数学改编题

数学改编题

惠阳区良井中学贺炯军

原题目出自人民教育出版社日期：2011年10月25日

1、等腰三角形题型转换

（出自人民教育出版社教材66页复习题12第14题）

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，求证：DB=DE。

考查目标：本题在学习等腰三角性质与判定的基础上进行延伸，应用到了三角形外交和等于与他不相邻的两个内角和，以及三角形内角和定理，角平分线的定义等知识。

证明：∵△ABC是等边三角形

∴三角形的内角均为60°（1分）

∵BD是中线

∴BD平分角∠CBA,则∠CBD=30°（1分）

延长BC至E，使CE=CD

在△CDE中∠DCE=120°

∴∠CDE=∠CED=30°（2分）

在△BDE中∠EBD=∠BED=30°

∴DB=DE（2分）

变式：如图，△ABC是等边三角形，D是AC上移动的一点，延长BC至E，使CE=CD。无论D移动至何处时，连接DE所成的线段始终保持怎样的关系，请说明理由。

解：相互平行

使D点移动到D'，延长BC至E’，使CE’=CD，

∵△ABC是等边三角形

∴三角形的内角均为60°（1分）

∵BD是中线

∴BD平分角∠CBA,则∠CBD=30°（1分）

延长BC至E，使CE=CD

在△CDE中∠DCE=120°

∴∠CDE=∠CED=30°（2分）

同理∠CE’D=30°

∴D'E’∥DE（2分）

考查化归与转化的数学思想方法：以原题的考查目标为基础，把等腰三角形的判定转换为平行线的判定，提高学生的观察图形能力和解题思维能力。

2、三角形全等的题型转换

（出自人民教育出版社教材26页复习题11第3题）

如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC。求证：DE＝AB．

考查目标：三角形全等的性质与判定。

证明：∵∠1=∠2 ∠BCA=∠1+∠ECA ∠ECD=∠ECA+∠2

∴∠BCA=∠ECD （1分）

又∵CD=CA，EC=BC

∴△ABC≌△DEC（3分）

∴AB=DE（2分）

变式：如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．

（1）求证：AE=CD；

（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．

（1）证明：∵△ABC和△BDE是等边三角形

∴AB=CB，BE=BD, ∠ABC=∠DBE=60°

∵∠ABE=∠ABC+∠CBE, ∠CBD=∠DBE+∠CBE

∴∠ABE=∠CBD(2分)

在△ABC和△BDE中

AB=CB

BE=BD

∠ABE=∠CBD

∴△ABC≌△BDE（SAS）

∴AE=CD（2分）

（2） △PBQ 是等边三角形

证明：有（1）可知△ABC ≌△BDE

∴AE=CD ，∠BAP=∠BCQ ，AB=CB

∵点P 、Q 分别是AE 、CD 的中点

∴CQ=AP （2分）

在△ABP 和△CBP 中

AB=CB

∠BAP=∠BCQ

CQ=AP

∴△ABP ≌△CBP （SAS ）（3分）

∴PB=QB, ∠ABP=∠CBQ

∵∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°

∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°

∴△PBQ 是等边三角形（2分）

考查化归与转化的数学思想方法:结合三角形全等的性质与判定、等边三角形的性质与判定的解题方法。考查学生的分析题目能力，解题方法。

3、等腰三角形的题型转换

（出自人民教育出版社教材56页习题12、3第1题）

等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度?

解：若顶角是80°

则两个底角是（180°-80°）÷2=50°

若底角是80°

则顶角是180°-80°-80°=20°（3分）

考查目标：对等腰三角形的定义以及性质的理解。

变式：已知等腰三角形的周长为20，其中一内角的余弦值是3

2 ，求这个等腰三角形的腰长．

解：如图，等腰三角形ABC 中，周长为20

①若底角的余弦值是32，则cosB=3

2 做AD 垂直于BC ，交BC 于点D

易得AB+BD=21（AB+AC+BC ）=10，且AB AD =32 解可得：腰长AB=6（3分） ②若顶角的余弦值是32，则cosA=3

2 做BD 垂直于AC ，交AC 于点D

设AB=x ，则AD=3

2x ，由勾股定理可得BD=35x 在Rt △BCD 中，CD=x-

32x=31x ，BD=35x 解可得：BC=3

6x 又有AB+AC+BC=20，即2x+

36x=20 解可得x=12-26（4分）

答：腰长为6或12-26．

考查化归与转化的数学思想方法: 在正确理解等腰三角形的定义以及性质的基础上，多方便、多角度的考虑问题，发散学生的思维能力。