产品销量预测

（2）
因为产品是新产品，所以在产品即将卖出、尚未卖出的时刻为 t=0 显然 X 0 =0 ，这
时由（2）式可知 x(t)=o,这一结果自然与事实不符。产生这一结果的原因在于假定了产 品性能良好, 每个产品都是一个宣传品,，即假定产品是自然推销方式，然而这种推销方 式无法自然启动，因为产品还未卖出之时，在消费者心中没有对产品形成实物性产品， 无法勾起消费者的购买欲望。
图1
图表 2
通过以上数据及图表，明显地，对于产品销售量的指数模型只能适用于产品的前期 销售，不适用于中、后期的预测。其原因是产品的销售是受市场的影响的，市场容量是 有限的，产品销量不可能一直上升。
5.3.2 建立产品销售 logistic 模型: 设考虑到产品销售存在一定的市场容量 N, 统计表明 dx 与该产品的潜在容量 dt
2.2 思路流程图： 通过上述问题分析，为了便于模型的建立和求解，绘制出本文的思路流程图如下:
题中所给 约束
微分方程模型
matlab 求解
产品生命周期理论
预测销 量
三、模型假设
1、假设公司的内部环境稳定，不发生大的变动； 2、该产品受国家宏观经济政策影响较小； 3、该产品与其他产品相比优势明显，具有创新性； 4、产品定价合理； 5、产品销售不受人为因素影响； 6、假设一段时间内消费人群的数量不会有很大变化； 7、忽略随机因素的影响； 8、产品销量很大； 9、由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品；
lnln( ( y=L./(1+a*exp(-k*t));
plot(t,y,'*',t,y);
1238.75
988.1715
915.3469
9
1560
1393.2
1261.2
10
1824.29
1964.2
1737.7
11
2199
2769.3
2394.2
12
2438.89
3904.4
3298.8
13
2737.71
5504.7
4545
根据表 2 的数据，用 matlab 制作指数增长型拟合图形，图 1 表示用 1981 年到 1992 年的数据拟合的结果图，图 2 表示用全部数据（1981 年到 1993 年）拟合的结果。图 5-1.1、 图 5-1.2 中曲线是计算结果，“*”表示实际数据。
N x(t) 成正比, 并参考问题一增长率 dx 与 x(t) 成正比，则可建立如下微分方程： dt
设 k 为大于 0 的比例系数.
dx（t） kx(N x) dt
解得：
对线性化 Logistic 增长模型并做非线性回归
线性化 Logistic 增长曲线模型
Logistic
增长曲线模型为:
xt
N 1 CekNt
因此将第一个单位时间内看做商家的广告销售，而将第一单位时间之后看做自然销 售，即商品自然吸引着暂未购买的潜在消费者。
故取 t=1 时刻作为销售的初始条件：x(t=1)= x0 ,微分方程的解为：
x(t) x0er (t1)
（3）
由此方程可以看出产品销量可以无限制的增长，而现实生活中并不是这样的。特别 是一些耐用消费品像汽车、电脑、手机、空调等，x（t）往往是有上界的。
2438 .89
表 1-1
4
5
312. 496.
67 58
13 14
2737 3134 .71 .78
6 707. 65 15
3212 .25
7 960. 25 16
3240
8 1238 .75 17
3290
9 1560
18 4000 .98
数学建模指导书比较具有权威性所以可以利用题中的数据对模型进行实例分析。
关键词：微分方程 产品生命周期理论 matlab logistic 模型
一、问题重述
设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为 x(t), 由于产品性能良好, 每个产品都
是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销量 x(t) 与 t 有关。
1，设 t 时刻产品销量的增长率 dx 与 x(t) 成正比, dt
89.2424
97.106
2
109.86
125.8205
133.7942
3
187.21
177.391
184.3439
4
312.67
250.0989
253.9921
5
496.58
352.6078
349.9545
6
707.65
497.1323
482.1731
7
960.25
700.8937
664.3来自百度文库6
8
得到 r＝0.3205， x0 ＝97.1060
结果分析：
用上面得到的参数 r 和 x0 代入（6）式，将结果与实际数据比较。X1 是用 1981 年
到 1992 年的数据拟合的结果，计算理想销售量 x2 用的是全部数据的拟合的结果。 表一
年
实际销售量
计算销售量 x1
计算理想销售量 x2
1
43.65
两边同时取倒数得
，两边同时取对数整理得.
NN .
令 y ln( N 1) ， a kN ， b ln c . x
即可得到一个线性关系式： y at b .
所以 Logistic 增长曲线模型能线性化。
用 Matlab 对 Logistic 模型做非线性回归 Matlab 程序如下： y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71]; t=0:12; L=3000; y=log(L./y-1); p=polyfit(t,y,1); k=-p(1); a=exp(p(2));
立了微分方程模型，并取第一时间单位销量为初始值，求出了时间 t 和销量 x 的关系， 以此预测来 t0 时刻 x(t0 ) 的大小。
针对问题二：根据题中所给的条件“ dx 与该产品的潜在容量 N x(t) 成正比”, 建立了 dt
微分方程模型来预测 t0 时的产品销量 x(t0 ) 。
针对问题三：根据题目要求要考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型。排除题 目一、二已分析的因素，仍有很多因素影响产品销量，且在不同的阶段影响产品销量的 主要因素不同，因此为了能够更为准确、全面的预测产品的销量，本文运用产品生命周 期理论来预测新产品未来的销量。
Y=polyval(p,t); X=exp(Y);
p= 0.3435 4.4914
r = 0.3435 x0 = 89.2424
得到 r＝0.3435， x0 ＝89.2424
t=0:12; x=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560 1824.29 2199 2438.89 2737.71]; y=log(x); p=polyfit(t,y,1) r=p(1),x0=exp(p(2)) Y=polyval(p,t); X=exp(Y);
2011 年河南科技大学数学建模竞赛选拔
承诺书
我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等） 与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规 则的行为，我们将受到严肃处理。
对数，可得
y rt a ， y ln x ， a ln x0
（7）
分别以第 1 年到 17 年的数据和第 1 年到 18 年的数据拟合（7）式，用 matlab 计算： t=0:11; x=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560 1824.29 2199 2438.89]; y=log(x); p=polyfit(t,y,1) r=p(1),x0=exp(p(2))
因此，此模型不适合预测产品长期的销售量，特别是耐用消费品。
参数估计 ：为了利用线性最小二乘法和 matlab 求解参数 r，可将 3取对数，可得 ：
z r（t -1） a, z ln x(t), a ln x0
5.2 问题二：设考虑到产品销售存在一定的市场容量 N, 统计表明 dx 与该产品的潜在容 dt
5.3.1 建立指数增长模型预测销
假设 t 时刻产品销量的增长率 dx 与 x(t) 成正比，每一个产品都是宣传品。 dt
得到 xt 满足微分方程
由这个方程解出：
dx rx dt
x0 x0
x(t) x0ert （6）
（6）式的参数 r 和 x0 可以用表 1-1 数据估计。为了利用最小二乘法，将（6）式取
预测 t0 时的产品销量 x(t0 ) ；
2，设考虑到产品销售存在一定的市场容量 N, 统计表明 dx 与该产品的潜在容 dt
量 N x(t) 成正比, 预测 t0 时的产品销量 x(t0 ) ；
3，试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测 t0 时的产品销量 x(t0 ) .
二、问题分析与思路流程图
本文针对本题对建立合理的模型对新产品的销量进行了的预测，并用实例进行 了检验。
针对问题一：建立了微分方程模型，并借鉴建模指导书中习题的数据对模型进 行了检验。
针对问题二：建立了 logistic 模型阻滞增长模型，并对数据对模型进行了检验。 针对问题三：本文综合考虑了各种因素运用产品生命周期理论对产品的销量进 行了合理预测并进行实例数据检验。
品销量的增长率 dx 与 x(t) 成正比，则可建立如下微分模型： dt
dx (t )
dt
rx(t)
x(t 0) x0
（1）
模型求解： dx rdt x
ln x(t) rt C
dx x
rdt
C N0er t0
x(t) Ce r t C eC t o, x(o) x0
结果：
x(t) x0er (tt0 )
2.1 问题的分析
本题涉及到经济问题，所以在建模之前我们先利用经济学的知识对题目进行初步分 析找到切入点，然后通过数学的思想进行求解。由于数学只能对某一特定问题进行分析， 所以我们先应该对题目作出量化分析，建立适当的模型，从而进一步达到解决问题的目 的。
针对问题一：根据题中所给的条件“t 时刻产品销量的增长率 dx 与 x(t) 成正比”，建 dt
量 N x(t) 成正比, 并参考问题一增长率 dx 与 x(t) 成正比，则可建立如下微分方程： dt
设 k 为大于 0 的比例系数.
dx（t） kx(N x) dt
初始条件
dx kdt x(N x)
（4）
1（1 1 )dx kdt N x Nx
模型求解：
分离变量 :
x ( 结果： 通过积分, 可以解得：
（5）
式（5）即为逻辑斯蒂模型。当 t=0 时如果
，则有（5）式得到
，并
可观察出此模型是有上界的。
5.3 问题一和二的综合实例分析：
以下数据采取的是数学建模指导书习题中的数据:
年份 销售量（万 台）
年份
销售量（万 台）
1 43.65
10 1824.
29
2 109.8
6 11
2199
3 187. 21 12
四、符号定义与说明
x(t): 产品销量 r、k: 比例系数 C、c： 实常数 x。： 产品投入市场后第一个单位时间的销量 N： 市场对产品的最大容量 t： 时间权数
： 预测值 K： 限值或饱和点 b： 决定曲线中间部分的斜率 a: 定曲线的位置
五、模型建立及实例分析
5.1 问题一：
模型建立：记时刻 t 时的销量为 xt ，由于假设 xt 是一个很大的整数，那么可近似 认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。记时刻 t 0的销量为 x0 ，由于 t 时刻产
我们选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）：
B
队员签名 ：1.
2.
3.
日期： 2012 年 8 月 23 日
2011 年河南科技大学数学建模竞赛选拔
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备 注
B 题：产品销量预测
摘要
本题涉及到经济问题，产品销量预测是现在社会的热点话题，因为在市场经济 的条件下谁能把握市场谁就能在竞争中把握主动权，企业才能获得利润。故企业在 进行新产品营销决策前，首先要对市场进行调查研究，做好产品定位工作，把影响 产品销售的各种主要因素，纳入市场营销系统来进行分析预测产品的销量，以便为 公司的发展作出合理的规划。