【复变函数】-史上最全--上资料PPT课件

例2:求
1i 4
1i
1 i i 1 i
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§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
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1. 点的表示
易见 z， xiy 一对有(序 x,y)实 , 数 在平面上取定直系角，坐则标
任意P点(x, y)一对有序(实 x, y数 ) zxiy平面上的 P(x点 , y) 复z数 xiy可 用 平 面(x上 ， y)的 坐P 点 标 表为 .示 此时 x轴， —实 轴 y轴—虚 轴
y
(z)
模|： z||OP|r x2 y2, y
P(x,y)
记作
辐角 : Arzg
z r
z0 O P 0 2021
o
x
x
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z 0 时 ta A ， n z)r (y g /x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
记作θ0=argz.
(z1z2)z1z2
(4)zz2Rez()
( z1 ) z1 z2 z2
zz2iImz()
(3 )zz R z)2 e I(m z)2 x (2 y 2
1 z
|
z z |2
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例1:设z1 55i,z2 34i, 求z1,(z1)及 它 们 的, 虚 实部 部 . z2 z2
解: z1 55i 7i z2 34i 5
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•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数 研究复变函数
•G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映 照性质
•通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.
复变函数与积分变换（B）
教材 《复变函数》(四版)
清华大学 数学教研室 编
2013-2014学年第一学期
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2013年9月3日
第一章 复数与复变函数
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对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
2
x2
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由向量表示法知
y
(z)
z2z1 —点z1与z2之间的距离
由 此 得:
z1
z2 z1 z2 z1 (三角 不等)式
z2
z2 z1 z2 z1
o
x
3. 三角表示法
4. 指数表示法
由xy
r cos 得 r s in
再由 Eule公r 式:
• 复数的模 |z| x2y2 0
• 判断复数相等
z 1 z 2 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,其 z 1 中 x 1 i1 y ,z 2 x 2 i2 y z 0 R z) eI(m z) 0(
一般, 任意两个复数不能比较大小.
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பைடு நூலகம்
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2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
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§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
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1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi为
复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
拉斯变换等
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学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
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背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
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3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
z=0时，辐角不确定.
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
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当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
arctayn
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示：zxiy复平面上 P(x， 的 y)点
数z与点z同义. 2021
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2. 向量表示法
zxiy 点 P(x， y) O P{x,y}
可用O向 表 P z量 示 xiy.
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) zz z1 2x 1 x |2 z 2|2 y 1y 2 ix 2y |1 z 2|x 21y 2 (z2 0 )
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•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即，
ei cos isin得
zr(co issin )
z rei
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引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.
•在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数”
•直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念
•应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.