2006年高考第一轮复习数学：13.3 函数的极限
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13.3 函数的极限
●知识梳理
1.函数极限的概念：（1）如果+∞
→x lim f （x ）=a 且-∞
→x lim f （x ）=a ,那么就说当x
趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞
→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞
时，f （x ）→a.
（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是
a ,记作0
lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .
（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0
lim x x f （x ）
=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0
lim x x f （x ）=a .
2.极限的四则运算法则：
如果0
lim x x → f （x ）=a , 0
lim x x →g （x ）=b ,那么
lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0
lim x x →[f （x ）
·g （x ）]=a ·b ; 0
lim x x →)()(x g x f =b
a
（b ≠0）.
特别提示
（1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0
lim x x →[Cf （x ）]=C 0
lim x x →f （x ）（C 为常数）;
（3）0
lim x x →[f （x ）]n =[0
lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）.
●点击双基
1.+→0
lim x x f （x ）=-→0
lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=⎩
⎨
⎧<≥,10,
12x x x 下列结论正确的是
A.)(lim 1
x f x +→=-→1
lim x f （x ）
B.)(lim 1
x f x +→=2，)(lim 1
x f x -→不存在
C.+→1
lim x f （x ）=0, )(lim 1
x f x -→不存在
D.+→1
lim x f （x ）≠-→1
lim x f （x ）
答案:D
3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案:A
4.（2005年西城区抽样测试） 1lim →x x x x x --+222
=________________. 解析: 1lim →x x
x x x --+222=1lim →x )1()2)(1(-+-x x x x =1lim
→x x x 2+=3. 答案:3
5.若1lim →x 33
22+++x ax x =2,则a =__________.
解析: 1lim →x 3
322+++x ax x =2, ∴
4
4
+a =2.∴a =4. 答案:4 ●典例剖析
【例1】求下列各极限： （1） 2
lim →x （
)21
4
42
---x x ； （2）∞
→x lim （))((b x a x ++－x ）；
（3） 0
lim
→x |
|x x
； （4） 2
πlim
→
x .2
sin
2cos cos x x x
-
剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0
lim x x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）
在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.
解:（1）原式＝2
lim →x 4
)2(42-+-x x ＝2lim →x 21
+-x =－41. （2）原式=∞
→x lim
x
ab x b a x ab x b a ++++++)()(2
=a +b .
（3）因为+
→0
lim x |
|x x =1,而=-→0lim x ||x x
=－1，
+
→0
lim x |
|x x ≠-→0lim x ||x x
, 所以0
lim
→x |
|x x
不存在． （4）原式=2
π
lim
→
x 2
sin 2cos 2sin 2cos 22
x x x x --＝2
πlim →
x （cos 2x +sin 2x ）＝2.
思考讨论
数列极限与函数极限的区别与联系是什么？
【例2】 （1）设f （x ）=⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧<+=>+→,
02
1;)(lim ,,00
,
020
x x f b x x b x x
x 存在使的值试确定;
（2）f （x ）为多项式,且∞→x lim x x x f 34)(-=1,0lim →x x
x f )
(=5,求f （x ）的表达式.
解:（1）+→0
lim x f （x ）= +→0
lim x （2x +b ）=b ,-→0
lim x f （x ）= -→0
lim x （1+2x ）=2,
当且仅当b =2时, +→0
lim x f （x ）= -→0
lim x f （x ）,
故b =2时,原极限存在.