常数项级数的概念和性质
合集下载
常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
7.1常数项级数的概念和性质
| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1
an ( k 1) n k 1
有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3
设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1
(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
§9.1常数项级数的概念与性质
un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2） 一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组 成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的 敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛 ， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和 数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
12.1 常数项级数的概念和性质
敛的（具体解释见课本 253、254 页） 。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。
3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：
lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数 是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节 常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn
高等数学(微积分)课件-71常数项级数的概念与性质
间接法求和
定义
间接法求和是通过将级数中的某些项 进行变换，然后利用已知的级数求和
公式或性质，得到级数的和。
适用范围
适用于项数较多、数值较大的级数。
计算步骤
选择适当的变换方式，利用已知的级 数求和公式或性质，计算级数的和。
幂级数求和
01
定义
幂级数是一种特殊的常数项级数，其每一项都是某个变量的幂次方。幂
了解常数项级数的应用实例。
掌握常数项级数的收敛与发散的 判断方法。
理解常数项级数的定义和性质。
01
03 02
02 常数项级数的定义
有限级数与无限级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以明确写出 其和。
无限级数
级数的项数是无限的，其和可能是一 个有限的数、无穷大或未定型。
常数项级数的定义与示例
常数项级数是由一系列常数组成的级数，例如
03
判断常数项级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$是否收敛， 并说明理由。
解答与解析
01
对于常数项级数$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n$，由于$(-1)^n$在$n$趋向 无穷大时，其值在$-1$和$1$之间交替，因此该级数不收敛。
02
对于常数项级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$，由于$frac{1}{n^2}$是单 调递减且趋向于0的，根据收敛级数的性质，该级数收敛。其和为 $frac{pi^2}{6}$。
乘法运算
将一个级数的每一项与另一个 级数的每一项相乘得到一个新 的级数。
注意
在进行级数的四则运算时，常数项级数的求和
直接法求和
定义
直接法求和是根据级数的定义，将每一项的 值直接相加得到级数的和。
高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质.ppt
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
246
2024年9月27日星期五
10
目录
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
2024年9月27日星期五
14
目录
上页
下页
返回
例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
2024年9月27日星期五
15
目录
上页
下页
返回
内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
2024年9月27日星期五
19
目录
上页
下页
返回
3、 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(2)
n1n3
1 3n2
2n
;
解: (1) 令
则
e n1 ( n 1) !
un1 un
(n1)n1 enn!第十章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
8.1常数项级数的概念和性质
n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解 该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有 （un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解 该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有 （un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：等比级数的部分和为：
S n
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) .
1 r
当公比
|
r
|<1时，
lim
n
S
n
lim
n
a (1 r n ) 1 r
a 1 r
,
即S a . 1 r
当公比
|
r
|>1时，lim n
S
n
lim
n
a (1 r n ) 1 r
.
当公比
r
=1时，
常数项级数的概念和性质
一、无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
un u1 u2 un
n1
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数 un 的每一个项un均为常数，则称该 n 1
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个
n n 1
的敛散性.
解：由于
lim
n
|
u
n
| lim (1)n1 n n n 1
1,
故
lim
n
un
0,
该级数发散.
1
例6. 证明调和级数 n1 n 是发散的.
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S 21
1
1， 2
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1
2， 2
S8 S23
n 1
n 1
且 cun cun .
n1
n1
n
证
un 的部分和为 Sn
u
，
k
n 1
k 1
cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n
lim
n
cS
n
c
lim
n
Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
n1
n1
2. 性质2
若 un与 vn收敛， 其和分别为S1和S2，则级
故
lim
n
S
n
lnim(S1n
S2n )
lim
n
S1n
lim
n
S
2
n
S1
S2
即 级数 (un vn ) 收敛，且 n 1
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
例7.
因为等比级数
n1
1与 2 n n1
1 收敛，所以级数
3n
1
n1 2n
1 3n
也收敛.
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
2k
lim
k
1
k 2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
三、无穷级数的基本性质
1. 性质1
若c0为常数，则 un 与 cun 有相同的敛散性，
1 2n 1
Sn
1 2
1
1 3
1 2
1 3
1 5
1 1 2 5
1 7
1 2
1 2n
1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
而
lim
n
S
n
lim
n
1 2
1
1 2n 1
1 2
故
1
1 ，即该级数收敛.
n1 (2n 1)(2n 1) 2
3. 收敛级数的余项
收敛级数 un 的和S与其部分和S
n
lim na
n
当公比 r = 1时，Sn=
a, n为奇数
,
故
lim
n
Sn不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
例4. 讨论级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
的敛散性.
解：
(2n
1 1)( 2n
1)
1 2
1 2n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn S Sn um mn1
显然
lim
n
rn
0.
二、级数收敛的必要条件
定理：若级数 un n 1
收敛，则必有
lim
n
u
n
0.
证
设
un
n1
S,
则
lim
n
S
n
S
lim
n
un
lim (S
n
n
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
S
n1
SS 0
例5. 判别 (1)n1
n1
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
(u1 u2 um ) um1 um2 umk (u1 u2 um )
Smk Sm
由于Sm当m固定时为一常数，所以
lim
k
S
k
lim
k
Smk
Sm
故 级数 un 与级数 uk有相同的敛散性 .
变量的函数un = un(x), 则称级数 un (x) 为函数项 n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1
2n
n1
1 1 24
1 2n
；
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1 1 1 1 (1)n1 ;
n1
cos n cos1 cos 2 cos n .
n1
2. 级数的敛散性定义
无穷级数 un 的前n项之和： n 1 n Sn uk u1 u2 un , k 1
称为级数的部分和.
若
lim
n
S
n
S 存在，则称级数 un
n 1
收敛，
S称为级数的和： un S. n 1
若
lim
n
S
n
不存在(包括为)，则称级数
un
n 1
发散.
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n1
例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的.
问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？
答：不一定.
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
n 1
k m1
4. 性质4
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然 收敛，且其和不变.
例9. 考虑一下几个问题： (1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答：不一定.
n1
例2. 下列各式均为函数项级数
(1)n1 x n1 1 x x 2 (1)n1 x n1 , x R.
n1
an x n a0 a1x a2 x 2 an x n , | x | 1.
n0
sin nx sin x sin 2x sin nx , x R.
n1
n1
数 (un vn )也收敛, n1
且
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
证 (un vn ) 的部分和为： n 1 n
Sn (uk vk ) (u1 v1 ) (u2 v2 ) (un vn ) k 1
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S2 n
S n
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) .
1 r
当公比
|
r
|<1时，
lim
n
S
n
lim
n
a (1 r n ) 1 r
a 1 r
,
即S a . 1 r
当公比
|
r
|>1时，lim n
S
n
lim
n
a (1 r n ) 1 r
.
当公比
r
=1时，
常数项级数的概念和性质
一、无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
un u1 u2 un
n1
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数 un 的每一个项un均为常数，则称该 n 1
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个
n n 1
的敛散性.
解：由于
lim
n
|
u
n
| lim (1)n1 n n n 1
1,
故
lim
n
un
0,
该级数发散.
1
例6. 证明调和级数 n1 n 是发散的.
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S 21
1
1， 2
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1
2， 2
S8 S23
n 1
n 1
且 cun cun .
n1
n1
n
证
un 的部分和为 Sn
u
，
k
n 1
k 1
cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n
lim
n
cS
n
c
lim
n
Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
n1
n1
2. 性质2
若 un与 vn收敛， 其和分别为S1和S2，则级
故
lim
n
S
n
lnim(S1n
S2n )
lim
n
S1n
lim
n
S
2
n
S1
S2
即 级数 (un vn ) 收敛，且 n 1
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
例7.
因为等比级数
n1
1与 2 n n1
1 收敛，所以级数
3n
1
n1 2n
1 3n
也收敛.
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
2k
lim
k
1
k 2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
三、无穷级数的基本性质
1. 性质1
若c0为常数，则 un 与 cun 有相同的敛散性，
1 2n 1
Sn
1 2
1
1 3
1 2
1 3
1 5
1 1 2 5
1 7
1 2
1 2n
1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
而
lim
n
S
n
lim
n
1 2
1
1 2n 1
1 2
故
1
1 ，即该级数收敛.
n1 (2n 1)(2n 1) 2
3. 收敛级数的余项
收敛级数 un 的和S与其部分和S
n
lim na
n
当公比 r = 1时，Sn=
a, n为奇数
,
故
lim
n
Sn不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
例4. 讨论级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
的敛散性.
解：
(2n
1 1)( 2n
1)
1 2
1 2n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn S Sn um mn1
显然
lim
n
rn
0.
二、级数收敛的必要条件
定理：若级数 un n 1
收敛，则必有
lim
n
u
n
0.
证
设
un
n1
S,
则
lim
n
S
n
S
lim
n
un
lim (S
n
n
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
S
n1
SS 0
例5. 判别 (1)n1
n1
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
(u1 u2 um ) um1 um2 umk (u1 u2 um )
Smk Sm
由于Sm当m固定时为一常数，所以
lim
k
S
k
lim
k
Smk
Sm
故 级数 un 与级数 uk有相同的敛散性 .
变量的函数un = un(x), 则称级数 un (x) 为函数项 n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1
2n
n1
1 1 24
1 2n
；
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1 1 1 1 (1)n1 ;
n1
cos n cos1 cos 2 cos n .
n1
2. 级数的敛散性定义
无穷级数 un 的前n项之和： n 1 n Sn uk u1 u2 un , k 1
称为级数的部分和.
若
lim
n
S
n
S 存在，则称级数 un
n 1
收敛，
S称为级数的和： un S. n 1
若
lim
n
S
n
不存在(包括为)，则称级数
un
n 1
发散.
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n1
例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的.
问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？
答：不一定.
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
n 1
k m1
4. 性质4
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然 收敛，且其和不变.
例9. 考虑一下几个问题： (1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答：不一定.
n1
例2. 下列各式均为函数项级数
(1)n1 x n1 1 x x 2 (1)n1 x n1 , x R.
n1
an x n a0 a1x a2 x 2 an x n , | x | 1.
n0
sin nx sin x sin 2x sin nx , x R.
n1
n1
数 (un vn )也收敛, n1
且
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
证 (un vn ) 的部分和为： n 1 n
Sn (uk vk ) (u1 v1 ) (u2 v2 ) (un vn ) k 1
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S2 n