分式复习讲义

—、基本概念

1. 形如A （A 、B 是整式，且B 中含有字母，BM 0）的式子，叫做 分

B

式.其中 A 叫做分式的分子叫做分式的分母.

整式

2. 整式和分式统称有理式，即有理式 八卡

分式

二、分式的基本性质

1. 分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分 式的值不变.用式子表示即是：

A A M A A M

B B M ' B B M

注意：在分式中，分母的值不能是零。如果分母的值是零，则分 式没有意义。

2. 符号规则：

分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式 的值不变。用式子表示即是：

-a a ； -a a a

-b b

b - b

b

三、运算法则

1.乘法法则： a c ac b d bd

2.除法法则：

a c a d ad

b d be

bc

3.加减法则： （1）a b

a b (2)

a c ad bc ad bc

c c

c

b d bd bd

bd

4.乘方法则：

n

n

a

a /

( n 为正整数，

b 0）

b b

四、例题选讲

例1.下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式?

分式复习讲义

（其中M 是不等于零的整式）

例2.当x 取什么值时， （1）—；

X —1

分析：要使分式有意义，必须且只须分母不等于零

解：（1）分母x —1工0,即x 工1.所以，当x 工1时，分式有意

x —1 义.

（2）分母2x 3工0,即x 工-?.所以，当x 工-?时，分式—

2

2

2x 3

有意义.

2 -

例3. （1）当x 为何值时，分式冷无意义？

x x 2

（2）当x 为何值时，分式 子1的值为零？

(1)-;

X

（2） | ； （ 3）诜；（4）

字

解：属于整式的有: 练习1：

（2）、（4）;属于分式的有：（1）、（3）. 1.下列各式中，1 3 弓尹"，3(a b)，-，

3x 2

2 y 3

X 2 4

2

；

是整式的有 是分式的有

2.下列各式中，哪些是整式? 哪些是分式?

2a 2b 5

1 2x

2a ，

F 列分式有意义?

（2）—.

2x 3

x 2x 3

分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，？而不是

讨论化简后的分式；②在分式 △中，若0，则分式无意义，

B

若BM0,则分式△有意义；

△的值为零的条件是0

B

B

且BM0,两者缺一不可。

2

解：(1 )要使分式 邛 —无意义，则需X 1 2

— x - 2=0.即：⑵(1)=0

x x 2

2 /

所以当2或一1时，分式再-无意义;

x x 2

⑵要使分式 好的值为零’则需1=0, 且 x 2+

2x —3

工0

,

即：⑶(1)工0 解得一1 .所以当一1时，分式

X 1

例4.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“

-”号.

-6b x 2m 7m 3x

.

5a

3y

n

6n

4y

分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，同时 改变

两个符号，分式的值不变.

6n 6n '

4y 4y

1 1. a b

例5.不改变分式的值，把分式—・的分子、分母中的各项系数

x 2 2x 3

练习2:

1.

若使分式 * 的值为°,则x 的取值为.

2 如果分式 山的值为零，那么x =

.

3x 9

(1)

3x 2 2x 1，

(3)

解:

6b 6b . 2m 2m .

5a 5a 3y 3y 7m 7m 3x 3x

a b 2 3

都化为整数.

例6.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系 数是正数：

分析：由于要求分式的分子、分母的最高次项的系数是正数，而 对

分式本身的符号未做规定，所以根据分式的符号法则， 使分式中分子、分母与分式本身改变两处符号即可。

a 2 a 2 (a 2 a 2) a 2 a 2

a 3

3a 1 (a 3 3a 1) a 3 3a 1 2 2

(2)原式：：1

F ： °

x x 1 x x 1

3

3

3 a 1 (a 1) a 1 -2 2

~

a a 1 a a 1 a a 1

说明：1.分子与分母是多项式时，若第一项的符号不能作为分

子或分母的符号，应将其中的每一项变号。

2. 两个整式相除，所得的分式，其符号法则与有理数除 法

的符号法则相类似，也同样遵循“同号得正，异号 得负”的原则。

练习3：

1 .不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“

-”号.

解:

12

4a 3b

（扁

?b) 12

6a 4b

(1)

2 a a 2 a

3 3a 1

1 x x

2 ⑵

1 x

2 x 3

(3)

1 a 3 a

2 a 1

解：（1）原式

2

x x 1 ~ 2". x x 1

（3）原式

1 1.

a b 3 4 1 17 a b 2 3