计算旋转体体积的“柱壳法”

May 2012
四川大学数学学院 徐小湛
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同济大学《高等数学》（第六版）286页 在一道习题中要求学生推导“柱壳法”。
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1302:5 1:3702: 51:37D ecembe r 13, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 2时51 分37秒0 2:51:37 20.12.1 3
y f (x)
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a
b
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用以下方法求体积元素： 体积元素是一层柱壳的体积的近似值
y f (x)
y
x x dx
V [(x dx)2 x2 ]y [2xdx (dx)2 ]y
(2xdx) y 2 xydx dV
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。02:5 1:3702: 51:3702 :5112/ 13/2020 2:51:37 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 302:51: 3702:5 1Dec-20 13-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 02:51:3 702:51: 3702:5 1Sunda y, December 13, 2020
2
2 0 [a(t sin t)][a(1 cos t)]d[a(t sin t)] 2 2 [a(t sin t)][a(1 cos t)]2 dt
0
2 a3 2 (t sin t)(1 cos t)2 dt 0
2 a3 3 2 6 3a3
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2010.4.7
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 2时51 分20.12. 1302:5 1December 13, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月13日 星期日 2时51 分37秒0 2:51:37 13 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 2时51 分37秒 上午2时 51分02 :51:372 0.12.13
柱壳法的方便之处：虽然图形是绕 y 轴旋转， 但是柱壳法却是沿 x 轴积分。这样做有时 会给我们的计算带来极大的便利。
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设 f (x) 0 (0 a x b)
由曲线 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的曲 边梯形绕 y 轴旋转一周，得一旋转体。 求旋转体的体积 V。
用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积：
Vx
sin2 xdx 2
0
2
y sin x
0
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用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积：
Vy
2
x sin xdx
0
2 2
y sin x
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dV 2 xydx
体积元素是一层柱壳 的体积的近似值
b
b
V dV 2 xydx 柱壳法
a
a
柱壳
柱 壳 半 径
柱
柱 壳 的 高
壳 的 厚 度
wenku.baidu.com
度
a
b
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柱壳法示意图
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柱壳法示意图动画
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例 求 y sin x (0 x )
与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴 所得的旋转体的体积。
同济大学《高等数学》（第六版）286页20题。
解
y sin x
0
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柱壳法
Shell Method
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柱壳法 是计算 xOy 坐标面上的图形绕 y 轴 旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微 积分教材一般都有这个公式的介绍（他们 叫Shell Method）。
柱壳法的思路是将旋转体分成很多很薄的 柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积 累积起来，得到旋转体的体积。
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附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介 绍
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美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍 Volumes by Cylindrical Shells
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例
求摆线
x a(t sin t)
y
a(1
cos t)
(0 t 2 )
与 x 轴所围成的图形绕 y 轴所得的旋转体 的体积。
2a
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2 a
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用“柱壳法”求图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。
2 a
Vy 2 0 xydx
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
3-Dec-2020.12.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1302:51:3713 December 202002:51
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/13/
2020 2:51:37 AM02:51:372020/12/13
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/13/
谢 谢 大 家 2020 2:51 AM12/13/2020 2:51 AM20.12.1320.12.13
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。13-Dec-2013 December 202020.12.13