第十四章 线性动态电路的复频域分析 电路第五版 邱广源

频域电路
（运算模型）
例：求图示电路的冲激响应
+ 1F
+
(t)
1 u 1F
–
–
1、电源的 2、电路元件的 运算模型？ 运算模型？
3、列写方程所应用的 KVL、KCL的运算法形式？ 各种电路分析法运算法形式？
以及各种电路定理的运算法形式？
一、KCL与KVL的运算形式 1、KCL
Ik(S)=0
i1 i2 i3
一、反变换的定义
c-j
f(t)=(1/2πj) c-jF(s)estds
二、部分分式展开查表法
集总参数电路中响应变换式的特点：变换式在一般情况 下为S的实系数有理函数
例：
2 s2 1
s
1 1
s
1 1
出发点
£[ke–t]
=
k S+
£–1[
k S+
]=ke–t
一般地：F
(S)=
N(S) D(S)
=
bmSm + bm–1Sm–1 + • • • + b1S + b0 anSn + an–1Sn–1 + • • • + a1S + a0
1、F
(S)=
N(S) D(S)
=
bmSm + bm–1Sm–1 + • • • + b1S + b0 anSn + an–1Sn–1 + • • • + a1S + a0
部 当p1,p2,…,pn为D(S)=0的根时，
分 分
D(S)=(s-p1)(s-p2)…(s-pn)
式 (1) n>m(真分式) F(S)可展开为部分分式之和
电路元件
1
+
S 1 U(S)
1 S
–
结点电压U(s)
结点电压方程 (2S+1)U(S) =S
U(S)=
S 2S+1
=
1 2
–
1 4(S+1/2)
u(t)=£–1[U(S)]=
21(t)
–
1 4
e–
t
2 ε (t)
例2
100 iL 0.4H
+
50v
100F
–
100
+ –uc
k
100 – 0.1 +
+ 50 –S
+–
C:
+
U(S) –
U(S)= s1C
I(S)+
u(0-) s
R, sL,
1 sC
－－－－R、L、C运算阻抗
三、运算电路
电路 ik(t)=0 基本定律 uk(t)=0
Ik(S)=0 Uk(S)=0
电路元件 u (t)=Ri(t)
U(S)=RI(S)
VCR描述 (R、L、C伏安关系) U(S)=SLI(S)–Li(0-)
0-
= sF(s)- f(0- )
+ iC
-uC C
iC
=
C
duC dt
设 £[uC]= UC(s)
£[iC
]
=
£[C
duC dt
]
=
C[sU
C(s)-
u
C(0
-
)]来自百度文库
三、积分性质
设 £[f (t)]=F (S)
t
£[ f(x)dx]=
1 F(S)
0-
S
uC
=
1 C
iCdt
设£[iC ]= IC(s)
K1 S+1
+
K2 S+2
+
K3 S+3
K1=(S+1)F(S)=
S2+3S+5 (S+2)(S+3)
S=
=1.5
–1
K2=(S+2)F(S)=
S2+3S+5 (S+1)(S+3)
S=
=
–2
–3
K3=(S+3)F(S)=
S2+3S+5 (S+1)(S+2)
S=
=
–3
2.5
F(S)= S2+3S+5 = (S+1)(S+2)(S+3)
|S=
–125+j96.8
=
0.25S+62.5 (S+125)2+9375
=0.204 – 52.2º
100 iL 0.4H
+
50v
100F
–
100
+ –uc
k
iL(0-)=0.25A uC(0-)=25v
IL(S)
=
0S.+201425––j5926..28º+
0.20452.2º S+125+j96.8
S2+1 S2+2S+2
=1 -
2S+1 S2+2S+2
2、D(s)的根 令D(S)=0，得到D(S)的根p1,p2,…,pn 根的三种情况讨论：(1)实数单根；(2)复数根； (3)重根
3、常数Ki的两种求法：
法一、
F(S)=
K1 S –p1
+
K2 S –p2
+
•
•
•
+
Ki S –pi
+•
•
•+
iL(t)=0.408e–125tcos(96.8t–52.2º) (t0)
例：£[kcost]= £[0.5k(ejt+ e–jt)]
=0.5k(
1 S–j
+
1 S+j
)
=k
S S2+2
二、微分性质 设 £[f (t)]=F (S)
£[ddf(tt)]=SF(S)–f(0-)
£[f(t)]= ∞ f(t) e-stdt 0-
=
f(t)e-st
- ∞
0-
∞(-s)e-stf(t)dt
U(S)= S1C
I(S)+
u(0-) S
R、L、C等元件
运算阻抗(或导纳)和附加电源
电源 uS(t)、iS(t)
£
US(S)、IS(S)
时域电路
运算电路
(频域电路)
14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例1 求图示电路的冲激响应 电源
+ 1F
+
+
(t)
–
1 u 1F –
1 –
电路定律、分析法
uC (0- ) = 0
K3=
S2+3S+7 (S+2)2+4
S= –1=1
f(t) = 0.25ej90oe(-2+j2)t + 0.25ej-90oe(-2-j2)t + e-t (t 0)
=0.5e–2tcos(2t+90°) + e–t t 0
（3）D(S)有重根pi ，含有(s-pi)n的因式
设含有(s-p1)3的因式
£[u
C
]
=
£[
1 C
iCdt] =
1 s
uC
(0
)
1 C
1 s
IC(s)
四、延迟性质
若 £[f (t)]=F (S) 则 £[f (t-t0)]=e-st0F (S)
u(t) = ε(t) - ε(t - t0 ) u(t)
1
0 t0 t
£[u(t)]
£[ (t)] £[ (t t0 )]
1 1 e-st0 ss
例：
+
5V-
2
2H
i
-uC+
0.5F
uC(0–)=1V i (0–)=0.5A 求电流响应i(t)
£[i(t)]=I(S) £[5]=5/s
2i+2ddti + 01.5-t∞idx =5
1
0.5
t
id
-∞
=
uC(0- )+
1 0.5
t
id
0-
£( 2i + 2ddti
+1+
1 0.5
t
0–idx
K13 = (s +1)3F(s) s=-1 1
(s + 1)2 F(s) = s + 2 (s + 1)
(s + 1)F(s) = s + 2 (s + 1)2
K12 = ?K11 = ?
K1n = (s - p1 )n F(s) s=p1
K 1i
=
1 (n - i)!
*
dn-i
(s - p1 )n dsn-i
s=-1
=1
1 d2[(s + 1)3 F(s)]
1 d2(s + 2)
K11 2 *
ds2
s=-1
=
* 2
ds2
s=-1 = 0
f(t) = te-t + 1 t2e-t 2
14-4 运算电路
获得复频域代数方程的途径
时域电路
微分方程 £
(初始条件)
频域(S) 代数方程
（讨论电路基本定律、分析法、 电路元件的VCR方程的运算形式）
i(t)=C
du(t) dt i(t)
C
+ u(t) –
U= 1 I jωC
I
+
1 jωC
–
U
二、电路元件的运算模型(VCR关系)
I(S) R
R: +
U(S)
-
U(S)= R I(S)
-Li(0-)
I(S) sL
+
L: +
U(S) -
U(S)= sL I(S)–Li(0-)
I(S)
1 sC
u(0-)/S
K2=K1* 令 K1= K1 ej
则 K2= K1 e–j
f(t)= K1 eje(+j)t + K1 e–je(–j)t + • • •
= K1 et [ej(t + ) + e–j(t + ) ] + • • •
=2 K1 et cos(t+ ) + • • •
注意K1是虚部为正的极点对应的那个常数
I1(S)
I2(S) I3(S)
– I1(S) +I2(S) –I3(S) =0
2、KVL Uk(S)=0
电路元件模型的回顾
时域
相量法
u(t)=Ri(t)
R
i(t) R
U = RI
IR
+ u(t) -
+U
-
L
u(t)=L
di(t) dt
i(t)
L
U = jωLI
I jωL
+ u(t) -
+ U-
C
F(s)
s=p1
例：
F(s)
=
s+2 (s + 1)3
=
K 11 (s + 1)
+
K 12 (s + 1)2
+
K 13 (s + 1)3
=
(s
1 + 1)2
+
(s
1 + 1)3
K13 = (s +1)3F(s) s=-1 = 1
K12
d(s + 1)3 F(s) ds
s=-1
=
d(s + 2) ds
14 线性动态电路的复频域分析
14-1 拉普拉斯变换的定义 14-2 拉普拉斯变换的基本性质 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14-4 运算电路 14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 14-6 网络函数的定义 14-7 网络函数的极点和零点 14-8 极点、零点和冲激响应 14-9 极点、零点和频率响应
)
=
£(5)
2£[i
(t)]+2£[
di dt
]+ £[
1
]
+
1
0.5
£[
t
0–i
dx]
=
£[5]
2I(S) + 2( SI(S) – 0.5 )+
1 S+
2 S
I(S)=
5 S
( 2+2S+
2 S
)I(S)
–
1
+
1 S
=
5 S
S+4 I(S)= 2S2+2S+2 ??
i(t)
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
例：求
F(S)=
S2+3S+7 [(S+2)2+4](S+1)
的反变换
F(S)=
S
+
K1 (2-j2)
+
S
+
K2 (2+j2)
+
K3 S +1
K1=
[S
S2+3S+7 + (2+j2)](S+1)
=0.25ej90°
S= –2+j2
K2=
S2+3S+7 [S + (2-j2)](S+1)
S= –2-j2 =0.25ej-90°
1.5 S+1
+
–3 S+2
+
2.5 S+3
f(t)=£–1[F(S)]=1.5e–t–3e–2t+2.5e–3t (t 0)
（2）D(S)除含实数单根外，还含有复数根
(a) 复数根是共轭形式成对出现的
F(S)=
K1 S–(+j)
+
K2 S–(–j)
+
•
•
•
(b) 与复数根对应的两个常数也互为共轭复数
Kn S –pn
Ki=(S–pi)F(S) S= pi
法二、Ki=
N(s) D’(s)
S=pi
设n>m
F (S)=
N(S) D(S)
=
bmSm + bm–1Sm–1 + • • • anSn + an–1Sn–1 + • • •
+ b1S + b0 + a1S + a0
令D(s)=anSn + an–1Sn–1 + … + a1S + a0=0可得根为 p1, p2,…, pn
展
开 法 的
F(S)=
bmSm + bm–1Sm–1 + • • • + b1S + b0 (s-p1)(s-p2)… (s-pn)
思 路 分
=
K1 S –p1
+
K2 S –p2
+
•
•
•
+
Ki S –pi
+•
•
•+
Kn S –pn
析
(2) n=m
F(S)= A +
N0(S) D(S)
真分式
例
F(S)=
=
00-+(t)dt
=1
£[e–t]= e–t e–Stdt 0-
= e–(+S)tdt 0-
=
1 –(S+)
e–(+S)t
0-
=
1 S+
14-2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
设 £[f1(t)]=F1(S) £[f2(t)]=F2(S)
£[1f1(t)+2f2(t)]=1F1(S) +2F2(S)
（1） D(S)有n个实数单根
F(S)=
K1 S –p1
+
K2 S –p2
+
•
•
•
+
Ki S –pi
+•
•
•
+
Kn S –pn
f(t)=
n
£–1[F(S)]=
i=1
Kie
pit
例：求
F(S)=
S2+3S+5 S3+6S2+11S+6
的反变换
F(S)= S2+3S+5 = (S+1)(S+2)(S+3)
0.4S IL(S)
+
25
S–
104/S
iL(0-)=0.25A uC(0-)=25v
IL(S)=
50 S
+0.1–
25 S
100+0.4s+104/S
A IL(S) = S+125–j96.8
+S+12A5*+j96.8
IL(S)= S20+.2255S0S++622.55000
A=
0.25S+62.5 S+125+j96.8
14-1 拉普拉斯变换的定义
£[f(t)]= 0-
f(t)e–Stdt
=F(S)
S= + j s为变量
关于积分下限0– 原函数
象函数
例
£[K]=
0-Ke–Stdt
=
1 –S
Ke–St
=
0-
K S
£[ (t)]=
0- (t)e–Stdt
=
0+
e–Stdt
=
1 S
£[(t)]= (t)e–Stdt 0-
F(S)=
K11 S –p1
+
(SK–1p21)2+(S K–p131)3+
K2 S –p2
+
•
•
•+
Kn S –pn
求K11、K12和K13
K13 = (S –p1)3 F(S) s=p1
例： F(s) = s + 2 (s + 1)3
=
K 11 (s + 1)
+
K 12 (s + 1)2
+
K 13 (s + 1)3