北师大版高中数学必修5课件：第一章数列整合

,…,3 = 8 , 2
3-4
2
1
-1
3 2
an=
· ·…· · ·a1
-1 -2
2 1
=
3-4 3-7
5 2 1
=
· ·…·8 ·5 ·2
3-1 3-4
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=
1
.
3-1
2
= 5,
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两式相减得an=-2an+2an-1,

-1
即
2
3
2
3
= ,因此{an}是公比为 的等比数列.
又 S1=3-2a1,即 a1=3-2a1,解得 a1=1.
所以{an}的通项公式 an=
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2 -1
.
3
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(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)
-1
=3n-1+3n-23(1-3
+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],
) (-1)
即 an-a1=
−
.
1-3
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2
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7
9
bn= (10n-1).
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专题一
专题二
(4)数列的偶数项为负、奇数项为正,故通项公式必含有因式
5
5
(-1)n+1,第 2 项-1 改写成- 后,数列各项的分母依次为 3,5,7,9,11,…,与
(5)0,
,
,
,…;
5
10 17
2 4 8
(6)1,- , ,- ,….
3 5 7
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专题一
专题二
解:(1)数列可记为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以数列的一个
通项公式为an=2n+1.
(2)数列的整数部分 1,2,3,4,…恰好是项数 n,分数部分
项数 n 的关系可记为 2n+1,而各项分子为 2,5,10,17,26,…,与项数 n
的关系可记为 n +1,所以数列的一个通项公式为 an=(-1)
2
n+1
2 +1
·
.
2+1
(5)因为 5=22+1,10=32+1,17=42+1,…,所以数列的一个通项公
式为
2 -
an= 2 .
+1
, ≥ 2.
(+1)
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专题一
专题二
变式训练2 已知数列{an}的前n项和Sn=3-2an(n∈N+),求通项公
式an.
解:因为Sn=3-2an,
所以当n≥2时,Sn-1=3-2an-1.
∴an=10n-2.
专题一
专题二
变式训练1 写出下列数列的一个通项公式.
(1)3,5,9,17,33,…;
1 2 3 4
2 3 4 5
(2)1 ,2 ,3 ,4 ,…;
(3)7,77,777,7 777,…;
2
10 17 26
(4) ,-1, ,- , ,…;
3
7 9 11
22 -2 32 -3 42 -4
专题一
专题二
【例3】已知数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项
公式.
解:由an+1-an=3n-n,
得an-an-1=3n-1-(n-1),
an-1-an-2=3n-2-(n-2),
……
a3-a2=32-2,
a2-a1=3-1.
当n≥2时,以上(n-1)个等式两端分别相加,得
1 , = 1,
(1)若已知Sn的表达式,则可直接利用 an=
求得an,注
--1 , ≥ 2
意对n=1与n≥2的讨论.
(2)若已知Sn与an的关系式,则可根据an=Sn-Sn-1消去Sn(或an),得到
an与an-1(或Sn与Sn-1)的关系式,然后用其他方法求解.
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1 2 3 4

, , , ,…用项数可以表示为
,所以数列的一个通项公式为
2 3 4 5
+1

2 +2
an=n+
=
.
+1
+1
7
7
7
(3)将原数列改写为 ×9, ×99, ×999,…,易知数列 9,99,999,9
9
9
9
999,…的一个通项公式为 an=10n-1,故所求数列的一个通项公式为
1
1
,
+1
∴an=-+1.
1
答案:an=-+1
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专题一
专题二
4.累乘法
+1
对于形如
=f(n)型的递推公式求通项公式.

+1
=q(其中 q 是不为 0 的常数),此时数列


∴(n+1)an+1=nan,∴ +1 =
,



·5 ·…·
4
-1
+1

1 2 3 4
Βιβλιοθήκη Baidu-1
∴2 ·3 ·4
= 2 × 3 × 4 × 5×…× ,
1
2
3

1
1
1
∴ = .又 a1=1,∴an=a1=.
1
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专题一
专题二
为了书写方便,也可以用横式来写:
∵当n≥2时,an-an-1=f(n-1),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1.
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(1)当 f(n)为常数时,即
为等比数列,an=a1qn-1.
(2)当 f(n)为关于 n 的函数时,用累乘法.
+1

由
=f(n),得 n≥2 时, =f(n-1),

-1
-1

∴an= · ·…·2·a1=f(n-1)·…·f(1)·a1.
1
-1
-2
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专题一
专题二
又 a1=1,
1 n (-1) 1
∴an=2×3 - 2 − 2.
显然 a1=1 也满足上式,
1
(-1) 1
− .
2
2
∴数列{an}的通项公式为 an=2×3n-
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专题一
专题二
1
例 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=+1,求 an.
1
1
-1
解:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=+1 − = (+1),
1
当 n=1 时,a1=S1= 不适合上式,
2
1
, = 1,
2
故{an}的通项公式 an= -1
……
a3-a2=f(2),
a2-a1=f(1).
以上(n-1)个等式叠加,得
an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1),
∴an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1.
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=
1

是等差数列.
+5
,
3
n
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专题一
专题二
(2)加常数构造法
对于满足an=pan-1+q型的数列{an},可利用待定系数法将其变形
为an+λ=p(an-1+λ),再设an+λ=bn,则{bn}即为以b1=a1+λ为首项,p为公
专题一
专题二
变式训练3
1
2
1
(n≥2),则 an 的通项公式
(+1)
已知数列{an}中,a1=- ,an-an-1=
为
.
1
1
1
解析:由已知得 a2-a1=2×3 = 2 − 3,
1
1
1
1
1
a3-a2=3×4 = 3 − 4,
……
an-an-1= − +1.
将以上(n-1)个式子相加得
1
2
an-a1= −
专题一
专题二
变式训练4
2
设数列{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)+1
-n2 +an+1an
=0(n=1,2,3,…),求此数列的通项公式.
2
解:由(n+1)+1
+an+1an-n2 =0,
整理,得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0.
∵an>0,∴an+an+1>0,∴(n+1)an+1-nan=0,
察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项公式.
【例1】写出下列两个数列的一个通项公式:
解:(1)这是一个分数数列,分子是偶数,而分母是1×3,3×5,
5×7,7×9,9×11,…,为两个连续奇数的乘积.
2
a
=
故所求数列的通项公式为 n (2-1)(2+1).
(2)各项分别加上2,变为10,100,1 000,10 000,…,
比的等比数列,求出{bn}的通项公式后即得an.
1
例 6 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),求 an.
1
1 1
解:设 an+1+λ=2(an+λ),化简得 an+1=2an-2λ.
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专题一
专题二
1
3-1
例 4 已知数列{an}中,a1=2,an+1=3+2an,求 an.
3-1
解:因为 an+1=3+2an,

所以
-1
又
=
3-4 -1
,
3-1 -2
1
a1= ,所以
2
3-7

5
(1)证明:∵xn=f(xn-1)= +3(n≥2,且 n∈N+),
-1
1
∴

1
∴

-1 +3
1
1
= 3
= 3+ ,
-1
-1
−
1
-1
=
1
(n≥2,且
3
n∈N+),∴
1
1
1
-1
= +(n-1)× =2+

1
3
3
1
100+5
1
∴ = 3 =35,∴x100=35.
100
(2)解:∵
20 21 22 23
(6)原数列可写成 ,- , ,- ,…,所以数列的一个通项公式为
1 3 5 7
-1
n+1 2
an=(-1)
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.
2-1
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专题一
专题二
2.根据an与Sn的关系求通项公式法
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专题一
专题二
5.构造辅助数列法
(1)取倒数构造法

对于满足 an+1=
(其中 p,q 为常数且 p,q≠0)形式的数列,可将
+
1
递推式两边取倒数,便可构造等差数列
,即可求解.

3

例 5 已知数列{an}中,a1=5,an+1=2
+2,即

+1
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专题一
专题二
变式训练5
3
(x≠0),数列{xn}的通项由 xn=f(xn-1)(n≥2,且
+3
已知函数 f(x)=
∈N+)确定.
(1)求证:
1

1
2
是等差数列;(2)当 x1= 时,求 x100.
3-1
1
,求{an}的通项公式.
1
解:由已知得
=
=
− =2.

+1
1
1
5
所以 是等差数列,公差为 2,其首项为 = 3,

1
1
5
6-1
3
故 = 3+2(n-1)= 3 ,故 an=
.
6-1

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2 +1

+1
1
1
本章整合
专题一
专题二
专题一 数列通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析
式围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项
的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公
式是数列的核心问题之一.下面介绍几种常用的求法.
专题一
专题二
1.观察法
已知数列前若干项,求该数列的通项公式时,一般对所给的项观
专题一
专题二
3.累加法
对于形如an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式.
(1)当f(n)=d为常数时,{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)d;
(2)当f(n)为关于n的函数时,用叠加法.
方法如下:由an+1-an=f(n),得
当n≥2时,an-an-1=f(n-1),
an-1-an-2=f(n-2),