4二元关系和函数

c
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关系也可以用图表来表示.如右
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4.2关系及运算——关系
三种特殊关系
Sets 集合
全域关系 X×Y的平凡子集X×Y称为X到Y的全域关系。
空关系 X×Y的平凡子集Ø ，称为X到Y的空关系。 例 H={f,m,s,d}, 写出成员关系，不相识关系，长幼关系
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
多重直积
A1A2 An = (A 1 A 2 A n 1 ) A n
={ x1,x2, ,xn| x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n } 例 A={1，2} B={a，b} C={α，β}
A B 1 ,a , 1 ,b , 2 ,a , 2 ,b
A B C 1 , a , , 1 , a , , 1 , b , , 1 , b , , 2 , a , , 2 , a , , 2 , b , , 2 , b ,
A A 1 , 1 , 1 ,2 ,2 , 1 ,2 ,2
记 A A A A n
例设一旅馆有n个房间，每个房间可住两个旅客，所以
一共可住2n个旅客。在旅馆内，旅客与房间有一定的关
系，我们讨论关系“某旅客住在某房间”，用R表示这
种关系，设n=3旅客分别为a,b,c,d,e,f 旅客住房间用表
示:
a 1
b
a与1间存在关系R记aR1 b与1间存在关系R记bR1
c
c与2间存在关系R记cR2
当X=Y时，称R为X上的二元关系
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4.2关系及运算——关系
Sets 集合
例 实数集R上小于等于的关系为 ≤= x ,y |x R ,y R ,x y
注意 前一个 ≤ 为关系，后一个 ≤ 为不等号
例 设 A={a,b},ρ是 2A上的包含于关系，求
R a , 1 b , 1 c ,2 d ,2 e , 3 f , 3
③这种关系称为二元关系，它只涉及两个客体间的关系 ④若 A a ,b ,c ,d ,e ,f,g ,B 1 .2 .3
则A×B 的任何子集都定义了一个二元关系。
关系在现实社会中处处可见 如 看电影对号入座 关系型数据库里的关系（成绩单）等
恒等关系 设Ix是X上的二元关系，且满足条件 Ix={<x,x>|x∈X}
称为R的值域，记作ranR。
即 ranR={x|x（<x，y>∈R）}
域 R的前域和值域一起称作R的域，记为
FLDR=domR∪ranR R
例令A={a，b，c}, B={1，2，3}
A
B
R={<a，2>，<b，1>，<b，3>} a
1
则 domR={a，b} ranR={1，2，3} b
2
FLDR={a，b，1，2，3}
解
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4.2关系及运算——关系
Sets 集合
前域 设二元关系R，由<x,y> R中的所有x组成的集合，
称为R的前域，记作domR。
即 domR={x|y（<x，y>∈R）}
值域 设二元关系R，由<x,y> R中的所有y组成的集合，
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
例 计算机内的字是由固定的n个有序二进位所组成， 它的全体可以表示成n重有序组形式
A n A A A . A . . a 1 , a 2 ,a n . / a i . A . , i 1 , 2 , , 3 .n ...
其中、 A0,1
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4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
定理 设A，B，C为任意三个集合，则有 a) A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）； b) A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）； c)（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C）； d)（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C）。
2 d
d与2间存在关系R记dR2
e 3
e与3间存在关系R记eR3
f
e与3间存在关系R记eR3
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4.2关系及运算——关系
Sets 集合
①满足的关系可看成是一个有序偶：(p,q) 如aR1可写成有序偶： (a,1)
②满足R的所有关系可看成是一个有序偶的集合，这个集叫R，即
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4.2关系及运算——关系
Sets 集合
关系
若一个集合的元素都是有序对，则称这个集合是一个 二元关系，简称关系,记为 R， 在R中的任一序偶<x,y>，可记为<x,y>∈R或xRy。
即设有任意两个集合X和Y，X×Y的子集R称作X到Y的 （二元）关系。
4二元关系和函数
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Sets 集合
Sets 集合
Sets 集合
Sets 集合
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
例 上面例3所有指令的集合构成一个操作码与指令 码集合的笛卡儿积A×B
例 平面上直角坐标中的所有点可用笛卡儿乘积表示
R R x ,y |x R ,y R (R为实数集)
例 一天内的时间可用×时×分表示， 它们的全体可用笛卡儿乘积表示
A B a ,b |a R ,b R
其中 A 0 ,1 ,2 ..2 . ,B .3 . 0 ,1 ,.5 ..9 ..
直积不具有交换率
例设
试求A×B和B×A
由此得
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定理 若 C≠Ø，则
A B（AC BC） （CACB）
定理 设 A，B，C，D 为四个非空集合， 则 ABCD 的充要条件为 AC，BD。
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4.2关系及运算——关系
Sets 集合
关系在日常生活中无处不在， 我们熟知的一些常见的关系刻划着事物的结构。