三次函数的切线问题
三次函数图象切线问题的探究
三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。
一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k的切线有两条。
当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。
2.a＜0时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。
若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。
证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。
1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。
09：三次函数图像的切线
高考总复习09：三次函数图像的切线1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.(2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程；(2)设函数3()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.(2)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.6.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠；(3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.7.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.。
三次函数切线问题
三次函数切线问题【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。
探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：探究3：切线问题的辩证策略TnA 1A例1：若直线y x =是曲线323y xx ax =-+的切线，则a ＝ ．（零点法）↑y x =是曲线323y x x ax =-+相切x a x x y )1(323-+-=与x 轴相切↓ ↑ 联立()32323103y xx x a x y x x ax=⎧⇒-+-=⎨=-+⎩有重根→新联立⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：（2020年）曲线px x y +=3与q y -=相切，求证32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程30xpx q ++=有几个实根？探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()111, P x y ，再由1P 引切线切于不同于1P 的点()222, P x y ，如此继续下去……，得点到(){}, nnnP x y ．（1）求1x ；（2）求1与nn xx +的关系；（3）点列{}nP 有何特点？拓展1：若直线y x =是曲线3231y xx ax =-+-的切线，则a ＝拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线326910y xx x =-+-有且只有一个交点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
用《几何画板》实现三次函数的切线的条数
《几何画板》小妙招判断三次函数的切线的条数于非洲山东临沂第一中学 2760001引言过平面内任意一点P 作一个三次函数图象的切线，可能有一条，二条或三条. 可是，当点P 落在怎样的一个区域内时可以作一条，二条或三条呢？本文拟用《几何画板》软件实现对这一问题的直观化.2探索由于一般的三次函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠都是中心对称曲线，其对称中心为(,())33b bg a a--，所以其函数解析式可化为： 23()()()()3333b b b b y a x c x g a a a a=++-++-.于是通过变换：2,3(),()3,.3b x x a b y y g a m a b n c a ⎧'=+⎪⎪⎪'=--⎪*⎨⎪=⎪⎪=-⎪⎩就可以把问题转化为研究最简单的三次函数3()(0)f x mx nx m =+≠的切线问题了.设点00(,)M x y 为平面上任一点，过点M 作函数3()f x mx nx =+的切线，设切点坐标为11(,)x y ，则切线方程为：2111(3)().y y mx n x x -=+-把点00(,)M x y 的坐标代入上式，并整理得关于1x 的方程：3210100230mx mx x y nx -+-=.于是，过点M 有几条切线，就等价于这个关于1x 的三次方程有几个不同的零点.设32000()23(0)h x mx mx x y nx m =-+-≠，则由200()666()0,h x mx mx x mx x x '=-=-=得到00,.x x x ==当00x =时，30()2(0)h x mx y m =+≠在R 上是单调函数，()h x 只有一个零点，这时过点M 只有一条切线. 特别的，当点(0,0)M 为3()f x mx nx =+的对称中心时，其切线方程为y nx =.当00x ≠时，()h x 有两个极值，一个是极大值，一个是极小值，其函数值分别是00(0)h y nx =-，30000()h x y mx nx =--. ()h x 的零点的个数就与这两个极值的符号有关：若(0)h 与0()h x 同号，即0(0)()0h h x ⋅>时()h x 只有一个零点，这时过点M 只有一条切线；若(0)h 与0()h x 中有且只有一个为0，即0(0)()0h h x ⋅=时()h x 有两个零点，这时过点M 有两条切线；若(0)h 与0()h x 异号，即0(0)()0h h x ⋅<时，()h x 有三个零点，这时过点M 有三条切线.3规律及图解：注意到当00(0)0h y nx =-=时，点M 恰在过对称中心的切线y nx =上；当30000()0h x y mx nx =--=时，点M 恰在函数3()f x mx nx =+的图像上. 如果把函数3()f x mx nx =+的图像想象成一条直线的话，那么y nx =与3()f x mx nx =+的图像相交于对称中心，它们把平面分成如下几部分（如图1）：一个交点（三次函数的对称中心），四条射线，四个两两对顶的区域. 通过以上的研究，我们不仅很容易知道过一个点能够作多少条切线，而且也使得用《几何画板》图解这一有趣的现象成为可能的了：当点M 为3()f x mx nx =+的对称中心（0，0）时，过点M 有且只有一条切线y nx =（如图2）；图1 图2当点M 落在两个对顶区域且满足300000()()0y nx y mx nx --->时，过点M 有且只有一条切线（如图3和图4）；图3 图4当点落M 在四条射线上（不含对称中心）即满足300000()()0y nx y mx nx ---=时，过点M 有且只有两条切线（如图5和图6）；图5 图6当点M 落在两个对顶区域且满足300000()()0y nx y mx nx ---<时，过点M 有且只有三条切线(如图7和图8）；图7 图84应用掌握了这一规律，我们不仅能够准确的判断出过一个点能够作多少条切线，而且还可以利用这一规律轻松解题呢！例1 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，试问：分别过点（1）(0,54)-，（2）(2,0)， （3）16(,2)11作曲线C 的切线有几条？ 解：这里1,0,1,2a b c d ===-=，20,()2,1,1333b b b f m n c a a a-=-===-=-， 所以通过变换()*即,2,1,1.x x y y m n '=⎧⎪'=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩可以把原函数转化为3y x x =-，三个点分别转化为16(0,56),(2,2),(,0)11--.（1）300000()()31360y nx y mx nx ---=>Q ,∴过点(0,56)-作3y x x =-的切线只有一条；(2) 300000()()0y nx y mx nx ---=Q ,∴过点(2,2)-作3y x x =-的切线有两条；(3) 300000()()y nx y mx nx ---=Q 24161601111⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴过点16(,0)11作3y x x =-的切线有三条.于是原问题获解.例2（2008南昌一模）已知3()3,f x x x =-过点(1,)(2)A a a ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，则a 的取值范围是（ ）A.(1，-1)B.（-2，3）C.（-1，-2）D.(-3，-2)解：这里的1,3m n ==-，001,x y a ==，所以当 []3(3)11310a a ⎡⎤--⋅-+⨯<⎣⎦即32a -<<-时为所求. 答案为D.例3（2007全国II 卷）已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，其充要条件为 ()(())0b a b f a +⋅-<， 注意到30,(),a f a a a a >=->- 所以有()a b f a -<<.。
江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)
三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值； （2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，； 当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象 的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-， 即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>； 当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线， 则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根， 则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条 一条 a b ac k 332->两条 零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则 当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=， 故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题： 第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。
一元三次函数图像的中心切线及切线问题
其 心 。的 线。做 的 心 线其 程 Ｙ ＾） ／ 麦（ 麦 ＋ （麦． 中 ｚ 切 ￡ Ｃ 中 切 ， 是 一 （ 一 （ ）＋ ） 厂 ） 处 叫 方 ｚ 一 一
・ 收稿 日期 ：０ ７ ０ ｚ ２０ — ６一 ７
维普资讯
５ ４
高 等 数 学 研 究
抄 录 ２０ ０ ７年高 考全 国数 学卷 Ⅱ 第 ２ ２题 于下 ： 已知 函数 ／ ｚ （ ）一 － 一 ． Ｉ） 曲线 Ｙ一 ， ）在点 Ｍ（ ， （） 处 的切线 方 程 ； Ⅱ） “＞ ｚ 。 （ 求 （ ｔ厂 ￡） （ 设
０ 如 果 过 点 （ ，）可 作 曲 线 一 厂 ）的 三 条 切 线 ， 明 ： 口＜ ｂ＜ 厂 口 ． ． 口６ （ 证 一 （）
（麦） 中 对 ．测 成 的证 如 一 ） 心 称推 是 立 ，明 呈
设 Ｍ（ 厂 ） 是 三次 函数 Ｙ— ｆ ） ｚ， （ ） （ 图像 上任 一点 ， 关 于点 ｚ （ ， （ Ｍ 。一 ｆ － ） ）的对称 点 是
Ｍ 一 ｂ ２
２一 ）厂 ）（ ） ｎ ） ６ 麦。 （ ） 一 ＋ ｆ 麦 （ ．一 一（ 。 （ ） ＋ 誊一 （ 一 厂 一 ＋～ ＋一 厂 一）￣ 銎 ｚ＋一 一）ｃ －） ＝一 一 －ｘ ） （ －（ 一） ６婺 ｚ＋一 Ｘ （ 等 ２２ ￣ 一 。 （ （ｂ ＋ 筹 － － ｔ ２ ｂ一 十等十 ｚ 妇 一 ｃ ｄ ２。 ｃｄ （。如＋ ＋） ２一 ） （ 等 十 一 ＋ 一． ｂ ） ａ＋ 。凹 一ｆ 一 ） ｘ 。 －ｘ ２ ＋ ｂ ３ 。 （
一
３ ｔ 十 “ ｂ一 ０ 求 得 ｇ （）一 ６。 ６ ｔ ６（ 一 口 ． ａ。 ＋ ． ｔ 一 ａ ＝ ｔｔ ）
过 点 （ ，）可作 曲线 Ｙ一 （ 。厶 ）的三条 切线 铮 方 程 ｇ（）一 ０有三 个不 等实 根 ∞ 函数 ｇ ￡ ｔ （） 的两个 极值 异 号 ㈢ｇ（ ） （ ）＜ Ｏ （ ＋ ６ （ Ｏｇ 口 甘 “ ） “十ｂ 。 ＜ ０ 又 因 “＞ ０ 则 口＋ｂ —ｎ ） ． ， 一“ ＜ 口十ｂ 必 。 ， 有 ｎ＋ ｂ “ ＜ ０ “＋ｂ＞ ０ 进而 一 “＜ ｂ＜ 厂 “ ． 一 。 ， ， （） 这 是 一道 典 型的 承大 学之 上启 中学 之下 的 问题 ， 此启 发 ， 出下面 的 问题 并探 索解 决 ． 受 提 问题 ： 曲线 Ｃ是一 元三 次 函数 ，（ ）一 。 ｂ ＋ 十 ｄ ａ≠ Ｏ ＋ ｘ。 （ ）的图像 ， 曲线 Ｃ的过 已知 点 Ｐ（ 。ｙ ）的切线 有几 条 ？ ｘ ，。 能找 到决定 切 线 条数 的充要条 件 吗？
过一点作三次函数图像切线条数的完备结论
综上 ,定理获证.
参考文献 :
[1 ] 贺斌 ,黄福. 过哪些点可以作三次函数图像的 三条切线. 数学通讯 , 2007 (21) .
[2 ] 管宏斌. 三次函数对称中心初探. 数学通讯 ,
2004 (15) . [3 ] 刘国杰. 三次函数图像对称性的探索. 数学通
讯 ,2006 (20) .
-
b 3a
)
<0,
x0
≠-
b 3a
,
即 [ y0 - f ( x 0) ]·[ y0 - f ( - 3ba)
-
f ′( -
3ba)
(
x0
+
b 3a
)
]
<
0.
通过与 1) 类似的分析 ( 或参见文 [ 1 ])
知 :满足上述不等式组的点 M ( x 0 , y0) 位于
C 和 l 所夹的左 、右两个区域内 (边界除外) .
仅有一个实数根. 即过直线
x
=
-
b 上的任 3a
一点能且仅能作 y = f ( x ) 图像的一条切线.
若
x0
≠-
b 3a
,
则
g′(
t)
在
点
x0
附近的
函数值异号 , 在点 -
b 附近的函数值也异 3a
收稿日期 :2007 - 10 - 25 作者简介 :贺斌 (1961 —) ,男 ,湖北随州人 ,湖北省谷城县第三中学高级教师.
函数对称中心
N(
-
b 3a
,
f
(
-
b 3a
)
)
处的切线
l 上 (点 N 除外) 时 ,可作 y = f ( x ) 的两条切
三次函数图象切线问题归类分析
三次函数图象切线问题归类分析作者：郑金来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期有关三次函数图象的切线问题，涉及到切线的斜率、函数的导数、图象、极值、单调性以及三次方程的根的个数判断等知识.下面从六个方面进行分析.一、利用切线斜率和导数的几何意义求取值范围曲线上某点切线倾斜角的正切值表示该点处切线的斜率.函数的导函数表示曲线切线斜率的变化，导函数在某点的数值表示该点处切线的斜率.若已知函数图象或关系式，则可求满足一定条件的区间或切线截距的变化范围.例1 如图1所示为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f ′（x）为f（x）的导函数，则不等式xf ′（x）.解f ′（x）表示切线的斜率，当f ′（x）>0时，f（x）为增函数；当f ′（x）0.已知图象的极值点，结合图象的单调区间可知满足条件的区间即不等式的解集为（-∞，-3）∪（0，3）.例2 已知曲线y=x3-6x2+11x-6，求切点在x∈[0，2]弧段上的切线在y轴上的截距b的取值范围.解法1 函数f（x）的导函数为y′=3x2-12x+11，切线在切点M（x，y）处的切线方程为Y-y=y′（X-x），变形为截距式方程，由此可知切线在y轴上的截距为b=y-y′x=-2x3+6x2-6.该式在x∈[0，2]上的值域即为所求. 可利用函数图象和极值点来求某一区间上的值域.其导函数为b′=-6x2+12x=-6x（x-2）.大致画出函数b的图象形状如图2所示，由b′=0可知极值点为x1=0，x2=2，可见在区间[0，2]上是增函数，所以b∈[-6，2].解法2 由于函数y=x3-6x2+11x-6的高次项系数大于零，可大致画出f（x）的图象形状如图3所示. 由y′=3x2-12x+11可知极值点为x1=2-233，x2=2+233.由于233>1，则03.因此三次函数的极大值点x1在区间[0，2]上，可知这段凸起的曲线上的切线倾斜角（切线与x轴正方向所成的角）逐渐减小，由0只要求出区间[0，2]的两个端点处切线的方程，即可求得截距.由导函数y′=3x2-12x+11求得区间[0，2]的两个端点处切线的斜率分别为k1=11，k2=-1.由y=x3-6x2+11x-6求得区间[0，2]的两个端点的坐标即切点坐标为（0，-6），（2，0）.因此写出点斜式切线方程分别为y+6=11x，y=-（x-2），可知截距分别为b1=-6，b2=2.所以b∈[-6，2].二、利用切线斜率和导数的几何意义求切线方程例3 求曲线y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.解设切点为m（x0，y0），则过切点的切线的斜率为k=f ′（x0）=3-3x20，又由斜率公式得k=y0+2x0-2，因切点在曲线上，则y0=3x0-3x30.联立得x30-3x20+4=0，解得x0=2，x0=-1，因此有两个切点A（2，-2）与B（-1，-2），则斜率分别为-9和0.所以切线方程分别为9x+y-16=0与y=-2.三、利用切线斜率和导数的几何意义求切点坐标例4 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 .解析曲线C的导数为y′=3x2-10，表示切线的斜率，已知斜率为2，则有3x2-10=2，解得x=2或x=-2.再由第二象限的条件知x=-2，因此f（-2）=15，所以点P的坐标为（-2，15）.四、利用切线方程和切点坐标求三次函数的解析式例5 已知函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b 的值.解由于切点（1，-11）在曲线上，因此f（1）=-11，即1-3a+3b=-11.由切线方程可知斜率为k=-12，则f ′（1）=-12，而导函数为f ′（x）=3x2-6ax+3b，表示斜率，则3-6a+3b=-12.联立解得a=1，b=-3.五、利用函数图象和极值判断切线的条数例6 已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，证明：-a（3）问过点（1，0）可以向曲线y=f（x）作多少条切线？说明理由.解（1）由于导函数f ′（x）=3x2-1，则曲线在点M（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f ′（t）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3.（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2-1）a-2t3.于是，若过点（a，b）可作曲线的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个不同的实数根.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.令g（t）=2t3-3at2+a+b，可画出大致图象如图3所示.导函数为g′（t）=6t2-6at=6t（t-a），则极值点为t1=0，t2=a.可知极大值为a+b，极小值为g（t）=-a3+a+b=b-f（a）.若a+b0，即x轴在极大值点的上方或极小值点的下方，图象与x轴有一个交点；若a+b=0或b-f（a）=0，即x轴在极值点处相切，图象与x轴有两个交点；若a+b>0且b-f（a）所以如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，必有-a（3）如果有一条切线过点（1，a），则存在t，使a=（3t2-1）-2t3.令g（t）=2t3-3t2+a+1，可画出大致图象如图3所示.只要判断方程2t3-3t2+a+1=0有多少个不同的实数根，即可判断过点（1，a）能作多少条切线.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.导函数为g′（t）=6t2-6t，由此可知原函数的极值点为t1=0，t2=1.因此极大值为g（0）=1+a，极小值为g（1）=a.对a的取值可由-1和0分为三个区间进行讨论：若-10，极小值f（1）若a>0或a。
过定点的三次函数图像切线条数问题
过定点的三次函数图像切线条数问题
叶秋平
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2007(000)007
【摘要】二次函数y=αx2＋bx＋c（α≠0）的图像是抛物线，我们有如下共识：点P（x0，y0）在抛物线上时满足y0=αx02＋bx0＋c，过点P的切线有且只有一条；当点P在抛物线内时满足y0〉αx02＋bx0＋c，过点P的切线不存在；当点P在抛物线外时满足y0〈αx02＋bx0＋c，
【总页数】3页(P26-28)
【作者】叶秋平
【作者单位】浙江省龙游中学,324400
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.探究三次函数的切线条数 [J], 楼志权
2.一元三次函数图像的中心切线及切线问题 [J], 李晶;张国坤
3.用代数的方法证明过定点作圆锥曲线的切线条数 [J], 徐喜明
4.高考中三次函数图像的切线问题 [J], 罗永高;程雪飞
5.GeoGebra探究过任意点作三次函数切线条数问题 [J], 韩毅;张华
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第18讲 三次函数的切线条数(解析版)
第十八讲三次函数的切线条数知识与方法研究过点(),P a b 可以作出三次函数()32f x ax bx cx d =+++()0a ≠图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为()()00,x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，将点P 的坐标代入切线方程可得()()()000b f x f x a x '-=-，这一关于0x 的方程有几个实数解，过点P 就可以作出函数()y f x =图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示：典型例题【例题】已知函数322()27,R f x x ax a x a =-+-∈．（1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（2）若过点(0,1)A 可以作曲线()f x 的三条切线，求a 的取值范围．【解析】（1）22()34f x x ax a '=-+，由2(1)340f a a =-+='解得1a =或3a =，当1a =时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得13x <或1x >，由()0f x '<得113x <<，即()f x 在1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意，舍去，当3a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，由()0f x '>得1x <或3x >，由()0f x '<得13x <<，即函数()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，()f x 在1x =处取得极大值，所以3a =.（2）设过点(0,1)A 作曲线()f x 的切线的切点为00(,)P x y ，则切线方程为()()()322220000002734y x ax a x x ax a x x --+-=-+-，将点(0,1)A 的坐标代入，整理得320040x ax -+=，令32()4h x x ax =-+，依题意，()h x 有三个零点，22()3233a h x x ax x x ⎛⎫=-=- ⎝'⎪⎭，当0a =时，()0,()h x h x '≥在(,)-∞+∞上单调递增，则()h x 只有一个零点，当0a <时，由()0f x '>得23ax <或0x >，由()0f x '<得203a x <<，即()h x 在2,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在23a x =处取极大值，在0x =处取极小值，而(0)40h =>，则()h x 只有一个零点，当0a >时，由()0f x '>得0x <或23a x >，由()0f x '<得203ax <<，即()h x 在2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在0x =处取极大值，在23ax =处取极小值，而(0)40h =>，要使()h x 有三个零点，当且仅当32440327a a h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得3a >，所以a 的取值范围是(3,)+∞．强化训练1．已知函数()3f x x ax =-，若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则实数a =________.【解析】解法1：由题意，()23f x x a '=-，设()3000,P x x ax -为函数()y f x =图象上的任意一点，则()f x 在点P 处的切线方程为()()()3200003y x ax x a x x --=--，将点()1,0A 代入整理得：320230x x a -+=①，过点A 可作函数()y f x =图象的两条切线等价于关于x 的方程①有两个实数解，设()3223g x x x a =-+()x ∈R ，则()g x 有两个零点，易求得()()61g x x x '=-，所以()0 0g x x '>⇔<或1x >，()001g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,1上，在()1,+∞上，故()g x 有极大值()0g a =，极小值()11g a =-，所以()g x 有两个零点的充要条件是()()()01 10g g a a =-=，解得：0a =或1.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()23f x x a '=-，所以()f x 在原点处的切线为y ax =-，要使若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则点A 在切线y ax =-或()y f x =的图象上，所以0a -=或10a -=，解得：0a =或1.【答案】0或12．已知函数()33f x x x =-，若过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则实数m 的取值范围是________.【解析】解法1：由题意，()233f x x '=-，设过点A 的直线与()f x 的图象相切于点()3000,3P x x x -，则该切线的方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将点()2,A m 代入整理得：32002660x x m -++=①，过点A 可作函数()y f x =图象的三条切线等价于关于0x 的方程①有三个实数解，设()32266g x x x m =-++()x ∈R ，则()g x 有三个零点，易求得()()62g x x x '=-，所以()00g x x '>⇔<或2x >，()002g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,2上，在()2,+∞上，故()g x 有极大值()06g m =+，极小值()22g m =-，所以()g x 有三个零点的充要条件是()()()()02620g g m m =+-<，解得：62m -<<.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()233f x x '=-，所以()f x 在原点处的切线为3y x =-,要使过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则点A 应夹在切线和()f x 的图象之间，如图，点A 应在直线2x =上的B 、C 两点之间，将2x =分别代入3y x =-和33y x x =-可求得6y =-，2，所以B 、C 两点的纵坐标分别为6-和2，故m 的取值范围是()6,2-.【答案】()6,2-3.设函数()32132a f x x x bx c =-++()0a >，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =.（1）确定b 、c 的值；（2）设曲线()y f x =在()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2，证明：当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠（3）若过点()0,2可作曲线()y f x =三条不同的切线，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意，()2f x x ax b '=-+，且()00f b '==，()01f c ==.（2）由（1）可得()321132a f x x x =-+，()2f x x ax '=-，所以曲线()y f x =在()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111y f x x ax x x -=--，将点()0,2代入整理得：321121032a x x -+=①，同理可得：322221032a x x -+=②，下面用反证法证明当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠，假设()()12f x f x ''=，则221122x ax x ax -=-，整理得：()()12120x x x x a -+-=，所以12x x a +=③，由①－②整理可得：()()2121212220332a x x x x x x +--+=，将式③代入得：2124a x x =④，联立③④解得：122ax x ==，这与12x x ≠矛盾，所以当12x x ≠时，()()12f x f x ''=（3）由（2）可得问题等价于关于x 的方程3221032a x x -+=有三个不同的实数解，令()322132a h x x x =-+()x ∈R ，则()h x 有三个零点，且()()2h x x x a '=-所以()00h x x '>⇔<或2a x >，()002ah x x '<⇔<<，从而()h x 在(),0-∞上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()h x 有极大值()01h =，极小值3232112322224a a a a a h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 有三个零点的充要条件是()3010224a a h h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得：a >，故a 的取值范围为()+∞.4.已知函数()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()(),M t f t 处的切线方程；（2）设0a >，如果过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<.【解析】（1）由题意，()231f x x '=-，所以()231f t t '=-故曲线()y f x =在点M 处的切线方程为()()()3231y t t t x t --=--，整理得：()23312y t x t =--.（2）将点(),a b 代入()23312y t x t =--整理得：32230t at a b -++=①，过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线等价于关于t 的方程①有三个实数根，设()()3223g t t at a b t =-++∈R ，则()g t 有三个零点，易求得()()2666g t t at t t a '=-=-，因为0a >，所以()00g t t '>⇔<或t a >，()00g t t a '<⇔<<，从而()g t 在(),0-∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，故()g t 有极大值()0g a b =+，极小值()32323g a a a a a b a a b=-⋅++=-++所以()g t 有三个零点的充要条件是()()()()300g g a a b a a b =+-++<，故3a b a a -<<-，即()a b f a -<<.5.已知函数()323f x x x =-.（1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在三条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围；（3）过点()1,2A -、()2,10B 、()0,2C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?（只需写出结论）【解析】（1）由题意，()2216366222f x x x x x ⎛⎛⎫'=-=-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭当[]2,1x ∈-时，()2022f x x '>⇔-≤<-或212x <≤，()22022f x x '<⇔-<<，所以()f x 在2,2⎡--⎢⎣⎭上单调递增，在22⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，又323222f ⎛⎫⎛⎛-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11f =-，所以()12f f ⎛> ⎝⎭，故()f x 在[]2,1-.（2）设过点()1,P t 的直线与曲线()y f x =相切于点()3,23Q a a a -则该切线的方程为()()()322363y a a a x a --=--，将点()1,P t 代入整理可得：324630a a t -++=①，因为过点P 存在三条直线与曲线()y f x =相切，所以关于a 的方程①有三个不同的实数解，设()32463x x x t ϕ=-++()x ∈R ，则函数()x ϕ有三个零点，易求得()()21212121x x x x x ϕ'=-=-，所以()00x x ϕ'>⇔<或1x >，()001x x ϕ'<⇔<<，从而()x ϕ在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()x ϕ有极大值()03t ϕ=+，极小值()11t ϕ=+，所以()x ϕ有三个零点的充要条件是()()()()01310t t ϕϕ=++<，解得：31t -<<-，故实数t 的取值范围是()3,1--.（3）显然函数()y f x =的对称中心是原点，且函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-，如图，A 、B 、C 三点与函数()y f x =的图象的位置关系如图所示，由图可知过点A 、B 、C 分别可作曲线()y f x =的3条、2条、1条切线.。
过哪些点能够作三次函数图象的三条切线
过哪些点能够作三次函数图象的三条切线中图分类号： 文献标识码： 文章编号：2007年高考全国卷理22题为已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f x -<<．此题第（II ）小题的结论颇赖人寻味。
通过研读相关资料上所提供的“参考答案”能够发现：当0a >时，()a b f x -<<也是过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线的充分条件．并且易知y x =-为()y f x =在其对称中心(0,0)处的切线．于是，我们有如下更直观的结果：设函数3()f x x x =-，则过点(,)M a b ' （0a >）可作曲线C ：()y f x =的三条切线当且仅当点M '位于曲线C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的右侧区域内（边界除外）．（如图１）．我们更感兴趣的是，对于一般的三次函数，是否仍有类似结论？ 通过探索可知，答案是肯定的．定理 过点M 可作三次函数图象C的三条切线，当且仅当点M 位于图象C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的左、右两个区域内（边界除外）．为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相对应的示意图如下：____________________收稿日期：2007-08-图1 三次函数图2 三次函数证 设三次函数为 32()f x ax bx cx d =+++ （0a ≠），点M 的坐标为00(,)x y ，点(,())A t f t 为三次函数()y f x =图象C 上的一点．则点A 处 的切线方程为 ()()()y f t f t x t '-=-．于是，切线过点M ，等价于存有实数t ，使00()()()y f t f t x t '-=- (1) 注意到（1）是关于t 的三次方程（易知3t 的系数不为0），则过点M 可作C 的三条切线，当且仅当关于t 的方程（1）有三个相异的实数根．记 00()()()()g t y f t f t x t '=---，则 0()()()()()g t f t f t x t f t '''''=---+0()()t x f t ''=-02()(3)t x at b =-+．若03b x a=-，则20()6()g t a t x '=-，()g t 为R 上的单调函数，方程()0g t =有且仅有一个实数根．若03b x a ≠-，则()g t '在点0x 附近的函数值异号，在点3b a-附近的函图3 三次函数数值也异号，故0x 和3b a-都是()g t 的极值点．于是结合函数()g t 的单调性知，方程()0g t =有三个相异的实数根，当且仅当003()()03b x a b g x g a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪⋅-<⎪⎩即 000003[()][()()()]0333b x a b b b y f x y f f x a a a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪'-⋅----+<⎪⎩（2） 由文[1]、[2]知，三次函数()y f x =的图象有唯一对称中心(,())33b b N f a a--．而C 在点N 处的切线l 的方程为 ()()()333b b b y f f x a a a'--=-+ 故直线0x x =与C 及l 的交点纵坐标分别为0()f x 及 0()()()333b b b f f x a a a '-+-+． 因为03b x a≠-，故上述两纵坐标不相等。
过三次函数图象上一点能作几条切线
Ｂ 口 Ｙ＝ （ ３ ａ ｘ ； ＋ ２ ｂ ｘ 。 ＋ ｃ ） ｘ 一 ２ 一 ｂ ｘ ＋ ｄ ．
・ ．
・
‘ ． ．
ｃ 宦 作 ２条或 ３ 条切线
Ｄ ． 能作 １ 条或 ２条或 ３条切线
且 口ａ ｍ 。 ＋ ｂ ｍ ＋ ｃ ｍ＋ ｄ＝ （ ３ ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｍ一 ２ ｎ 一 ＋ ｄ ，
— — — 一
４ｄ
．
’ ｙ’ ＝３ ａ ｘ ＋ ２ ｂ ｘ＋ｃ，
．
下面的问题供 同学们练习．
・ ．
切线斜率ｋ＝３ 锻 ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ｃ ，
１ ． 过 曲线Ｙ ＝ 一 ３ ｘ 上一点 （ １ ， ＿ ２ 舴 切线 ， 求切线方程． ２ ． 过曲线Ｙ＝Ｘ 一 ３ ｘ ＋ ＋ｌ 上 一点Ａ （ １ ， １ ） 作切线 ， 求切线
用综合除法分解因式得
解
设切点 为Ｐ （ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） ， 因为Ｙ ’ ＝ ３ ｘ ， 所 以， 以Ｐ 为 切点 的
（ 一 ［ ２ ａ ｘ ｏ ＋ （ ａ ｍ＋６ ） ］ ＝ ０ ．
ａ ｍ＋ｂ
切 线 的 斜 率 ＝３ ， 切 线 方 程 为 Ｙ— Ｙ 。 ＝ｋ （ ｘ — 。 ） ，即
方程．
切线方程为Ｙ — Ｙ 。 ＝（ ３ ａ ｘ ＋ ２ 撕。 ＋ ｃ ） 一 Ｘ ｏ ） ，
‘
．
‘ ｙ ０＝
＋ｈ ＋“ ０ ＋ｄ ，
’ ．
Ｙ ＝（ ３ ． ４＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｘ 一 （ ３ ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｘ ｏ ＋ Ｙ ０
３ ． 过曲线Ｙ＝ 一 ９ ｘ ＋ ２ 上一 点 （ ３ ， ２ ） 作切线 ， 求切线方程． ４ ． （ 选择题 ）过三次 函数Ｙ＝ 上任一点作曲线 的切线 ， 则
用《几何画板》实现三次函数的切线的条数.doc
《几何画板》小妙招判断三次函数的切线的条数于非洲山东临沂第一中学2760001引言过平面内任意一点P作一个三次函数图彖的切线，可能有一条，二条或三条.可是，当点P 落在怎样的一个区域内时可以作一条，二条或三条呢？本文拟用《几何画板》软件实现对这一问题的直观化.2探索由于一般的三次函数g(x) = ax3+ hx2 + cr+d(a H 0)都是中心对称曲线，其对称中心为(-#，&(-#))，所以其函数解析式可化为：3a 3a(b z戾、/ b、( b、y = a^+(c--)(x+-) + g(--)于是通过变换：bX — X 9 3a, (by =y-g(-—)9 < 3a(*)m = a,b2n = c --- •3ci就可以把问题转化为研究最简单的三次函数/(对=肌「+处(加工0)的切线问题了.设点MOo，%)为平血上任一点，过点M作函数/(x) = mx3+ tvc的切线，设切点樂标为(西』),则切线方程为：°y-y x =(3mx「+肪(兀_若).把点M(x o,>J o)的坐标代入上式，并整理得关于西的方程：2mX] 一3nvc{)x^ + %-'%) = 0 ・于是，过点M有几条切线，就等价于这个关于西的三次方程有几个不同的零点.设h{x) = - 3mx o x2 + % 一(加工0),则由h f(x) = 6nvc2 -6nvc()x = 6nix(x-x()) = 0,得到x = 0,x = x o.当兀=0时,h(x) = 2mx3 + y Q(m^0)在R上是单调函数,/?(x)只有一个零点，这时过点M只有一条切线.特别的，当点M(0,0)为/(兀)=机丘+心的对称中心时，其切线方程为y = nx.当兀()工0时，力(x)有两个极值，一个是极大值，一个是极小值，其函数值分别是力(0) = % 一S ‘ K XQ) = y Q -mxj -nx Q. h(x)的零点的个数就与这两个极值的符号有关：若力(0)与/?(x())同号，即/?(O)-/z(x o) > 0时〃(兀)只有一个零点，这时过点M只有一条切线；若加0)与加兀°)中有且只有一个为0,即加0)•心)=0时方(兀)有两个零点,这时过点M有两条切线；若加0)与处G异号,即力(0)•心)<0时,%(兀)有三个零点,这时过点M有三条切线.3规律及图解：注意到当/?(0) = y0-tvc(}= 0时,点M恰在过对称中心的切线y =力上；当力(不)=% —m* - n^=Q时，点M恰在函数f\x) = mx34- nx的图像上.如果把函数f(x) = fnx3的图像想象成一条直线的话，那么y = nx与/(x) = mx3 +/xr的图像相交于对称中心，它们把平面分成如下几部分(如图1)：一个交点(三次函数的对称中心)，四条射线，四个两两对顶的区域.通过以上的研究，我们不仅很容易知道过一个点能够作多少条切线，而且也使得用《儿何画板》图解这一有趣的现象成为可能的了：当点M为/(x) = twc' + ivc的对称中心(0, 0)时，过点M有且只有一条切线y = A?x (如图2)；当点M 落在两个对顶区域且满足（％-71¥（））（%）-肌¥（:-啟（））>0时，过点M 有且只有一条切线（如图3和图4）；过点M 有且只有两条切线（如图5和图6）；当点M 落在两个对顶区域且满足（y Q -ztr 0）（^0 -fnx^-nx^ < 0时，过点M 有且只有三条切线（如图7和图8）；4应用掌握了这一规律，我们不仅能够准确的判断出过一个点能够作多少条切线，而且还可以当点落M 在四条射线上（不含对称中心） 即满足（％ - nx 0）（y 0 - inxj 一 农（））=0 时/| （人山伙0）（丫03%3山伙0）= 0.00利用这一规律轻松解题呢!例 1 已知曲线 C ： /(X ) = X 3-X +2,试问：分别过点(1) (0,-54), (2) (2,0),(3)(罟,2)作曲线C 的切线有儿条？解：这里 a = l,b = 0,c = —l,d = 2 , ------- = 0,/(— ) = 2, m = 1, /? = c --------- = —1,3a 3a 3a所以通过变换(*) BP \ y =y ~2,可以把原函数转化为y = x 3-x,三个点分别转化为 tn = 1,n = -\.(0,一56),(2,一2),(罟,0).(1) (y 0 - nr ())(y 0 - inxj - ) = 3136 > 0,・•・过点(0,-56)作y =丘一兀的切线只有一条；(2) (y 0-/zx 0)(y 0 一叫彳一吒)=0,・•・过点(2,-2)作y = x 3-x 的切线有两条; 16 Q・•・过点(亓,0)作y = W 一兀的切线有三条 于是原问题获解. 例2 (2008南昌一模)已知/(x) = x 3 -3x, 点A(l,d)(dH-2)可作曲线丿=/(x)的三条切线，则Q 的取值范围是() A.(l,・1) B. (-2, 3) C. (-1, -2) D.(・3, -2)解：这里的m = },n = -3f x 0 = 1,y 0 = 6?,所以当[a_(_3)・l][a_F + 3xl]v0即-3<tz<-2时为所求.答案为D.例3 (2007全国II 卷)己知函数f(x) = x 3-x.(1)求曲线y = /(兀)在点M(f, /(/))处的切线方程;(2)设6/>0，如果过点(a, b)可作曲线y = /(x)的三条切线，证明：—xbjf(a).解：(1)求函数/(兀)的导数；广(兀)=3兀2_1・曲线y = f(x)在点f(t))处的(%—处())(％ _码)3 16 、— =— ° 111 7<0,切线方程为：= ,即y = (3t2-l)x-2t\(2)过点(Q, b)可作曲线y = /(x)的三条切线，其充要条件为(Z? + d)・(b-/(d)) <0 ,注意到。
对三次函数图象的切线的探究
＜０ 表示的平面区域内时； 可以作三条． 结论３ 中， 在划分平面区域时， 直线１ ： ｙ ＝ｆ （劝
有一条
盯。 ＋ｂ 口 。
蕊 甲 一 一以 ｐ
ｘ。 ａ ＋ ｂ口 。
李时 ， 切 线 只
Ｏｇ
当ｘ ０ 宁亡一 —
厂（ ｏ） ｘ ＝３ ｘ。 ａ ’ ＋２ 故。 ＋： 代人上述方程，
整理得
乙ａ
ｘ 。 护 一 李 时 ， 切 线 有 两 条 ．
数学通报
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第９ 期
ｙ 一ｆ （ ｏ） ｘ 二厂（ 与） （ ｘ 一ｘ ｏ）
ｙ＝ 了 （ ｘ ）
个数．
消去ｙ 得了 （ ） 一ｆ ｘ （ｘ ０） ＝厂（ 与） ｘ一与） （ ．
将ｆ （ｘ ） ＝ａ ｌ， ＋酝， ＋以＋ｄ ， （ｘ ｆ ０） ＝ａ ｘ。 ３ ＋酝。 ２ ＋ｃ ｘ。 ＋ｄ ，
图２ ）， 方程分别为１ ２ ｘ 一３ ｙ 一１ ６ ＝０ 与３ ｘ 一３ 夕 ＋２
， ／２ 尹十酝 十‘ ／ 。， ： 二二二 ： ，，率，
１二 尧一
工 一， ， 一１
为ｙ 一ｆ （两） 二厂（ 两） ｘ一两） （ ，
（ △ ， ＝ 护一４ （ ｃ 一１ ） ‘０ ，
接着笔者给出了如下变式， 请同学们继续思考． 变式 已知 曲线 ｙ＝
求过点 告 ， 上 一 点 ； （ ２，
普）
尸的切线的方程． 经过讨论， 我们对“ 曲线 过点 Ｐ的切线” 和“ 曲线在点 尸处的切线” 进行了区别， 并 求得变式题的切线有两条（ 如
图２
点， 过曲线上一点 尸可以作两条直线与曲线相切， 这与学生以往对切线的认知产生了强烈的冲突， 以 此为契机， 笔者引导学生重温了切线是割线的极限 位置这一切线“ 新概念” ， 并对上述现象进行了解 释， 澄清了以前对切线的一些“ 偏见” ． 正以为教学 可以告一段落， 一个学生提出： 问题１ 经过计算发现， 另一条切线１ ２ｘ 一３ ｙ 一 ６ 二０ １ 与曲线也有两个交点， 是不是三次函数的图 象 Ｃ的切线与Ｃ都有两个交点？ 问 题２ 过直角坐标平面内任意一点， 都能作 两条直线与三次函数的图象相切吗？ － 对此， 笔者一时无法作答 ， 课后， 翻遍手头资料 并上网查阅， 均无结果， 于是， 笔者 自己作了些探 究， 整理成文， 请专家和同行斧正． 探究１ 三次函数ｆ （ｘ ） ＝ａ ｘ３ ＋阮２ ＋二＋ｄ （ａ 铸０ ） 的图象Ｃ的切线１ 与Ｃ有多少个交点？ 解 设切点为尸 （ ｏ， ｘ （ｘ ｆ ０） ） ， 则切线 １ 的方程
过任一定点的三次函数切线的条数问题
过任一定点的三次函数切线的条数问题山 石过任一定点的三次函数切线的条数问题在2007年全国（II ）卷高考题中出现。
题目：已知函数3)(x x f =-x （I ）求曲线)(x f y =在点M ))(,(t f t 处的切线方程； （II ）设a ＞0，如果过点(b a ,)可作曲线)(x f y =的三条切线， 证明：-a <b <)(a f题中提到过点作曲线)(x f y =的三条切线问题，那么点在什么区域内作曲线y 3x =-x 的切线能有三条呢? 点在什么区域内切线能有一条，最多能有几条切线呢？下面我们研究过任一点N(b a ,)作曲线x x x f -=3)(切线的条数问题。
解:设过点N(b a ,)作曲线3x y =-x 的切线为l ,切点为M ))(,(t f t 则切线l 的方程为b y -=(32t -1)(a x -) ∵l 过点M ))(,(t f t ∴有))(13(23a t t b t t --=-- 整理得23t -3a b a t ++2=0 ……① 方程①有多少个解,切线l 就有多少个.下面解决方程①解的个数问题。
设)(t g = 23t -3a b a t ++2 )('t g =ta t 662- 令)('t g =0 得t =0 t =a 1．当a ＞0，易知：当t =0时，)(t g 有极大值b a +；当a t =)(t g 有极小值b a a ++-3(1)当b a +=0或b a a ++-3=0时，方程①有两根,即当点N(b a ,)在曲线x y -= (x >0)或x x y -=3 (x >0)上时,过点N 作曲线3x y =-x 的切线只有两条.(如图1点N (2)当b a +<0或b a a ++-3>0时，方程①有一根,即当点N(b a ,)满足y <x - (x >0)或y >x x -3 (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x (如图2点N 在阴影部分)(3)当b a +>0且b a a ++-3<0时，方程①有三根,xx -即当点N(b a ,)满足y >-x (x >0)且y <3x -x (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x的切线有三条.(如图3点N 在阴影部分.) 2．当a <0, 即点N(b a ,)在y 轴左侧，方法同前可得, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线条数如图4。
三次函数切线问题)
三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。
1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223 即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ ab x x 22112--=代入（1）式 得c ab bx ax k +-+=4214321212 讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c a b bx ax +-+421432121，得a b x 31-=， ∴ 当ab x 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。
当ab x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。
其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=- ))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则ab x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
三次函数零点切线斜率的关系
《三次函数零点切线斜率的关系》哎呀呀，咱今儿个来唠唠三次函数零点切线斜率的那点事儿，可有意思啦！先得知道啥是三次函数吧，就是那种函数表达式里最高次项是三次方的函数呀，比如y = ax³ + bx² + cx + d （a≠0）这样的式子。
这三次函数的图像呢，那可真是千变万化，有的像小山包，有的像大峡谷，各种各样的形状都有。
再说说零点吧，零点就是函数值等于零的时候，自变量x的值呀。
换句话说呢，就是三次函数的图像和x轴相交的那些点啦。
这零点可重要啦，它能告诉咱们好多关于函数的信息呢。
然后就是切线斜率啦，切线斜率是啥呢？想象一下啊，你在三次函数的图像上找一个点，然后在这个点上画一条刚好和图像相切的直线，这条直线的斜率就是切线斜率啦。
它能反映出函数在这个点附近的变化快慢呢。
那这三次函数的零点和切线斜率之间有啥关系呢？嘿，这关系可不简单哦！当三次函数有一个零点的时候，在这个零点处的切线斜率可能是各种各样的情况。
有时候切线斜率是正的，那就说明在这个零点附近，函数是往上走的趋势，就好像你在爬山，刚到山脚下那个零点，然后接下来要往上爬啦。
要是切线斜率是负的呢，那就表示在这个零点附近，函数是往下走的趋势，就好比你站在山顶，这个零点就是山顶那个点，接下来要往下走咯。
要是三次函数有两个零点呢，这两个零点处的切线斜率又有不同的情况啦。
可能一个零点处切线斜率是正的，另一个零点处切线斜率是负的，这就意味着函数在这两个零点之间的变化是先往上走然后再往下走，或者先往下走然后再往上走，就像坐过山车一样，一会儿上一会儿下的。
要是有三个零点呀，哎呀，那情况就更复杂啦。
这三个零点处的切线斜率可能有的是正的，有的是负的，而且它们的大小也各不相同。
这就使得函数在这三个零点周围的变化更加多样化啦，可能这边是缓缓上升，那边是急剧下降，各种情况都有可能出现呢。
而且哦，三次函数的零点和切线斜率的关系还和函数的系数有关呢。
不同的系数会导致函数图像的形状不同，进而影响到零点的位置和切线斜率的大小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考中三次函数图象的切线问题
镇江实验高中 杨勇
一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f
1、0>a ,斜率a
b a
c k 332
-=时，有且只有一条切线； a
b a
c k 332
->时，有两条不同的切线； a
b a
c k 332
-<时，没有切线； 2、0<a ,斜率a
b a
c k 332
-=时，有且只有一条切线； a
b a
c k 332
-<时，有两条不同的切线； a
b a
c k 332
->时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/
1、 0>a 当a
b x 3-=时，.33)(2min /a b a
c x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程a
b a
c c bx ax 33232
2-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为： ).3(33)3(2a
b x a b a
c a b f y +-=-- 当a
b a
c k 332
->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a
b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于
三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k 的切线有两条。
当a
b a
c k 332
-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。
2、0<a 时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。
1 P 为切点 c bx ax x f k ++==12
11/123)(
切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-
2 P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ） 12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=212
12122
又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1） ∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22
223 即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ a
b x x 22112--=代入（1）式 得
c a
b bx ax k +-+=421432
1212 讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12
123c a b bx ax +-+421432
121 ∴ a b x 31-
=，也就是说，
∴ 当a
b x 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。
当a
b x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。
其切线方程为：))(23(112
11x x c bx ax y y -++=- ))(42143(12
1211x x c a b bx ax y y -+-+=- 由上可得下面结论：
过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则a
b x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
证明 设过),(n n n y x P 与)(x f y =图象切于点),(111+++n n n y x P 的切线为1+n n P P ，
c bx bx ax x ax ax x x y y k n n n n n n n
n n n +++++=--=+++++1212111 又 c bx ax x f k n n n ++==+++1211/23)(
∴ c bx bx ax x ax ax n n n n n n ++++++++12121=c bx ax n n ++++12
123 即 0)2)((11=++-++a b x x x x n n n n ∴ a
b x x n n 2211--=+ 设)(211λλ+-=++n n x x 则a
b 3=λ ∴ 数列}3{a b x n +是公比为2
1-的等比数列， 11)21)(3(3--++-=n n a b x a b x 即 a
b x n n 3lim -
=∞→。
三、过三次函数图象外一点的切线
设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外 一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
（1） 若,30a
b x -=则过点P 恰有一条切线；
（2） 若,30a b x -
≠且)3()(0a
b g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。
其中).)(()()(0/0x x x f x f y x g -+-=
证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(112
11x x c bx ax y y -++=-
把点),(00y x P 代入得： 02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=
,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+=
,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆ 令,0)(/=x g 则.3,0a
b x x x -== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30a b x -=或,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。
0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -
≠且)3()(0a
b g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。
0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。
所以,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -0<时，过点P 有三条不同的切线。