判定三类特殊函数的奇偶性

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专题:函数的奇偶性讲义(教师用)

专题:函数的奇偶性讲义(教师用)

函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数y =)(x f 的定义域为D ,如果对于D 任意一个x ,都有D x ∈-,且)(x f -=-)(x f ,那么这个函数叫做奇函数.设函数y =)(x g 的定义域为D ,如果对于D 任意一个x ,都有D x ∈-,且)(x g -=)(x g ,那么这个函数叫做偶函数.奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形. 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形. 二、方法归纳1.函数的定义域D 是关于原点的对称点集(即对x ∈D 就有-x ∈D ),是其具有奇偶性的必要条件.2.在公共定义域:两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数;两个奇函数的和、差是奇函数,积、 商是偶函数; 偶函数与奇函数的积、商是奇函数.3.判断函数的奇偶性应把握:① 若为具体函数,严格按照定义判断,注意定义域D 的对称性和变换中的等价性. ② 若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性和合理性.4.定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数)(x f ,总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和. 即)(x f =)(x F +)(x G ,其中)(x F =2)()(x f x f -+为偶函数, )(x G =2)()(x f x f --为奇函数.5.奇(偶)函数性质的推广:若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称,则)2()(a x f x f +=-; 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称,则)2()(a x f x f +-=-; 三、典型例题精讲[例1](1)函数)(x f =111122+++-++x x x x 的图象( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点对称D .关于直线x =1对称解析:由=-)(x f 111122+-+--+x x x x , ∴ =-)(x f =11111122+++-++xx xx =)1(1)1(122x x x x +++++- =-)(x f∴ )(x f 是奇函数,图象关于原点对称. 答案:C【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形,不要轻易断定是非奇非偶函数. (2)分段函数奇偶性的判定又例:函数⎩⎨⎧>-+-<++=0,320,32)(22x x x x x x x f 的奇偶性. 解析:当0>x 时,0<-x3)(2)()(2+-+-=-x x x f =322+-x x =)(x f -;当0<x 时,0>-x3)(2)()(2--+--=-x x x f =322---x x =)(x f -∴)(x f 是奇函数.[例2]已知)(x f 是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断)(x f 在(-∞,0)上的增减性并加以证明. 解析:函数)(x f 在(-∞,0)上是增函数.设x 1<x 2<0,因为)(x f 是偶函数,所以)(1x f -=)(1x f ,)(2x f -=)(2x f ,由假设可知-x 1>-x 2>0,又已知)(x f 在(0,+∞)上是减函数,于是有)(1x f -<)(2x f -, 即)(1x f <)(2x f ,由此可知,函数)(x f 在(-∞,0)上是增函数.【技巧提示】 具有奇偶性的函数,其定义域D 关于原点的对称性,使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性.“偶函数半增半减,奇函数一增全增”.[例3]定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数)(x f 为增函数,偶函数)(x g 在区间[0,+∞)上的图象与)(x f 的图象重合,设a >b >0,给出下列不等式:(1)f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ); (2)f (b )-f (-a )<g (a )-g (-b ); (3)f (a )-f (-b )>g (b )-g (-a ); (4)f (a )-f (-b )<g (b )-g (-a ). 其中成立的是( )A . (1)与(4)B . (2)与(3)C . (1)与(3)D . (2)与(4) 解析:根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简,得: (1)f (b )+f (a )>g (a )-g (b ); (2)f (b )+f (a )<g (a )-g (b ); (3)f (a )+f (b )>g (b )-g (a ); (4)f (a )+f (b )<g (b )-g (a ).再由题义,有 )(a f =)(a g >)(b f =)(b g >0)0()0(==g f .显然(1)、(3)正确,故选C .【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间的单调性,因而往往与不等式联系紧密.又例:偶函数)(x f 在定义域为R ,且在(-∞,0]上单调递减,求满足)3(+x f >)1(-x f 的x 的集合. 解析:偶函数)(x f 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.根据图象的对称性,)3(+x f >)1(-x f 等价于|3|+x >|1|-x .解之,1->x ,∴ 满足条件的x 的集合为(-1,+∞).[例4]设)(x f 是(-∞,+∞)上的奇函数,)2(+x f =-)(x f ,当0≤x ≤1时,)(x f =x ,x 则)5.7(f 等于( )A .0.5B . -0.5C . 1.5D . -1.5解析:)5.7(f =)25.5(+f =-)5.5(f =-)25.3(+f =)5.3(f =)25.1(+f =-)5.1(f =-)25.0(+-f =)5.0(-f =-)5.0(f =-0.5.答案:B【技巧提示】 这里反复利用了)(x f =-)(x f 和)2(+x f =-)(x f ,后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性.又例:如果函数)(x f 在R 上为奇函数,且在(-1,0)上是增函数,试比较)31(f ,)32(f ,)1(f 的大小关系_________. 解析:∵)(x f 为R 上的奇函数,∴ )31(f =-)31(-f ,)32(f =-)32(-f ,)1(f =-)1(-f ,又)(x f 在(-1,0)上是增函数且-31>-32>-1. ∴ )31(-f >)32(-f >)1(-f ,∴ )31(f <)32(f <)1(f .答案:)31(f <)32(f <)1(f .[例5]函数)(x f 的定义域为D ={}0≠∈x R x ,且满足对于任意D x x ∈21,,有1212()()()f x x f x f x ⋅=+ (1)求(1)f 的值; (2)判断函数)(x f 的奇偶性,并证明;解:(1)令121x x ==,得()10f =;(2)令121x x ==-,得()10f -=,令121,x x x =-=,得()()()1f x f f x -=-+∴ ()()f x f x -=,即)(x f 为偶函数.【技巧提示】 赋值法是解决抽象函数问题的切入点.常赋值有0,1,―1,2,―2,等等.[例6]已知函数)(x f 在(-1,1)上有定义,)21(f =-1,当且仅当0<x <1时)(x f <0,且对任意x 、y ∈(-1,1)都有)(x f +)(y f =)1(xyyx f ++,试证明: (1) )(x f 为奇函数;(2) )(x f 在(-1,1)上单调递减. 证明:(1) 由)(x f +)(y f =)1(xyyx f ++,令x =y =0,得)0(f =0, 令y =-x ,得)(x f +)(x f -=)1(2x xx f --=)0(f =0,∴ )(x f =-)(x f -, ∴)(x f 为奇函数. (2)先证)(x f 在(0,1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0,∴21121x x x x -->0,又(x 2-x 1)-(1-x 2x 1)=(x 2-1)(x 1+1)<0 ∴x 2-x 1<1-x 2x 1, ∴0<21121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0,即f (x 2)<f (x 1).∴ )(x f 在(0,1)上为减函数,又)(x f 为奇函数且f (0)=0.∴)(x f 在(-1,1)上为减函数.【技巧提示】 这种抽象函数问题,往往需要赋值后求特殊的函数值,如(0),(1),(2)f f f ±±等等,一般(0)f 的求解最为常见.赋值技巧常为令0==y x 或y x -=等。

第三讲 函数的奇偶性(教师版)

第三讲 函数的奇偶性(教师版)

第三讲函数的奇偶性1.奇、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积都是偶函数;③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.两个性质(1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.三种方法判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x)(其中a<b),则:y=f(x)是以2(b -a )为周期的周期函数.(3)若f (x +a )=-f (x )或f (x +a )=1f (x )或f (x +a )=-1f (x ),那么函数f (x )是周期函数,其中一个周期为T =2a ;(3)若f (x +a )=f (x +b )(a ≠b ),那么函数f (x )是周期函数,其中一个周期为T =2|a -b |.1.(课本改编题)已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是________.2.(课本改编题)下列函数中,所有奇函数的序号是________.①f (x )=2x 4+3x 2;②f (x )=x 3-2x ;③f (x )=x 2+1x ;④f (x )=x 3+1.3.(2011·广东)设函数f (x )=x 3cos x +1.若f (a )=11,则f (-a )=________.4.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是________.5.定义在R 上的函数y =f (x )是奇函数,且满足f (1+x )=f (1-x ).当x ∈[-1,1]时,f (x )=x 3,则f (2 013)的值是( )A .-1B .0C .1D .26.(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1-x ),则f ⎝⎛⎭⎫-52=( ). A.-12 B.-14 C.14 D.127.(2012·福州一中月考)f (x )=1x -x 的图象关于( ).A .y 轴对称B .直线y =-x 对C .坐标原点对称D .直线y =x 对称8.(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ).A .f (x )+|g (x )|是偶函数B .f (x )-|g (x )|是奇函数C .|f (x )|+g (x )是偶函数D .|f (x )|-g (x )是奇函数10.(2011·浙江)若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________.解析 法一 ∵f (-x )=f (x )对于x ∈R 恒成立,∴|-x +a |=|x +a |对于x ∈R 恒成立,两边平方整理得ax =0对于x ∈R 恒成立,故a =0. 法二 由f (-1)=f (1), 得|a -1|=|a +1|,得a =0. 答案011.(2005年北京西城区模拟题)定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,又f (-3)=0,则不等式xf (x )<0的解集为 A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)解析:由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案:A12.定义在[-2,2]上的偶函数g (x ),当x ≥0时,g (x )单调递减,若g (1-m )<g (m ),求m 的取值范围________.解:由g (1-m )<g (m )及g (x )为偶函数,可得g (|1-m |)<g (|m |).又g (x )在(0,+∞)上单调递减,∴|1-m |>|m |,且|1-m |≤2,|m |≤2,解得-1≤m <21.题型一 函数奇偶性的判断及奇偶性质的运用 例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )=9-x 2+x 2-9; (2)f (x )=(x +1)1-x 1+x ; (3)f (x )=4-x 2|x +3|-3. 探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的;(2)判断f (x )与f (-x )是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )+f (-x )=0(奇函数)或f (x )-f (-x )=0(偶函数))是否成立. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x >0或x <0来寻找等式f (-x )=f (x )或f (-x )=-f (x )成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )=lg 1-x 1+x ;(2)f (x )=(x -1) 2+x2-x;(3)f (x )={ x 2+x (x >0), x 2-x (x <0);(4)f (x )=lg (1-x 2)|x 2-2|-2.例2已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f 是定义在实数集上的奇函数,求函数的解析式。

高中数学判断函数奇偶性的常见方法

高中数学判断函数奇偶性的常见方法

高中数学判断函数奇偶性的常见方法由于函数的奇偶性在高中数学研究函数的性质和图像上起着非常重要的作用,因此广大同学应该熟练掌握函数的奇偶性. 下面介绍高中阶段判断函数奇偶性的常见方法.一、定义法设的定义域关于原点对称,若,即,则称是定义域上的偶函数;若,即,则称是定义域上的奇函数. 根据定义,判断一个函数是否为奇偶函数,首先必须满足定义域关于原点对称,否则该函数为非奇非偶函数. 当定义域关于原点对称,再去检验与的关系,若关系不明朗,可以等价判断是否等于零.例1.判断下列函数的奇偶性.对于任意的底数,(2)(3)都是奇函数,可以作为常见常考的结论;(4)在作函数图像时用处很大,比如为偶函数,图像关于轴对称.二、图像法由奇偶函数的定义可知,偶函数的图像关于轴对称,奇函数的图像关于原点对称. 所以根据函数的图像,我们可以识别一个函数是否为奇偶函数.例2.函数的图象可能是( )解:由定义知是奇函数,则其图像关于原点对称,且当时,,故选C.例3.判断常数函数()的奇偶性.解:由常数函数的图像,当时,是偶函数;当时,既是奇函数,也是偶函数.三、图像平移法1.设,函数关于直线对称函数是偶函数;2.设,函数关于点对称函数是奇函数.显然由函数图像之间的平移变换,易得该结论. 如已知函数的图象关于直线对称,则函数的图像关于轴对称,是偶函数.四、利用常见的小结论快速判断1. 若,则是偶函数,如;若,则是奇函数,如.2.设是两个奇函数,是两个偶函数,则有下面结论:(1),是奇函数,,是偶函数,即两个奇函数的和与差是奇函数,积与商是偶函数. 如,是奇函数,,是偶函数.(2),,,是偶函数,即两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数. 如,,,都是偶函数.(3),都为奇函数,即一个奇函数与一个偶函数的积与商都是奇函数,但和与差是无法判断的. 如,就是奇函数.例4.若函数是偶函数,则.解:偶函数之和为偶函数,所以必然没有奇次方,从而奇次方系数等于零,即有.五、抽象函数的奇偶性抽象函数考虑奇偶性问题时,往往采用赋值法求出与间的关系,用定义去判断.例5.若对于定义域为的函数满足,且. 试判断的奇偶性.解:令,则. 因为,则.令,则,整理得,故是偶函数.函数的奇偶性作为函数最基本的性质,在高中阶段往往和函数的单调性、对称性和周期性结合在一起进行考察,只要我们能够快速判断出函数的奇偶性,常常在解题时就起到了举足轻重的作用. 以上五种判断函数奇偶性的方法,如果同学们能够熟练掌握,在解决函数性质的相关问题时,就能取到事半功倍的效果。

新高考A版讲义:第三章函数 第3节 函数的基本性质奇偶性

新高考A版讲义:第三章函数 第3节 函数的基本性质奇偶性

第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地,图象关于y 轴对称的函数称为偶函数,图象关于原点对称的函数称为奇函数. 2.函数奇偶性的定义(1)偶函数:函数f (x )的定义域为I ,如果∀x ∈I ,都有-x ∈I ,且f (-x )=f (x ),那么函数f (x )就叫做偶函数.(2)奇函数:函数f (x )的定义域为I ,如果∀x ∈I ,都有-x ∈I ,且f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )就叫做奇函数.3.奇(偶)函数的定义域特征:奇(偶)函数的定义域关于原点对称.题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )=1x ;(2)f (x )=x 2(x 2+2);(3)f (x )=xx -1;(4)f (x )=x 2-1+1-x 2.解 (1)f (x )=1x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∵f (-x )=1-x=-1x =-f (x ),∴f (x )=1x 是奇函数.(2)f (x )=x 2(x 2+2)的定义域为R .∵f (-x )=f (x ),∴f (x )=x 2(x 2+2)是偶函数. (3)f (x )=xx -1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), ∵定义域不关于原点对称,∴f (x )=xx -1既不是奇函数,也不是偶函数.(4)f (x )=x 2-1+1-x 2的定义域为{-1,1}.∵f (-x )=f (x )=-f (x )=0,∴f (x )=x 2-1+1-x 2既为奇函数,又为偶函数. 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法:①定义域关于原点对称;②确定f (-x )与f (x )的关系. (2)图象法.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )=x ;(2)f (x )=1-x 2x ;(3)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x >0,x 2-x ,x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以f(x)=x是非奇非偶函数.(2)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称.f(-x)=1-x2-x=-f(x),所以f(x)为奇函数.(3)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x),所以f(x)是偶函数.题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象;(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图.(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.解(1)f(x)的图象如图所示:(2)xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图,求值,解不等式等.跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解(1)如图,在[0,5]上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D.分别描出它们关于原点的对称点O ′,A ′,B ′,C ′,D ′, 再用光滑曲线连接即得.(2)由(1)图可知,当且仅当x ∈(-2,0)∪(2,5)时,f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |-2<x <0或2<x <5}. 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,定义域为[a -1,2a ],则a =________,b =________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a -1=-2a ,解得a =13.又函数f (x )=13x 2+bx +b +1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b =0.(2)已知函数f (x )=ax 2+2x 是奇函数,则实数a =________.解析 由奇函数定义有f (-x )+f (x )=0,得a (-x )2+2(-x )+ax 2+2x =2ax 2=0,故a =0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数:奇偶函数f (x )的定义域为[a ,b ],根据定义域关于原点对称,利用a +b =0求参数.(2)解析式含参数:根据f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )列式,比较系数利用待定系数法求解. 跟踪训练3 (1)若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________. 解析 方法一 显然x ∈R ,由已知得f (-x )=(-x )2-|-x +a |=x 2-|x -a |. 又f (x )为偶函数,所以f (x )=f (-x ),即x 2-|x +a |=x 2-|x -a |, 即|x +a |=|x -a |.又x ∈R ,所以a =0.方法二 由题意知f (-1)=f (1),则|a -1|=|a +1|,解得a =0.(2)已知函数f (x )是奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x 2+mx .若f (2)=-3,则m 的值为________. 解析 ∵f (-2)=-f (2)=3,∴f (-2)=(-2)2-2m =3,∴m =12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数,则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ,b ]和[-b ,-a ]上具有相同的单调性;若函数f (x )为偶函数,则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ,b ]和[-b ,-a ]上具有相反的单调性.题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数,当x >0时,f (x )=-x +1,求当x <0时,f (x )的解析式. 解 设x <0,则-x >0,∴f (-x )=-(-x )+1=x +1,又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数,∴当x <0时,f (x )=-f (-x )=-x -1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ,然后把x 转化为-x ,此时-x 成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式.跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )=x (1+x ),求f (x )的解析式. 解 因为x ∈(-∞,0)时,-x ∈(0,+∞),所以f (-x )=-x [1+(-x )]=x (x -1). 因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-x (x -1),x ∈(-∞,0).f (0)=0.所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1+x ),x ≥0,-x (x -1),x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )+g (x )=1x -1,求函数f (x ),g (x )的解析式.解 ∵f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,∴f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x ), 由f (x )+g (x )=1x -1.①,用-x 代替x ,得f (-x )+g (-x )=1-x -1,∴f (x )-g (x )=1-x -1,② (①+②)÷2,得f (x )=1x 2-1;(①-②)÷2,得g (x )=xx 2-1.反思感悟 f (x )+g (x )=1x -1对定义域内任意x 都成立,所以可以对x 任意赋值,如x =-x .利用f (x ),g (x )一奇一偶,把-x 的负号或提或消,最终得到关于f (x ),g (x )的二元方程组,从中解出f (x )和g (x ).跟踪训练2设f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )+g (x )=x 2+2x ,求函数f (x ),g (x )的解析式. 解 ∵f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,∴f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x ), 由f (x )+g (x )=2x +x 2.①用-x 代替x ,得f (-x )+g (-x )=-2x +(-x )2,∴f(x)-g(x)=-2x+x2,②(①+②)÷2,得f(x)=x2;(①-②)÷2,得g(x)=2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;(2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为() A.f(1)>f(-10) B.f(1)<f(-10)C.f(1)=f(-10) D.f(1)和f(-10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,∴f(-10)=f(10)<f(1).(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,下列不等式中成立的有________.(填序号)①f(a)>f(-b);②f(-a)>f(b);③g(a)>g(-b);④g(-a)<g(b);⑤g(-a)>f(-a).解析f(x)为R上奇函数,增函数,且a>b>0,∴f(a)>f(b)>f(0)=0,又-a<-b<0,∴f(-a)<f(-b)<f(0)=0,∴f(a)>f(b)>0>f(-b)>f(-a),∴①正确,②错误.x∈[0,+∞)时,g(x)=f(x),∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,∴g(-a)=g(a)>g(b)=g(-b),∴③正确,④错误.又g(-a)=g(a)=f(a)>f(-a),∴⑤正确.题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数.若f(-3)=0,则f(x)x<0的解集为________.解析∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,∴f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.∴f(3)=f(-3)=0.当x>0时,由f(x)<0,解得x>3;当x<0时,由f(x)>0,解得-3<x<0.故所求解集为{x |-3<x <0或x >3}.(2)已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13,23 B.⎣⎡⎭⎫13,23C.⎝⎛⎭⎫12,23 D.⎣⎡⎭⎫12,23 解析 由于f (x )为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则不等式f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13, 即-13<2x -1<13,解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式,一般有两类 (1)利用图象解不等式; (2)转化为简单不等式求解.①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式; ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解.跟踪训练4 设定义在[-2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围.解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数,f (x )在[-2,2]上是减函数. 所以不等式f (1-m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1-m >m ,-2≤m ≤2,-2≤1-m ≤2,解得-1≤m <12.1.下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )=x 3; ②f (x )=x 5; ③f (x )=x +1x;④f (x )=1x2.A .1B .2C .3D .4 答案 C2.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,f (-3)=2,则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A .(3,-2)B .(3,2)C .(-3,-2)D .(2,-3) 答案 A解析 f (-3)=2即点(-3,2)在奇函数的图象上, ∴(-3,2)关于原点的对称点(3,-2)必在f (x )的图象上.3.设f (x )是定义在R 上的一个函数,则函数F (x )=f (x )-f (-x )在R 上一定( ) A .是奇函数 B .是偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (-x )=f (-x )-f (x )=-[f (x )-f (-x )]=-F (x ). ∴F (x )为奇函数4.若f (x )=3x 3+5x +a -1为奇函数,则a 的值为( ) A .0 B .-1 C .1 D .2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数, ∴f (0)=0得a =1.5.如图,给出奇函数y =f (x )的局部图象,则f (-2)+f (-1)的值为( )A .-2B .2C .1D .0答案 A解析 f (-2)+f (-1)=-f (2)-f (1) =-32-12=-2.6.若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =________. 答案 4解析 f (x )=x 2+(a -4)x -4a 是偶函数,∴a =4.7.已知y =f (x )是奇函数,当x <0时,f (x )=x 2+ax ,且f (3)=6,则a 的值为________. 答案 5解析 因为f (x )是奇函数, 所以f (-3)=-f (3)=-6,所以(-3)2+a (-3)=-6,解得a =5.8.若f (x )为R 上的奇函数,给出下列四个说法: ①f (x )+f (-x )=0; ②f (x )-f (-x )=2f (x );③f(x)·f(-x)<0;④f(x)f(-x)=-1.其中一定正确的为________.(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故①正确.f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故②正确.当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故③不正确.当x=0时,f(x)f(-x)分母为0,无意义,故④不正确.9.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x5;(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;(3)f(x)=2x2+2x x+1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R.∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.10.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值.(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,图③为补充后的图象.易知f(3)=-2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象,图④为补充后的图象,易知f (1)>f (3).11.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( ) A .y =x 3 B .y =|x |+1 C .y =-x 2+1 D .y =-2x答案 B解析 对于函数y =|x |+1,f (-x )=|-x |+1=|x |+1=f (x ), 所以y =|x |+1是偶函数,当x >0时,y =x +1, 所以在(0,+∞)上单调递增.另外,函数y =x 3不是偶函数,y =-x 2+1在(0,+∞)上单调递减,y =-2x 不是偶函数.故选B.12.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A .f (x )+|g (x )|是偶函数 B .f (x )-|g (x )|是奇函数 C .|f (x )|+g (x )是偶函数 D .|f (x )|-g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数,可得f (-x )=f (x ), 由g (x )是奇函数可得g (-x )=-g (x ), 故|g (x )|为偶函数, ∴f (x )+|g (x )|为偶函数.13.函数f (x )=4-x 22-|x +2|的定义域为________,为______函数(填“奇”或“偶”).答案 [-2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2≥0,2-|x +2|≠0,解得-2≤x ≤2且x ≠0, ∴f (x )的定义域为[-2,0)∪(0,2].∵f (x )=4-x 22-|x +2|=4-x 2-x=-4-x 2x ,定义域关于原点对称,∴f (-x )=4-x 2x =-f (x ),∴f (x )为奇函数.14.函数f (x )=ax 3+bx +cx +5满足f (-3)=2,则f (3)的值为________.答案 8解析 设g (x )=f (x )-5=ax 3+bx +cx (x ≠0),∵g (-x )=-ax 3-bx -cx =-g (x ),∴g (x )是奇函数,∴g (3)=-g (-3)=-[f (-3)-5] =-f (-3)+5=-2+5=3, 又g (3)=f (3)-5=3, ∴f (3)=8.15.已知函数f (x )=x 2+x +1x 2+1,若f (a )=23,则f (-a )=________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意,f (x )=x 2+x +1x 2+1=1+x x 2+1,而h (x )=xx 2+1是奇函数,故f (-a )=1+h (-a )=1-h (a )=2-[1+h (a )]=2-f (a )=2-23=43.16.设函数f (x )=ax 2+1bx +c 是奇函数(a ,b ,c ∈Z ),且f (1)=2,f (2)<3,求a ,b ,c 的值.解 由条件知f (-x )+f (x )=0, ∴ax 2+1bx +c +ax 2+1c -bx =0,∴c =0. 又f (1)=2,∴a +1=2b .∵f (2)<3,∴4a +12b <3,∴4a +1a +1<3,解得-1<a <2,∴a =0或1. ∴b =12或1,由于b ∈Z ,∴a =1,b =1,c =0.1.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x ≥0,g (x ),x <0,且f (x )为偶函数,则g (-2)等于( ) A .6 B .-6 C .2 D .-2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (-2)=f (-2)=f (2)=22+2=6.2.如果奇函数f (x )在区间[-3,-1]上是增函数且有最大值5,那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A .增函数且最小值为-5B .增函数且最大值为-5C .减函数且最小值为-5D .减函数且最大值为-5答案 A解析 f (x )为奇函数,∴f (x )在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且f (1)为最小值, 又已知f (-1)=5,∴f (-1)=-f (1)=5,∴f (1)=-5,故选A.3.已知函数y =f (x )是R 上的偶函数,且f (x )在[0,+∞)上是减函数,若f (a )≥f (-2),则a 的取值范围是( )A .a ≤-2B .a ≥2C .a ≤-2或a ≥2D .-2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (-2)得f (|a |)≥f (2),∴|a |≤2,∴-2≤a ≤2.4.已知函数y =f (x )是偶函数,其图象与x 轴有4个交点,则方程f (x )=0的所有实根之和是( )A .4B .2C .1D .0答案 D解析 y =f (x )是偶函数,所以y =f (x )的图象关于y 轴对称,所以f (x )=0的所有实根之和为0.5.设f (x )是R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x 1<0且x 1+x 2>0,则( )A .f (-x 1)>f (-x 2)B .f (-x 1)=f (-x 2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0,x1+x2>0,∴x2>-x1>0,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(x2)<f(-x1),∵f(x)是偶函数,∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1).6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=________.答案-5解析由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.7.已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________.考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(-∞,1)解析由于f(x)在[0,+∞)上单调递增,且是奇函数,所以f(x)在R上单调递增,f(x)<f(1)等价于x<1.8.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是________.答案f(-2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,∴m=0,即f(x)=-x2+2.∵f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,∴f(2)<f(1)<f(0),即f(-2)<f(1)<f(0).9.已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.(1)试求f(x)在R上的解析式;(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称,所以f (x )为奇函数,则f (0)=0.设x <0,则-x >0,因为当x >0时,f (x )=x 2-2x +3.所以当x <0时,f (x )=-f (-x )=-(x 2+2x +3)=-x 2-2x -3.于是有f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-2x +3,x >0,0,x =0,-x 2-2x -3,x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象,再根据对称性画出y 轴左侧的图象,如图.由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间是(-1,0),(0,1).10.已知函数f (x )=ax +b x +c (a ,b ,c 是常数)是奇函数,且满足f (1)=52,f (2)=174. (1)求a ,b ,c 的值;(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,12上的单调性并证明. 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ),∴-ax -b x +c =-ax -b x-c , ∴c =0,∴f (x )=ax +b x. 又∵f (1)=52,f (2)=174, ∴⎩⎨⎧ a +b =52,2a +b 2=174.∴a =2,b =12.综上,a =2,b =12,c =0.(2)由(1)可知f (x )=2x +12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,12上为减函数.证明如下:任取0<x 1<x 2<12,则f (x 1)-f (x 2)=2x 1+12x 1-2x 2-12x 2=(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫2-12x 1x 2=(x 1-x 2)4x 1x 2-12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12,∴x 1-x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2-1<0.∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0,12上为减函数.11.设奇函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,且f (1)=0,则不等式f (x )-f (-x )x <0的解集为() A .(-1,0)∪(1,+∞)B .(-∞,-1)∪(0,1)C .(-∞,-1)∪(1,+∞)D .(-1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数,f (x )-f (-x )x <0,即f (x )x <0,∵f (x )在(0,+∞)上为减函数且f (1)=0,∴当x >1时,f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称,∴在(-∞,0)上f (x )为减函数且f (-1)=0,即x <-1时,f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 12.已知f (x +y )=f (x )+f (y )对任意实数x ,y 都成立,则函数f (x )是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数,也是偶函数D .既不是奇函数,也不是偶函数答案 A解析 令x =y =0,所以f (0)=f (0)+f (0),所以f (0)=0.又因为f (x -x )=f (x )+f (-x )=0,所以f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数,故选A.13.已知y =f (x )+x 2是奇函数且f (1)=1,若g (x )=f (x )+2,则g (-1)=________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 -1解析 ∵y =f (x )+x 2是奇函数,∴f (-x )+(-x )2=-[f (x )+x 2],∴f (x )+f (-x )+2x 2=0,∴f (1)+f (-1)+2=0.∵f (1)=1,∴f (-1)=-3.∵g (x )=f (x )+2,∴g (-1)=f (-1)+2=-3+2=-1.14.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1-x )=f (1+x ),且f (x )在[1,+∞)上为单调减函数,则当x =________时,f (x )取得最大值;若不等式f (0)<f (m )成立,则m 的取值范围是________. 答案 1 (0,2)解析 由f (1-x )=f (1+x )知,f (x )的图象关于直线x =1对称,又f (x )在(1,+∞)上单调递减,则f (x )在(-∞,1]上单调递增,所以当x =1时f (x )取到最大值.由对称性可知f (0)=f (2),所以f (0)<f (m ),得0<m <2,即m 的取值范围为(0,2).15.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)等于( )A .-3B .-1C .1D .3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,∴f (-x )-g (-x )=-x 3+x 2+1.∵f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,∴f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x ).∴f (x )+g (x )=-x 3+x 2+1.∴f (1)+g (1)=-1+1+1=1.16.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ∈R ,当a +b ≠0时,都有f (a )+f (b )a +b>0. (1)若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小关系;(2)若f (1+m )+f (3-2m )≥0,求实数m 的取值范围.解 (1)因为a >b ,所以a -b >0,由题意得f (a )+f (-b )a -b>0, 所以f (a )+f (-b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-b )=-f (b ),所以f (a )-f (b )>0,即f (a )>f (b ).(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数,因为f (1+m )+f (3-2m )≥0,所以f (1+m )≥-f (3-2m ),即f (1+m )≥f (2m -3),所以1+m ≥2m -3,所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(-∞,4].。

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法山东 刘海函数奇偶性的判定方法较多,下面举例介绍常见的判定方法.1.定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性.解:要使函数有意义,须20x -≥,解得2x ≥,定义域不关于原点对称,∴原函数是非奇非偶函数.评注:用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数,但可以通过定义域不关于原点对称,来否定一个函数具有奇偶性.2.定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性.解:函数()f x x a x a =++-的定义域为R , 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=, ∴函数()f x 是偶函数.评注:在定义域关于原点对称的前提下,可根据定义判定函数奇偶性.3.等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性. 解:()f x 的定义域为R ,关于原点对称,当0x =时,()0f x =,∴图象过原点.又0x ≠时,2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--,()()f x f x ∴-=-. 又(0)0f =,()f x ∴为奇函数.评注:常用等价变形形式有:若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-,则()f x 为奇函数;若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=,则()f x 为偶函数(其中()0f x ≠). 4.性质判定法 例4 若0a >,[]()()f x x a a ∈-,是奇函数,()()g x x ∈R 是偶函数,试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性.解:在()()f x g x ,的公共定义域[]a a -,内,任取一个x ,则()()()x f x g x ϕ-=--, ()()f x g x ,分别是奇函数和偶函数,()()f x f x ∴-=-,()()g x g x -=.()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-.()x ϕ∴在[]a a -,上为奇函数.评注:在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下:①两个偶函数的和、差、积都是偶函数;②两个奇函数的和、差是奇函数,积是偶函数;③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.。

奇偶函数的判断口诀

奇偶函数的判断口诀

奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀:
"奇函数积偶负,偶函数积偶正"。

这句口诀的意思是,如果一个函数是奇函数,那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数;如果一个函数是偶函数,那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。

另外,还可以通过函数的定义来判断。

奇函数满足f(-x)=-
f(x),偶函数满足f(-x)=f(x)。

通过这两个条件,可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。

此外,还可以通过函数图像的对称性来判断。

如果函数的图像
关于原点对称,则该函数是奇函数;如果函数的图像关于y轴对称,则该函数是偶函数。

综上所述,通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法,可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。

函数的奇偶性(精辟讲解)

函数的奇偶性(精辟讲解)

[难点正本 疑点清源] 1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义:一般地,如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x)),那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数).其中包含两个必备条件: ①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件,所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题; ②判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数)) 是否成立.
2.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单 调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”. (5)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)=0,定义域是关 于原点对称的任意一个数集).
∴f(x)为偶函数.
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x) =x2-x-1,求 f(x)的解析式; (2)设 a>0,f(x)=eax+eax是 R 上的偶函数,求实数 a 的值;
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间 [-2,0]内递减,求满足 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实 数 m 的取值范围. 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数,当 x<0 时,转化为

高一数学人必修一课件时函数奇偶性的定义与判定

高一数学人必修一课件时函数奇偶性的定义与判定

06
函数奇偶性的深入理解
奇偶性与函数周期性的关系
奇偶性是函数周期性的一种特 殊表现
奇偶性函数必定有周期性,但 周期性函数不一定有奇偶性
奇偶性函数周期性的判断可以 通过观察函数的图像或解析式 来实现
奇偶性函数周期性的应用在解 决实际问题中具有重要意义, 如信号处理、控制系统设计等
奇偶性与函数单调性的关系
反函数法:通过反函数判断其奇偶 性
图像法:通过观察函数图像判断其 奇偶性
02
复合函数法:通过复合函数判断其 奇偶性
04
特殊值法:通过特殊值判断其奇偶 性
06
04
函数奇偶性的性质
奇偶性对函数图像的影响
奇函数:关于原点对称,图像关于y轴对称 偶函数:关于y轴对称,图像关于x轴对称 非奇非偶函数:既不关于原点对称,也不关于y轴对称 奇偶性对函数图像的影响:决定了函数图像的对称性和周期性
奇偶性对函数值的影响
奇函数:f(-x)=-f(x),函数值关于原点对称
偶函数:f(-x)=f(x),函数值关于y轴对称
非奇非偶函数:既不是奇函数也不是偶函数 奇偶性对函数图像的影响:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关 于y轴对称,非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
奇偶性对函数运算的影响
函数奇偶性的定义 与判定
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目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 函 数 奇 偶 性 的 定 义 03 函 数 奇 偶 性 的 判 定 方 法 04 函 数 奇 偶 性 的 性 质 05 函 数 奇 偶 性 的 应 用 06 函 数 奇 偶 性 的 深 入 理 解
01
添加章节标题
在解决实际问题中的应用

函数的奇偶性知识点

函数的奇偶性知识点

函数的奇偶性知识点函数的奇偶性是函数的一种特殊性质。

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就是偶函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就是奇函数。

奇函数的图像关于原点对称,而偶函数的图像关于y轴对称。

因此,判断函数的奇偶性需要确定函数的定义域是否关于原点对称,并判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系。

奇函数具有一些特殊的性质,例如定义域关于原点对称,f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,图像关于原点对称,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,以及在函数的定义域内,一定有f(0)=0.而偶函数也有类似的性质,例如定义域关于原点对称,f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,图像关于y轴对称,在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,以及如果一个函数既是奇函数又是偶函数,那么有f(x)=0.判断函数的奇偶性需要判断定义域是否关于原点对称。

这是因为,如果x是定义域内的一个元素,那么-x也一定是定义域内的一个元素,所以函数y=f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是:定义域在x轴上所示的区间关于原点对称。

如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称,那么这个函数一定不具有奇偶性。

因此,判断函数的奇偶性需要先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称,再根据奇偶性的定义或其等价形式进行推理判断。

如果首先求得定义域不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数。

判断函数的奇偶性一般按照定义严格进行。

步骤如下:首先考查定义域是否关于原点对称;其次考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x)。

如果f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;如果f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;如果f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;如果f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数。

如何运用定义法判断函数的奇偶性

如何运用定义法判断函数的奇偶性

我们知道,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x ),那么函数f (x )是偶函数;都有f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )是奇函数.奇偶性是函数的重要性质之一.判断函数的奇偶性,我们一般用定义法,其基本思路是:第一步,判断函数的定义域是否关于原点对称.若函数的定义域不关于原点对称,则该函数不具有奇偶性.第二步,将-x 替换x ,求得f (-x )的表达式.第三步,将f (-x )的表达式与f (x )、-f (x )进行比较,若f (-x )=f (x ),则函数为偶函数;若f (-x )=-f (x ),则函数为奇函数.下面,我们结合实例来说明.例1.判断函数f (x )=x -1x3的奇偶性.解:由题意可知,该函数的定义域为()-∞,0⋃(0,+∞),且关于原点对称,所以当x ∈(-∞,0)⋃(0,+∞)时,-x ∈(-∞,0)⋃(0,+∞),又f (-x )=(-x )-1(-x )3=-x +1x 3=-(x -1x3),所以函数f (x )=x -1x3为奇函数.在求出函数的定义域后,我们就会发现函数的定义域关于原点对称,所以接下来就可以直接根据函数奇偶性的定义来判断其奇偶性.例2.判断函数f (x )=ìíîïïx 3-3x 2+1,x >0,0,x =0,x +3x 2-1,x <0,的奇偶性.解:由题意知,函数的定义域为R ,且关于原点对称.当x >0时,-x <0,f (-x )=-x 3+3x 2-1=-(x 3-3x 2+1)=-f (x ),当x =0时,-x =0,f (-x )=f (0)=0,f (x )=f (0)=0,f (-x )=-f (x ),当x <0时,-x >0,f (-x )=-x 3-3x 2+1=-(x 3+3x 2-1)=-f (x ),综上,当x ∈R 时,总有f (-x )=-f (x ),所以该函数f (x )为奇函数.由于该函数为分段函数,所以需将函数的定义域分成三段,然后将-x 与x 代入相应区间的函数表达式中,得到f (-x )=-f (x ),所以可以判定该函数为奇函数.在判断分段函数的奇偶性时,很多同学经常会误用函数在定义域的某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性,大家要警惕.例3.已知函数f (x )的定义域为R .若对于任意实数a 、b 都存在f (a +b )+f (a -b )=2f (a )f (b ),请判断该函数的奇偶性.分析:由于该函数没有给出具体的解析式,属于抽象函数,需通过讨论f (x )±f (-x )是否等于0,以及f (x )与f (-x )之间的关系来判断其奇偶性.解:由题意可知函数的定义域为R ,所以函数的定义域关于原点对称.由任意a 、b ∈R ,都存在f (a +b )+f (a -b )=2f (a )f (b )可令b =0,则2f (a )=2f (a )f (0),若f (a )=0,a 为任意实数,则f (x )=0,所以函数为偶函数.若f (a )≠0,则f (1)=0.令a =0,则f (b )+f (-b )=2f (0)f (b )=2f (b ),f (-b )=f (b ).所以该函数为偶函数.利用定义法判断抽象类函数的奇偶性有两种思路.一种是通过判断f (x )±f (-x )是否等于0来进行判断,当f (x )-f (-x )=0时,函数为偶函数;当f (x )+f (-x )=0时,函数为奇函数.另一种方法是根据f (x )与f (-x )之间的关系来进行判断,当f (-x )=-f (x )时,函数为奇函数;当f (-x )=f (x )时,函数为偶函数.判断函数奇偶性的方法还有很多,如数形结合法、转化法、导数法等.虽然有些题目中函数的解析式和类型并不相同,但运用定义法判断函数奇偶性的步骤和思路是一致的.希望同学们在学习了这篇文章后,能熟练运用定义法判断函数的奇偶性.(作者单位:江苏省东海县房山高级中学)何永知识导航39。

高中数学解题方法谈:函数奇偶性的判定方法

高中数学解题方法谈:函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多,下面把常见的判定方法分类加以研究分析.1.定义域判定法例1判定()(1)f x x =-解:要使函数有意义,须20x -≥,解得2x ≥, Q 定义域不关于原点对称,∴原函数是非奇非偶函数.评注:用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数,但可以通过定义域不关于原点对称,来否定一个函数的奇偶性.2.定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性.解:Q 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ,且()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=,∴函数()f x 是偶函数.评注:在定义域关于原点对称的前提下,可根据定义判定函数的奇偶性.3.等价形式判定法例3判定()f x =的奇偶性.解:()f x Q 的定义域为R ,关于原点对称,当0x =时,()0f x =,∴图象过原点.又0x ≠Q 时,2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--, (1)()f f x ∴-=-.又(0)0f =,∴()f x 为奇函数.评注:常用等价变形形式有:若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-,则()f x 为奇函数;若()()0f x f x --=或()1()fx f x -=,则()f x 为偶函数(其中()0f x ≠).4.性质判定法例4 若0a >,()([])f x x a a ∈-,是奇函数,()()g x x ∈R 是偶函数,试判定()()()x f x g x ϕ=g 的奇偶性.解:在()()f x g x ,的公共定义域[]a a -,内,任取一个x ,则()()()x f x g x ϕ-=-g ,()()f x g x Q ,分别是奇函数和偶函数,()()()()()()f x f x g x f x g x x ϕ∴-=-=-=-g g .()x ϕ∴在[]a a -,上为奇函数.评注:在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下:①两个偶函数的和、差、积都是偶函数;②两个奇函数的和、差是奇函数、积是偶函数;③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.。

高中数学必修一-函数的奇偶性

高中数学必修一-函数的奇偶性

函数的奇偶性知识集结知识元根据奇偶性求值知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.2.点拨(1)如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;(2)若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;(3)已知奇函数大于0的部分的函数表达式,求它的小于0的函数表达式,如奇函数f (x),当x>0时,f(x)=x2+x,那么当x<0时,﹣x>0,有f(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)⇒﹣f(x)=x2﹣x⇒f(x)=﹣x2+x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点,同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法,它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式.二、偶函数1.定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称.2.点拨(1)运用f(x)=f(﹣x)求相关参数,如y=ax3+bx2+cx+d,那么a+c是多少?(2)结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值,如偶函数f (﹣2)=0,周期为2,那么在区间(﹣2,8)函数与x轴至少有几个交点.3.命题方向与奇函数雷同,熟悉偶函数的性质,高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用.例题精讲根据奇偶性求值例1.设y=f(x)是定义域为R的偶函数,若当x∈(0,2)时,f(x)=|x-1|,则f(-1)=()A.0B.1C.-1D.2例2.已知定义域为R的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)=x3,则=()A.B.C.D.例3.下列函数,既是偶函数,又在(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=-(x-1)2B.C.f(x)=3|x|D.f(x)=cos x例4.已知函数f(x)和f(x+2)都是定义在R上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x,则=()A.2B.C.D.函数的奇偶性中的含参数问题知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.2.点拨(1)如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;(2)若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;(3)已知奇函数大于0的部分的函数表达式,求它的小于0的函数表达式,如奇函数f (x),当x>0时,f(x)=x2+x,那么当x<0时,﹣x>0,有f(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)⇒﹣f(x)=x2﹣x⇒f(x)=﹣x2+x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点,同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法,它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式.二、偶函数1.定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称.2.点拨(1)运用f(x)=f(﹣x)求相关参数,如y=ax3+bx2+cx+d,那么a+c是多少?(2)结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值,如偶函数f (﹣2)=0,周期为2,那么在区间(﹣2,8)函数与x轴至少有几个交点.3.命题方向与奇函数雷同,熟悉偶函数的性质,高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用.例题精讲函数的奇偶性中的含参数问题例1.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=﹣2,则实数a=.例2.若f(x)=2x+a•2﹣x为奇函数,则a=.例3.设函数f(x)=为奇函数,则实数a=.根据函数的奇偶性求函数解析式知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.2.点拨(1)如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0解相关的未知量;(2)若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;(3)已知奇函数大于0的部分的函数表达式,求它的小于0的函数表达式,如奇函数f (x),当x>0时,f(x)=x2+x,那么当x<0时,﹣x>0,有f(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)⇒﹣f(x)=x2﹣x⇒f(x)=﹣x2+x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点,同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法,它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式.二、偶函数1.定义如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称.2.点拨(1)运用f(x)=f(﹣x)求相关参数,如y=ax3+bx2+cx+d,那么a+c是多少?(2)结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值,如偶函数f (﹣2)=0,周期为2,那么在区间(﹣2,8)函数与x轴至少有几个交点.3.命题方向与奇函数雷同,熟悉偶函数的性质,高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用.例题精讲根据函数的奇偶性求函数解析式例1.设f(x)是R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+)+1,则f(x)表达式为.例2.'已知函数y=f(x)为R上的奇函数,当x>0时,,求f(x)在R上的解析式.'例3.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,,则f(x)的解析式为.备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数奇偶性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b=()A.-1B.1C.0D.2例2.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是()A.f(x)=-x(x+2)B.f(x)=x(x-2)C.f(x)=-x(x-2)D.f(x)=x(x+2)例3.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有()A.f(x)∙f(-x)>0B.f(x)∙f(-x)<0C.f(x)<f(-x)D.f(x)>f(-x)例4.y=f(x)为奇函数,当x>0时f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)=______。

原创_常见函数的奇偶性的判断与证明(超经典)

原创_常见函数的奇偶性的判断与证明(超经典)

讲义:常见奇函数与偶函数的分类与判定一、常见奇函数与偶函数的分类:类型一:奇数次方实例f(x)=x n,(n为奇数)是奇函数x1,x3,x5,x7,x9,x11,x13,x15,x17,x19,x21,x23,x25,x27,……类型二:偶数次方实例f(x)=x n,(n为偶数)是偶函数x2,x4,x6,x8,x10,x12,x14,x16,x18,x20,x22,x24,x26,x28,……类型三:奇数次方根实例f(x)=n x,(n为奇数)是偶函数3x,5x,7x,9x,11x,13x,15x,17x,19x,21x,23x,25x,27x,29x,31x,……二、函数奇偶性的合成运算:法则一:1f(x)与f(x)的奇偶性相同.文字语言:奇函数的倒数还是奇函数,偶函数的倒数还是偶函数.实例符号语言:1f(x)与f(x)的奇偶性相同.1x,1x3,1x5,1x7,1x9,1x11,1x13,1x15,……都是奇函数. 1x2,1x4,1x6,1x8,1x10,1x12,1x14,1x16,……都是偶函数.法则二:k·f(x)(k≠0)与f(x)的奇偶性相同.文字语言:将一个函数乘一个非零实数,其奇偶性不变.实例符号语言:k·f(x)(k≠0)与f(x)的奇偶性相同.x3与2x3,-5x3的奇偶性相同,都是奇函数;x2与4x2,-7x2的奇偶性相同,都是奇函数;法则三:加减法则.文字语言:奇±奇=奇偶±偶=偶实例符号语言:f(x),g(x)都是奇函数,则f(x)±g(x)也是奇函数f(x)=x3+2x,g(x)=1x+2x5-5x7都是奇函数;符号语言:f(x),g(x)都是偶函数,则f(x)±g(x)也是偶函数f(x)=x4+2x2,g(x)=1x2+2x2-5x6都是奇函数;归纳:同性相加减,奇偶性不变.法则四:乘除法则.文字语言实例奇×奇=奇f(x),g(x)都是奇函数,则f(x)×g(x),f(x)g(x)都是偶函数f(x)=x 3·1x ,g(x)=2x 5-5x 7x都是偶函数;偶×偶=偶f(x),g(x)都是偶函数,则f(x)×g(x),f(x)g(x)都是偶函数f(x)=x 4+2|x|,g(x)=2x 2-5x 6|x|都是偶函数;奇×偶=奇f(x),g(x)一奇一偶,则f(x)×g(x),f(x)g(x)都是奇函数f(x)=x 3·|x|,g(x)=2x 5-5x 7x 2都是奇函数;归纳:同性相乘得偶,异性相乘得奇.三、一些常见的奇函数、偶函数的判定及其证明(1)f(x)=|x|是偶函数.证明一:∵函数f(x)=|x|的定义域为实数集R ,关于原点对称.又∵f(-x)=|-x|=|x|=f(x),∴函数f(x)=|x|是偶函数.证明二:∵函数f(x)=|x|的图像关于Y 轴对称;∴f(x)=|x|是偶函数.(2)f(x)=|x -3|+|x +3|是偶函数.证明:∵函数f(x)=x+1的定义域为实数集R ,关于原点对称.又∵f(-x)=|-x -3|+|-x +3|=|x +3|+|x -3|=f(x),∴函数f(x)=|x -3|+|x +3|是偶函数.归纳:形如f(x)=|x -a|+|x +a|的函数都是偶函数.(3)f(x)=x 是奇函数.方法一:定义法.∵函数f(x)=x 的定义域(-∞,+∞)关于原点对称,又∵f(-x)=-x =-f(x),∴f(x)=x 是奇函数.方法二:图像法.∵函数f(x)=x 的图像关于原点对称,∴f(x)=x 是奇函数.方法三:特殊值验证法(仅适用于选填题).∵函数f(x)=x 的定义域(-∞,+∞)关于原点对称,又∵f(1)=1f(-1)=-f(-1)=-f(1),符合f(-x)=-f(x),∴f(x)=x 是奇函数.(4)f(x)=1x 是奇函数.判定方法一:定义法.∵函数f(x)=1x 的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称;又∵f(-x)=1-x=-1x =-f(x),∴f(x)是奇函数.判定方法二:图像法.∵函数f(x)=x 的图像关于原点对称,∴f(x)=x 是奇函数.判定方法三:特殊值验证法(仅适用于选填题).∵函数f(x)=x 的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又∵f(1)=1f(-1)=-f(-1)=-f(1),符合f(-x)=-f(x),∴f(x)=x 是奇函数.(5)f(x)=x 2+2是偶函数.证明:∵函数f(x)=x 2+2的定义域R 关于原点对称;又∵f(-x)=(-x)2+2=x 2+2=f(x),∴f(x)是偶函数.(6)f(x)=x 3(x ∈(-1,1))是奇函数.证明:∵函数f(x)=x 3的定义域(-1,1)关于原点对称;又∵f(-x)=(-x)3=-x 3=-f(x),∴f(x)是奇函数.(7)f(x)=x 3(x ∈(-1,1))是奇函数.证明:∵函数f(x)=x 3的定义域(-1,1)关于原点对称;又∵f(-x)=(-x)3=-x 3=-f(x),∴f(x)是奇函数.(8)f(x)=1x 是奇函数.判定方法一:定义法.∵函数f(x)=1x 的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称;又∵f(-x)=1-x=-1x =-f(x),∴f(x)是奇函数.判定方法二:合成法.∵y =x 是奇函数,∴f(x)=1x 也是奇函数.f(x)与1f(x)具有相同的奇偶性.(9)f(x)=3x 是奇函数.证明:∵函数f(x)=3x 的定义域(-∞,+∞)关于原点对称;又∵f(-x)=3-x =-3x =-f(x),∴f(x)是奇函数.(10)f(x)=-x 3(x ∈(-1,1))是奇函数.证明:方法一:定义法.∵函数f(x)=x 3的定义域(-1,1)关于原点对称;又∵f(-x)=-(-x)3=x 3=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二:合成法.∵y =x 是奇函数,∴f(x)=1x也是奇函数.f(x)与-f(x)具有相同的奇偶性.(11)f(x)=1-x2|x+3|-3是奇函数.证明:-x2≥0①+3|-3≠0②由①得-1≤x≤1,那么x+3>0,则|x+3|=x+3,从而分母|x+3|-3=x+3-3=x,则f(x)=1-x2x,定义域为[-∞,0)∪(0,+∞],关于原点对称.又∵f(-x)=1-(-x)2-x=-1-x2x=-f(x),∴f(x)为奇函数.(12)f(x)2+2,x>0x2-2,x<0是奇函数.证明:方法一.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);①当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2+2=x2+2=-(-x2-2)=-f(x).②∴函数f(x)2+2,x>0x2-2,x<0是奇函数.方法二:特殊值验证法(仅适用于选填题).∵函数f(x)=x的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又∵f(1)=12+2=3f(-1)=-(-1)2+2=-f(-1)=-f(1),符合f(-x)=-f(x),∴f(x)=x是奇函数.(13)f(x)=-x2+1是偶函数.证明:方法一:定义法.∵函数f(x)=-x2+1的定义域为R,关于原点对称,又∵f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1=f(x),∴y=-x2+1是偶函数.方法二:合成法.∵x2是偶函数,那么-x2也是偶函数f(x)与-f(x)具有相同的奇偶性,又∵1也是偶函数,∴f(x)=-x2+1是偶函数.(14)f(x)=1-x 2x -1是非奇非偶函数.证明:∵函数f(x)=1-x 2x -1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,∴函数f(x)=1-x 2x -1是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数(15)函数y =2-x 是非奇非偶函数.证明:∵函数y =2-x 的定义域是(-∞,2],不关于原点对称,∴函数y =2-x 是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数(16)函数y =1x -4是非奇非偶函数.证明:∵函数y =1x -4的定义域是(-∞,4)∪(4,+∞),不关于原点对称,∴函数y =1x -4是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数(17)函数y =(x -1)2x -1是非奇非偶函数.证明:∵函数y =(x -1)2x -1的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,∴函数y =(x -1)2x -1是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数(18)函数y =x 2x -2是非奇非偶函数.证明:∵函数y =x 2x -2的定义域是(-∞,2)∪(2,+∞),不关于原点对称,∴函数y =x 2x -2是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数(19)f(x)=x 3+3x +1x(x ∈(-1,1))是奇函数.证明:方法一:定义法.∵函数f(x)=x 3+3x +1x 的定义域(-1,1)关于原点对称;又∵f(-x)=-(-x)3+3-x +1-x =-(x 3+3x +1x )=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二:合成法.∵x 3,3x ,1x 都是奇函数,∴f(x)=x 3+3x +1x 也是奇函数.奇+奇=奇.(20)f(x)=-x +1x(x ∈(-1,1))是奇函数.证明:方法一:定义法.∵函数f(x)=-x +1x 的定义域(-1,1)关于原点对称;又∵f(-x)=-(-x)+1-x =x -1x =-(-x +1x )=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二:合成法.∵-x ,1x都是奇函数,∴f(x)=-x +1x (x ∈(-1,1))也是奇函数.奇+奇=奇.(21)f(x)=2x 2+4x是奇函数.证明:方法一:定义法.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∵f(-x)=2(-x )2+4-x =-2x 2+4x =-f(x),∴函数f(x)是奇函数.方法二:合成法.∵2x 2+4是偶函数,x 是奇函数,∴f(x)=2x 2+4x 是奇函数.奇×偶=奇,奇÷偶=奇.(22)f(x)=2x 2+4|x|是偶函数.证明:方法一:定义法.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∵f(-x)=2(-x )2+4|-x |=2x 2+4x f(x),∴函数f(x)是奇函数.方法二:合成法.∵2x 2+4是偶函数,|x|是奇函数,∴f(x)=2x 2+4|x|是奇函数.偶×偶=偶,偶÷偶=偶.(23)f(x)=2x 3+4xx是偶函数.证明:方法一:定义法.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∵f(-x)=2(-x )3+4×(-x )-x =-2x 3-4-x =2x 3+4xx =f(x),∴函数f(x)是偶函数.方法二:合成法.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∵2x 3,4x 都是奇函数,则2x 3+4x 也是奇函数,又∵x 是奇函数,∴f(x)=2x 3+4xx 是偶函数.同性相乘除得偶,即:奇×奇=偶,奇÷奇=偶.(24)f(x)=2x 2-x 是非奇非偶函数.证明:方法一:定义法.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∵f(-x)=2(-x )2-(-x )=2x 2+x2x 2+x ≠2x 2-x 且2x 2+x ≠-(2x 2-x ),f(x)≠f(-x)且f(x)≠-f(x),∴函数f(x)是偶函数.方法二:合成法.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∵2x 2是偶函数,又∵x 是奇函数,∴f(x)=2x2-x是偶函数.奇±偶=非奇非偶函数.(25)函数y=x2+x是非奇非偶函数.证明:∵函数y=x2+x的定义域是[0,+∞),不关于原点对称,∴函数y=x2+x是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数(26)f(x)=5x4-4x2+7是偶函数.证明:方法一:定义法.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∵f(-x)=f(x)=5×(-x)4-4×(-x)2+7=5x4-4x2+7=f(x),∴函数f(x)是偶函数.方法二:合成法.∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∵5x4,4x2,7都是偶函数,∴f(x)=5x4-4x2+7是偶函数.偶±偶=偶.。

3.2.2+第1课时函数奇偶性的定义及判定+课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.2.2+第1课时函数奇偶性的定义及判定+课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(2)函数是定义在上的奇函数,求的值;
解:∵函数是定义在上的奇函数,则 ,当时,,且 ,即是定义在上的奇函数,符合题意,∴ .
(3)已知函数为奇函数,求的值.
解:法一 ∵是奇函数,,∴ , ∴ ,即,解得.经检验, 符合题意.法二 注意到解析式中分母为奇函数,因此要使整个函数为奇函数, 只需分子为偶函数即可, 即的对称轴为轴,∴ .
图象特征:图象都关于原点对称

-3
-2
-1
0
1
2
3


-3
-2
-1
0
1
2
3


-1

1

代数特征:当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数.
f(x)为奇函数
f(-x)= -f(x)
f(x)的图象关于原点对称
解:(1)函数的定义域为定义域关于原点对称 ∵,有, ∴函数为奇函数.
抽象函数的奇偶性[典例探究] 已知是偶函数,则函数 图象的对称轴是( )
C
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
[解析] ∵ 是偶函数,则图象的对称轴为直线 ,将函数的图象向左平移1个单位长度可得 的图象,∴ 函数图象的对称轴是直线 .故选C.
用定义法判断函数的奇偶性: (1)看定义域是否关于原点对称;(2)判断与的关系。
4.如图,给出奇函数的局部图象,则 的值为____.
[解析] 由题图可知, ,又 为奇函数,∴ , ,∴ .
[例3] 函数 的图象大致为( )
A
A. B. C. D.
(2) ;
解:函数的定义域为, ,∵ ,,且,故,且 ,∴ 既是奇函数又是偶函数.
(3) .

浅谈函数奇偶性的判定及其应用

浅谈函数奇偶性的判定及其应用

浅谈函数奇偶性的判定及其应用作者:江赛玭来源:《教育界·下旬》2013年第09期奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质,也可以说是一种特殊的函数,我们可以利用函数的这一特性解决生产、生活中很多实际问题。

一、奇函数和偶函数的定义与图像特征1. 奇、偶函数的定义:设函数Y=f(x),x∈M,若定义域M是以原点为中心的对称区间,则有对一切x∈M,①有f(-x)= -f(x),则称函数f(x)是奇函数;②有f(-x)=f (x),则称函数f(x)是偶函数。

③函数的定义M不关于原点对称,则这个函数既不是奇函数也不是偶函数。

2. 奇、偶函数的图像特征奇函数的图像特征是关于原点对称;偶函数的图像特征是关于Y轴对称。

二、判断函数奇、偶性的方法1. 利用奇、偶函数的定义判断先检查函数的定义域是否以原点对称,若不是,则函数为非奇非偶函数;若是,再由定义判断其是否是奇、偶函数。

例1:判断下列函数的奇偶性① f(x)=-3x+x-3 ② f(x)=|x-1|解:① f(x)的定义域为R关于原点为称f(-x)=-3(-x)+(-x)-3=-(-3x+x-3)∴f(-x)= - f(x)∴ f(x)奇函数② f(x)的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称f(-x)=|-x-1=|x+1|∴f(-x)≠ f(x),f(-x)≠- f(x),∴ f(x)是非奇非偶函数2. 利用奇、偶函数的图像特性判断例2:根据下列图像判断函数奇、偶性图1图2图3图4解:(1)函数的定义域为(-5,5),关于原点对称,图像也关于原点对称,∴函数是奇函数。

(2)函数的定义域为[-5,5],关于原点对称,但图像不关于原点中心对称,如f(1)≠- f (-1);也不关于Y轴对称,如 f(-5)≠f(5)∴函数是非奇非偶函数(3)函数的定义域为[-5,5],关于原点对称,图像关于Y轴对称,∴函数是偶函数。

(4)函数的定义域为[-5,5],关于原点对称,但图像不关于原点中心对称,如f(1)≠- f (-1);也不关于Y轴对称,如f(-3)≠f(3)∴函数是非奇非偶函数由此可知,奇函数的图像关于原点对称,反之也成立;偶函数的图像关于Y轴对称,反之也成立。

抽象函数,函数奇偶性对称性周期性,函数恒成立与存在问题

抽象函数,函数奇偶性对称性周期性,函数恒成立与存在问题

个性化学科教师辅导教案)证明f(x)在x>0)求证:对任意R x ∈都有对任意,x y R ∈,都有()f xy =时,[)()0,1f x ∈。

(I )判断9,求a 的取值范围。

(2)已知()f x 为奇函数,当0x ≥时,2()2f x x x =+,当0x <时,求)(x f 解析式5.利用奇偶性求参数的值例5:(1)定义R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞单调递减,若)123()12(22+-<++a a f a a f 恒成立,求a 的范围.(2)定义R 上单调递减的奇函数()f x 满足对任意t R ∈,若22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的范围.6.利用图像解题例6:(1)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式()0<x f 的解是 .(2)若函数()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上为奇函数,且在(0,)+∞上单调递增,(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为 .7.利用性质选图像例7:(1)设1a >,实数,x y 满足1||log 0a x y-=,则y 关于x 的函数的图像形状大致是( )xy1xy1xy1xy1A B C D(2)函数x xx xe eye e--+=-的图象大致为三、周期函数结论:(1)()()f x f x a=+,T a=f(x-a)=f(x+a)(a>0), T=2a函数的奇偶性对称性与周期性综合例 已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,且f (x )的图象关于x =1对称,当x ∈[0,1]时,f (x )=2x -1,(1)求证:f (x )是周期函数;(2)当x ∈[1,2]时,求f (x )的解析式;(3)计算f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2013)的值.1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)2.奇函数满足对任意都有,且,则的值为( )A.-9 B.9 C.0 D.3.函数()f x 为奇函数,定义域为R ,若()2f x +为偶函数,且()11f =,则( )A. 2-B. 1-C. 0D. 1()f x x R ∈(2)(2)0f x f x ++-=(1)9f =(2010)(2011)(2012)f f f ++。

判断函数奇偶性的三种方法

判断函数奇偶性的三种方法

判断函数奇偶性的三种方法函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。

当函数在原点对称时,我们称其为偶函数;当函数关于原点对称时,我们称其为奇函数。

判断函数奇偶性的三种方法分别是函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。

一、函数表达式的法则:设函数表达式为f(x),则有以下判断准则:1.当f(x)=f(-x)时,函数为偶函数。

如f(x)=x^2,f(-x)=(-x)^2=x^2,因此函数f(x)=x^2是偶函数。

2.当f(x)=-f(-x)时,函数为奇函数。

如f(x)=x^3,f(-x)=(-x)^3=-x^3,因此函数f(x)=x^3是奇函数。

通过观察函数表达式中的幂指数的奇偶来判断函数的奇偶性,奇次幂代表奇函数,偶次幂代表偶函数。

二、函数图像的法则:函数图像关于y轴对称时,函数为偶函数;函数图像关于原点对称时,函数为奇函数。

通过绘制函数的图像来观察图像的对称性,从而判断函数的奇偶性。

如果图像关于y轴对称,则函数为偶函数;如果图像关于原点对称,则函数为奇函数。

三、函数的性质法则:对于连续函数,可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。

1.对于偶函数,其导函数也为偶函数。

如果函数f(x)是偶函数,则f'(x)=0,即f'(-x)=0。

因此,函数f(x)的导函数f'(x)也是偶函数。

例如f(x)=x^2,f'(x)=2x,f'(-x)=2(-x)=-2x,f'(x)也是偶函数。

2.对于奇函数,其导函数也为奇函数。

如果函数f(x)是奇函数,则f'(x)=-f'(-x)。

因此,函数f(x)的导函数f'(x)也是奇函数。

例如f(x)=x^3,f'(x)=3x^2,f'(-x)=3(-x)^2=3x^2,f'(x)也是奇函数。

综上所述,判断函数的奇偶性主要有三种方法:函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。

函数奇偶性的六类经典题型

函数奇偶性的六类经典题型

奇偶性类型一:判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性(1)(且)(2)(3)(4(5))且∴(2)∴(3),关于原点对称(4? ?????(5)且∴1.函数f(x)=-f(-x)=-(-x+1),即x<0时,f(x)=-(-x+1)=--x-1.答案:--x-12.求函数的解析式(1)为R上奇函数,时,,解:时,?? ∴∴(2)为R上偶函数,时,解:时,∴1.()f x-所以2.3.()C.1 D.7解析:选A因为偶函数的定义域关于原点对称,所以6a-1+a=0,所以a=17.又f(x)为偶函数,所以3a(-x)2-bx-5a+b=3ax2+bx-5a+b,解得b=0,所以a+b=1 7.4.若函数f(x)=2x-|x+a|为偶函数,则实数a=______. (特殊值法)解析:由题意知,函数f(x)=2x -|x +a|为偶函数,则f(1)=f(-1), ∴1-|1+a|=1-|-1+a|,∴a =0. 答案:05.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x , x ≤0,ax 2+bx , x >0为奇函数,则a +b =________.(待定系数法)解析:当x >0时,-x <0,6.(1,为何值时,为奇函数;(2)为何值时,为偶函数。

)(恒等定理)∴时,奇函数 (2)??∴ ???∴ ∴???7.(Ⅰ)求,a b 的值;(特殊值法)(Ⅱ)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围;因为f 是奇函数,所以(0)f =0,即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f (1)= - f (-1)知11122 2.41a a a --=-⇒=++(Ⅱ)由(Ⅰ)知11211()22221x x x f x +-==-+++,易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数又因()f x 是奇函数,从而不等式:22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-, 因()f x 为减函数,由上式推得: 2222t t k t ->-.即对一切t R ∈有:2320t t k -->,从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<- 1.>f (a ),则实数A C (1,+∞)2x .作出函数R 上的<1.2.上递增,且f ⎛⎪⎫1=0f (x )>0的x (-∞,0)∴f (x )>0时,x >12或-12<x <0. 即满足f (x )>0的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪-12<x <0或x >12.答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪-12<x <0或x >123.已知函数g (x )是R 上的奇函数,且当x <0时,g (x )=-ln(1-x ),函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤0,g ?x ?,x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( ) A .(-∞,1)∪(2,+∞) B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(1,2)D .(-2,1)解析:选D 设x >0,则-x <0. ∵x <0时,g (x )=-ln(1-x ),∴∴∴∵4.)<-1⎩⎨⎧x ∴∴∴⎩2或⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,0<-1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0,-log 2(-x )<-1⇒0<x <12或x <-2. 5.已知f (x )是奇函数,且当x <0时,f (x )=x 2+3x +2.若当x ∈[1,3]时,n ≤f (x )≤m 恒成立,则m -n 的最小值为( )A.94 B .2 C.34 D .14解析:选A.设x >0,则-x <0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2+3(-x )+2]=-x 2+3x -2.所以在[1,3]上,当x =32时,f (x )max =14;当x =3时,f (x )min =-2.所以m ≥14且n ≤-2.故m -n ≥94.6.已知f (x )是定义在[-2,2]上的奇函数,且当x ∈(0,2]时,f (x )=2x -1,又已知函数g (x )=x 2-2x +m .如果对于任意的x 1∈[-2,2],都存在x 2∈[-2,2],使得g (x 2)=f (x 1),那么实数m 的取值范围是____________.解析2,2],g (x )max 2. x -2,则f (A 2.时,f (x )=4-x ,则f (2 011)的值为__________.解析:f (4)=0,∴f (x +8)=f (x ),∴T =8, ∴f (2 011)=f (3)=4-3=1. 类型六:求值1.已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,当x ∈(0,2)时,f(x)=2x -1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log213的值为( )A .-2B .-23C .2 D.32-1解析:当x ∈(-2,0)时,-x ∈(0,2),又∵当x ∈(0,2)时,f(x)=2x -1,∴f(-x)=2-x -1,又因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,∴f(-x)=-f(x)=2-x -1,∴x ∈(-2,0)时,f(x)=1-12x .∵-2<log213<0,∴f(log213)=1-21312log =-2.故选A.答案:2.已知知g(-2)答案:3.设f (x 则f (ln 6)由4.5.2m ,则M m +=________.分析:本题是一道自编题,学生不假思索就会想到对()f x 求导.事实上,理科学生,求导得'()ln(1)1xxx xe f x e x e =++-+,无法找到极值点,而文科学生不会对这个函数求导.因此,须从考察函数()f x 的性质下手,事实上,令21()ln(1)2x g x x e x =+-,易求得()()g x g x -=-,所以()g x 是奇函数,所以()g x 的最大值与最小值之和是0,从而()f x 的最大值与最小值之和是6. 答案是:6.6.已知定义域为R 的函数2cos 3sin ()2cos a a x xf x x++=+ (a 、b ∈R )有最大值和最小值,且最大值与最小值的和为6,则a =A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C试题数,)(m a x g 3=.。

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判定三类特殊函数的奇偶性
一、要点解读
1、理解奇、偶函数的定义要把握好两个问题:其一,定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必须满足的条件;其二,)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-是定义域上的恒等式.
2、具有奇偶性的函数的图像的特征;偶函数的图像关于y 轴对称;奇函数的图像关于 原点对称.所以判断函数的奇偶性,除了定义法还有图像法.
3、由奇函数的定义可知,在x =0处有意义的奇函数f (x ),有f (0)=0成立.
4、有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性.
)()(x f x f ±=-,即0)()(=-x f x f ,即).0)((1)
()(≠±=-x f x f x f 5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.
二、典例剖析
1、常见函数的奇偶性的判断
例1、判断函数1||)(2-=
x x x f 是否具有奇偶性. 解:先看定义域,由012≠-x 得1±≠x ,则定义域}1,|{±≠∈=x R x x D 关于原点
对称,即任取D x ∈,都有D x ∈-,又1)(||)(2---=-x x x f )(1
||2x f x x =-=, 所以1
||)(2-=x x x f 为偶函数. 点评:第一步:判断定义域是否关于原点对称;第二步:若定义域不关于原点对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数,若定义域关于原点对称,则进一步寻找f (-x )与f (x )之间的关系;第三步:根据定义下结论.
2.分段函数的奇偶性
例2、判断函数⎩⎨⎧>+-<-=)
0)(1()0)(1()(x x x x x x x f 的奇偶性. 解:由题意,得函数f (x )的定义域关于原点对称,当x<0时,-x>0,
所以)()1()(x f x x x f =-=-,当x>0时,-x<0,所以)()1()(x f x x x f =+-=-,
综上所述,得f (-x )=f (x ),则f (x )是偶函数.
点评:对于分段函数要在定义域的不同部分上来分析奇偶性,但是要在整体上给该函数下结论.
3、抽象函数的奇偶性
例4、已知函数f (x )对一切x ,y 都有).()()(y f x f y x f +=+
(1)求证:f (x )是奇函数;
(2)若f (-3)=a ,试用a 表示f (12).
分析:要证f (x )为奇函数,需证f (-x )=-f (x ),即.0)()(=+-x f x f 解;(1)令x =y =0,得)0()0()00(f f f +=+,所以f (0)=0,令y =-x 得 )()()(x f x f x x f -+=-,所以.0)()(=+-x f x f 所以函数f (x )为奇函数.
(2)因为f (-3)=a ,函数f (x )为奇函数,所以f (3)=-a ,
所以a f f f 2)3()3()6(-=+=,所以.4)6()6()12(a f f f -=+=
点评:在解有关抽象函数的问题时,常用赋值法.常常赋值为0或1,在判断函数的奇偶性时,需要判断f (-x )与f (x )的关系,可以从f (-x )开始化简得到,也可以从考虑)()(x f x f +-或)()(x f x f --是否为零来判断两者的关系.。

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