概率论第三章 习题答案

y F ( x, y ) = A( B + arctan x )(C + arctan ) 3 4
求： （1）常数 A, B, C ； （2） ( X , Y ) 的联合概率密度； （3） ( X , Y ) 的边缘分布函数和边缘概率密度； （4） P ( X < 3) ， P (Y < 4) ， P ( X < 3, Y < 4) ； （5）判断 X 与 Y 的独立性。 解 （1）依分布函数的性质知
求得 a =
1 . 3
（ 2 ）
( X ,Y )
的 联 合 分 布 函 数 F ( x, y ) 在 点 ⎜ ,
⎛3 1⎞ ⎟ 处 的 值 ⎝2 2⎠
⎛3 1⎞ F⎜ , ⎟= ⎝2 2⎠
3 1⎞ ⎛ p ⎜ X ≤ , Y ≤ ⎟ = P ( X = 1,Y = −1) + P ( X = 1,Y = 0 ) 2 2⎠ ⎝ 1 1 1 = + = . 4 4 2
第 3 章 习题全解
1．现有 10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品。从中随机抽取 2 次，每次抽取 1 件，定 义两个随机变量 X 、 Y 如下：
⎧1, 第1次抽到正品; X =⎨ ⎩0, 第1次抽到次品。
⎧1, 第2次抽到正品; Y =⎨ ⎩0, 第2次抽到次品。
试就下面两种情况求 ( X , Y ) 的联合概率分布和边缘概率分布。 （1） 第 1 次抽取后放回； （2） 第 1 次抽取后不放回。 解 （1）依题知 ( X , Y ) 所有可能的取值为 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) . 因为
P( X < Y )
=∫
+∞
y y= x
−( x+ 2 y )
0
+∞
dx ∫ 2 ⋅ e
x
+∞
dy
o x
=∫ =∫
3
0 +∞
−2 y e− x ⋅ ⎡ ⎣ −e ⎤ ⎦ x dx
+∞
0
e −3 x dx
=1 .
7．设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
⎧1 + xy , −1 < x < 1, −1 < y < 1; ⎪ f ( x, y ) = ⎨ 4 ⎪ 其它. ⎩ 0,
(3) 依联合分布函数的性质知
FX ( x) = FX ( x,+∞ ) = 1 + 1 arctan x ， 2 π 3 y FY ( y ) = FY (+∞, y ) = 1 + 1 arctan ; 2 π 4 所以 ( X , Y ) 的边缘概率密度分别为 f X ( x) = 2 3 ， f Y ( y) = 2 4 . π ( x 2 + 9) π ( y 2 + 16) (4) P ( X < 3) = FX (3) = 3 ， P (Y < 4) = FY ( 4) = 3 ， 4 4 P( X < 3, Y < 4) = F (3,4) = 9 16
+∞
0
2e − ( x + 2 y ) dy = e − x .
当 x ≤ 0 时，有 f X ( x ) = 0 . 所以 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度为
⎧e − x , x > 0; f X ( x) = ⎨ ⎩ 0, x ≤ 0.
同理可得 ( X , Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为
P( X = 0, Y = 0) = P( X = 0) ⋅ P(Y = 0 | X = 0)
=
1 1 C4 C4 ⋅ = 4 × 4 = 4； 1 1 10 10 25 C10 C10 P( X = 0, Y = 1) = P ( X = 0) ⋅ P(Y = 1 | X = 0)
（4）积分区域如图阴影部分
y
y= - 0.5x + 0.5
P( X + 2Y ≤ 1)
= =
∫ ∫
1
0 1
dx ∫
1− x 2
0
2 ⋅ e − ( x + 2 y ) dy
1− x
0.5
0
e − x ⋅ ( − e − 2 y ) 0 2 dx
o
1
x
= 1 − 2 e −1 .
（5）积分区域如图阴影部分
试求： （ 1）常数 A ； （2） ( X , Y ) 关于 X 、 Y 的边缘概率密度； （3） P (0 < X ≤ 2,0 < Y ≤ 3) ； （4） P ( X + 2Y ≤ 1) ； （5） P ( X < Y ) . 解 （1）由联合概率密度分的性质知
∫ ∫
即
+∞ 0
+∞ +∞
−∞ −∞
F( ＋∞ ,+∞ ) = lim lim F ( x , y ) = lim lim A( B + arctan x )(C + arctan x ) x→ ＋ ∞ x → +∞ x→ ＋ ∞ x → +∞ 3 4 = A( B + π )(C + π ) = 1 2 2 π F ( −∞ ,－ ∞ ) = A ( B − )( C − π ) = 0 ； 2 2 π F ( −∞ ,0 ) = A ( B − )C = AB (C − π ) = F ( 0 ,−∞ ) ； 2 2
故 ( X , Y ) 的联合概率分布为
Y
X
-1 0 1
0
1 4
1 0 1 2 0 1 2
pi⋅
1 4
0
1 4
1 2 1 2 1
p⋅ j
1 2
(2) 由(1)知 P ( X = Y ) = P ( X = 0, Y = 0) + P ( X = 1, Y = 1) = 0 . 4．否. 解 容易验证本题中 F ( x, y ) 满足二维随机变量分布函数的基本性质（ 1） （ 2） （ 3）， 但不满足性质（4） ： F (1,1) − F (1, −1) − F ( −1,1) + F ( −1, −1) = 1 −1 −1 + 0 = −1 ，故可判定 本题中 F ( x, y ) 不能作为二维随机变量分布函数。 5. 设 ( X , Y ) 的联合分布函数为
2 3
又根据
∑∑ p
j =1 i =1
ij
= 1 得 p12 + p32 = 0 ，从而 p12 = p 32 = 0 . 于是由表
Y
X
-1 0 1
0
1 0
pi⋅
1 4 1 2 1 4
p11 p21
p22
0
p31
p⋅ j
1 2
1 2
1
可得
p11 = 1 ， p31 = 1 ， p22 = 1 ， p21 = 1 − p22 = 0 . 4 2 2 4
1 4 1 6
1 4
a
求： （ 1）常数 a; （2）联合分布函数在点 ⎜ (3) P ( X = 1| Y = 0 ) . 解（1）由联合分布律的性质
⎛3 1⎞ ⎛3 1⎞ , ⎟ 处的值 F ⎜ , ⎟ ; ⎝2 2⎠ ⎝2 2⎠
∑∑ p
i j
ij
= 1知
1 = ∑∑ pij =
i j
1 1 1 + + + a, 4 4 6
=
1 1 C4 C6 ⋅ = 4 ×6= 4； 1 1 C10 C 9 10 9 15 P( X = 1, Y = 0) = P( X = 1) ⋅ P(Y = 0 | X = 1)
1 1 C6 C4 = 1 ⋅ 1 = 6 ×4 = 4； C10 C 9 10 9 15 P( X = 1, Y = 1) = P( X = 1) ⋅ P(Y = 1 | X = 1)
=
1 1 C6 C5 ⋅ = 6 ×5 = 5 ； 1 1 C10 C 9 10 9 15
所以 ( X , Y ) 的联合概率分布及关于 X 、 Y 边缘概率分布如下表：
Y X
0 1
0
2 15
4 15 6 15
1
4 15 5 15 9 15
pi⋅
6 15
9 15
p⋅ j
1
2．设 ( X , Y ) 的联合分布律为 X 1 2 Y -1 0
求两个边缘密度．
ì 1 1 + xy ì1 ï ï ï dy， -1 < x < 1 ï ,- 1 < x < 1 ï ò 解 f X ( x) = ò f ( x, y )dy = í -1 4 =ï í2 -¥ ï ï ï ï 0, 其它. ï ï 0, 其它. î î 1 1 + xy ì ì ï ï1 +¥ ï dx， -1 < y < 1 ï ,- 1 < y < 1 ï ò fY ( y ) = ò f ( x, y )dx = í -1 4 =ï í2 -¥ ï ï ï ï 0, 其它. ï ï î î 0, 其它.
+¥
8．设二维随机向量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
⎧ 2 1 ⎪ x + xy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2; f ( x, y ) = ⎨ 3 ⎪ 0, 其它. ⎩
试求： （ 1） ( X , Y ) 关于 X 、 Y 的边缘概率密度；
1 1 C6 C6 = 1 ⋅ 1 = 6 × 6 = 9； C10 C10 10 10 25
所以 ( X , Y ) 的联合概率分布及关于 X 、 Y 边缘概率分布如下表为：
Y X
0 1
0 4 25
6 25 10 25
1
6 25 9 25 15 25
pi⋅
10 25 15 25
p⋅ j
(5) 因为
f ( x, y )ຫໍສະໝຸດ Baidu=
所以 X 与 Y 相互独立.
12 = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) π ( x + 9)( y 2 + 16)
2 2
6. 设二维随机向量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
⎧ Ae − ( x + 2 y ) , x > 0, y > 0; f ( x, y ) = ⎨ 0, 其它。 ⎩
⎧2e −2 y , fY ( y ) = ⎨ ⎩ 0,
（3）
y > 0; y ≤ 0.
P ( 0 < X ≤ 2,0 < Y ≤ 3) =
∫
2
0
dx ∫ 2 ⋅ e −( x + 2 y ) dy
0
2 3 0 0 −2
3
= 2 ∫ e − x dx ⋅ ∫ e − 2 y dy = (1 − e )(1 − e −6 ) .
( X ⋅ Y = 0) = ( X = −1, Y = 0) ∪ ( X = 1, Y = 0) ∪ ( X = 0, Y = 0) ∪ ( X = 0, Y = 1)
所以
P( X ⋅ Y = 0) = P( X = −1, Y = 0) + P( X = 1, Y = 0) + P( X = 0, Y = 0) + P( X = 0, Y = 1) ＝p11 + p31 + p 21 + p 22 = 1
解得 A = 12 ， B = C = π .
π
2
(2) f ( x, y ) =
∂ F ( x, y ) ∂ ⎛ 1 π = ⎜ 2 ( + arctan x ) ⎞ ⎟⋅ ∂y∂x ∂x ⎝ π 2 3 ⎠ = 12 ; π 2 ( x 2 + 9)( y 2 + 16)
2
1 ⋅1 2 4 y (1 + ) 16
1
（2）类似于（1） ，可求 得
P( X = 0, Y = 0) = P( X = 0) ⋅ P(Y = 0 | X = 0)
=
1 1 C4 C3 ⋅ = 4 ×3= 2； 1 1 10 9 15 C10 C9
P( X = 0, Y = 1) = P ( X = 0) ⋅ P(Y = 1 | X = 0)
1 P ( X = 1, Y = 0 ) 3 （3） P ( X = 1| Y = 0 ) = = 4 = . 1 1 7 P (Y = 0 ) + 4 3
3. 已知随机变量 X 、 Y 的概率分布分别为
X P
-1 1 4
0
1 2
1
1 4
Y P
0
1 2
1
1 2
且 P ( X ⋅ Y = 0) = 1 ，求 （1） X 和 Y 的联合概率分布； 解 （1）因为 （2） P ( X = Y ) .
1 1 C4 C6 = 1 ⋅ 1 = 4 × 6 = 6； C10 C10 10 10 25 P( X = 1, Y = 0) = P( X = 1) ⋅ P(Y = 0 | X = 1)
=
1 1 C6 C4 ⋅ = 6× 4 = 6； 1 1 C10 C10 10 10 25 P( X = 1, Y = 1) = P( X = 1) ⋅ P(Y = 1 | X = 1)
f ( x , y ) dxdy =
+∞ 0
∫
+∞
0
dx ∫
+∞
0
A ⋅ e − ( x + 2 y ) dy = 1 ，
A∫ e − x dx ⋅ ∫ e − 2 y dy = 1 ， 求得 A = 2 .
f X ( x) = ∫
+∞
（2）当 x > 0 时，有
−∞
f ( x , y ) dy = ∫