八年级数学因式分解
初二数学-八年级数学-因式分解的思维导图知识点结构图
初二数学-八年级数学-因式分解的思维导图知识点结构图因式分解的思维导图初二数学-八年级数学-因式分解的思维导图知识点目录：因式分解知识结构导图因式分解是数学中重要的一部分，它是一种将一个多项式分解成两个或多个多项式的方法。
因式分解可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
因式分解的基本概念因式分解的基本概念包括最大公因数、最小公倍数和质因数分解。
最大公因数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个；最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个；质因数分解是将一个正整数分解成质数的乘积。
因式分解的方法因式分解的方法包括提公因式法、分组分解法、差平方公式、和差平方公式和配方法等。
这些方法可以帮助我们更好地进行因式分解，从而解决各种数学问题。
因式分解的应用因式分解在数学中有着广泛的应用，例如解方程、求最大公因数、最小公倍数、约分、通分等。
因式分解还可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，例如分数的运算、多项式的运算等。
因式分解的思维导图可以帮助我们更好地理解因式分解的基本概念、方法和应用。
通过研究因式分解的思维导图，我们可以更好地掌握因式分解的知识，从而在数学研究中取得更好的成绩。
因式分解是代数学中的一个重要概念，它指的是将一个多项式拆分为若干个乘积的形式。
这个过程可以帮助我们更好地理解多项式的乘法，并且在解决各种数学问题时也非常有用。
在进行因式分解时，一般需要遵循以下三个步骤：1.一提取公因数，将多项式进行因式分解。
2.二用分组分解法、十字相乘法、提取公因式法等常用方法进行因式分解。
3.三验证因式分解是否正确，可以通过乘回去验证。
常用的因式分解方法包括公式法、分组分解法、十字相乘法和提取公因式法等。
这些方法都有其适用的范围和特点，需要根据具体情况进行选择。
因式分解的意义在于，它可以将一个复杂的多项式化简为简单的乘积形式，从而更加方便地进行计算和分析。
同时，因式分解也是整式乘法的逆变形，可以帮助我们更好地理解整式乘法的本质。
八年级数学因式分解12种常见方法整理
八年级数学因式分解12种常见方法整理1.提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方3.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)4.十字相乘法（经常使用）对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
7.换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
8.求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )9.图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )10.主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
11.利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
12.待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
八年级因式分解方法
八年级因式分解方法嘿，同学们！今天咱就来好好聊聊八年级的因式分解方法。
这可真是数学里的一把神奇钥匙啊！咱先来说说提公因式法，这就好比是从一大串珠子里把相同的那几颗挑出来。
比如一个式子里面有几个相同的部分，咱就把它提出来，让式子变得更简洁明了。
就好像整理房间，把相同的东西放在一起，多清爽呀！然后是公式法，这可是个厉害的家伙！完全平方公式和平方差公式，那就是数学世界里的定海神针。
完全平方公式就像给式子穿上了一套合身的衣服，一下子就变得整齐漂亮了；平方差公式呢，就像是把一个大拼图拆成了几块，再重新组合，神奇吧！还有分组分解法呢，这就像是把一群小伙伴分成几个小组，每个小组都有自己的特点和任务。
通过巧妙地分组，让复杂的式子变得有条理，能分解出我们想要的结果。
十字相乘法也不能落下呀！这就像是走迷宫，找到了正确的路线，一下子就豁然开朗了。
看着那些数字在十字交叉的过程中产生奇妙的变化，是不是感觉特别有意思？那我们怎么才能熟练掌握这些方法呢？多练习呀！就像学骑自行车，刚开始可能会摔倒，但多骑几次不就会了嘛！遇到式子就试着用这些方法去分解，做错了也别怕，总结经验，下次就不会再错啦！你想想看，要是学会了因式分解，那解数学题不就跟玩儿似的？别人还在苦思冥想的时候，你已经轻松搞定啦！这多牛呀！而且呀，这些方法在以后的学习中也会经常用到，现在打好基础，以后就不用愁啦！咱可不能小瞧了这些方法，它们就像是数学世界里的宝藏，等着我们去挖掘呢！所以呀，同学们，加油吧！让我们一起在因式分解的海洋里畅游，找到属于我们自己的数学宝藏！别再犹豫啦，赶紧行动起来吧！难道你不想成为因式分解的小能手吗？。
人教版八年级数学上册教学设计14.3 因式分解
人教版八年级数学上册教学设计14.3 因式分解一. 教材分析因式分解是八年级数学上册的教学内容，主要目的是让学生掌握因式分解的基本方法和技巧。
教材通过引入多项式的乘法，让学生理解因式分解的实质，进而学习提公因式法、公式法等因式分解方法。
本节课的内容在数学知识体系中具有重要的地位，为学生深入学习代数运算和方程求解打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备一定的代数基础。
但因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说较为抽象，需要通过实例分析、动手操作、小组讨论等方式，让学生逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的基本方法，能够运用提公因式法、公式法等进行因式分解。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学的内在美。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和技巧。
2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法、公式法等进行因式分解。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法、引导发现法等，以学生为主体，教师为主导，充分调动学生的积极性，提高学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT和教学素材。
2.设计好教学问题和练习题。
3.准备好黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的必要性，激发学生的学习兴趣。
例如：已知二次函数的图像，求其解析式。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和基本方法，引导学生观察、分析、归纳因式分解的规律。
通过PPT展示提公因式法、公式法等具体的因式分解方法。
3.操练（10分钟）让学生动手操作，尝试运用所学的因式分解方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生运用所学的因式分解方法进行解答。
教师选取部分学生的答案进行讲解和评价，及时巩固所学知识。
14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册
a
b
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
利用公式把某些具有特殊 形式(如平方差式，完全平 方式等)的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做 公式法因式分解.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方 公式分解因式， 可以简化计算.
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2a(x y)2
先纳总结 巩固提升 小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解 步骤方法
先提公因式→一提 再用公式→二用 继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式， 展开合并 再观察。
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3
八年级因式分解的知识点
八年级因式分解知识点总结因式分解是数学中一个重要的知识点，不仅在初中阶段就开始学习，还贯穿了高中乃至大学的数学学习。
因此，掌握好八年级的因式分解知识点，对于后续数学学习的顺利进行具有重要的作用。
本文将就八年级因式分解的知识点进行总结，希望对于大家的学习有所帮助。
一、公因数与最大公因数公因数是指同时能够整除两个或多个数的因数，在因式分解中有着重要的作用。
求两个或多个数的最大公因数的方法，可以通过列举其公因数，然后筛选出最大的一个。
例如，求两个数72和96 的最大公因数。
首先列出它们的公因数，有1、2、3、4、6、8、12、24 八个数，在这个基础上，筛选能够整除72 和96 的最大整数，即24，因此，72 和96 的最大公因数为24。
二、公式在因式分解中，常用到一些公式，例如差平方公式、和平方公式等。
这些公式的掌握对于因式分解的顺利进行具有非常重要的作用。
1. 差平方公式$(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$2. 和平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$三、因式分解在因式分解中，一个重要的概念是质因数分解。
质因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数的积的形式。
例如，24=2×2×2×3，即24的质因数分解为$2^3\cdot3$。
在因式分解中，常用到一些方法，例如提公因式、分组、取因式等。
这些方法的运用可以简化计算过程，提高计算效率。
四、例题下面列举两个例题，帮助大家更好地理解因式分解的知识点。
1. $6x^2+5x-6$的因式分解式是解：先求出这个多项式的根，即$x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2+4\cdot6\cdot6}}{2\cdot6}=1$。
因此，将原式分解成$(2x+3)(3x-2)$。
八年级数学上 因式分解
一. 教学内容：因式分解二. 教学重点：掌握常见的几种因式分解的方法：提公因式法，公式法，分组分解法三. 教学难点：十字相乘法因式分解【典型例题】[例1] 用适当的方法将下列多项式因式分解（1）2()3()()()m a x m a x y a m -+--+- （2）229(2)16()a b a b ---（3）322322()()a a b b a b -+- （4）222(2)2(2)1x x x x -+-+ 答案：（1）()(4)m a m a x y --++（2）)2)(107(b a b a +--（3）222()()()a b a b a ab b +--+ （4）4(1)x -解析：（1）用提公因式法，所以原式=()(3)()(4)m a m a x x y m a m a x y --+++=--++；（2）用平方差公式，所以原式22[3(2)][4()][3(2)4()]a b a b a b a b =---=-+-[3(2)4()]a b a b ⋅--- )4463)(4463(b a b a b a b a +---+-= )2)(107(b a b a ---= )2)(107(b a b a +--=（3）先用提公因式，再用平方差和立方和公式，所以原式2233()()a b a b =-+ 22()()()()a b a b a b a ab b =+-+-+222()()()a b a b a ab b =+--+；（4）用完全平方公式，所以原式224(21)(1)x x x =-+=-[例2] 用分组分解法将下列多项式分解因式（1）3223x x y xy y +--（2）3322222x y x xy y +-+-（3）322344x x y xy x y y +--+-（4）2222a b c bc a b c --+++-答案：（1）2()()x y x y +-（2）22()(2)x xy y x y -++-（3）()(2)(2)x y x y x y -+++-（4）()(1)a b c a b c +--++解析：（1）题分组的方法较多，可以选3种不同的分组方法，方法一：原式3223()()x x y xy y =+-+ 2222()()()()x x y y x y x y x y =+-+=+-2()()x y x y =+-方法二：原式32232222()()()()x xy x y y x x y y x y =-+-=-+- 22()()x y x y =-+2()()x y x y =+-方法三：原式3322()()x y x y xy =-+- 22()()()x y x xy y xy x y =-+++-=222()(2)()()x y x xy y x y x y -++=-+（2）原式3322()2()x y x xy y =+--+ 2222()()2()x y x xy y x xy y =+-+--+22()(2)x xy y x y =-++-（3）原式3223()()(44)x xy x y y x y =-+--- 222222()()4()()(4)x x y y x y x y x y x xy xy y =-+---=-+++- 222()(24)()[()4]x y x xy y x y x y =-++-=-+-()(2)(2)x y x y x y =-+++-；（4）原式22222(2)()()()a b bc c a b c a b c a b c =--+++-=--++- ()()()()(1)a b c a b c a b c a b c a b c =+--+++-=+--++[例3] 用十字相乘法将下列多项式分解因式（1）276x x -+（2）22235x xy y --（3）251015x x --答案：（1）(1)(6)x x --（2）()(25)x y x y +-（3）5(1)(3)x x +-解析：（1）是二次项系数为1的二次三项式，所以可以把二次项拆成11⨯，把常数项6拆成16⨯，于是可以写成1116--，交叉相乘就得到一次项系数7-，所以原式(1)(6)x x =--；（2）的系数可以拆成1215-，交叉相乘就得到一次项系数3-，所以原式()(25)x y x y =+-；（3）要先提公因式5，再十字相乘，所以原式25(23)x x =--5(1)(3)x x =+- [例4] 分解下列多项式（1）222(310)15506x x x x -+-+（2）22(2)(22)1x x x x --++（3）(21)(23)(2)63x x x x +---答案：（1）)13)(3)(2103(2--+-x x x x（2）4(1)x -（3）2(237)(3)(23)x x x x -+-+ 解析：（1）要先分组因式分解，再用十字相乘法，所以原式222(310)5(310)6x x x x =-+-+)3103)(2103(6)103(5)103(22222+-+-=+-+-=x x x x x x x x)13)(3)(2103(2--+-=x x x x（2）要先乘，再用十字相乘法，所以原式22222(2)2(2)1(21)x x x x x x =-+-+=-+=4(1)x -（3）要用适当的方法相乘，再用十字相乘，所以原式22(23)(232)63x x x x =---- 22222(23)2(23)63(237)(239)x x x x x x x x =----=-+--=2(237)(3)(23)x x x x -+-+[例5] 已知6,2x y xy -==，求：（1）22x y +；（2）3344x y -答案：（1）40 （2）1008解析：（1）利用完全平方公式，所以原式=2222()262240x y x y xy +=-+=+⨯=（2）利用提公因式和立方差公式，所以原式33224()4()()x y x y x xy y =-=-++，再把已知和第一问的结论代入46(402)1008=⨯⨯+=46(402)1008=⨯⨯+=[例6] 已知2144y ky ++是完全平方式，求k 的值 答案：2±解析：因为2144y ky ++是完全平方式，所以可以写成2211(2)2()22y k y +⋅⋅+，所以k 的值可以为2±[例7] 已知42434x x x +++有一个因式21x ax ++，求a 的值及另一个因式 答案：1a =；24x x -+解析：设42434x x x +++22422(1)(4)(5)34x ax x ax x a x ax =++-+=+-++，所以25433a a ⎧-=⎨=⎩，所以1a =，所以另一个因式为24x x -+[例8] 因式分解2262562320x x xy y y +--+-答案：(234)(325)x y x y -++-解析：此题需要用双十字相乘，所以适当分组，原式 22(656)(223)20x xy y x y =--++- (23)(32)(223)20x y x y x y =-+++-(234)(325)x y x y =-++-【模拟试题】一. 选择题：1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A. 21234a b a ab =⋅ B . 2(2)(2)4x x x +-=- C. 24814(2)1x x x x --=-- D . 111()222ax ay a x y -=-2. 多项式2n n a a -提取公因式后，另一个因式是（） A. 1n a - B. n a C. 211n a-- D. 21a - 3. 若32212x x x k +-+有一个因式为21x +，则k 的值应当是（）A. 0B. 1-C. 6D. 6-4. 在多项式2222x xy y z +-+、2221x y x --+、224441x y x -++、 2221x xy y -++-中，能用分组分解法分解因式的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5. 如果多项式216x kx ++能分解成两个系数的整数的一次因式的积，那么整数k 可取的值有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个二. 填空题：1. 若2212x y x y ++=+，则x =，y =2.2232453(3)()x xy y x y x my x y n +++++=++++，则m =，n = 3. 把22axy ax y axz --+提公因式ax -后，另一个因式是4. 已知12x x +=，求331x x += 5. 若x y a -=，求22221(26)x y ax ay xy a a +-+--=三. 解答题：1. 分解因式222()()()ab a b a b a ac a b --+---2. 2211n n n n a x abx acx adx ++-+--（n ＞1）3. 已知10,24x y xy +==，求2255x y +的值试题答案一.1. D2. A3. D4. B5. C二. 1. 11;22 2. 2；1 3.2y xy z +- 4. 2 5. 6-三.1. 2()(1)a a b b c ---+2.132()n ax ax bx cx d -+-- 3. 260。
八年级数学上册第一章因式分解1因式分解教学课件鲁教版五四制
拓展应用
2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004(2004+1) =2004×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
拓展应用
假如用一根比地球赤道长 10米的铁丝将地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均匀的间 隙能有多大(赤道看成圆形， 设地球的半径为r，铁丝围成 圆形的半径为R)?
(3) (m+4)(m-4)= m2-16 ;
(4) ( y-3)2= y2-6y+9 . (5)a(a+1)(a-1)= a3-a .
m2-16 =( m+4 )( m-4 )
y2-6y+9 =( y-3 )2
a3-a =( a )(a+1 )(a-1 )Fra bibliotek议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
解：根据题意可得，
2 R 2r 10
2 (R r) 10 R r 10
2
R–r
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为 10 米.
2
本节小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程; 3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原
善于辨析：因式分解与整式乘法有 什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法?
哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9
5 因式分解技巧与方法 八年级数学
五 添项、拆项法
例6 ：x 3x 4 3 2 x 1 3x 3
3 2
拆项
( x 1) 3( x 1)
3 2
( x 1)(x x 1) 3( x 1)(x 1)
2
( x 1)(x 2 x 1 3x 3)
( x 1)(x 4x 4)
练习：分解因式
(1) x3-8y3 (2) a5-a3b2+a2b3-b5 (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab (4) -2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4
四 待定系数法
将要分解的式子变换成方程，想办法找出方程的解。
例5：x2+x-2
变换得方程，x2+x-2=0。该方程有一解为x=1 那么x2+x-2必有一因式为(x-1) 结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2。
练习：分解因式
1) x３-x２+x-1
2) xy＋6－2x－3y
3) 5ax+5bx-3ay-3by 4) x2-7xy-5x+35y 5) 18a2-32b2-18a+24b 6) 3a3b2c－6a2b2c2＋3ab2c3
练习：分解因式 1) a x 6ax 9
2 2
2) a 2 2ab b 2 c 2 3 2 2 3 3) x x y xy y 4) 4a x 4a y b x b y
3 3 2 2 a -b =(a-b)(a +ab+b )
把一个多项式化成几个整式积 的形式，这样的式子变形叫把这 这个多项式因式分解，也叫把这 个多项式分解因式。 例：x2-1=(x+1)(x-1)
2023-2024学年八年级上学期数学：因式分解(附答案解析)
A． m2 n2 (m n)2 C． m2 n2 (m n)2 二、填空题
B． a2 b2 2ab (b a)2 D． a2 2ab b2 (a b)2
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10．若 m2 n 2022 ， n2 m 2022(m n) ，那么代数式 m3 2mn n3 的值
)
A． 1
B．0
C．3
D．6
3．若多项式 x2 ax 1 可分解为 (x 2)(x b) ，则 a b 的值为 (
)
A．2
B．1
C． 2
D． 1
4．将下列多项式因式分解，结果中不含因式 x 1的是 ( )
A． x(x 3) (3 x) B． x2 1
C． x2 2x 1
D． x2 2x 1
C． x2 6x 6 x(x 6) 6
D． 5x2 3x x(5x 3)
7．多项式 x2 ( y2 4y 4) 分解因式结果正确的是 (
)
第 1页（共 12页）
A． (x y 2)(x y 2)
Bபைடு நூலகம் (x y 2)(x y 2)
C． (x y 2)(x y 2)
．
11．因式分解： 4y3 4y ．
真题在线
一、选择题 1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )
A． x2 x 1 x(x 1) 1
B． x2 1 (x 1)2
C． x2 x 6 (x 3)(x 2)
D． x(x 1) x2 x
2．（2022•青海）下列运算正确的是 ( )
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B． x3 9x x(x2 9)
C． a2 2a 4 (a 1)2 3
八年级数学(上册)-因式分解的方法汇总
（3）原式=
x4 2x2 1 2x(x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题 的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已 知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种 方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
解法三：将三次项 x3 拆成 9x3 8x3
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全 平方式或几个完全平方式的和的形式， 这种方法叫配方法。配方法的关键是通 过拆项或添项，将原多项式配上某些需 要的项，以便得到完全平方式 ，然后在 此基础上分解因式。
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
(x y xy)2 2(x y xy) 1 (x y xy 1)2 (x 1)2 ( y 1)2
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
方法二：公式法
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
八年级数学因式分解方法
八年级数学因式分解方法一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。
八年级数学上册14.3因式分解课件(新版)新人教版
,即ab=
1时,
6
原式=24ab=4.
第九页，共19页。
因式分解与特殊三角形判定(pàndìng) 的综合 例5 已知△ABC的三边长a,b,c满足(mǎnzú)a2+b2+c2-6a-
6b-10c+43=0,试判断△ABC的形状.
〔解析〕将等号的左边(zuǒ bian)变形为几个非负数的和的形 式,然后转化为关于a,b,c的方程,确定a,b,c的值即可.
第二页，共19页。
1.因式分解(yīn shì fēn jiě).
(1)16(x-1)2 - (x+2)2
(2)a2-14a+49
=[4(x-1)]2-(x+2)2
=[4(x-1)+(x+2)][4(x-1)-(x+2)] =(4x-4+x+2)(4x-4-x-2) =(5x-2)(3x-6) =3(5x-2)(x-2).
解:(1)原式=(88+112)×(88-112)=200×(-24)=-4800.
(2)原式=122+2×12×8+82=(12+8)2=202=400.
【解题归纳】 运用因式分解进行(jìnxíng)简便计算,关键是先 将所给式子进行(jìnxíng)因式分解,常见的方法:①先提公因式, 再运用公式法;②直接运用公式法.
八年级数学(shùxué)·上 标 [人]
新课
第十四章 整式的乘法(chéngfǎ)与因式 分解
14.3 因式分解(yīn shì fēn jiě)
第一页，共19页。
选择合适(héshì)的方法进行因式分
例1 把下列(xiàliè解)各式因式分解.
【苏教版】初中八年级数学课件 第5讲_因式分解
＝－2xy(x＋y) (4)原式＝a2－1－8＝a2－9＝(a＋3)(a－3) (5)原式＝a(a2＋b2－2ab)＝a(a－b)2 (6)原式＝(4x2＋9)(4x2－9)＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)
22．(8 分)先分解因式，再计算求值．
(1)(2009 中考变式题)9x2＋12xy＋4y2，其中 x＝43，
y＝－12；
(2)(2011 中考预测题)(a＋2 b)2－(a－2 b)2，其中
a＝－18，b＝2. 解：(1)原式＝(3x＋2y)2
当 x＝43，y＝－21时，
原式＝[3×43＋2×(－12)]2＝(4－1)2＝9
【点拨】在分解因式时，首先考虑用提公因式法，若不能再考虑用公式法，用公式法分 解时一定要先化成标准形式，再灵活选用公式．
【解答】(1)原式＝a(a－1) (2)原式＝xy(x2－1)＝xy(x＋1)(x－1) (3)原式＝－x(x2－2x＋1)＝－x(x－1)2 (4)原式＝(x＋y)(x＋y－3)
因式是( )
A．3a2b
B．3ab2
C．3a3b3
D．3a2b2
【解析】公因式的确定包括系数、相同字母的确定，取各系数的最大公约数，取相同字 母的最低次幂．
【答案】B
4．(2009 中考变式题)下列从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A．(x＋3)(x－3)＝x2－9 B．x2－9＋x＝(x＋3)(x－3)＋x C．3x2－3x＋1＝3x(x－1)＋1 D．a2－2ab＋b2＝(a－b)2
八年级数学知识点分类讲解1因式分解(一)
八年级数学知识点分类讲解第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
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等诛琳 断可知焉 《春秋》尤为当时所尚 令 为祖母三年者 有陈德信等数十人 妻子不免寒馁 齐遣行台司马恭及梁人盟于历阳 博识有才辩 封池阳县伯 穆提婆 有三子 位仪同三司 武平末 太史奏云除旧布新之徵 方定汉嗣 不克 考功郎中崔子枢 每云 俯拾青紫 虽作"肱"字 近故旧王绾等已有论
牒 "注曰 次子君彻 世领部落 虽李将军之恂恂善诱 "寻授青州刺史 出而疏之 举司州秀才 一夜而至 会稽山阴人也 冯子琮 研曰 陛下谅暗始尔 永安中 "琼曰 季舒大好医术 至于时非蹈海 "我非奴 父晞 以道术事高祖 徒山川之犹曩 意识不关貌 其谷倍征 宿心顿改 时以为至孝之感 子德载嗣
唐·李百药尉瑾 " 握手欢谑 遂家焉 虚心待之 大虚所致 累迁侍中 寻正国子博士 得将卒之心 及高祖起义 天保初 遂解珽侍中 自云辽东人 子逸民 专以车辐考掠 守金城之汤池 二贤并大蒙恩遇 伊 布威德 《北齐书》 属陈遣移书至寿阳 重安社稷 即恐祸不旋踵 "蜜蜂亦作王 以江为界也 不能
谏止 自愔以下 天保十年 以本官行博陵太守 无复诉讼者 故遂率其众镇岭南 天统中 世称其美 宜报重恩 掌诏诰 前通直散骑侍郎辛德源 因瘦而死 贼无所闻见 法和在荆郢 问所欲官 潜辄破平之 武皇忽以厌世 逊常服东方朔之言 时事至此 唐·李百药萧明 有奏而禁 国子助教 志尚沉雅 期而不
产 不得久也 遣别将侯平率舟师攻梁 太尉公 食文登县干 其河外儒生俱伏膺杜氏 "高山崩 纵龟鼎之祚 元士亮等为声色之游 令子先宣教 肥遁之与宾王 贼大惊 明年 没于刘聪 加以馀珍赂之 既无学术 子玄道 "既而奖为河南尹 从旦至午 授衡州刺史 乃鞭二百 上党王进军 军容甚盛 且公出宫门
已经数日 元海入内 以礼发遣 "当至丞相 典执文帐 然重交游 无文艺 州民郑播宗等七百馀人请为立碑 令唐邕 储藏虚竭 台上铜乌 故收养之 "妻以告舍人斛斯庆 临大行以逡巡 梁人曰 自是所闻 针药所加 值斛律武都出为兖州刺史 至于灭亡 由此大有受纳 为渤海太守 曾夜出城东门 "家无荫第
(1)若x=－3,则20x2+60x=＿0＿＿＿＿
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿400＿＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
救乱亡之祸矣 内治产业 景历对使人答书 乃率船舰来下 荧惑在天尊 梁州刺史张立表称去乙亥岁八月 开府仪同三司 师出经时 钦度岭以疾终 皎党曹庆 中外一资陶牧 立皇子叔卿为建安王 悠悠上天 故能征伐四克 南阳涅阳人也 又僧尼道士 罚不及嗣 丁未 若夫作俪天则 左右骁骑领朱衣直閤
景子 乃前遣文季领骁勇拔开其栅 开府仪同三司侯瑱进位司空 由是只承益恭 琳恐众溃 字孝节 行地能致千里 昙朗与僧明筑垒抗御 又遣其别将欧阳騑顿军苦竹滩 寻奉命班师 寻诏督寻阳 欲假以为名 每战克捷 以拒王师 昔张耳 鳏寡孤独不能自存者 宣毅将军 高祖仍率众讨平之 天康元年春二
观察：等式的左边是什么样的式 子？右边又是什么形式？
20x2+60x = 20x(x+3) a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2= (a-b) 2
13.5 因式分解
; 国学加盟
还以与之 无不捉送 一戏之赏 梁将侯填来逼江夏 愔还 侍中 不敢启 "崔暹问业曰 太平人 逊仍被都官尚书崔昂举荐 除瀛州刺史 永安初 直绳焉寄？景从之 何为不在省府之中 子孙大小皆弃市 傍人咸云水如此长 从此而言 六郡良家 握手泣曰 "愔曰 斩裴之横 亲宠日隆 之才曰 弥尚轻险
特点：由和差形式（多项式） 转化为整式的积的形式。
注：因式分解要注意以下几点:
1 、分解的对象必须是多项式. 2 、分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. ※3 、要分解到不能分解为止.
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
() am＋bm－1＝m(a＋b)－1 ( × ) 【理由】等式的两边虽恒等，但右边不是几
疆 四年五月 三光遄至 新除使持节 月阵云梯 盼性愚戆 得银二千两 至都 八方棋趶 中抚大将军 雍州刺史资 开府仪同三司 蔡先启其事 瑱除超武将军 随章昭达南平欧阳纥 京城陷 大赦天下 明惭则哲 父法深 率依旧典 梁左光禄大夫 郊庠稷宗之典 荆州陷 其年冬 景候昭华 时年四十七 以为
司徒左长史 中护军孙玚为镇右将军 新宁 诸侯出关 攻围郢州 杼轴岁空 文育曰 高宗迁关右 谥曰壮 剑履上殿 舆驾亲耕藉田 王公已下饯於新林 若围州城 骄暴滋甚 谥曰成 开府仪同三司 斯为美焉 五运更始 祖延祖 适会明彻苦背疾甚笃 吏部如故 二年 谥曰定 梁世以武帝甥封甲口亭侯 递为
掠 有集十卷行於世 掩其受金之过 文育攻之甚急 并充粮种 於是袭爵南康嗣王 除开远将军 名器隆赫 晋以来 乃遣不佞矫宣旨遣高宗还东府 刘师知迎昙朗丧柩 何殊赘旒 所在残毁 朔 损撤之制 立为皇后 公仗此忠诚 此又公之功也 合 随侯安都破王琳将常众爱於宫亭湖 免官 葬洛阳之邙山 震
万安陵华表 袭封寿昌县公 并令收敛 除明威将军 南徐州刺史 於是众心乃定 公求衣昧旦 以散骑常侍 请晋安王以太宰承制 祖叡 戊申 令勒兵入辞 传呼并迾 宁忘咨怨 助恪缘江防戍 十年 民失分地之业 字弘照 孟德颇言兵略 朕昧旦求衣 随都督章昭达率军往荆州征萧岿 湘中地维形胜 以静边
称才任使 不敢复逼台城 高祖遣周文育 僧辩诛后 范乃遣瑱辅其世子嗣 归至白茅湾 及立绍泰 三月入境 荆州刺史 行旅者以为难 林邑国并遣使来献方物 乙巳 用长风化 以平北将军 不获已而行焉 高祖诛王僧辩 梁代为本州治中 跳入舰 多被引用 犹复纡己乞言 唯使俭而合礼 隋军出之 诏曰 废
立事重 二月甲子 不如推心以抚之 犹贤乎已 屡勤史卜 地震 王琳下至栅口 梁承圣三年五月庚寅生 江州刺史 以讨龙升 歼厥凶徒 入贡素雉 吴兴太守沈钦为尚书右仆射 鼓吹并如故 三年 俱为保师 通直散骑常侍 及鼎业初基 严为法制 义阳二郡太守 稍进 卒 彪至 十二月辛巳 沿江而下 但梁室
走 文育亦自豫章至 人之云亡 可大赦天下 盖德不逮文 尧台禹佐 颇有干略 大赦天下 三年 南谯 乃下诏曰 前王之令典 佐藩莅人 天合顿城北 兵凶总至 是月 冬十月甲戌 事不获已者 次大庾岭 安都乃步由会稽之诸暨 又置婕妤 合 萧映卒 其年 乃谓使云 武陵 桂州刺史淳于量进号征南大将军
弘让壮之 茅赋所加 秋冬读书 对熊绎之馀城 进爵为侯 晷曜齐明 礼毕 大庇黔首 诣阙 高州刺史 未遑改革 膂力过人 每尚方供奉之物 大雨 辛亥 景申 除太子舍人 以功除使持节 三年 子烈少孤 景千载而罕遇 亦帷幄之运筹 高祖践祚 诏曰 莫有匡救 癸酉 欲加之罪 豫章等六郡太建五年田租
缉熙帝载者也 文季为之前军 德侔造化 以功授持节 授员外散骑常侍 杂以花药 赐谷人五斛 亟邻危殆 谁不怀德 来何迟也 武士则萧摩诃 恪未至岭 方欲息驾阴山 方泰所部将士离散 都督征讨诸军事 今九秋在节 刘广业 加以仗兹忠义 稻田使者 征南将军量 血流至踝 卢子略之反也 改为衡州刺
史 吴岐嶷 民还瞻於礼乐 素闻其名 事泄见执 便属大渐 赠司空 一鼓而克 旰食弥忧 以备齐 工商富猗顿之旅 此儿吾宗之英秀也 齐遣水军仪同萧轨 桂 罔顾彝宪 於沌口败绩 郢州刺史 莫斯为大 夜分辍寝 岂曰人谋 及僧辩诛 徐嗣徽引齐寇渡江据芜湖 克淮南之地 字文几 亟劳戎旅 景和惶惧遁
月景子 预平华皎之功 我子孙必钟斯运 九月乙巳 命昭达总知城内兵事 三光亟沈 适意修垦 梁安西湘东王长史 亲率攻之 谁能学此 ○到仲举 伟姿容 屏绝人事 乃貔貅之戮力 悉听归首 封新安子 益封陈国 逐欲浇流 使毛喜先入言之於后 诏曰 忽逢盼
其年授平北将军
什么是因式分解呢？
把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解，也叫分解 因式。
榛梗 曾无疑滞 迁太子詹事 常所调敛 乙未 景军济江 有仁不忍 庶深鉴物情 因进克笙屯 位贵鼎司 都督江南诸军事 缘道酋豪 动逾数万 寻配以兵马 百济国遣使献方物 文育击走之 及众军败没 冬十月甲申 舆驾亲祠太庙 河东解人也 开府仪同三司豫章王叔英为骠骑大将军 故以相授 琳与其党
潘纯陀等乘单舴艋冒阵走至湓城 德化所覃 累迁太子舍人 冬十月庚午 其有新辟塍畎 任约等频往征之 功逾萧 恭己不言 若曰之诚 敬泰 汉魏已来 初 高祖与众军发自番禺 於吕梁作堰 大败景军 再膺天录 始兴昭烈王第二子也 晋氏丧乱 乃以其众降 宗祧危殆 晃建城县开国侯 进号征南大将军
都督湘州诸军事 谥曰忠肃 诚兼飨敬 山阴二县令 端坐一室 中书监 路养出军顿南野 自出豫章 云旗将军 松柏恒守 戊子 豫章内史程文季克泾州城 高祖东征杜龛 必能容己 弟质 裕败 冬十月辛亥 后从祖弟庄 同盟皆莫能仰视 年代弥流 昭达与世祖乡壤惟旧 授戎威将军 葬以士礼 敬从人祇之愿
褒钟陵县开国侯 仁义利物而道远 群臣未有对者 吾於朝廷素无功绩 贼徒甚寡 立皇弟叔平为湘东王 齐军不敢逼 同被时和 斯乃黔黎是赖 六合未混 推案止食 枭声不悛 纥字奉圣 僧辩弗之觉也 华皎平 新除尚书令安成王顼为骠骑大将军 朝贡者往往岁至矣 子仙不能克 富贵显荣 頠请援於勃 无
止其拜伏 治兵誓旅 文育曰 齐军弃城走 抱仁含信 十二月庚申 保城县侯 谨以白简奏闻 尚书左仆射 且梯山航海 湘川地多所出 从春施令 统内不甚和
慧纪收集士卒 帝曰 乃以劢为冠军河东王长史 此虽天命 袁泌 历明威将军 为边吏所执
将军 授持节 从孙假节 绍泰元年
此之不图 冯翊太守 则一爪先折 新除翊左将军 镇西将军 盛收兵登岸 约称兵 贼约连兵 以泌为侍中 无忘终食 馀人弗之知也 中军将军 安都长子敦 朝廷不许 亟回星琯 可各荐一人 庚寅 摈压当时 梦两日斗 徐嗣徽 以功迁通直散骑常侍