2.2高等数学矩阵的运算

当矩阵为对称矩阵时, 当矩阵为对称矩阵时 结果为 2 2 2 a11 x1 + a22 x2 + a33 x3 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 λ 1 0 例5: 设A = 0 λ 1 , 求A k . 0 0 λ λ 1 0 λ 1 0 λ 2 2λ 1 解 : A 2 = 0 λ 1 0 λ 1 = 0 λ 2 2λ . 0 0 λ 0 0 λ 0 0 λ2 λ2 2λ 1 λ 1 0 λ3 3λ2 3λ A 3 = A 2 A = 0 λ 2 2λ 0 λ 1 = 0 λ 3 3λ 2 0 0 λ 2 0 0 λ 0 0 λ 3
由矩阵转置和对称矩阵的定义可得: 由矩阵转置和对称矩阵的定义可得 方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是: 方阵 为对称矩阵的充分必要条件是 A=AT. 方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是: 方阵 为反对称矩阵的充分必要条件是 –A=AT. 设列矩阵X 满足X 例7: 设列矩阵 = (x1 x2 ··· xn)T, 满足 TX = 1, E为 为 n 阶单位矩阵 H = E – 2XXT, 证明 H为对称矩阵 且 阶单位矩阵, 证明: 为对称矩阵 为对称矩阵, HHT = E. 证明: 证明 因为 HT = (E – 2XXT)T = ET– 2(XXT)T = E – 2XXT = H. 所以, 为对称矩阵 为对称矩阵. 所以 H为对称矩阵 HHT = H2 = (E – 2XXT)2 = E2 – E(2XXT) – (2XXT)E + (2XXT)(2XXT) = E – 4XXT + 4(XXT)(XXT) = E – 4XXT + 4X(XTX)XT = E – 4XXT + 4XXT = E
证明任一n 阶方阵A 例7: 证明任一 阶方阵 都可表示成对称阵与反 对称阵之和. 对称阵之和 证明: 证明 设 C = A + AT, 则 CT = ( A + AT)T = AT + A = C, 所以, 为对称矩阵 为对称矩阵. 所以 C为对称矩阵 设 B = A – AT, 则 BT = ( A – AT)T = AT – A = –B, 所以, 为反对称矩阵 为反对称矩阵. 所以 B为反对称矩阵 1 1 1 1 T ) + ( A − AT ) = C + B , A = (A + A 2 2 2 2 从而, 命题得证. 从而 命题得证 2、方阵的行列式 、 定义: 阶方阵A 定义 由n 阶方阵 的元素所构成的行列式叫做 方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA . 方阵 的行列式 2 3 例如: 例如 A = 6 8 , 则 A = 2 3 = −2. 6 8
k =1
( i=1,2,···, m; j=1,2,···, n ). 并把此乘积记作C=AB. 并把此乘积记作C=AB.
− 16 − 32 C = − 2 1 − 4 − 2 − 4 = 3 例1: 2 2×2 6 2×2 8 ? 16 2×2 × 3 例2: (1 2 3) 2 = (1 × 3 + 2 × 2 + 3 × 1) = (10). 1
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义: 定义 设两个同型的 m×n 矩阵 = ( aij )与B = ( bij ), × 矩阵A 与 那末矩阵A与 的和定义为 的和定义为(a 记作A+B, 即 那末矩阵 与B的和定义为 ij+bij), 记作 a11 + b11 a12 + b12 L a1n + b1n a +b a 22 + b22 L a 2 n + b2 n 21 A + B = 21 L L L L a m 1 + bm 1 a m 2 + bm 2 L a mn + bmn 3 − 5 1 8 9 12 0 + 6 5 4 例如: 例如 1 − 9 3 6 8 3 2 1 12 + 1 3 + 8 − 5 + 9 13 11 4 0 + 4 = 7 − 4 4 . = 1+ 6 −9+ 5 3+3 6+2 8 9 8 + 1 6
0 3 4 1 2 1 B= . 3 1 1 − 1 2 − 1 1 0 − 1 2 0 3 4 − 5 6 7 − 1 1 3 0 1 2 1 = 10 2 − 6 . C = AB = 0 5 − 1 4 3 1 − 1 − 1 2 1 − 2 17 10 注意: 注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时, 两个矩阵才能相乘. 的行数时 两个矩阵才能相乘 1 2 3 1 6 8 3 2 1 6 0 1 不存在 不存在. 例如: 例如 5 8 9
由此归纳出 k (k − 1) k − 2 k k −1 λ λ kλ 2 (k ≥ 2 ) Ak = 0 kλk −1 λk k 0 λ 0 用数学归纳法证明. 用数学归纳法证明 当k=2时, 显然成立 时 显然成立. 假设, 时结论成立, 假设 当k=n时结论成立 对 k=n+1时, 时结论成立 时 n(n − 1) n− 2 n n −1 λ λ nλ 2 λ 1 0 0 λ 1 A n +1 = A n A = 0 nλn−1 λn 0 0 λ 0 λn 0
四、矩阵的其它运算
１、转置矩阵 定义: 把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 定义 把矩阵 的行列互换 所得到的新矩阵 叫 矩阵A 的转置矩阵, 记作A 做矩阵 的转置矩阵 记作 T. 1 4 1 2 2 , AT = 2 5 ; 例如: 例如 A = 4 5 8 2 8 B T = (18 6). B = 18 , 6 转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (λA)T = λAT; (4) (AB)T = BTAT;
(n + 1)n λn−1 n +1 n (n + 1)λ λ 2 (n + 1)λn = 0 λ n +1 n +1 0 λ 0 都有: 所以对于任意的 k 都有: k (k − 1) k − 2 k k −1 λ λ kλ 2 . Ak = 0 kλk −1 λk k 0 λ 0
说明: 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加 法运算. 法运算 矩阵加法的运算规律 (1) 交换律 A+B = B+A. 交换律: (2) 结合律 (A+B)+C = A+(B+C). 结合律: − a11 − a12 L − a1n −a − a 22 L − a 2 n 21 (3) − A = = (− a ij ) . L L L L − a m 1 − a m 1 L − a mn 称为矩阵 的负矩阵. 矩阵A的负矩阵 称为矩阵 的负矩阵 (4) A+(–A) = O, A–B = A+(–B).
二、数与矩阵相乘
定义: 与矩阵A=(aij)的乘积定义为 λaij), 记作 的乘积定义为( 定义 数λ与矩阵 的乘积定义为 λA 或Aλ, 简称为数乘 即 简称为数乘 数乘. λa11 λa12 L λa1n λa λa 22 L λa 2 n . λA = Aλ = 21 L L L L λa m 1 λa m 1 L λa mn 数乘矩阵的运算规律 为同型的m× 矩阵, 为数: 设A, B为同型的 ×n 矩阵 λ, µ为数 为同型的 (1) (λµ)A = λ(µA). (2) (λ+µ)A = λA+µA. (3) λ(A+B) = λA+λB. 矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算 线性运算. 矩阵的加法与数乘运算 统称为矩阵的线性运算
= ( a11x1+a21x2+a31x3
x1 a12x1+a22x2+a32x3 a13x1+a23x2+a33x3） x2 x3
2 × 2 2 4 2 × 2 = 2 4 . 3 6 3×2 a13 x1 x a 23 2 a 33 x 3
=(a11x1+a21ຫໍສະໝຸດ Baidu2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3
2 2 2 = a11 x1 + a22 x2 + a33 x3
+ (a12 + a21 ) x1 x2 + (a13 + a31 ) x1 x3 + (a23 + a32 ) x2 x3 .
2 , − 2
a12 a13 x1 a 22 a 23 x 2 . a 32 a 33 x 3
2 ×1 2 2 (1 2) = 2 × 1 解(1): 3 1 3 × a11 a12 a 解(2): ( x1 x 2 x 3 ) 21 a 22 a 31 a 32
k AkAm=Ak+m,
AB = 0 0 , 0 0 BA = 2 − 2 故, AB ≠ BA. 计算下列矩阵乘积: 例4: 计算下列矩阵乘积 a11 2 2 (1 2), (2) ( x1 x 2 x 3 ) a 21 (1) 3 a 31
1 7 − 1 例6: 已知 A = 2 0 − 1, B = 4 2 3 , 求(AB)T. 1 3 2 2 0 1 解法1: 解法 因为 1 7 − 1 0 14 − 3 AB = 2 0 − 1 4 2 3 = 17 13 10 , 1 3 2 2 0 1 0 17 T 所以 ( AB) = 14 13. − 3 10 解法2: 解法 1 4 2 2 1 0 17 (AB)T=BTAT = 7 2 0 0 3 = 14 13. − 1 3 1 − 1 2 − 3 10
例3: 求AB, 其中 1 0 − 1 2 A = − 1 1 3 0 , 0 5 − 1 4
矩阵乘法的运算规律 (1) 结合律 (AB)C = A(BC); 结合律: (2) 分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA; 分配律 (3) λ(AB) = (λA)B = A(λB), 其中λ为数 为数; (4) Am×nEn = EmAm×n = A; × × (5)若A是n 阶方阵 则Ak为A的k次幂 即 若 是 阶方阵, 次幂, 的 次幂 Ak = 123 AAL A 4 4 并且满足幂运算律: (Am)k=Amk, 并且满足幂运算律 其中k, 为正整数 为正整数. 其中 m为正整数 注意: 矩阵乘法不满足交换律, 注意 矩阵乘法不满足交换律 即: AB ≠ AB, (AB)k ≠ AkBk, 因此, 因此 A = 1 1 , B = 1 − 1 , 则 − 1 − 1 例如: − 1 1 例如 设
三、矩阵与矩阵相乘
定义: 定义 设A = ( aij )是一个 m×s 矩阵 B = ( bij )是一个 是一个 × 矩阵, 是一个 s×n 矩阵 定义矩阵 与矩阵 的乘积 C = ( cij )是一个 与矩阵B的乘积 × 矩阵, 定义矩阵A与矩阵 是一个 m×n 矩阵 其中 × 矩阵, s c ij = a i 1b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj = ∑ a ik bkj