第七章 间接平差

3
ˆ h H v4 X 2 4 C ˆ h H v5 X 2 5 D
其中：
ˆ1 x ˆ 2 l3 v3 x ˆ2 l4 v4 x ˆ 2 l5 v5 x
0 l1 h1 H A X 10 , l2 h2 H B X 10 , l3 h3 X 10 X 2 0 0 l4 h4 H C X 2 , l5 h5 H D X 2
第七章——间接平差
不同情况下的误差方程
1、水准网误差方程 2、方位角误差方程 • 测方向坐标平差函数模型 • 测角网函数模型 3、测边网误差方程 4、GPS网误差方程
第七章——间接平差
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立 （1）、水准网 在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差值作为 待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图，选
YAB 2 A AB
ˆ Z Z v Z AB X 3 A AB ˆ X X v X AC X 4 A AC ˆ Y Y v X ˆ Z Z v Z AC X 6 A AC ˆ X X v X AD X 7 A AD ˆ Y Y v X ˆ Z Z v Z AD X 9 A AD
习题：7.2.15
第七章——间接平差
（2）、GPS网三维无约束平差
在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点 在WGS84系下的三维坐标 X i、Yi、Z i 可看作已知数据，其余各点 作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、 Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数 为 t 3(m 1) ，因此，可选 m 1 个点的坐标平差值作为参数。 如图，以A点为参考点，即 X A , YA , Z A 已知，则t个参数为：
ˆ H ˆ , X ˆ H ˆ X 1 E 2 F
第七章——间接平差
于是有： ˆ h H v1 X 1 1 A ˆ h H v2 X 1 2 B ˆ X ˆ h v X
3 1 2
ˆ X0 x ˆi，则有 令X i i
ˆ1 l1 v1 x ˆ1 l 2 v2 x
i
习题：7.2.14
第七章——间接平差
例如右图所示的大地 四边形，其必要观测 数为4，图中待定点坐 标也是4，故选：
ˆ X ˆ , X ˆ Y ˆ , X ˆ X ˆ , X ˆ Y ˆ X 1 C 2 C 3 D 4 D
于是，误差方程为： Y YA ˆ AC arctan B v1 AB arctan XB XA
习题：7.1.04
第七章——间接平差
§7-2 误差方程
间接平差的关键是列误差方程，而列误差方 程的关键是选择待估参数（未知数）。
1、未知数的个数 在间接平差中，未知数的个数等于必要观测数t。 2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为 式中：
n1
L B X d
nt t 1
n1
ˆ l V Bx
n1 nt t 1
n1
且
v1 a1 v2 a2 V , B v a n n
YAD 8 A AD YAC 5 A AC
ˆ X ˆ X v X BC X 1 4 BC ˆ X ˆ Y v YBC X 2 5 BC ˆ X ˆ Z v X ˆ X ˆ X v X BD X 1 7 BD ˆ X ˆ Y v YBD X 2 8 BD ˆ X ˆ Z v X ˆ X ˆ X v X CD X 4 7 CD ˆ X ˆ Y v YCD X 5 8 CD ˆ X ˆ Z v X
rk ( B) t
ˆ1 b1 t1 x L1 d1 ˆ2 b2 t 2 x L2 d 2 ˆ , l , x ˆ bn t n x L d t n n
第七章——间接平差
例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m， H B =3.953m， H C =7.650m。各点的近似高程为：
H0 H B h2 5.053m p
1
H0 H A h7 8.452m p
2
H0 H C h4 7.450m p
3
观测值见下表，试列出误差方程。 1 2
第七章——间接平差
1 A
ˆ Y X 2 A L1 ˆ X X
1 A
ˆ AC ˆ AD v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
ˆ Y X A arctan 2 arctan ˆ X X
ˆ Y X 4 A L2 ˆ X X
3 A
来自百度文库
ˆ ˆ YA X YB X 4 4 ˆ DA ˆ DB arctan arctan L3 ˆ ˆ X A X3 XB X3 ˆ ˆ X ˆ YB X X 4 2 4 ˆ DB ˆ DC arctan arctan L4 ˆ ˆ ˆ XB X3 X1 X 3 ˆ X ˆ ˆ X YA X 4 2 2 ˆ CD ˆ CA arctan arctan L5 ˆ ˆ ˆ X 3 X1 X A X1 ˆ ˆ YA X YB X 2 2 ˆ CA ˆ CB arctan arctan L6 ˆ ˆ X A X1 X B X1 ˆ Y ˆ Y X X 4 B B ˆ BC ˆ BD arctan arctan 2 L7 ˆ ˆ X3 XB X1 X B ˆ Y Y A YB X B ˆ BD arctan BA arctan 4 L8 ˆ XA XB X3 XB
习题：7.2.16
第七章——间接平差
（5）、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为待 定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两 类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程 两类。可以先列角度误差方程：
ˆ Y ˆ Y k i ˆ ik ˆ ij arctan vi arctan ˆ X ˆ X k i
ˆ X ˆ ,X ˆ Y ˆ ,X ˆ Z ˆ X 1 B 2 B 3 B ˆ X ˆ ,X ˆ Y ˆ ,X ˆ Z ˆ X 4 C 5 C 6 C ˆ X ˆ ,X ˆ Y ˆ ,X ˆ Z ˆ X
7 D 8 D 9
D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ X X v X AB X 1 A AB ˆ Y Y v X
B T PV 0
B T PV 0 ˆ l V Bx
ˆ B T Pl 0 B T PBx
rk ( B T PB) rk ( B) t
1 ˆ N BB x W
N BB B T PB , W B T Pl
第七章——间接平差
第七章——间接平差
§7-1 间接平差原理
Z CD 6 9 CD Z BD 3 9 BD Z BC 3 6 BC
第七章——间接平差
（3）、三角网
在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值 h 作为待估参数，即t=2m 。 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 L j 地，角度观测值可由右图 k 表示，于是有： ˆ Y ˆ ˆ Y ˆ Y Y j h j ˆ jk ˆ jh arctan k vi arctan Li ˆ X ˆ ˆ X ˆ X X k j h j
1.100
3
2.398
4
0.200
( m)
5
6
3.404
7
3.452
hi
0.050
1.000
第七章——间接平差
ˆ H ˆ , X ˆ H ˆ , X ˆ H ˆ 解：设 X 1 p 2 p 3 p
1 2
3
0 X i0 H p i
于是误差方程为：
ˆ1 3 v1 x ˆ1 0 v2 x ˆ1 x ˆ3 1 v3 x ˆ3 0 v4 x ˆ2 x ˆ3 2 v5 x ˆ1 x ˆ2 5 v6 x ˆ2 0 v7 x
则
第七章——间接平差
ˆ 后，代入误差方程可得到改正数V。 由上式解出参数 x 进而可求得观测值的平差值：
ˆ L V L
间接平差的计算步骤
1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程； 5、计算改正数V； ˆ 6、计算观测值的平差值 L L V
ˆ X ˆ , X ˆ Y ˆ , X ˆ X ˆ , X ˆ Y ˆ X 1 C 2 C 3 D 4 D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ ) 2 (Y X ˆ )2 L v1 ( X A X 3 A 4 1 ˆ ) 2 (Y X ˆ )2 L v2 ( X B X 3 B 4 2 ˆ X ˆ )2 (X ˆ X ˆ )2 L v3 ( X 1 3 2 4 3 ˆ ) 2 (Y X ˆ )2 L v4 ( X A X 1 A 2 4 ˆ ) 2 (Y X ˆ )2 L v5 ( X B X 1 B 2 5
解只有一组。由于向量V是向量 的方法有：
ˆ 的函数，按数学上求自由极值 x
V T PV V T PV V V 2V T P 2V T PB 0 ˆ ˆ ˆ x V x x
第七章——间接平差
转置后得：
B T PV 0
将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：
B T PV 0 ˆ l V Bx
第七章——间接平差
2、随机模型 间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即 2 2 DLL 0 QLL 0 P 1 3、基础方程及其解
nn nn nn
误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t > n。 所以误差方程有无穷组解。而满足 V T PV min
第七章——间接平差
（4）、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个 待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m 。一般地， 边长观测值可由下图表示，于是有：
k
Si j
ˆ X ˆ ) 2 (Y ˆ Y ˆ )2 S vi ( X k j k j i
第七章——间接平差
例如在下图，我们选
基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。 为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得
ˆ B T Pl 0 B T PBx
因为 rk ( B T PB) rk ( B) t ，所以上式有唯一解。 令 T T
N BB B PB , W B Pl
1 ˆ N BB x W
第七章——间接平差
第七章
§7-1 间接平差原理 §7-2 误差方程
间接平差
§7-3 非线性误差方程的线性化
§7-4 精度评定
第七章——间接平差
第七章——间接平差
V T PV min
V T PV V T PV V V 2V T P 2V T PB 0 ˆ ˆ ˆ x V x x