排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

学员数学科目第次个性化教案

授课时间教师姓名备课时间

学员年级高二课题名称排列组合问题的解题策略

课时总数共课时教育顾问学管邱老师

教学目标1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）

教学重点1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；

教学难点运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）

教学过程

教师活动

一、作业检查与评价（第一次课程）

二、复习导入

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

三、内容讲解

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有

1

m种不同的方法，在第2类办法中有

2

m种不同的

方法，…，在第n类办法中有

n

m种不同的方法，那么完成这件事共有：

12n

N m m m

=+++

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有

1

m种不同的方法，做第2步有

2

m种不同的方法，…，

做第n步有

n

m种不同的方法，那么完成这件事共有：

12n

N m m m

=⨯⨯⨯

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

排列组合问题的解题策略

一、相临问题——捆绑法

例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，

并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。

评注：一般地: n 站成一排,其中某m 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有N M M N M M A A --种排法。

练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

二、不相临问题——选空插入法

例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：25

65A A 种 .

插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的

元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若N 个人站成一排，其中M 个

人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。

练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学

生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就

要特殊对待.所涉及问题是排列问题.

解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,

共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.

三、复杂问题--总体排除法或排异法

有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用

“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素

的限制。

例 3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有

个.

解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线

不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 －3＝32个.

练习： 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多

少种?

分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗

漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常

的简便.这样就可以简化计算过程.

解 43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班

长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种.

四、特殊元素--优先考虑法

对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则

共有不同的排法

种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，

有3种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72种不同的排法.

例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名

主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场

安排共有 种.

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名

安排在第二、四位置，有 种 排法，所以不同的出场安排共有 ＝252种.

五、多元问题--分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新

节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）

A ．42

B ．30

C ．20

D ．12

解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有 种；2.相临：共有

种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。

例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区

不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色

方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有

C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72

六、混合问题--先选后排法

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．