin37°=2.4m/s

例5．(多选)一条河宽100m ，船在静水中的速度为4m/s ，水流速度是5m/s ，则(

)A ．该船能垂直河岸横渡到对岸

B ．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短

C ．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，且为100m

D ．该船渡到对岸时，船沿岸方向的位移可能小于100m

【答案】BD

【解析】由题意可知，由于船速为v 1=4m/s ，水速为v 2=5m/s

即船速小于水速，则无论船头指向哪个方向，都不可能使船垂直驶向对岸

①根据t=L /v 1cos θ知，要使t 最小只需要使cos θ最大，即使船头与河岸垂直

②

要使船的渡河位移最短，需要使船速方向与合运动方向垂直，则

合速度为v==-22船水v v 3m/s 渡河时间为t=L 35

v 1=1253s 所以船的合位移为x=vt=125m

③船沿岸方向的位移为(v 2－45v 1)t=75m ④

例6．如图所示，一艘小船要从O 点渡过一条两岸平行、宽度为d=100m 的河流，已知河水流速为v 1=4m/s ，小船在静水中的速度为v 2=2m/s ，B 点距正对岸的A 点x 0=173m ．下面关于该船渡河的判断，其中正确的是()

A ．小船过河的最短航程为100m

B ．小船过河的最短时间为25s

C ．小船可以在对岸A 、B 两点间任意一点靠岸

D ．小船过河的最短航程为200m

【答案】D

【解析】由于v 2

因此不能横渡到对岸，即m

100=>d x ①当船头垂直河岸渡河时，有最短时间

s 50s 21002min ===v d t ②

如图所示，当船的速度方向与河岸成θ'时有最短航程

由几何关系，得sin α=

v 船v 水=0.5最短航程为L=d sin α=v 水v 船

d=200m ③又0

2222224m m 100200x x L x >≈-=-= 因此小船不能在AB 区域内渡河到对岸④

例7．一快艇从离岸边100m 远的河中向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，则()

A ．快艇的运动轨迹一定为直线

B ．快艇的运动轨迹可能为曲线，也可能为直线

C ．快艇最快到达岸边所用的时间为20s

D ．快艇最快到达岸边经过的位移为100m

【答案】C

【解析】由图象可知，快艇在流水中的运动是由一个匀加速直线运动和一个匀速运动合成的，其所受合力方向一定和其速度方向不在一条直线上，所以快艇一定做曲线运动①

快艇要最快到达岸边，船头应直指河岸，但实际的运动方向却是偏向下游，位移大于100m

②设渡河时间为t ，根据运动学公式，得

x=21at 2，解得t=20s ③

例8．在一次漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息，江岸是平直的，江水沿江向下流速为v ，摩托艇在静水中航速为u ，探险者离岸最近点O 的距离为d .如果探险者想在最短的时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O 的距离为多少？【答案】v u

d 【解析】如果探险者想在最短的时间内靠岸，摩托艇的前端应垂直于河岸，即u 垂直于河岸，如图所示：探险者运动的时间为t=d

u

所以摩托艇登陆的地点离O 的距离为x=vt=v u

d 例9．质量为m=2kg 的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立Oxy 坐标系，t=0时，物体位于坐标系的原点O ．物体在x 轴和y 轴方向的分速度v x 、v y 随时间t 变化图线如图甲、乙所示．已知sin53°=0.8,cos53°=0.6．求：

(1)t=3.0s 时物体受到的合力；

(2)t=8.0s 时的物体速度；

(3)t=8.0s 时物体的位置坐标．

【答案】(1)1.0N ，方向沿y 轴正方向(2)5.0m/s ，方向与x 轴正向夹角为53°(3)(24m,16m)

【解析】(1)由题图可知，物体在x 轴方向做匀速直线运动，在y 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动加速度为a=0.5m/s 2

所以在t=3.0s 时，物体受合力F=ma=1.0N ，方向沿y 轴正方向

(2)由题图可知：当t=8.0s 时，v x =3.0m/s ，v y =4.0m/s

物体的速度大小为v=5.0m/s

速度方向与x 轴正向夹角设为α，则tan α=3

4，解得α=53°(3)t=8.0s 时，物体的位置坐标为x=v x t=24m

y=2

1at 2=16m 故此时的位置坐标为(24m,16m)