自动控制理论(邹伯敏第三版)第05章
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2015/12/11
n
p jt
2
j 1 第五章 频率响应
自动控制理论
当t→∞时, c(t ) ae jt a e jt
其中
A A a G( s) 2 ( S j ) S j G ( j ) 2 S 2j
a G (s)
因为
A 2j
G ( j ) G ( j ) e j ( ) G ( j ) G ( j ) e j ( )
第五章 频率响应
22
自动控制理论
0型系统对数幅频特性低频渐近线为一条20lgKdB的水平线。
2、I型系统
G ( j )
K j (1 j
1 T
)
1 T )2
L( ) 20 lg K 20 lg 20 lg 1 (
低频渐近线斜率为-20db/dec
低频渐近线（或延长线）在ω=1处的相交坐标值为20lgK。
C (S )
U ( S ) A U (S ) A V (S ) S 2 2 (S P 1 )(S P 2 )(S P n ) ( S j )(S j )
n bj a a S j S j j 1 S p j
c(t ) ae jt a e jt b j e
自动控制理论
二、开环系统的伯德图
设开环传递函数
G(s) G1 (s)G2 (s)Gn (s)
L() 20lg G1 ( j) 20lg G2 ( j) 20lg Gn ( j)
() argG1 ( j) argG2 ( j) argGn ( j)
2
arctan
10
17
2015/12/11
第五章 频率响应
自动控制理论
图5-18 例5-2的博德图
2015/12/11 第五章 频率响应 18
自动控制理论
三、最小相位系统与非最小相位系统
设a和b两个系统的传递函数和频率特性分别为:
Ga ( S )
1 T2 S 1 T2 j , Ga ( j ) , T1 T2 1 T1S 1 T1 j
1)G ( j )
1
2 1 2 j n n
2 2 L( ) 20 lg (1 2 ) ( 2 ) n n
2 当 1,略去2 和 2项 n n n
L() 20lg1 0dB
2015/12/11 第五章 频率响应
——低频渐近线
图5-5 在复平面上确定频率响应
2015/12/11
第五章 频率响应
6
自动控制理论
图5-7 例5-1的频率响应曲线
2015/12/11
第五章 频率响应
7
自动控制理论
第二节
一、典型因子的伯德图
1. 比例因子K
对数坐标图
20 lg K 20 lg
1 K
2. 一阶因子 (1 jT ) 1
特点：
1 ）低频段斜率为 20dB
，在 1处，高度为 20lg10 20dB。 dec
2 ）为 2，斜率由 20dB
3 ）为 10，斜率由 40dB
（2）相频特性
dec
dec
40dB
； dec
20dB
。 dec
( ) 90 arctan
一、典型因子的乃氏图
1、比例因子K
2015/12/11
第五章 频率响应
25
自动控制理论
G ( j ) K ( ) 0
参考图5-22(a)
图5-22 比例、积分和微分因子的奈氏图
2、积分和微分因子
1 1 j2 G( j ) e j
G( j ) j e
开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的 频率值。
第五章 频率响应 23
2015/12/11
自动控制理论 3、Ⅱ型系统
G( j )
K ( j ) 2 (1 j
1 T
)
L( ) 20 lg K 40 lg 20 lg 1 (
1 T
)2
低频渐近线的斜率为-40dB/dec。 低频渐近线（或延长线）在ω=1处的坐标值为20lgK。 开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点频 率值的平方。
自动控制理论
结论:
最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变化趋势是相一致的， 表示它们间有唯一的对应关系。
四、系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系
1、0型系统
令G( j )
K 1 j
1 T
L( ) 20 lg K 20 lg 1 (
1 T
)2
2015/12/11
1 2 1 2
0 0.707
图5-16 Mr与 的关系曲线
2015/12/11 第五章 频率响应 14
自动控制理论 5. 滞后因子
e j
G ( j ) e j 1
( )
图5-17 滞后因子的相频特性
2015/12/11 第五章 频率响应 15
2015/12/11
第五章 频率响应
24
自动控制理论
第三节
G ( j ) p( ) jQ( ) p 2 ( ) Q 2 ( )e j ( )
Q( ) 式中 ( ) arctan p( )
极坐标图
当输入信号的频率ω由0→∞变化时，向量G(j ω)的端点在复平面上 移动的轨迹叫极坐标图或称为乃氏图。
10( S 1) 10( S 1) S 2 4S 13 ( S 2 j3)(S 2 j3)
试绘制系统的幅频和相频特性曲线。 解：令
S， jq
10( j 2 1) ( j 2 2 j3)( j 2 2 j3)
G( j 2)
10 563.4 。 2968.2 5 26.6 1.85721.8
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
自动控制理论
第五章
频率响应
作者： 浙江大学
2015/12/11 第五章 频率响应
邹伯敏 教授
1
自动控制理论
第一节
一、频率特性的基本概念
频率特性
令
C (s) R(s)
G(s)
U (s) V (s)
A 已知 r (t ) A sint , R ( s ) 2 2 S
28
自动控制理论 根据不同的ζ值，作出的乃氏图如图5-24所示。
图5-24 0 式（5-43）的奈氏图
2015/12/11 第五章 频率响应 29
自动控制理论
2 2 2 2 2 j ( ) 2)G ( j ) 1 2 j 2 (1 2 ) 4 e 2 n n n n
2
1
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 n n
e j ( )
n ( ) arct an 2 1 2 n
G ( j ) 10 lim G ( j ) 0 180 lim
0 0
2015/12/11
第五章 频率响应
3. 积分、微分因子 ( j ) 1
1)积分因子
1 j
L( ) 20lg
图5-11 (1 jT ) 1 的伯德图
2015/12/11 第五章 频率响应 10
自动控制理论
( ) 90
2)微分因子 j
( ) 20lg
( ) 90
K 3) j
第五章 频率响应
图5-14 由式（5-26）给出的对数幅 频曲线、渐近线和相频曲线
13
2015/12/11
自动控制理论
2 2 2 令g ( ) (1 2 ) (2 ) n n
dg ( ) 0 n 1 2 2 d
G( jr ) M r
( ) arctanT
1 1 图5-23 (1 jT ) 和 (1 jT ) 因子的奈氏图
2015/12/11
第五章 频率响应
27
自动控制理论 4、二阶因子 1 j 2 ( j ) 2 n n
1
1)G( j )
2 1 j 2 ( j ) n n
图5-9 (1 jT ) 1的对数幅频曲线、渐近线和相角曲线
2015/12/11 第五章 频率响应 9
自动控制理论
由于(1 jT )与(1 jT )1互为倒数,则有
1 20 lg 1 jT 20 lg 1 jT 1 arg(1 jT ) arg( ) 1 jT
自动控制理论
e2 (t )
A 1 T 2 2
Sin(t arctanT )
A G ( j ) 1 T 2 2
() tg 1T
图5-3 R-C电路频率特性
2015/12/11 第五章 频率响应 5
自动控制理论
二、由传递函数确定系统的频率响应
例5-1
G( s)
2015/12/11
参考图5-22(b) 参考图5-22(c)
26
j
2
第五章 频率响应
自动控制理论
1 3、一阶因子 (1 jT )
1)G( j )
1 1 e j ( ) 1 jT 1 T 2 2
( ) arctanT
2)G( j ) 1 jT 1 T 2 2 e j ( )
( ) arctan 1
L( ) 20 lg 1 ( ) 2 1
2015/12/11
1 , 1 T
第五章 频率响应
图5-8 比例因子的伯德图Βιβλιοθήκη Baidu
8
自动控制理论
2 当 1时,略去( ) , L( ) 20lg1 0dB 1 当 1时,略去1, L( ) 20lg 1
a ( ) arctanT1 arctanT2 b ( ) arctanT1 arctanT2
图5-19 系统a和b的零、极点分布
2015/12/11 第五章 频率响应 20
自动控制理论
图5-20 最小相位系统和非最小相位系统的博德图
2015/12/11 第五章 频率响应 21
例5-2 G ( s) H ( s)
10(1 0.1s) 绘制Bode图。 s(1 0.5s)
解： （1）幅频特性
G ( j )
10(1 j
10
) )
16
j (1 j
2
2015/12/11
第五章 频率响应
自动控制理论
L( ) 20lg10 20lg 20lg 1 ( ) 2 20lg 1 ( ) 2 2 10
L( ) 20 lg 20 lg K ( ) 90
图5-12 对数幅频与相频曲线
2015/12/11
第五章 频率响应 图5-13
v K / j 的对数幅频特性曲线 11
自动控制理论 4. 二阶因子 [1 2Tn j ( jTn )2 ] 1
所以
C(t ) A G( j) Sin(t )
第五章 频率响应 3
2015/12/11
自动控制理论
图5-1 频率响应示意图
例:
E2 ( s) 1 A , E1 ( s) 2 E1 ( s) 1 RCS S 2
图5-2 R-C电路
2015/12/11 第五章 频率响应 4
12
自动控制理论
当 1,略去1和 2 n n
2 L( ) 20 2 40lg n n
——高频渐近线
n ( ) arctan 2 1 2 n
谐振峰值与谐振频率
2
G( j )
1
2 2 2 (1 2 ) (2 ) n n
1 T2 S 1 T2 j , Ga ( j ) 1 T1S 1 T1 j
Gb ( S )
这两个系统的幅频特性是相同的,即：
L( ) 20lg 1 (
1 T1
) 2 20lg 1 (
1 T2
)2
2015/12/11
第五章 频率响应
19
自动控制理论 相频特性却不同,分别为:
n
p jt
2
j 1 第五章 频率响应
自动控制理论
当t→∞时, c(t ) ae jt a e jt
其中
A A a G( s) 2 ( S j ) S j G ( j ) 2 S 2j
a G (s)
因为
A 2j
G ( j ) G ( j ) e j ( ) G ( j ) G ( j ) e j ( )
第五章 频率响应
22
自动控制理论
0型系统对数幅频特性低频渐近线为一条20lgKdB的水平线。
2、I型系统
G ( j )
K j (1 j
1 T
)
1 T )2
L( ) 20 lg K 20 lg 20 lg 1 (
低频渐近线斜率为-20db/dec
低频渐近线（或延长线）在ω=1处的相交坐标值为20lgK。
C (S )
U ( S ) A U (S ) A V (S ) S 2 2 (S P 1 )(S P 2 )(S P n ) ( S j )(S j )
n bj a a S j S j j 1 S p j
c(t ) ae jt a e jt b j e
自动控制理论
二、开环系统的伯德图
设开环传递函数
G(s) G1 (s)G2 (s)Gn (s)
L() 20lg G1 ( j) 20lg G2 ( j) 20lg Gn ( j)
() argG1 ( j) argG2 ( j) argGn ( j)
2
arctan
10
17
2015/12/11
第五章 频率响应
自动控制理论
图5-18 例5-2的博德图
2015/12/11 第五章 频率响应 18
自动控制理论
三、最小相位系统与非最小相位系统
设a和b两个系统的传递函数和频率特性分别为:
Ga ( S )
1 T2 S 1 T2 j , Ga ( j ) , T1 T2 1 T1S 1 T1 j
1)G ( j )
1
2 1 2 j n n
2 2 L( ) 20 lg (1 2 ) ( 2 ) n n
2 当 1,略去2 和 2项 n n n
L() 20lg1 0dB
2015/12/11 第五章 频率响应
——低频渐近线
图5-5 在复平面上确定频率响应
2015/12/11
第五章 频率响应
6
自动控制理论
图5-7 例5-1的频率响应曲线
2015/12/11
第五章 频率响应
7
自动控制理论
第二节
一、典型因子的伯德图
1. 比例因子K
对数坐标图
20 lg K 20 lg
1 K
2. 一阶因子 (1 jT ) 1
特点：
1 ）低频段斜率为 20dB
，在 1处，高度为 20lg10 20dB。 dec
2 ）为 2，斜率由 20dB
3 ）为 10，斜率由 40dB
（2）相频特性
dec
dec
40dB
； dec
20dB
。 dec
( ) 90 arctan
一、典型因子的乃氏图
1、比例因子K
2015/12/11
第五章 频率响应
25
自动控制理论
G ( j ) K ( ) 0
参考图5-22(a)
图5-22 比例、积分和微分因子的奈氏图
2、积分和微分因子
1 1 j2 G( j ) e j
G( j ) j e
开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的 频率值。
第五章 频率响应 23
2015/12/11
自动控制理论 3、Ⅱ型系统
G( j )
K ( j ) 2 (1 j
1 T
)
L( ) 20 lg K 40 lg 20 lg 1 (
1 T
)2
低频渐近线的斜率为-40dB/dec。 低频渐近线（或延长线）在ω=1处的坐标值为20lgK。 开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点频 率值的平方。
自动控制理论
结论:
最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变化趋势是相一致的， 表示它们间有唯一的对应关系。
四、系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系
1、0型系统
令G( j )
K 1 j
1 T
L( ) 20 lg K 20 lg 1 (
1 T
)2
2015/12/11
1 2 1 2
0 0.707
图5-16 Mr与 的关系曲线
2015/12/11 第五章 频率响应 14
自动控制理论 5. 滞后因子
e j
G ( j ) e j 1
( )
图5-17 滞后因子的相频特性
2015/12/11 第五章 频率响应 15
2015/12/11
第五章 频率响应
24
自动控制理论
第三节
G ( j ) p( ) jQ( ) p 2 ( ) Q 2 ( )e j ( )
Q( ) 式中 ( ) arctan p( )
极坐标图
当输入信号的频率ω由0→∞变化时，向量G(j ω)的端点在复平面上 移动的轨迹叫极坐标图或称为乃氏图。
10( S 1) 10( S 1) S 2 4S 13 ( S 2 j3)(S 2 j3)
试绘制系统的幅频和相频特性曲线。 解：令
S， jq
10( j 2 1) ( j 2 2 j3)( j 2 2 j3)
G( j 2)
10 563.4 。 2968.2 5 26.6 1.85721.8
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
自动控制理论
第五章
频率响应
作者： 浙江大学
2015/12/11 第五章 频率响应
邹伯敏 教授
1
自动控制理论
第一节
一、频率特性的基本概念
频率特性
令
C (s) R(s)
G(s)
U (s) V (s)
A 已知 r (t ) A sint , R ( s ) 2 2 S
28
自动控制理论 根据不同的ζ值，作出的乃氏图如图5-24所示。
图5-24 0 式（5-43）的奈氏图
2015/12/11 第五章 频率响应 29
自动控制理论
2 2 2 2 2 j ( ) 2)G ( j ) 1 2 j 2 (1 2 ) 4 e 2 n n n n
2
1
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 n n
e j ( )
n ( ) arct an 2 1 2 n
G ( j ) 10 lim G ( j ) 0 180 lim
0 0
2015/12/11
第五章 频率响应
3. 积分、微分因子 ( j ) 1
1)积分因子
1 j
L( ) 20lg
图5-11 (1 jT ) 1 的伯德图
2015/12/11 第五章 频率响应 10
自动控制理论
( ) 90
2)微分因子 j
( ) 20lg
( ) 90
K 3) j
第五章 频率响应
图5-14 由式（5-26）给出的对数幅 频曲线、渐近线和相频曲线
13
2015/12/11
自动控制理论
2 2 2 令g ( ) (1 2 ) (2 ) n n
dg ( ) 0 n 1 2 2 d
G( jr ) M r
( ) arctanT
1 1 图5-23 (1 jT ) 和 (1 jT ) 因子的奈氏图
2015/12/11
第五章 频率响应
27
自动控制理论 4、二阶因子 1 j 2 ( j ) 2 n n
1
1)G( j )
2 1 j 2 ( j ) n n
图5-9 (1 jT ) 1的对数幅频曲线、渐近线和相角曲线
2015/12/11 第五章 频率响应 9
自动控制理论
由于(1 jT )与(1 jT )1互为倒数,则有
1 20 lg 1 jT 20 lg 1 jT 1 arg(1 jT ) arg( ) 1 jT
自动控制理论
e2 (t )
A 1 T 2 2
Sin(t arctanT )
A G ( j ) 1 T 2 2
() tg 1T
图5-3 R-C电路频率特性
2015/12/11 第五章 频率响应 5
自动控制理论
二、由传递函数确定系统的频率响应
例5-1
G( s)
2015/12/11
参考图5-22(b) 参考图5-22(c)
26
j
2
第五章 频率响应
自动控制理论
1 3、一阶因子 (1 jT )
1)G( j )
1 1 e j ( ) 1 jT 1 T 2 2
( ) arctanT
2)G( j ) 1 jT 1 T 2 2 e j ( )
( ) arctan 1
L( ) 20 lg 1 ( ) 2 1
2015/12/11
1 , 1 T
第五章 频率响应
图5-8 比例因子的伯德图Βιβλιοθήκη Baidu
8
自动控制理论
2 当 1时,略去( ) , L( ) 20lg1 0dB 1 当 1时,略去1, L( ) 20lg 1
a ( ) arctanT1 arctanT2 b ( ) arctanT1 arctanT2
图5-19 系统a和b的零、极点分布
2015/12/11 第五章 频率响应 20
自动控制理论
图5-20 最小相位系统和非最小相位系统的博德图
2015/12/11 第五章 频率响应 21
例5-2 G ( s) H ( s)
10(1 0.1s) 绘制Bode图。 s(1 0.5s)
解： （1）幅频特性
G ( j )
10(1 j
10
) )
16
j (1 j
2
2015/12/11
第五章 频率响应
自动控制理论
L( ) 20lg10 20lg 20lg 1 ( ) 2 20lg 1 ( ) 2 2 10
L( ) 20 lg 20 lg K ( ) 90
图5-12 对数幅频与相频曲线
2015/12/11
第五章 频率响应 图5-13
v K / j 的对数幅频特性曲线 11
自动控制理论 4. 二阶因子 [1 2Tn j ( jTn )2 ] 1
所以
C(t ) A G( j) Sin(t )
第五章 频率响应 3
2015/12/11
自动控制理论
图5-1 频率响应示意图
例:
E2 ( s) 1 A , E1 ( s) 2 E1 ( s) 1 RCS S 2
图5-2 R-C电路
2015/12/11 第五章 频率响应 4
12
自动控制理论
当 1,略去1和 2 n n
2 L( ) 20 2 40lg n n
——高频渐近线
n ( ) arctan 2 1 2 n
谐振峰值与谐振频率
2
G( j )
1
2 2 2 (1 2 ) (2 ) n n
1 T2 S 1 T2 j , Ga ( j ) 1 T1S 1 T1 j
Gb ( S )
这两个系统的幅频特性是相同的,即：
L( ) 20lg 1 (
1 T1
) 2 20lg 1 (
1 T2
)2
2015/12/11
第五章 频率响应
19
自动控制理论 相频特性却不同,分别为: