2020考研数学水平测试之线性代数测试(基础试题)(含详细答案)

2020考研数学水平测试之线性代数测试(基础试题)(含详细答案)

2020考研数学水平测试之线性代数测试（基础试题）

（含详细答案）

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1．3阶行列式j

i a =

1

1

101110

---中元素21

a 的代数余了式

21

A =（ ） A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2

2．设矩阵A=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2221

1211a a

a a

，B=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛++1211

122211

21

a a a a a a

，P 1=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛01

10

，

P 2=

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1101，则必有（ ）

A ．P 1P 2A=

B B ．P 2P 1A=B

C ．AP 1P 2=B

D ．AP 2P 1=B

3．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC=E ，则B -1

=（ ） A ．A -1

C -1

B ．

C -1A -1

C ．AC

D ．CA

4．设3阶矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛000100010，则A 2

的秩为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

5．设4

32

1

,,,ααα

α是一个4维向量组，若已知4

α可以

表为3

2

1

,,αα

α的线性组合，且表示法惟一，则

向量组4

32

1

,,,ααα

α的秩为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．设向量组4

321

,,,ααα

α线性相关，则向量组中

（ ）

A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组

合 7．设3

2

1

,,αα

α是齐次线性方程组Ax=0的一个基础

解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ） A ．212

1

,,ααα

α+ B ．133221

,,αααααα+++ C ．2

121

,,ααα

α-

D ．1

33221

,,αααααα

---

8．若2阶矩阵A 相似于矩阵B=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-3202，E 为2

阶单位矩阵，则与矩阵E-A 相似的矩阵是（ ） A ．

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛4101 B ．

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--4101

C ．

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--4201 D ．

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---4201

9．设实对称矩阵A=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--12024000

2，则3元二次型

f(x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（ ） A ．23

222

1

z z z ++ B ．23

222

1z z z -+

C ．22

2

1z z

+

D ．22

21z z

-

10．若3阶实对称矩阵A=（ij

a ）是正定矩阵，则

A 的正惯性指数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

11．已知3阶行列式

33

32

31

23222113121196364232a a a a a a a a a =6，则

33

32

31

232221131211a a a a a a a a a =_______________.

12．设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1，-2，

3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D 3=__________________. 13

．设A=

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-0121，则

A 2

-2A+E=____________________.

14.设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（-2）倍

加到第1列得到矩阵 B.若B=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛4321，则

A=______________.

15.设3阶矩阵A=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛333220100，则

A -1=_________________.

16.设向量组1

α=（a,1,1）,2

α=（1,-2,1）, 3

α=

（1,1,-2）线性相关，则数a=________. 17.已知x 1=(1,0,-1)T

, x 2=(3,4,5)T

是3元非齐次

线性方程组Ax=b 的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax=0有一个非零解向量

ξ=__________________.

18.设2阶实对称矩阵A 的特征值为1，2，它们

对应的特征向量分别为1

α=(1，1)T

,

2

α=(1，k)T

，则数k=_____________________.

19.已知3阶矩阵A 的特征值为0，-2，3，且矩

阵B 与A 相似，则|B+E|=_________. 20.二次型f(x 1,x 2,x 3)=(x 1-x 2)2

+(x 2-x 3)2

的矩阵

A=_____________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）