单位脉冲函数详解
第三节(脉冲函数)
0 δ ( x) = ∞ b 0 ∫a δ ( x)dx = 1
( x ≠ 0) ( x = 0)
(a, b < 0或都 > 0) ( a < 0 < b)
δ ( x − x0 )
∞
↑
x
与常规函数不同，是一种广义函数 与常规函数不同，是一种广义函数
O
x0
δ ( x − x0 ) 示意图如图： 示意图如图： 无限高，无限窄，但面积为1. 无限高，无限窄，但面积为
e − βx ( x > 0) H ( x) = lim+ H ( x; β ) = lim+ β →0 β →0 0 ( x < 0) 而对 H ( x; β ) 来说傅里叶变换是存在的
1 [H ( x; β )] = 2π
∫
∞
0
e
− βx −iωx
e
1 dx = 2π
∫
∞
0
e −( β +iω ) x dx
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
7
第一和三项为零， 第一和三项为零，对中间一项应用中值定理得
∫
∞
即可。 上的某个值， 其中 ξ 为区间 (t0 − ε ,t0 + ε ) 上的某个值，令 ε → 0 即可。 (4) 连续分布的质量、电荷或持续力也可用 连续分布的质量、 划分为许多小区间段，某个 [τ ,τ 划分为许多小区间段，
( x < 0) ( x > 0)
H(x) 阶跃函数 亥维赛单位函数
6
δ 并且有H(x)是δ (x )的原函数， (x )是H(x)的导函数 是 的原函数， 并且有 的导函数
单位脉冲函数的傅里叶变换是多少
单位脉冲函数的傅里叶变换是多少单位脉冲函数是信号处理中经常用到的一个特殊函数，用于描述一个瞬时产生的、幅度为1的脉冲信号。
该函数在时域上只在时间原点上有非零值，而在频域上则具有平坦的频率响应。
为了理解单位脉冲函数的傅里叶变换，我们首先要了解什么是傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，通过将一个时域信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加来表示。
傅里叶变换的结果是一个复数函数，它描述了信号在不同频率上的振幅和相位信息。
对于单位脉冲函数，其数学表示可以用δ(t)表示。
根据傅里叶变换的定义，我们可以通过计算脉冲函数的傅里叶变换来得到该函数在频域上的表示。
脉冲函数的傅里叶变换可以表示为：F(ω) = ∫[δ(t) * e^(-jωt)]dt这里的F(ω)表示单位脉冲函数在频域上的傅里叶变换，ω是频率变量，j是虚数单位。
对于单位脉冲函数的傅里叶变换，结果是一个常数函数。
傅里叶变换使我们能够将一个信号从时域转换到频域，从而可以在频域上进行分析和处理。
对于单位脉冲函数来说，其傅里叶变换结果为常数函数，这意味着单位脉冲函数在频域上具有相等的振幅和相位信息。
这个结果在很多实际应用中都非常有用。
一个重要的应用例子是系统的频率响应分析。
我们可以将单位脉冲函数通过一个系统，然后对系统的输出进行傅里叶变换得到系统在频域上的响应。
由于单位脉冲函数在频域上具有平坦的响应，这使得我们可以很方便地得到系统在不同频率上的响应特性。
此外，单位脉冲函数的傅里叶变换还用于信号的采样与重构、卷积等信号处理操作中。
通过将信号转换到频域进行处理，我们可以更好地理解信号的频谱特性，从而进行更精确的信号分析和处理。
综上所述，单位脉冲函数的傅里叶变换结果为常数函数，该结果在信号处理和系统分析中具有重要的应用。
傅里叶变换使我们能够将信号从时域转换到频域，从而可以更好地理解信号的振幅和相位信息。
通过对单位脉冲函数的傅里叶变换，我们可以得到信号在不同频率上的特性，这对于信号处理和系统分析具有指导意义。
6.3 单位脉冲函数及其傅里叶变换
sin 0t
|F()|
t
0 O
0
F [cos0t] ( 0) ( 0).
例3 证明：F [u(t)] 1 (). i
证：F
1
1
i
()
1
2
1
i
()
eit d
1
2
() eit d 1
2
1
i
eit
d
1 1
2 2
cos
t
i
i
sin
t
d
1 1
一、单位脉冲函数的定义
定义1
(t)
lim
0
(t).
其中，
0
(t
)
1
0
(t 0)
(0 t )
(t 0)
定义2 若函数满足下列两个条件：
(1) (t) 0, t 0;
(2) (t)dt 1.
则称其为单位脉冲函数，或 -函数。
可将-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段 的长度表示-函数的积分值, 称为-函数的强度.
(t)
δ(t-t0) 1
O
t0
t
如果脉冲发生在时刻t=t0，则函数为δ(t-t0)
二、单位脉冲函数的性质
（1）对任意的连续函数 f (t)
(t) f (t)dt=f 0
(t t0 ) f (t)dt
f
t0
（2）对任意的有连续导数的函数 f (t)
(t)
f
(t )dt =
f
0
第六章 傅里叶变换
第三讲 单位脉冲函数的Fourier变换
06
CHAPTER
§3 单位脉冲函数的Fourier变换
第三节(脉冲函数)
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
7
第一和三项为零， 第一和三项为零，对中间一项应用中值定理得
∫
∞
即可。 上的某个值， 其中 ξ 为区间 (t0 − ε ,t0 + ε ) 上的某个值，令 ε → 0 即可。 (4) 连续分布的质量、电荷或持续力也可用 连续分布的质量、 划分为许多小区间段，某个 [τ ,τ 划分为许多小区间段，
ρl ( x)dx = ∫
m dx = m l
∞
∞
−∞
4
如果不求积分，而先求极限， 如果不求积分，而先求极限，则有
m x 0 ρ ( x) = lim ρ l ( x) = lim rect ( ) = l →0 l →0 l l ∞
( x ≠ 0) ( x = 0)
对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的 对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的 质点 某个瞬时时刻的抽象模型， 某个瞬时时刻的抽象模型，物理学中引入 δ 函数描述
3
（一）
δ
函数
质量m均匀分布在长为 的线段 质量 均匀分布在长为l的线段 均匀分布在长为 的线段[-l/2,l/2]上，则线密度 ρ l (x ) 上
0 ρl ( x)＝ m / l
(|x| > l/ 2) (|x| ≤ l/ 2)
l 2 l − 2
m x ρl ( x) = rect ( ) l l
∫∫∫
1 δ (r − c)e − ik ⋅r dxdydz r
化成球坐标计算，以k的方向作为球坐标系的极轴方向 化成球坐标计算， 的方向作为球坐标系的极轴方向
∞ π 2π 1 1 1 δ (r − c) = δ (r − c)e −ikr cosθ ⋅ r 2 sin θdrdθdϕ 3 ∫r = 0 ∫ = 0 ∫ = 0 r θ ϕ r (2π ) ∞ π 1 = δ (r − c)e −ikr cosθ rd (− cosθ )dr (2π )2 ∫r =0 ∫θ =0 ∞ 1 1 = δ (r − c) (eikr − e −ikr )dr ik (2π )2 ∫r =0 1 1 ikc −ikc = (e − e ) 2 11 (2π ) ik
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
jωt0
由 1 2πδ (ω ), 得 e
jω0t
2πδ (ω ω0 )
例3 若 f (t)=cosω0t u(t), 求其傅氏变换。
1 + πδ (ω) 解：u(t) jω
f (t ) = u (t )
e
j ω0t
=
1 dt = a + i
0 2 + (a + i ) 2
0
3. 相似性： 相似性：
若F [ f (t )] = F (ω )，a ≠ 0, 则 1 ω 1 t 1 F [ f (at )] = F ( ) ; F [ F (at )] = f( ) a a a a
证明：
F [ f (at )] = ∫
函数的傅氏变换为: 二、δ-函数的傅氏变换为 函数的傅氏变换为
F[δ (t)] = F(ω) = ∫ δ (t)e
∞
+∞
iωt
dt = e
+∞
iωt t =0
=1
于是δ (t)与常数1构成了一傅氏变换对.
1 δ (t ) = F [1] = 2π
1
e dω ∫ eiωt dω = 2πδ (t ) ∫∞
sin ω0t
t
|F(ω)|
π
ω0
O
π ω0 ω
0, t < 0 , 证明： 例 5 单位阶跃函数 u (t ) = 1, t > 0
1 F [u (t )] = + πδ (ω ). jω
证：
F
1
1 1 jω + πδ (ω ) = 2π
∫
单位脉冲函数
单位脉冲函数
单位脉冲函数（Unit Impulse Function）是数学中常用的一类函数，它经常用于信
号处理，特别是在数字信号处理中，主要用于滤波、卷积等操作。
它具有以下几个特点：
一、定义：单位脉冲函数δ(t)表示一类特殊的函数，它在t=0处具有无穷大的数值，其他任何时刻t处的值都为零，即：
δ(t)=
\begin{cases}
无穷大,& t=0 \\
0,& t\neq0
\end{cases}
二、表示：单位脉冲函数的图形表示如下：
三、性质：
1. δ(t)的定义域和值域都为R；
2. 在t=0处，函数δ(t)的定义极限为∞，而一般函数的定义极限为有限数值；
3. δ(t)的积分（积分不可分的绝对值）在所有t处都为1，即
$$∫_{-∞}^{+∞}\delta(t)dt=1$$
四、应用：
1. 单位脉冲函数δ(t)被广泛用于电路分析、信号处理、滤波和统计分析中；
2. 主要用在滤波器中，用单位脉冲函数来进行滤波操作，可以将信号函数通过一定
的滤波操作，滤除噪声或其它有害的因素，从而可以使信号函数变得清楚；
3. 在傅里叶变换中，单位脉冲函数δ(t)是一个核心概念，δ(t)可以通过一个无穷
级数表示，这也是傅里叶变换的基础；
4. 在现代电路理论中，单位脉冲函数也可以用来表示一类电磁波。
在无线电信号传
输中，当我们需要传输一个电磁波时，可以用这个单位脉冲函数来表示，从而可以高效地
传输电磁波信息，方便利用。
常用序列的z变换
常用序列的z变换序列的Z变换是一种重要的信号分析工具，它通常用于将离散时间序列在复平面上表示。
在通信、控制、图像处理等领域都有广泛的应用。
常用序列的Z变换包括单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数序列、正弦序列以及单位样值序列等。
我们来介绍单位脉冲函数的Z变换。
单位脉冲函数是一个离散时间序列，定义为:δ(n)={1, n=00, n≠0}它的Z变换可以表示为:Z{δ(n)}= 1这表示单位脉冲函数在Z域中的变换为常数1。
接下来，我们来介绍单位阶跃函数的Z变换。
单位阶跃函数是一个离散时间序列，定义为:u(n)={1, n≥00, n<0}它的Z变换可以表示为:Z{u(n)}= 1/(1-z^(-1))这表示单位阶跃函数在Z域中的变换为1除以(1-z的负1次方)。
接下来，我们来介绍指数序列的Z变换。
指数序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)=a^n其中，a为常数，n为非负整数。
它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= 1/(1-az^(-1))这表示指数序列在Z域中的变换为1除以(1-a乘以z的负1次方)。
接下来，我们来介绍正弦序列的Z变换。
正弦序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)=sin(ωn)其中，ω为角频率，n为非负整数。
它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= (z*sin(ω))/(z^2 - 2z*cos(ω) + 1)这表示正弦序列在Z域中的变换为z乘以sin(ω)除以(z的平方减2z乘以cos(ω)再加1)。
我们来介绍单位样值序列的Z变换。
单位样值序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)= 1, n=0x(n)= 0, n≠0它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= 1+z^(-1)这表示单位样值序列在Z域中的变换为1加上z的负1次方。
除了上述常用序列的Z变换，还有许多其他类型的序列也可以进行Z变换，如矩形序列、三角波序列等。
Z变换是离散时间序列分析中的重要工具，可以帮助我们更好地理解和处理离散时间信号。
复变函数与积分变换 第8.2 单位脉冲函数
∫
+∞
∞
2π i nδ ( n ) (ω )e iω t dω
= ( 1)n i n ( it )n = t n ,
所以 F [t ] = 2π i δ
n n
(ω ).
例5 计算 F [cos ω 0 t ] 和 F [sin ω 0 t ]. 函数Fourier变换的 根据δ 函数 变换的时移和频移性质 变换的 解 运行下面的 变换的时移和频移性质 , 可得
1 1 e iω0t + F e iω0t F [cos ω 0 t ] = F 2 2
当t≠0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的 从而在 ≠ 时 由于 是不连续的, 是不连续的 普通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 普通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
如果我们形式地计算这个导数, 如果我们形式地计算这个导数 则得
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个 函数能够表示这样的电流强度. 函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电 流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数 简单 的函数, 流强度 引进一称为狄利克雷 的函数 函数: 记成δ-函数 函数
1 = 2π
1 ∫∞ [πδ (ω )] e dω + 2π
jω t +∞
+∞
∫
+∞
∞
1 jωt jω e dω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫∞ ω dω = 2 + π ∫0 ω dω 2 2π
单位脉冲函数的积分
单位脉冲函数的积分
单位脉冲函数是一种常见的信号形式，其积分在信号处理中具有重要的作用。
该函数可以用于描述瞬时电流和电压等现象，也可用于建立系统的单位响应和冲激响应等等。
对于单位脉冲函数，其在时域上是一个面积为1，宽度趋近于0的矩形波形。
在频域上，它的傅里叶变换是一个常数，因此它是一种无色的信号形式。
当将单位脉冲函数与其他信号进行卷积运算时，其结果相当于将原信号在单位时间内的平均值与单位脉冲函数的面积相乘。
因此，单位脉冲函数可以用于计算信号的平均值、时间常数等参数，也可用于滤波和降噪处理。
在信号处理中，单位脉冲函数的积分常常用于求解系统的单位响应和冲激响应。
通过将输入信号与单位脉冲函数进行卷积运算，并对结果进行积分，可以得到系统的输出响应。
这种方法在模拟系统分析、数字滤波器设计等方面具有广泛的应用。
总之，单位脉冲函数的积分在信号处理中扮演着重要的角色，其应用范围广泛，为信号处理技术的发展提供了坚实的基础。
- 1 -。
第7章2单位脉冲函数
e i t
d
2
(t)
e i t
dt
2 ( )
e i0 t 的象函数
ℱ[ei0 t]
e
i0
t
e
i
t
d
t
e i ( 0
)t
d
t
2
(
0
)
补充1公的式象a函f数(t)ℱd[t1] a f(eti)tddt t 2 ( )
f (t) 1
2
i F ( ) ei t d
(t) f (t)d t f (0)
1 1 ei t d 1 ( ) ei td
2 i
2
1
2
cos t d 1
i
0
1 (t t0 )
称为 δ函数
定义7.3δ 列型函数序
1
(t
t0
)d
t
t t0 t t0
(t
1 t0
t0 2
且
t0 ) dt
(t
0
1
20
t0 ) d t
t t0 t0 t
由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数进行傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱
单位脉冲函数的频谱函数
F ()
(t)
e i
t
dt
e i
t
|t0
7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
F t I (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i t q (t -t0 )
3、-函数的筛选性：
(t ) f (t )d t f (0)
或 (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) . （f t 为连续函数）
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数来表示.
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为： x m ( x x0 )
eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
5、广义傅氏变换
——利用与-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏
积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t ) | d t
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏
变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对
于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F() 构成一个傅氏变换对.
例1 证明：1和2 ()构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F 1 1 e
it
dt s t eis ds 2 .
4、-函数的傅氏变换:
于是 (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 (t ) F [1] 2
1
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
1
2
2d
0
1
2
jd
1
2
2d
0
1
2
jd
d
1
2
jd
0
1
0 2
jd
0 .
像函数的微分性：
F() jF[tf (t)] 或F[tf (t)] jF()
F (n) () ( j)nF[tn f (t)] 或F[tn f (t)] jnF (n) ()
由上面两个函数的变换可得
eitd t 2d ()
e d t i(0 )t
2d
(
0 )
注 在 d 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的
性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满 足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
0
d
(t)d t
lim
0
1 dt 1
0
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
(1) (筛选性质)
d (t) f
(t)d t
f
(0) 及
d (t
t0 )
f
(t)d t
f
(t0 ) .
（f
t 为连续函数）
(2) d函数为偶函数，即d (t) d (t) .
点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常
窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的
课件(PPT版)7.2_单位冲激函数
[ (t )]
(t
)
e
j
t
d
t
e j t
1.
t0
即 (t ) 与 1 构成Fourier变换对 (t) 1.
(t)
[ (t )]
1
1
t
由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有 相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。
三、单位脉冲函数的 Fourier 变换
(2) 由 cos0t
1 2
(e j 0 t e j 0 t ) ，
F2 ( )
π
有 F2() [ f2(t)]
1 ( [ e j 0 t ]
2
0
[ e j 0 t ] )
0
π ( 0 ) π ( 0 ).
四、周期函数的 Fourier 变换
解 已知 [ sgn t ] = 2 ,
iω
[ 1 ] 2π ( ) , 又 u(t) 1 (sgn t 1),
2
得 U ( ) 1 ( [ sgn t ]
2
u(t ) 1
t
[ 1] ) = 1 + π δ(ω) .
iω
注 称 u(t) 为单位阶跃函数，也称为 Heaviside 函数， 它是工程技术中最常用的函数之一。
由 f (t ) F (n0 )e jn0t 有
n
F ( )
F (n0 )
e jn0t
e jn tdt
n
2π F (n0 ) ( n0 ) .
n
休息一下 ……
delta函数与采样信号
(
)
−T
0 T
−ωs
0 ωs
e jω0t + e − jω0t cos (ω0t ) = 2
0处的
e jω0t + e − jω0t 1 FT ( cos (ω0t ) ) = FT = FT e jω0t + FT e − jω0t 2 2 1 = 2πδ (ω − ω0 ) + 2πδ (ω + ω0 ) × 2 = πδ (ω − ω0 ) + πδ (ω + ω0 )
Delta函数与采样信号 Delta函数与采样信号
Delta函数（单位脉冲函数）的定义： Delta函数（单位脉冲函数）的定义： 函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且
∫
+∞
−∞
δ ( t )dt = 1
非常规的函数，“无限变大”、“积分值不为零”，但是又 积分值不为零” 非常规的函数， 无限变大” 是切实存在的，例如： 是切实存在的，例如：
FT δ ( t ) = ∫ δ ( t ) e − jωt dt = e − jωt
−∞
=1
FT −1 (1) = δ ( t )
FT δ ( t − t0 ) = ∫ δ ( t − t0 ) e − jωt dt = e − jωt
−∞
单位脉冲函数详解
f (k ) (k ) f (0) (k )
而当 f(k)与δ(k-m) 相乘时，有
单位脉冲序列 的筛选性质
f (k ) (k m) f (m) (k m)
根据定义，可看出ε(k)与δ(k) 之间满足以下关系：
f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)
δ函数的筛 选性质
[ f (t ) (t (t ( )dt tt )0 )) dt f (0) (0) f)] ( t ) t t0 ) f(( )f(t () t (t0
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.3 广义函数和δ
常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，
自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。
单位阶跃信号ε(t) 在间断点处的导数为单位冲激信号、冲
激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数
奇异函数（或广义函数）：非常规函数。
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.4 阶跃序列和脉冲序列
1. 单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列定义为
1 (k ) 0
k0 k0
1
(k )
… －2－1 0 1 2 3 4 k
Feng
2019/4/4
电子与通信工程系
第 1 章 信号与系统的基本概念
(2)冲激信号的物理意义： f ( t ) f ( ) ( t ) d f ( k ) ( t k ) 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型
dimpulse函数
dimpulse函数Dirac脉冲函数，又称单位脉冲函数，是一种理想化的数学工具，其在物理学、工程学、数学等领域都有广泛应用。
该函数定义为：$$\delta(x)=\begin{cases}\infty, & x=0 \\0, & x\neq0\end{cases}$$其具有“脉冲”一样的形状，但其宽度为0，且在所有点上积分值为1，即：$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1$$Dirac脉冲函数具有以下重要性质：1. 脉冲面积为1Dirac脉冲函数在任何一点的值都为无穷大，因此其图像看起来像一根无限高、宽度为0的线。
由于Dirac脉冲函数在所有点上的定积分为1，因此可以认为它的面积为1。
2. 脉冲积分为1由于Dirac脉冲函数的面积为1，因此在任何区间内对其进行积分都等于1。
这意味着该函数可以用来对信号进行加权平均。
3. 脉冲卷积Dirac脉冲函数在数学上可以视为单位脉冲函数的推广，其在卷积运算中的应用也十分广泛。
当一个信号与一个单位脉冲函数进行卷积时，其结果就是该信号本身。
同样地，当一个信号与Dirac脉冲函数进行卷积时，其结果也是该信号在脉冲处的值。
这个特性被广泛应用于信号处理和通信工程中。
4. 线性组合由于Dirac脉冲函数在所有点上的值都为0，因此可以将多个Dirac脉冲函数进行线性组合，得到一个新的脉冲函数。
可以使用以下公式来定义Dirac脉冲函数的线性组合：$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(x-n)$$其中$x$是自变量，$a_n$是常数。
这个公式定义了一种在整个实数轴上的离散脉冲函数。
除了上述性质之外，Dirac脉冲函数还具有一些其他有用的特性，如：5. 时间反演对于一个信号$f(t)$，将其通过Dirac脉冲函数进行卷积可以得到一个脉冲响应$h(t)$。
如果将$h(t)$再次与Dirac脉冲函数进行卷积，则会得到$f(t)$本身。
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
f (t ) = u (t )
e
j ω0t
+e 2
− j ω0t
↔
1 1 1 F (ω ) = + πδ (ω − ω0 ) + + πδ (ω + ω0 ) 2 j(ω − ω0 ) j(ω + ω0 )
jω π = 2 + [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] 2 2 ω0 − ω
复习：
F (ω ) = ∫
1 f (t ) = 2π
+∞ −∞
f (t )e
− iωt
dt
傅氏变换
∫
+∞
−∞
F (ω )eiωt dω
傅氏逆变换
傅氏变换对
F → F (ω ) f (t ) ← F −1
f (t ) ↔ F (ω )
若F [ f (t )] = F (ω ), 则F −1[ F (ω )] = f (t )； 若F [ F (ω )] = f (t ), 则F [ f (t )] = F (ω )
1 1 π 2 + π − 2 = 0, t < 0 1 −1 1 F + πδ (ω ) = , t = 0 = u (t ) jω 2 1 1 π 2 + π 2 = 1, t > 0
例4 求正弦函数f (t)=sinω0t的傅氏变换。
F(ω) =F[ f (t)] = ∫ e−iωt sinω t dt 0
− ∞ + ∞
=∫
+∞
单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除持续散布的量之外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与持续散布的量来统一处置。
单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，即是用来描述这种集中量散布的密度函数.下面咱们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.1在原先电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 此刻要确信电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 那么)(t q =⎩⎨⎧=≠,0,1,0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时刻的转变率, 即)(t i =dt t dq )(=0lim →∆t tt q t t q ∆-∆+)()(, 因此, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不持续, 从而在一般导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 若是咱们形式地计算那个导数, 得)0(i =0lim→∆t tq t q ∆-∆+)0()0(=0lim →∆t (t ∆-1).∞=, 这说明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示如此的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 关于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的超级窄的脉冲等, 就能够够象处置持续散布的量那样, 以统一的方式加以解决.1 单位脉冲函数的概念概念1 若是函数)(t δ称知足)i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii()1=⎰∞∞-dt t δ，或()⎰=Idt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，那么称)(t δ为δ一函数.. 更一样的情形下,若是函数知足)i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii()1=-⎰∞∞-dt a t δ，或()⎰=-Idt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间，那么称为)(a t -δ函数.⎪⎩⎪⎨⎧+><+<<=-,,,0;,1)(h a t a t h a t a ha t h δ 那么脉冲函数)(a t h -δ的极限为lim →h )(a t h -δ=)(a t -δ,而把)(a t -δ的积分明白得为lim→h dt a t h ⎰∞∞--)(δ=dt a t ha ah h ⎰+→-)(lim 0δ=11=⎰+dt hha a. 特殊情形下,0=a 时有⎪⎩⎪⎨⎧><<<=,,0,0;0,1)(h t t h t ht h δ 于是lim →h )(t h δ=)(t δlim→h dt t h ⎰∞∞-)(δ=dt t h h h ⎰→00)(lim δ=11=⎰dt hh. 一样工程上都称δ一函数为单位脉冲函数,将δ一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示δ一函数的积分值,称为δ一函数的强度.下面咱们推出δ一函数的一个重要结果,称为δ一函数的挑选性质:若()t f 为持续函数,那么有()dt t f t ⎰∞∞-)(δ=()0f . (1)更一样情形,有()dt t f a t ⎰∞∞--)(δ=()a f (2)其中()t f 在a t =处持续.由(1)能够求出单位脉冲函数的傅氏变换. )(a t -δ)(a t -δ()=ωF F (){}t δ=()⎰∞∞--dt e t t i ωδ=1|0==-t t i e ω可见, 单位脉冲函数)(t δ与常数1组成了一傅氏变换对；同理, )(a t -δ和ti e ω-亦组成了一个傅氏变换对.同时，假设()()ωπδω2=F 时，那么由傅氏逆变换得()()ωωπωd e F t f ti ⎰∞∞-=21=()ωωπδπωd e t i ⎰∞∞-221=1|0==t t i e ω故1和()ωπδ2也组成了一个傅氏变换对。
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上次课程回顾
1.0信号与系统 信号、系统的概念 1.1信号的描述和分类 确定信号与随机信号；连续信号与离散信
号；周期信号与非周期信号；能量信号 与功率信号 1.2信号的基本特性 时间、频率、能量和信息特性
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念
上次课程回顾
1.3信号的基本运算 相加和相乘 翻转、平移和展缩 导数和积分 差分和迭分
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4 阶跃信号和冲激信号
1它.4(们t.1)在阶连信l跃续im号信时0 与号间系和(阶t)统冲跃分激信析信10号中号((tt具是有描00))重述要一意类义特。定物(t理现t0象) 的 数10学tt模型tt，00
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1. 电路图表示
L
+
f(t)
i(t)
R
-
RL串联电路
2. 模拟框图表示
i'(t)
f(t)
-
R/L
1/L
i(t)
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3.信号流图
第 1 章 信号与系统的基本概念
4. 数学模型
L di(t) Ri(t) f (t) dt
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第 1 章 信号与系统的基本概念 •输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程 •状态空间描述： N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组 输入输出模型
着眼于建立系统输入输出关系的系统模型称为输入输出 模型或输入输出描述，相应的数学模型(描述方程)称为系统 的输入输出方程。
1 an
(n)
(t)
当n=0和1时，分别有
(at) 1 (t)
a
'(at) 1 1 '(t)
aa
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念
性质5 奇偶性
(n)(at)
1 a
1 an
(n)
(t)
在尺度变换式中，若取 a= -1， 则:
表明：单位冲(n激) (函t数) δ(t)(的偶1)阶n导(n数) (是t)t 的偶函数，
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、 具有特定功能的整体。
输入f(t)
防混迭 滤波器
A/D
数字处 理系统
D/A
信号处理系统
平滑滤 波器
输出
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.5.1 系统模型
所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。 形式(以电系统为例)： 电路图 模拟框图 信号流图 数学方程 按照一定规则建立的用于描述系统特性－－－－－数学模型
f (t
)f(t)(与t)广dt义函f数(δ0()t)的 乘 积(t)，d有t :
f (0)
δ函数的筛 选性质
[
f
(t
)
(tf)(]t)(t
)(dt t
t0
)
f((tt)0)f(t()t(t0))dt
f (0)(0)
f(0f)(t) ((tt) (tt0))ddtt
f
(t0 )f
(0)
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第 1 章 信号与系统的基本概念
3. δ
性质1 δ函数的微分和积分
(t)(t)dt (1) (t)(t)dt (0)
式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在 t=0 时的值。
通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。
(′t)
(1 )
注意Δ： (t) 信号ε(t) 在 t=0 处和ε((tt)-t0) 在 t=t0 处都是不连续(t－的0t) 。
1
1
1
oΔ
t
0 t 0
(a)
(t)
1
t
0t
2021/4/111 t
o
t
o
t0
t
(b)
(c)
图 1.4-1 单位阶跃信号
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第 1 章 信号与系统的基本概念
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解：
第 1 章 信号与系统的基本概念
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念
注意：
1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是
(，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(tt0)
的t=t0时刻，则积分结果必为零。
(t) (t)dt (0)
广义函数 g(t)：对试验函数集{φ(t)}中的每个函数φ(t)，按
一定运算规则 Ng 分配(或指定)一个数值 Ng[φ(t)] 的过程。
广义函数g(t)的定义为:
g(t) (t)dt N g [ (t)]
广义函数与普通函数的对应关系
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念
k
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第 1 章 信号与系统的基本概念
因为只有当k=0时δ(k)的值为1，而当k≠0时δ(k)的值均为
零，所以任一序列 f(k) 与δ(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其
幅值等于 f(k) 在 k=0 处的值，
f (k) (k) f (0) (k)
而当 f(k)与δ(k-m) 相乘时，有
单 输 入单 输 出
0
p
(t)
1
p (t)
d dt
(t)
0
0t 其他
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图 1.4-3 单位冲激信号
（δ函数）
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1)冲激信号的定义
(t) lim 0
p (t)
狄拉克(Dirac)定义式：(t)=0 , t0 表明δ函数除原点以 (t)= , t=0 外，处处为零，但
单位脉冲序列 的筛选性质
f (k) (k m) f (m) (k m)
根据定义，可看出ε(k)与δ(k) 之间满足以下关系：
后向差分
(k) (k) (k 1) (k)
k
(k) (n)
迭分
n
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.5 系 统 的 描 述
说明： (1)冲激信号具有强度：
其强度就是冲激信号对时间的定积分值。 在图中用括号注明，以区分信号的幅值。
(表f2()征t冲)作激 用信时号f间的(极物)短理(t，意作义)用：d值很大 的f 物(k理现)象(t的数k学模)型 k
(3)冲激信号的作用：
A. 表示其他任意信号； B. 表示信号间断点的导数。
(t
)
(t
)dt
根据广义函数相等的定义，得:
f (t) (t) f (0) (t)
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
f (t) (t) f (0) (t) f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
显然， 当n为而偶其数奇时阶，导数有是 t 的奇函数。
(n) (t) (n) (t) n 0,2,4,
当n为奇数时，有
(n) (t) (n) (t)
n 1,3,5,
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 – 2 计算下列各式：
2021/4/11
2021/4/11
o (－ 1)
t
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第 1 章 信号与系统的基本概念 δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：
当t，由上面两式可得
单位冲激偶 的性质之一
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念
性质2 δ函数与普通函数f(t)相乘
普通函数
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第 1 章 信号与系统的基本概念 性质3 δ’(t)函数与普通函数 f(t) 相乘
2021/4/11
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第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义， 有
f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
对上式两边在(-∞, ∞)区间取积分
f (t) '(t)dt f (0) '(t)dt f '(0) (t)dt f '(0)
同理， 将δ’(t)换成δ’(t-t0)， 重复上述推导过程
f (t) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。 单位阶跃信号ε(t) 在间断点处的导数为单位冲激信号、冲
激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数 奇异函数（或广义函数）：非常规函数。
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.
普通函数 y=f(t)：对定义域中的每个自变量t， 按一定的 运算规则 f 指定一个数值 y 的过程;
第 1 章 信号与系统的基本概念