高考数学填空题的解法解析

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高考数学试卷全部解析

一、选择题解析1. 本题主要考查集合的概念。

答案为C。

解析：由题意可知，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，所以A∩B=∅，故选C。

2. 本题主要考查函数的单调性。

答案为A。

解析：函数f(x)=x^2-2x在定义域内单调递增，所以选A。

3. 本题主要考查数列的通项公式。

答案为B。

解析：由题意可知，数列{an}是等差数列，公差为2，首项为1，所以通项公式为an=2n-1，故选B。

4. 本题主要考查三角函数的性质。

答案为D。

解析：由题意可知，函数f(x)=sin(x+π/2)的周期为2π，所以选D。

5. 本题主要考查立体几何。

答案为C。

解析：由题意可知，正方体的对角线长度为2，所以棱长为√2，故选C。

二、填空题解析1. 本题主要考查一元二次方程的解法。

答案为x=1。

解析：由题意可知，方程x^2-2x+1=0的解为x=1。

2. 本题主要考查数列的前n项和。

答案为S_n=n(n+1)/2。

解析：由题意可知，数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2，所以前n项和为S_n=n(n+1)/2。

3. 本题主要考查函数的导数。

答案为f'(x)=2x。

解析：由题意可知，函数f(x)=x^2的导数为f'(x)=2x。

4. 本题主要考查概率的计算。

答案为1/4。

解析：由题意可知，事件A、B、C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=1/2，所以P(AB)=P(A)P(B)=1/4。

5. 本题主要考查平面几何。

答案为√3。

解析：由题意可知，等边三角形的边长为2，所以高为√3。

三、解答题解析1. 本题主要考查解析几何。

答案：圆心为(2,1)，半径为2。

解析：设圆心为C(x,y)，则由题意可知，圆C上任意一点到点A(0,0)的距离等于圆C的半径。

即√(x^2+y^2)=2，化简得x^2+y^2=4。

又因为点C在直线x+y-3=0上，所以联立方程组\begin{cases}x^2+y^2=4 \\x+y-3=0\end{cases}解得x=2，y=1，即圆心为(2,1)。

2024年上海市高考数学真题试卷及解析

2024年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分).1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩ _____________.3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________.4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________.10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈ ,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.二、选择题(本大题共4题,满分18分,13-14题每题4分,第15-16题每题5分).13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()A.气候温度高,海水表层温度就高B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是()A.()sin cos f x x x =+ B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x=+ D.22()sin cos f x x x=-15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.(0,0,0)∈ΩB.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是()A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值三、解答题(本大题共5题,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分,共78分)17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积.(2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2)求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求实数a 的取值范围.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5合计优秀544423195不优秀1341471374027485合计1391911794328580(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？[)1,2其它合计优秀a b a b+不优秀c d c d+合计a c+b d+a b c d+++附22():()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++其中n a b c d=+++2,( 3.841)0.05Pχ≥≈20.双曲线22122:1,(0),,y x b A A bΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,226,3b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.2024年上海市高考数学试卷解析一、填空题.1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.【答案】{1,3,5}A =2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩ _____________.3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________.【答案】(-1,3)【解析】223(1)(3)0(1,3)x x x x x --=+-<⇒∈-4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.【答案】0a =【解析】(0)00f a =⇒=5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.【答案】15【解析】//25615a b k k ⇒=⨯⇒=6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.【答案】10【解析】2325n n =⇒=3510C ∴=7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.【答案】【解析】198P P x x +=⇒=244832P P P y x y ==⨯=⇒=±所以P 到x 轴的距离为8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.【答案】0.85【解析】5430.920.860.830.85121212⨯+⨯+⨯=9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________.【答案】2【解析】设z a bi=+222(1)111(1)(1)bi z bi bi z bi bi bi -+=++=++++-222222211111bi b bi b i b b b-⎛⎫⎛⎫=++=++-⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭所以22011bb b b-=⇒=±+ 所以2m =10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.【答案】329【解析】A 中的奇数至多1个A 中的偶数,对于三个数码若个位为0,则有9872⨯=个若个位为2,4,6,8,则有488256⨯⨯=,故A 中最多有329个元素.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)【答案】7.8o【解析】设BOT α∠=,则90AOT α︒∠=-,53A α︒∠=+OT OT OA OB = sin sin sin(53)sin(16.5)sin sin sin 37sin16.5A B ATO BTO αα︒︒︒︒++∴=⇒=∠∠sin cos53cos sin 53sin cos16.5cos sin16.5cos53sin16.5o o o o o o αααα++⇒=sin cos tan 53sin cot16.5cos o o a a a a ⇒+=+7.8oa ⇒≈12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈ ,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.【答案】[2,)+∞【解析】由题意,不妨设x y >,若,x y 均在[]12,a a ,则有x y -[]210,a a ∈-,者,x y 均在[]1,n n a a +,则有x y -[]10,n n a a +∈-若,x y 分别在两个区间则211[,]n n x y a a a a +-∈--,又因为1q >,总有ln 是闭区间,则21n n n a a a a +-≤-恒成立即可,化简得1(2)0n q q q --+≥,所以有2q ≥恒成立二、选择题.13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()A.气候温度高,海水表层温度就高B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势,相关系数为正数所以选C14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是()A.()sin cos f x x x =+ B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x =+ D.22()sin cos f x x x=-【答案】A【解析】A.()cos sin ,24f x x x x T ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,正确B.(f )sin x =cos x 1sin 2x =2,x T π=错误C.2()sin x f x =2cos x +1=,错误;D.22()sin cos cos 2,,f x x x T π=-=-=错误;所以选A15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.(0,0,0)∈Ω B.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω【答案】C【解析】若(0,1,0)-∈Ω,假设(0,0,1)∈Ω取()()()1231,0,0,0, 1,0,0,0,1,P P P -则1122330OP OP OP λλλ++=1230λλλ∴===矛盾！(∴0,0,1)∉Ω所以选C.16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是()A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值【答案】B 【解析】1M-∈ 1x ∴<-时,()(1)f x f <-1x ∴=-不是极小值点,排除D假设()f x 严格递增,则M R =,矛盾！排除C 任取12,x x ,使得1211x x -≤<≤2x M ∈ 12()()f x f x ∴<() f x ∴在[]1,1-严格递增,排除A所以选B.三、解答题17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积.(2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.【答案】(1)12;π(2)4π【解析】(1)因为P ABCD -是正四棱锥,所以底面ABCD 是正方形,且OP ⊥底面ABCD ,因为32AD =,所以3AO OD OB OC ====因为5AP =,所以224PO AP AO =-=所以POA ∆绕OP 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥所以211341233V Sh ππ==⨯⨯=.(2)如图建立空间直角坐标系因为AP AD =,由题知P ABCD -是正四棱锥,所以该四梭锥各核长相等,设2AB a=则AO OD OB OC a ====,PO a==则可得(0,0,0),(0,0,),(0,,0),(,0,0),(0,,0),(,0,0),,0,22aa O P a A a B a C a D a E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故(2,0,0),(0,2,0),,22a a BD a AC a AE a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设111(,,)n x y z =为平面AEC 的法向量,则11112000022a y n AC a ax a y z n AE ⋅=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅+⋅+⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩ ,令11x =,则110,1y z ==-,所以(1,01)n =-则cos ,2n BD n BD n BD ⋅===-⋅设直线BD 与面AEC 所成角为θ,因为sin 2cos ,0,22n BD πθθ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦,所以.4πθ=18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2)求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求实数a 的取值范围【答案】(1)(1,2);(2)1a >(1)由()y f x =过(4,2)可得log 42a =,得:242a a =⇒=±, 0a > , 2a ∴=因为2()log f x x =在()0,+∞上是严格增函数()()2202212f x f x x x x -<⇒<-<⇒<<,所以解集为()1,2(2)因为(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,所以(1)(2)2()f x f x f ax +++=即log (1)log (2)2log ()a a a x x ax +++=有解,化简可得2log (1)(2)log ()a a x x ax ++=得2(1)(2)()x x ax ++=且1020000,1x x x ax a a +>⎧⎪+>⎪⇒>⎨>⎪⎪>≠⎩,则22(1)(2)x x a x++=在(0,)+∞上有解,又222(1)(2)231311248x x x x x x ++⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭,故在(0,)+∞上22(1)(2)31,20148x x x ++⎛⎫>+-= ⎪⎝⎭即211a a >⇒<-或1,0a a >> ,所以 1.a >19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5合计优秀544423195不优秀1341471374027485合计1391911794328580(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？[)1,2其它合计优秀a b a b +不优秀c d c d +合计a c+b d+a b c d+++附22():()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++其中n a b c d =+++2,( 3.841)0.05P χ≥≈【答案】(1)12500人;(2)0.9h;(3)学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关【解析】(1)580人中体育银炼时长不小于1小时人数占比423113740272558058P +++++==该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为29000×251250058=人(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为:10.50.511 1.5 1.52513444147421373405802222[()()()()+++⨯++⨯++++⨯++2 2.5271270.91229()]+⨯+=≈(3)①提出原假设0:H 成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关.②确定显著性水平20.05,( 3.841)0.05P αχ=≥≈③()()()()()225804530817750 3.976 3.84145501773084517750308χ⨯⨯-⨯=≈>+⨯+⨯+⨯+④否定原假设,即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.20.双曲线22122:1,(0),,y x b A A bΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,226,3b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.【答案】(1)b =(2,P ;(3)10(0,3)3,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 【解析】(1)因为22222,2, 4.1,4c c e a c a a=∴∴=∴=== 因为222a b c +=,所以23b =,所以b =负含).(2)因为2MA P ∆为等腰三角形①若2MA 为底,则点P 在直线12x =-时,与P 在第一象限矛盾,故合去②若2A P 为底,则2MP MA =,与2MP MA >矛盾,故舍去.③若MP 为底,则22,MA PA =设00(,),P x y 000,0.x y >>3=,即2200(1)9x y -+=,又因为220182y x -=得22008(1)(1)93x x -+-⨯=,得200116320x x --=,得002,x y ==,即(2,P(3)由1(1,0)A -,设1122(,),(,)P x y Q x y ,则22(,)R x y --,设直线1:2()l x my m b =->联立212222222222212222142()1(1)430,311b m x my m y y b b m b m y b my b y b x y y b b m ⎧⎧=->+=⎪⎪-⎪⎪⎪⎪∴--+=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=⋅=⎪⎪-⎩∴⎩122211(1,),(1,)A R x y A P x y =-+-=- ,又由121A R A P ⋅=,得2112(1)(1)1x x y y -+--=即2112(1)(1)1x x y y --+=-,即2112(3)(3)1my my y y --+=-化简后可得到21212(1)3()100m y y m y y +-++=再由韦达定理得2222223(1)1210(1)0b m m b b m +-+-=,化简:2223100b m b +-=所以221010033,b m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦222210103311b b b b ≠+=+得23,b ≠,10(0,3)3,3b ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.【解析】(l)证明:222211()(0)(0)2s x x x w w =-+-=+≥,当且仅当221x w=即1x =时取到最小值,所以对于点(0,0)M 存在点(1,1)P 使得P 是M 在()f x 的最近点(2)设(P 00,xx e ),显然01x ≠00002200000()(),()11011x x x x xMP MP e e f x e f x e k f x k e x x x '''=⇒==∴⋅==-∴+-=-- 设22()1()210x x h x e x h x e '=+-⇒=+>,则显然()h x 在R 严格增,且0(0)00h x =⇒=(0,1)P ∴()S x =22(1)()2x x e S x '-+⇒=(1)x -222x e +=2(1)x e x +-()2S x '=(21)00x e x x +->⇒>2()2(1)00x S x e x x '=⋅+-<⇒<()S x ∴在(,0]-∞递减,[0,)+∞递增0x ∴=是()S x 的最小值点P ∴是M 关于f 的最近点(3)设21()(1)(S x x t =-++()f x -2()()),f tg t +2()(S x =21)(x t --+(f )(x f -)(t g -2))t 设(,())t t P x f x 由题知,t x 是12(),()S x S x 的最小值点,故()()()()()()()()()2221111t t t S t S x g t x t f x f t g t≥⇒+≥-++-+()()()()()()2222211()()()t t t S t S x g t x t f x f t g t ≥⇒+≥-++--两式相加得()()22222(1(()))21(()())()t t g t x t f x f t g t ⎦+-++-⎡⎤⎣≥()()()()220t t x t f x f t ∴-+-≤⇒t x t =()()1()212()()()()S x x t f x f t g t f x ''=-++-+ 2()2(1)2(S x x t '=--+()f x -()())f t g t -()f x 't x 是12(),()S x S x 的最小值点12,(),()S x S x 的定义域为R t x∴ 是12(),()S x S x 的极小值点121()()01()()0()0()S x S x g t f t f t g t ''''∴==∴+=∴=-<()f x ∴在R 上严格递减.。

高考数学填空题答题套路和技巧

高考数学填空题答题套路和技巧考试答题，对分数影响最为关键的就是答案的正确性。

下面是为大家整理的高考数学填空题答题套路和技巧相关内容，以供参考，一起来看看！高考数学填空题答题套路和技巧1、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

2、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

3、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

4、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

5、图像法借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。

文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。

6、构造法在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。

高考数学答题规范1、答题工具答选择题时，必须用合格的2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卡。

禁止使用涂改液、修正带或透明胶带改错。

必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。

2、答题规则与程序①先填空题，再做解答题；②先填涂再解答；③先易后难。

3、答题位置按题号在指定的答题区域内作答，如需对答案进行修改，可将需修改的内容划去，然后紧挨在其上方或其下方写出新的答案，修改部分在书写时与正文一样，不能超出该题答题区域的黑色矩形边框，否则修改的答案无效。

4、解题过程及书写格式要求关于填空题，常见的错误或不规范的答卷方式有：字迹不工整、不清晰、字符书写不规范或不正确、分式写法不规范、通项和函数表达式书写不规范、函数解析式书写正确但不注明定义域、要求结果写成集合的不用集合表示、集合的对象属性描述不准确。

2021年高考数学试卷(上海)(秋考)(解析卷)

2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知121i,23i z z =+=+（其中i 为虚数单位），则12z z += ．【思路分析】复数实部和虚部分别相加【解析】：1234z z i+=+【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．2、已知{}{}21,1,0,1,A x x B =≤=-则 I A B = 【思路分析】求出集合A ，再求出A B I【解析】：{}1212A x x x x ìü=≤=≤íýîþ，所以{}1,0I A B =-【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．3、若22240x y x y +--=,则圆心坐标为【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标【解析】：22240x y x y +--=可以化为22125x y -+-=（）（）所以圆心为(1,2)【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．4、如图边长为3的正方形,ABCD 则u u u r u u u rAB AC ⋅= 【思路分析】利用向量投影转化到边上.【解析】方法一：2=9u u u r u u u r u u u r AB AC AB ⋅=方法二：由已知||3AB =u u u r ，||AC =u u u r ，,4AC AB p<>=u u u r u u u r ，则39AB AC ⋅=´=u u u r u u u r ；【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；5、已知3()2,f x x=+则1(1)f -= 【思路分析】利用反函数定义求解.【解析】由题意，得原函数的定义域为：(,0)(0,)-¥+¥U ，结合反函数的定义，得312x=+，解得3x =-，所以，1(1)3f -=-；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．6.已知二项式()5x a +的展开式中，2x 的系数为80，则a =________．【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.【解析】5331553,80,2r r r r T C a x r C a a -+=⇒===【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂运算；基础题。

高考数学-填空题的解法技巧

(1)已知点
P(x，y)的坐标
x，y
满足x－2y＋1≥0， |x|－y－1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是
________________________________________________________________________．
(2)(2016·枣庄模拟)已知函数
填空题的解法技巧
题型概述填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空
题的关键．
跟踪演练 1 (1)已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等
于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
解析 (1)令 α＝0°，则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝32. (2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点 E，F，G 分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为 OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算 S1＝3 5，

这样解高考填空题又快又好

这样解高考数学填空题又快又好湖南宁乡一中黎国之填空题只要求填结果，每空不是得满分就是得零分，考生在填空题上失分一般都相当严重，尤其是现在很多省份加大了对填空题的考查，所以我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法.解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。

解题的基本策略是：巧做；解题的要领：稳——变形要稳，不可操之过急；快——运算要快，力戒小题大作，道题都应力争在1～3分钟内完成，最快的在5秒内完成；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意，尤其是组合填空题，一般有4个小命题，判错一个就吃大亏了。

申明三点：一、利用下面的方法解题，方法是科学的，答案是可靠的；二，利用下面的方法解题，完全符合高考命题者的真实意图，是合法的，不要有任何道德顾虑；三，虽然你有权不采用这些方法，但是建议你接受和学会这些方法，并且在平时有意识地去运用，形成习惯。

一．直接推演法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。

它是解填空题的常用的基本方法。

使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的变换. 【例1】．焦点为1F (－2,0)和2F (6,0)，离心率为2的曲线方程是_______.【解析】：由题设知曲线为双曲线，利用双曲线的定义即性质，其中心在（2，0），且 c=4,e=ac=2.计算得： 2a =4,2b =12，所以双曲线的方程是4)2(2-x －122y =1.【例2】．函数2()f x =的定义域为。

【解析】：210,10,1 1.x x x ⎧--≥⎪-⎨⎪-≠⎩3x ⇒≥。

【例3】、（08上海）函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x 。

【解析】：22()(2)2f x bx a b x a =+++，它是偶函数，所以(2)0a b +=，所以0a =或2b =-。

做数学填空题的技巧有哪些-

做数学填空题的技巧有哪些?数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一。

其形态短小精悍、跨度大、学问掩盖面广、考查目标集中，形式敏捷，答案简短、明确、详细，评分客观、公正、精确等。

下面是高三网我整理的做数学填空题的技巧，供参考。

做数学填空题的基本技巧是精确、快速、干净。

精确是解答数学填空题的先决条件，填空题不设中间分，一步失误，全题无分，所以应认真审题、深化分析、正确推演、谨防疏漏，确保精确;快速是赢得时间猎取高分的必要条件，对于数学填空题的答题时间，应当掌握在不超过20分钟左右，速度越快越好，要避开超时失分现象的发生;干净是保住得分的充分条件，只有把正确的答案干净的书写在答题纸上才能保证阅卷老师正确的批改，在网上阅卷时干净显得尤为重要。

高考中的数学填空题一般是简单题或中档题，数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)推断型的试题，应答时必需按规章进行切实的计算或者合乎规律的推演和推断。

求解填空题的基本策略是要在准、巧、快上下功夫。

常用的方法有直接法、特别化法、数行结合法、等价转化法等。

点击查看：高中数学学习方法数学填空题的技巧解析一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件动身、利用定义、定理、性质、公式等学问，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

它是解填空题的最基本、最常用的方法。

使用直接法解填空题，要擅长通过现象看本质，娴熟应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地实行敏捷、简捷的解法。

二、特别化法当填空题的结论唯一或题设条件中供应的信息示意答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特别值(或特别函数，或特别角，图形特别位置，特别点，特别方程，特别模型等)进行处理，从而得出探求的结论。

这样可大大地简化推理、论证的过程。

三、数形结合法数缺形时少直观，形缺数时难入微。

一道高考数学填空题的解法探究

，
＋
ｔｎ［ａｔ
这是一道关于 “ 三角函数” 的填充题，主要考查三角函数的基础知识和三角恒等一阻变换等基本思想方法，考查的知识点为解三角形、正弦定理、余弦定理的灵活运用．
本题构思巧妙，内涵丰富、结构和谐，解法多样，是一道全方位考查三角变换与
１持 “ 法” ．坚通，定能 “ 到最后 ” ．笑Ｂ —宝Ｃ｛所谓 “ 通法 ”就是采用平时处理这类问题的一般方法：，切化弦＋正弦定理＋弦定理．余
蹶由６Ｃ手６Ｚ－，ｎ２ｃ以＋＝＋＝ｏ，＋：一ｂｅ２＝２ａｃ得ｓ ×＋ｃ故＋争，ａ一ｂ所ｅ
下图所示的直角坐
标系，设Ａ，，Ｂ
（，）则ｃｓ＝，。０，ｏＣｘ
Ｕ
ｙ、
２．在斜ＡＡＣ中，Ａ，Ｃ所对的边分别为 Ⅱ ｂＢ角Ｂ，，，
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２巧妙 “ 值” ．赋，定能 “ 得最美 ” ．笑

2024年上海高考真题数学(含解析)

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

高考数学真题及答案解析版

高考数学真题及答案解析版一、选择题1. 题目内容：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3，且知道a>0，求a+b+c的值。

答案解析：根据题意，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，可以得出f(x)的对称轴为x=-b/2a=1，由此可得b=-2a。

又因为f(1)=3，代入得a+b+c=3。

将b=-2a代入，得到a-2a+c=3，即c=5-a。

由于a>0，所以c>5。

综合以上信息，我们可以得出a+b+c=a-2a+5-a=3，解得a=1，进而得到b=-2，c=4。

所以a+b+c=1+(-2)+4=3。

2. 题目内容：设集合A={x|x^2 < 4}，B={x|x < 0}，求A∪B的值。

答案解析：集合A表示的是所有满足x^2 < 4的x值的集合，即-2 <x < 2。

集合B表示的是所有小于0的x值的集合。

求A∪B，即求A和B的并集，也就是所有属于A或属于B的元素构成的集合。

由于A的范围是-2到2之间，而B是小于0的所有数，因此A∪B的范围是从负无穷到2，即A∪B={x|x < 2}。

3. 题目内容：已知数列{an}满足a1=1，an=3an-1+2(n≥2)，求a5的值。

答案解析：根据递推公式an=3an-1+2，我们可以逐步计算数列的前几项。

首先a1=1，然后a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17，a4=3a3+2=53，最后a5=3a4+2=161。

所以a5的值为161。

二、填空题1. 题目内容：若sinθ=0.6，则cosθ的值为______。

答案解析：根据三角函数的基本关系，sin^2θ+cos^2θ=1。

已知sinθ=0.6，所以0.6^2+cos^2θ=1，解得cos^2θ=1-0.36=0.64。

由于cosθ的值在-1到1之间，所以cosθ的值为±√0.64=±0.8。

高考数学真题解析——2023天津卷第15题(填空题压轴)

高考数学真题解析——2023天津卷T14（填空题压轴）若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为．初次审题很快能发现这是常见的零点问题，那就只需要常规的处理方式，转化为“)xf=”，既“ax2﹣2x = |x2﹣ax+1|”有两解，然后再利用图象等处g)((x理方式求解参数的范围。

接下来……(～￣▽￣)～不会了y = |x2﹣ax+1|的图象本身就因为含参数带有不确定性，只能画个草图，而且！！！y = ax2﹣2x也有这个问题，它俩结合在一起，图象就更难讨论了。

此路不通，再开一条大路呗！( •̀ω•̀)无法利用图象，怎么办呢？“ax2﹣2x = |x2﹣ax+1|”这个绝对值看起来不是个好人，干它，消灭它！那就有一个问题，我们知道去掉||m绝对值是要看0m还是0m。

<=>m、0可是x2﹣ax+1到底是哪一种呢？大家可以顾一下一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数，我们简称“三个二次”之间的关系：这样我们就知道有三种情况，所以要进行分类讨论（重要的数学思想：分类讨论）。

由于Δ＝0和Δ＜0时对于去掉绝对值的影响是一样的，所以我们可以分为两类Δ≤0和Δ>0。

那么接下来了我们开始进行讨论：要记住我们的目标等式“ax 2﹣2x = |x 2﹣ax +1|”有两解1. 042≤-=a Δ，既22≤≤-a （注意：在分类讨论的时候，先讨论简单的类型，有助于拿分，在这里x 2﹣ax +10≥恒成立，情况较为简单）这时绝对值去掉，等式变为“ax 2﹣2x = x 2﹣ax +1”，化简整理转化为()()01212=--+-x a x a ()[]()0111=+--x x a很多同学不会含参数的因式分解，需要多多练习，可以结合根和系数之间的关系来入手。

很明显方程 ()[]()0111=+--x x a 有两个根1-=x 或()011=+-x a ，这时我们要注意两个问题①()011=+-x a 11-=a x 要想有意义，必须1≠a ②两个根指的是不同的两个根，也就是111-≠-a ，既0≠a再结合大前提22≤≤-a （我们现在进行的一切讨论都是在大前提的基础下进行的），故a 的取值范围为22≤≤-a 且1≠a 且0≠a .刚刚我们讨论了x 2﹣ax +10≥恒成立的情况，但它也可能可以在某些范围上是大于零，某些范围上是小于零，甚至于是等于零。

高考数学选择题、填空题的六大解题方法和技巧

高考数学选择题、填空题的六大解题方法和技巧方法一：直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．【典例1】(1)(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数2－i 1－3i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】选A.因为2－i1－3i ＝（2－i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝5＋5i 10 ＝12 ＋12 i ，所以复数2－i 1－3i 对应的点位于第一象限．(2)(2021·烟台二模)已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若2F A ·2F B ＝0，且|2F A |＝|2F B |，则C 的离心率为( ) A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ．7【解析】选B.由F 2A·F 2B ＝0且|2F A |＝|2F B |知：△ABF 2为等腰直角三角形且 ∠AF 2B ＝π2 、∠BAF 2＝π4 ，即|AB|＝ 2 |2F A |＝ 2 |2F B |，因为⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A|－|F 2A|＝2a ，|F 2B|－|F 1B|＝2a ，|AB|＝|F 1A|－|F 1B|，所以|AB|＝4a ，故|F 2A|＝|F 2B|＝2 2 a ，则|F 1A|＝2( 2 ＋1)a ，而在△AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|F 2A|2＋|F 1A|2－2|F 2A||F 1A|cos ∠BAF 2，所以4c 2＝8a 2＋4(3＋2 2 )a 2－8( 2 ＋1)a 2，则c 2＝3a 2，故e ＝ca ＝ 3 . 【变式训练】1．(2021·北京高考)在复平面内，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝( ) A ．1 B ．i C ．1－i D ．1＋i【解析】选D.方法一：z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i.方法二：设z ＝a ＋bi ，则(a ＋b)＋(b －a)i ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b －a ＝0，解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i.2．(2021·郑州二模)已知梯形ABCD 中，以AB 中点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E 在线段AC 上，且AE→ ＝23 EC → ，若以A ，B 为焦点的双曲线过C ，D ，E 三点，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．7C ． 6D ． 2【解析】选B.设双曲线方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1，由题中的条件可知|CD|＝c ，且CD 所在直线平行于x 轴，设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y 0 ，A(－c ，0)，E(x ，y)，所以AE → ＝(x ＋c ，y)，EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－x ，y 0－y ，c 24a 2 －y 20 b 2 ＝1，由AE → ＝23 EC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25c y ＝25y 0，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25c ，25y 0 ，因为点E 的坐标满足双曲线方程，所以4c 225a 2 －4y 2025b 2 ＝1，即4c 225a 2 －425 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 24a 2－1 ＝1，即3c 225a 2 ＝2125 ，解得e ＝7 .方法二：特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．【典例2】(1)(2021·郑州三模)在矩形ABCD 中，其中AB ＝3，AD ＝1，AB 上的点E 满足AE ＋2BE ＝0，F 为AD 上任意一点，则EB ·BF ＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3 【解析】选D.(直接法)如图，因为AE ＋2BE ＝0，所以EB ＝13 AB ，设AF ＝λAD ，则BF ＝BA ＋λAD ＝－AB ＋λAD ，所以EB ·BF ＝13 AB ·(－AB ＋λAD )＝－13 |AB |2＋13 λAB ·AD ＝－3＋0＝－3.(特例法)该题中，“F为AD上任意一点”，且选项均为定值，不妨取点A为F. 因为AE＋2BE＝0，所以EB＝13AB．故EB·BF＝13AB·(－AB)＝－132 AB＝－13×32＝－3.(2)(2021·成都三模)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则sin2A＋sin2C－sin A sin C＝________．【解析】(方法一：直接法)由内角A，B，C成等差数列，知：2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，所以B＝π3，而由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，结合正弦定理得：sin2B＝sin2A＋sin2C－sin A sin C＝3 4.(方法二：特例法)该题中只有“内角A，B，C成等差数列”的限制条件，故可取特殊的三角形——等边三角形代入求值．不妨取A＝B＝C＝π3，则sin 2A＋sin2C－sin A sin C＝sin2π3＋sin2π3－sinπ3sinπ3＝34.(也可以取A＝π6，B＝π3，C＝π2代入求值．)答案：34【变式训练】设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC → ，则AM → ·NM → 等于( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．6【解析】选C.若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM → ＝3MC → ，DN → ＝2NC→ ，知M(6，3)，N(4，4)，所以AM → ＝(6，3)，NM → ＝(2，－1)，所以AM → ·NM → ＝6×2＋3×(－1)＝9.方法三：数形结合法对于一些含有几何背景的问题，往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断解决相应的问题．如Veen 图、三角函数线、函数图象以及方程的曲线等，都是常用的图形．【典例3】已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．22【解析】选C.如图，设OA→ ＝a ，OB → ＝b ，则|OA → |＝|OB → |＝1，OA → ⊥OB → ，设OC → ＝c ，则a－c ＝CA → ，b －c ＝CB → ，(a －c )·(b －c )＝0，即CA → ·CB → ＝0.所以CA → ⊥CB → .点C 在以AB 为直径的圆上，圆的直径长是|AB→ |＝ 2 ，|c |＝|OC → |，|OC → |的最大值是圆的直径，长为 2 .【变式训练】1．设直线l ：3x ＋2y －6＝0，P(m ，n)为直线l 上动点，则(m －1)2＋n 2的最小值为( ) A ．913 B ．313 C ．31313 D ．1313【解析】选A.(m －1)2＋n 2表示点P(m ，n)到点A(1，0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1，0)到直线l 的距离，即|3－6|13 ＝313，则(m －1)2＋n 2的最小值为913 .2．(2021·河南联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －2x （x>0），x 2＋1（x≤0），若f(x)的图象上有且仅有2个不同的点关于直线y ＝－32 的对称点在直线kx －y －3＝0上，则实数k 的取值是________．【解析】直线kx －y －3＝0关于直线y ＝－32 对称的直线l 的方程为kx ＋y ＝0，对应的函数为y ＝－kx ，其图象与函数y ＝f(x)的图象有2个交点．对于一次函数y ＝－kx ，当x ＝0时，y ＝0，由f(x)≠0知不符合题意．当x≠0时，令－kx ＝f(x)，可得－k ＝f （x ）x ，此时，令g(x)＝f （x ）x ＝⎩⎨⎧ln x －2（x>0），x ＋1x （x<0）.当x>0时，g(x)为增函数，g(x)∈R ，当x<0时，g(x)为先增再减函数，g(x)∈(－∞，－2]. 结合图象，直线y ＝－k 与函数y ＝g(x)有2个交点，因此，实数－k ＝－2，即k ＝2. 答案：2方法四：排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而确定正确选项．【典例4】(1)(2021·郑州二模)函数f(x)＝sin x ln π－xπ＋x在(－π，π)的图象大致为()【解析】选A.根据题意，函数f(x)＝sin x ln π－xπ＋x，x∈(－π，π)，f(－x)＝sin (－x)ln π＋xπ－x＝sin x lnπ－xπ＋x＝f(x)，则f(x)在区间(－π，π)上为偶函数，所以排除B，C，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝sin π2 ln π23π2＝ln 13 <0，所以排除D.(2)(2021·太原二模)已知函数y ＝f(x)部分图象的大致形状如图所示，则y ＝f(x)的解析式最可能是( )A ．f(x)＝cos x e x －e －xB ．f(x)＝sin x e x －e －xC ．f(x)＝cos x e x ＋e －xD ．f(x)＝sin x e x ＋e －x 【解析】选A.由图象可知，f(2)<0，f(－1)<0，对于B ，f(2)＝sin 2e 2－e －2>0，故B 不正确；对于C ，f(－1)＝cos （－1）e －1＋e＝cos 1e －1＋e>0，故C 不正确；对于D ，f(2)＝sin 2e 2＋e －2 >0，故D 不正确．【变式训练】1．(2021·嘉兴二模)函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x 的图象可能是()【解析】选C.由f(－x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x －1＋1－x ＋1 cos (－x) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x ＝－f(x)知，函数f(x)为奇函数，故排除B.又f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1x ＋1 cos x ＝2x x 2－1 cos x ，当x ∈(0，1)时，2xx 2－1 <0，cos x>0⇒f(x)<0.故排除A ，D.2．(2021·石家庄一模)甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为( ) A ．红、黄、蓝 B ．黄、红、蓝 C ．蓝、红、黄 D ．蓝、黄、红【解析】选B.丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人是丙．综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝．方法五：构造法构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等模型转化为熟悉的问题求解．【典例5】(1)(2021·昆明三模)已知函数f(x)＝e x －a －ln x x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)【解析】选D.方法一(切线构造)：函数f(x)＝e x －a －ln xx －1有两个不同的零点，则e x －a －1＝ln xx 有两个解，令g(x)＝e x －a －1，h(x)＝ln xx (x>0)，则g(x)与h(x)有2个交点，h′(x)＝1－ln xx 2 (x>0)，当x>e 时h′(x)<0，h(x)单调递减，当0<x<e 时h′(x)>0，h(x)单调递增，由g′(x)＝e x －a (x>0)得g(x)单调递增，图象如下，当g(x)与h(x)相切时，设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0x 0 ， h′(x 0)＝1－ln x 0x 2＝g′(x 0)＝0x ae －，同时ln x 0x 0 ＝ex 0－a －1，得ln x 0x 0 ＋1＝1－ln x 0x 2，即x0ln x0＋x20＝1－ln x0，(x0＋1)ln x0＝－(x0＋1)(x0－1)，又x0>0，ln x0＝1－x0，所以x0＝1，此时1＝e1－a，所以a＝1，当a>1时，可看作g(x)＝e x－1－1的图象向右平移，此时g(x)与h(x)必有2个交点，当a<1时，图象向左平移二者必然无交点，综上a>1.方法二(分离参数)：由题意，方程e x－a－ln xx－1＝0有两个不同的解，即e－a＝ln xx＋1e x有两个不同的解，所以直线y＝e－a与g(x)＝ln xx＋1e x的图象有两个交点．g′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫ln xx＋1′×e x－（e x）′×⎝⎛⎭⎪⎫ln xx＋1（e x）2＝－（x＋1）（ln x＋x－1）x2e x.记h(x)＝ln x＋x－1.显然该函数在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，所以0<x<1时，h(x)<0，即g′(x)>0，函数单调递增；所以x>1时，h(x)>0，即g′(x)<0，函数单调递减．所以g(x)≤g(1)＝ln 11＋1e1＝1e.又x→0时，g(x)→0；x→＋∞时，g(x)→0.由直线y＝e a与g(x)＝ln xx＋1e x的图象有两个交点，可得e －a <1e ＝e －1，即－a<－1，解得a>1.方法三：由题意，方程e x －a －ln x x －1＝0有两个不同的解，即e x －a ＝ln x x ＋1，也就是1e a (xe x )＝x ＋ln x ＝ln (xe x ).设t ＝xe x (x>0)，则方程为1e a t ＝ln t ，所以1e a ＝ln t t .由题意，该方程有两个不同的解．设p(x)＝xe x (x>0)，则p′(x)＝(x ＋1)e x (x>0)，显然p′(x)>0，所以p(x)单调递增，所以t ＝p(x)>p(0)＝0.记q(t)＝ln t t (t>0)，则q′(t)＝1－ln t t 2 .当0<t<e 时，q′(t)>0，函数单调递增；当t>e 时，q′(t)<0，函数单调递减．所以q(t)≤q(e)＝ln e e ＝1e .又t→0时，q(t)→0；t→＋∞时，q(t)→0.由方程1e a ＝ln t t 有两个不同的解，可得0<1e a <1e ，解得a>1.(2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【解析】选C.将三棱锥P-ABC 放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，所以BC ＝42－22 ＝2 3 .设外接球的半径为R ，依题意可得(2R)2＝22＋22＋(2 3 )2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π.【变式训练】1．已知2ln a ＝a ln 2，3ln b ＝b ln 3，5ln c ＝c ln 5，且a ，b ，c ∈(0，e)，则( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b【解析】选D.因为2ln a ＝a ln 2，3ln b ＝b ln 3，5ln c ＝c ln 5，且a ，b ，c ∈(0，e)，化为：ln a a ＝ln 22 ，ln b b ＝ln 33 ，ln c c ＝ln 55 ，令f(x)＝ln x x ，x ∈(0，e)，f′(x)＝1－ln x x 2 ，可得函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f(c)－f(a)＝ln 55 －ln 22 ＝2ln 5－5ln 210＝ln 253210 <0，且a ，c ∈(0，e)，所以c<a ，同理可得a<b.所以c<a<b.2．(2021·汕头三模)已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)－f(x)>0，f(2 021)＝e 2 021，则不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ln x <e x 的解集为( ) A ．(e 2 021，＋∞)B ．(0，e 2 021)C ．(e 2 021e ，＋∞)D ．(0，e 2 021e )【解析】选D.令t ＝1e ln x ，则x ＝e et ，所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ln x <e x 等价转化为不等式f(t)<e e et ＝e t ，即f （t ）e t <1 构造函数g(t)＝f （t ）e t ，则g′(t)＝f′（t ）－f （t ）e t，由题意，g′(t)＝f′（t ）－f （t ）e t>0，所以g(t)为R 上的增函数，又f(2 021)＝e 2 021，所以g(2 021)＝f （2 021）e 2 021 ＝1，所以g(t)＝f （t ）e t <1＝g(2 021)，解得t<2 021，即1e ln x<2 021，所以0<x<e 2 021e .方法六：估算法估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或极值的取值情况估算出大致取值范围，从而解决相应问题的方法．【典例6】(2019·全国Ⅰ卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12 (5－12 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm【解析】选B.头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170～178 cm之间．【变式训练】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 3 ，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3C．24 3 D．54 3【解析】选B.等边三角形ABC的面积为9 3 ，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4，8)，所以13×9 3 ×4<V三棱锥D-ABC <13×9 3 ×8，即12 3 <V三棱锥D-ABC<24 3 .。

数学高考解析题

数学高考解析题一、选择题解析1. 选择题1解析本题考查了函数的性质和图像。

首先，我们需要分析给定的函数f(x) = 2^x的单调性。

由于指数函数的底数大于1，该函数在实数域上是单调递增的。

接下来，我们考虑函数g(x) = f(x) + 1 = 2^x + 1，显然，g(x)在f(x)的基础上向上平移了1个单位，因此g(x)也是单调递增的。

根据题目中的条件，我们知道g(x)在区间[0,1]上的值域为[2,3]，这意味着g(x)在该区间内是连续的。

由于g(x)是单调递增函数，我们可以得出在x=0时，g(x)取最小值2；在x=1时，g(x)取最大值3。

因此，选项A是正确的。

2. 选择题2解析此题涉及三角函数的图像和性质。

我们需要根据三角函数的基本性质来判断选项的正确性。

首先，我们知道sin(x)的周期为2π，且在[0, π]区间内，sin(x)的值从0增加到1，然后再减少到0。

选项B给出的函数h(x) = sin(x) + 1在y轴上向上平移了1个单位，因此其值域在[1, 2]。

选项C给出的函数k(x) = cos(x)在[0, π]区间内的值域为[-1, 1]。

由于sin(x)的值域不包含负数，而cos(x)的值域包含负数，所以选项B是正确的。

二、填空题解析1. 填空题1解析本题要求求解二次函数在特定区间的最大值。

我们设二次函数为p(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，这意味着函数开口向上，且对称轴为x = -b/(2a)。

根据题目给出的信息，我们知道函数在x=1处取得最大值。

因此，我们可以得出对称轴x = -b/(2a) = 1。

接下来，我们需要利用题目给出的其他条件来求解a、b和c的值。

通过解方程组，我们可以得到a = 1，b = -2，c = 3。

所以，二次函数为p(x) = x^2 -2x + 3，其在x=1处的最大值为2。

2. 填空题2解析此题考查了数列的通项公式和求和公式。

2024年全国统一高考数学Ⅰ卷(带答案解析)

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{2，3}C．{﹣3，﹣1，0}D．{﹣1，0，2} 2．（5分）若＝1+i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）已知cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣3m B．﹣C．D．3m5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2πB．3πC．6πD．9π6．（5分）已知函数为f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，0]C．[﹣1，1]D．[0，+∞）7．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x﹣）的交点个数为（）A．3B．4C．6D．88．（5分）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（）A．f（10）＞100B．f（20）＞1000C．f（10）＜1000D．f（20）＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

（多选）9．（6分）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5D．P（Y＞2）＜0.8（多选）10．（6分）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（）A．x＝3是f（x）的极小值点B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）（多选）11．（6分）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（）A．a＝﹣2B．点（2，0）在C上C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1D．当点（x0，y0）在C上时，y0≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

两年202-2022全国高考数学(理科甲、乙卷)真题按题型分类汇编-填空题(含解析)

两年202-2022全国高考数学（理科甲、乙卷）真题按题型分类汇编-填空题（含解析）一、填空题1．（2022·全国·统考高考真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．2．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．3．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．4．（2022·全国·统考高考真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 5．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．6．（2022·全国·统考高考真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．7．（2022·全国·统考高考真题）记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．8．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．9．（2021·全国·统考高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．10．（2021·全国·统考高考真题）已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．11．（2021·全国·统考高考真题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________． 12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．13．（2021·全国·统考高考真题）已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>的一条渐近线为30x my +=，则C 的焦距为_________．14．（2021·全国·统考高考真题）已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．15．（2021·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．16．（2021·全国·统考高考真题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．参考答案：1．11【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．2【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离1d =，解得m =或m =．3．635. 【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．4．31-##1+3-【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++ ()1244233211m m ≥-=-+⋅+，当且仅当311m m +=+即31m =-时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =-. 故答案为：31-.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （13，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD -+-+∴===-≥-++++++++==当且仅当即时等号成立。

高考数学填空题做题技巧

高中数学：填空题的常用解题方法填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等．不同省份的试卷所占分值的比重有所不同。

1、填空题的类型填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写。

2、填空题的特征填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰的好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。

从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分。

因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫。

3．解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”。

解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法等．一、直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法。

思路解析：本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值。

二、特殊值法特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从殊到一般，优点是简便易行．当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效。

2024年上海高考数学试题+答案详解

2024年上海高考数学试题+答案详解（试题部分）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是． 9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为． 10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x +D ．22sin cos x x −15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0−∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1−∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈−<R ，在使得[]1,1M =−的所有()f x 中，下列成立的是（）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x −处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O −为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； (2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x −<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d −=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =−+−，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． (1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t −−，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2024年上海高考数学试题+答案详解（答案详解）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．【答案】{}1,3,5【解析】由题设有{}1,3,5A =，答案：{}1,3,52．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【解析】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为．【答案】{}|13x x −<<【解析】方程2230x x −−=的解为=1x −或3x =，故不等式2230x x −−<的解集为{}|13x x −<<，答案：{}|13x x −<<.4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x −+=即()330x a x a ++−+=，故0a =，答案：0.5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b ，256k ∴=⨯，解得15k =．答案：15．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．【答案】10【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【解析】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =，所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x−+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．答案：10．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为答案：8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．【答案】0.85【解析】根据题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3，各占比分别为543,,121212，则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=．答案：0.85．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩，解得2m =，答案：2.10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．【答案】329【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个；②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，由分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个．答案：329．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)【答案】7.8︒【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CD D CAD =∠，()sin16.5sin 16.5CA CB θ=+。

高考数学填空题的解法

高考数学填空题的解题策略一、题型特点数学填空题在前几年湖南高考中题量一直为5题，从今年开始增加到7题，在高考数学试卷中占分几乎达到了四分之一。

它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。

由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。

二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。

近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。

在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。

为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。

二、考查功能1．填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。

同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。

但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。

从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。

不过，在考查的深入程度方面，填空题要优于选择题。

作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。

高考真题数学答案及解析

高考真题数学答案及解析一、选择题1. 题目：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=2处取得极小值，且已知f(1)=3，f(3)=15，则a的值为____。

解析：由题意可知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处取得极小值，所以f'(x)在x=2处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=2代入得到4a + b = 0。

又已知f(1)=3，f(3)=15，将x=1和x=3分别代入原函数得到两个方程：a + b + c = 3和9a + 3b + c = 15。

联立这三个方程解得a=1，b=-2，c=4。

所以a的值为1。

2. 题目：设集合A={x|x=2n, n∈Z}，B={x|x=2n+1, n∈Z}，则A∪B的元素个数为____。

解析：集合A表示所有偶数的集合，集合B表示所有奇数的集合。

由于整数集包括所有的偶数和奇数，所以A∪B就是整个整数集。

因此，A∪B的元素个数为无穷多个。

3. 题目：已知三角形ABC中，∠A=90°-∠B，AB=AC，点D为BC中点，连接AD，若∠BAD=15°，则∠BAC的度数为____。

解析：由于AB=AC，所以三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。

又因为∠A=90°-∠B，所以∠B=45°。

由于点D为BC中点，AD为中线，所以AD=BD=CD。

又因为∠BAD=15°，所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°-15°=30°。

因此，∠BAC的度数为30°。

二、填空题1. 题目：若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，公差d=3，求S10的值为____。

解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

将n=10，a1=2，d=3代入公式得：S10 = 10/2 * (2*2 + (10-1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。