误差原理误差的传递与合成
误差传递公式
误差传递公式的推导设间接测得量N = f （X i ，X 2，X 3），式中X i , X 2, X 3均为彼此相互独立的直接测得量， 每 直接测得量为等精度多次测量，且只含随机误差，那么间接测得量 均值N 表示）为①算术合成法求误差传递公式绝对误差传递公式:相对误差传递公式:②方和根合成法求标准偏差传递公式标准偏差传递公式:相对偏差传递公式:4m2 ，其中 m 二m - m ， d 二d -， h = h - h ，求h 的平均值和 ■d h误差传递公式。
N 的最可信赖值（用平.X 1-XX 3：：ln"F lnf■X 21 2 3；讦 ■■■2S：：：ln fS ： +2fl.I2I %丿CX 3丿S 2X3CZ石 :z<Z cz 1 △a + — A b 十—A c = A a + A b 十一 A c 。
cc .:bL X 24m2 ■ 二d h对公式—两边取自然对数：：d h4In — In In m -21 nd -In h ,In r分别对各直接量求一阶偏导数：◎In P 1 £ln P 2 £ln P 1.:m m :d d；:h h得误差传递公式：1 - - -例3：已知“a ye,其中a=a_S a，b-bg，co S c，准偏差传递公式。
准偏差传递公式。
解:■ d h1 —— _例1 ：已知z = a • b c ,其中a = a _ . a，b = b - b，c = c - c，求z的平均值和3误差传递公式。
1 —解：平均值：z = a • b c ；3z分别对各直接量求一阶偏导数：「z _ ：z z 1——=1，——=1，——=，ca cb cc 3得误差传递公式：4In = In Inm -2Ind -1nh，n：£ln P _ 1 创n P __2 剖n P __1:m m ；:d d : h hAP；：In T.:m .:d：：In ?:d:h=-l ：m - . ：d - ：h。
误差传递公式
例4：知 ，其中 ， ， ，求 的平均值和标准偏差传递公式。
解： ；
，
， ，
解：平均值： ；
分别对各直接量求一阶偏导数：
， ， ，
得误差传递公式：
。
例2：已知 ，其中 ， ， ，求 的平均值和误差传递公式。
解：平均值： ；
对公式 两边取自然对数：
，
分别对各直接量求一阶偏导数：
， ， ，
得误差传递公式：
。
例3：已知 ,其中 ， ， ，求 的平均值和标准偏差传递公式。
解： ；
， ， ，
误差传递公式的推导
设间接测得量 ，式中 均为彼此相互独立的直接测得量，每一直接测得量为等精度多次测量，且只含随机误差，那么间接测得量 的最可信赖值（用平均值 表示）为
①算术合成法求误差传递公式
绝对误差传递公式：
相对误差传递公式：
②方和根合成法求标准偏差传递公式
标准偏差传递公式：
相对偏差传递公式：
例1：已知 ,其中 ， ， ，求 的平均值和误差传递公式。
误差传递公式word精品
误差传递公式的推导设间接测得量N 二f (X i ,X 2,X 3),式中X i ,X 2,X 3均为彼此相互独立的直接测得量， 每 直接测得量为等精度多次测量，且只含随机误差，那么间接测得量 N 的最可信赖值(用平均值N 表示)为 N = f （X i ,X 2,X 3）①算术合成法求误差传递公式绝对误差传递公式:相对误差传递公式:②方和根合成法求标准偏差传递公式标准偏差传递公式:S N =相对偏差传递公式:2fl. I 2 I 0X2 丿1 — — —"“-丁，其中，b = b 「b ，-c 」c ，求z 的平均值和 误差传递公式。
1 - z = a b - c ； 3 ；z 分别对各直接量求一阶偏导数： 「z _ ：z z 1 1， 1， ca cbcc 3得误差传递公式： :f -X 2.:f.X 2-X 2例1 ：已知z解：平均值: △z =旦 A a + ca；blIn 「分别对各直接量求一阶偏导数:得误差传递公式: 1 - - -例 3：已知 z=a b c ,其中 a=a_S a , b = b_S b ，c=c_S c ,3准偏差传递公式。
准偏差传递公式。
解:■ d hIn Q = In In m -2In d -In h ，JI / In 「1 :In :2 -Tn 「 1 .:mm ；:d d ；:hh4m— 例2：已知2 ，其中m = m 二、：m ， d 二， h = h 二■■: h ，求h 的平均值和误差传递公式。
解：平均值：T 4m4m厂两边取自然对数: ：d h4 In Q = In In m - 2ln d 一 In h , .:m m：：In 2In .:d .:h：：ln ?.:m .:dIn . 1 . 2 . 1 . -h m d h 。
求z 的平均值和标 解：z 1 - =a b c ；3 ；—,J .a-z.:b S z 「A .A.：：Sc 二 S ； V [S i 。
第三章 误差的合成与分配
Δl = 500 − 499 = 1mm
⎛ l2 ⎞ ⎛ 5002 ⎞ ∂f = − ⎜ 2 − 1⎟ = − ⎜ − 1⎟ = −24 2 ∂h ⎝ 4h ⎠ ⎝ 4 × 50 ⎠ ∂f 500 l = = =5 ∂l 2h 2 × 50
误差传递系数为:
直径的系统误差:
∂f ∂f ΔD = Δl + Δh = 7.4mm ∂l ∂h
中国地质大学（武汉）
1 n ∂f Δϕ = ∑ ∂x Δxi cos ϕ i =1 i
n 1 ∂f Δϕ = ∑ ∂x Δxi − sin ϕ i =1 i
9
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 l = 500mm。已知，弓高的系统 误差 Δh = -0.1mm , 玄长的系统误 差 Δl = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
16
中国地质大学（武汉）
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
2、 相关系数估计
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
σy
2 n ⎛ ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ∂f ∂f 2 2 2 =⎜ ρσ σ ⎟ σ xn + 2 ∑ ⎜ ⎟ σ x1 + ⎜ ⎟ σ x2 + L + ⎜ ⎜ ∂x ∂x ij xi xj ⎟ ⎟ 1≤ i < j ⎝ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠ i j ⎝ ∂xn ⎠ ⎠ ρij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 2 2 2
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
误差的合成与分配ppt课件.ppt
一、函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间 有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关 系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直 接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测 量误差则是各个直接测量的函数，故称这种误 差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上 就是研究误差的传递问题.
η
η
η
η
η
ξ ρ＝１
ξ
ρ＝０.５
ξ ρ＝０
ξ
ρ＝-０.５
ξ ρ＝-１
一、函数误差 ➢误差间的相关
（2）简单计算法 (点阵计算法) (主要用于点数较多时)
cos
n1
n3 n
η n２
n1
n n1 n2 n3 n4 n３
（3）直接计算法 按相关系数的定义直接计算
n４ ξ
( i )(i ) ( i )2 (i )2
2
(
xn12
xn22
,
...,
xnN 2
)
n N
2
1i j m1
f ( xi
f x j
xim
jm
)
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
将方程两边同时除以 N ，可得
y2
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x
2
,
...,
f xn
2
2 xn
n
2
N
( f f xim jm )
1i j m1 xi x j
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差原理第三章误差的传递与合成
误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。
在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。
当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。
为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。
对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。
这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。
最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差独立且不相关的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。
平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差相互关联的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。
实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。
在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。
在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。
总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。
误差的合成与传递自行学习报告
同样合成方法也有两种，常用极限误差来表示,但有时也用标准差来表示。
合成方法都已学习或讨论过，不再阐述。
五、误差分配
任何测量过程皆包含有多项误差,而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。在进行测量工作前,应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案,合理进行误差分配,
经过推导，可得出函数的随机误差公式：
若各测量值的随机误差是相互独立的,且当N适当大时,相关项：
则相关系数ρ也为零,误差公式可简化为：
各测量值随机误差之间不相关的情况较为常见，切相关系数较小时候可做近似不相关处理，因此上述两公式便可基本用来计算函数随机误差公式。
然而在函数误差及其他误差的合成计算时,各误差间的相关性对计算结果有直接影响不可忽视时。需要计算相关系数，确定两误差间的相关系数是比较困难的,通常可采用以下几种方法：
1.直接判断法
2.实验观察和简略计算法
3.理论计算法
以上几种方法在精测课程中也都提到过，在此不多做陈述。
二、随机误差的合成
随机误差具有随机性,其取值是不可预知的,并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的合成是采用方和根的方法,同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响。
误差的合成.
误差的合成
关于误差合成的理论和方法，在误差理论的教科书中有详尽的介绍，此处不必赘述。
仪器精度分析中最常用的方法如下：
1.已定系统误差的合成
对于符号和大小均为己知的误差称已定系统误差。
这类误差按代数和合成，即
式中，εj为各已知的原始误差所引起的仪器误差，它等于原始误差与传递系数的乘积。
传递系数可由前面介绍的各种方法求出。
2.未定系统误差与随机误差的合成
式中，S1,S2，···，sP为A类（随机）不确定度分量；U1,U2，…，Ur 为确定度分量，
式中，ej为误差界（-ej,ej）；K为置信因子，可以根据分布特性确定。
式（4－17）中的R是误差之间的协方差之和。
在多数情况下，可按所谓的“误差独立作用”原理，近似地令R=0。
3.仪器的总不确定度
式中，凡为置信因子，可以根据组成误差的数目和分布特性确定。
4，仪器总误差
由于仪器制造中多数随机误差与未定系统误差属于正态分布，再加上考虑误差独立作用原理，因此在实用中（尤其在初步计算时）常常采用式（4－21）的简化形式，即
式中，εi为各项未定系统误差与随机误差分量的极限值，t＝1，2，3，…，n。
5．精度分析举例
用光波扫描干涉法测量磁盘磁膜厚度的公式为
式中，va、vb为波数，它们分别与波长九、九相对应；刀为薄膜折射率；甲为入射角。
欢迎转载，信息。
测量误差合成传递
ε = ε1 + ε 2 + K + ε m = ∑ ε i
i =1
由于所得结果是明确大小和方向的数值， 由于所得结果是明确大小和方向的数值 ， 故可直 接在测量结果中修正， 接在测量结果中修正 ， 在一般情况下最后测量结 果不应含有已定系统误差的内容。 果不应含有已定系统误差的内容。
（2）不确定系统误差的合成
若误差符号不确定：
∆y = ±( ∆x1 + ∆x 2
)
相对误差： ∆x1 ⋅ x1 ∆x 2 ⋅ x 2 ∆y ∆x1 ± ∆x 2 = γy = = ± (x1 ± x2 ) ⋅ x1 (x1 ± x2 ) ⋅ x2 y x1 ± x 2 x1 x2 = ⋅ γ x1 ± ⋅ γ x2 x1 ± x 2 x1 ± x 2
1 ∂2 f 1 ∂2 f 1 ∂2 f 2 2 2 (∆x1 ) + (∆x2 ) + K + (∆xn ) + K + 2 2 2 2 ∂x1 2 ∂x 2 2 ∂x n
1．函数误差传递的基本公式 ．
略去高阶项 绝对误差： 绝对误差：
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + K + ∆x n = ∑ ∆xi ∂x1 ∂x 2 ∂x n i =1 ∂xi
∂f 2 ∂f σy = ∂x σ x1 + ∂x 1 2
∂f 2 = ∑ ∂x σ xi = i =1 i
n 2
2
∂f 2 σ x2 + K + ∂x n
部分误差
2
2 σ xn
1．函数误差传递的基本公式 ． 假设间接测量的数学表达式为： 假设间接测量的数学表达式为：
第三章误差的合成与处理-精品文档
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
太原工业学院
误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
太原工业学院
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
太原工业学院 误差理论与数据处理
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
大物实验误差理论
04
过失误差
过失误差的产生原因
01
02
03
实验操作失误
实验过程中由于操作不当 或疏忽，导致测量结果偏 离真实值。
仪器设备故障
实验设备出现故障或误差， 导致测量结果不准确。
环境干扰
实验环境中的温度、湿度、 电磁干扰等因素影响测量 结果。
过失误差的特点与消除方法
特点
通常具有突然性和偶然性，与测量条 件和操作过程密切相关。
误差的合成方法
算术平均法
将多个测量值相加或相减，然后取平均值，以减 小随机误差的影响。
贝塞尔公式法
根据测量值的方差和它们之间的相关性，计算出 最终测量结果的误差。
蒙特卡洛模拟法
通过模拟大量可能的测量结果，计算出最终测量 结果的误差。
误差传递与合成的实例分析
单摆实验误差分析
在单摆实验中，通过测量摆长、周期和重力加速度等参数，计算单摆的周期公式中的常数g。分析这些参数的误 差如何通过公式传递并合成，得到最终测量结果的误差。
环境因素影响
如温度、湿度、压力等环境因素波动对实验结果产生 影响。
系统误差的特点与消除方法
特点
具有规律性和可预测性，往往对所有测量值产生相同或相似 的偏差。
消除方法
通过校准测量仪器、严格遵守操作规范、控制实验环境条件 等方法减小系统误差。系统误差的实例分析 Nhomakorabea01
实例1
使用未经校准的砝码测量质量， 导致所有测量值都偏大相同的数 值。
打点计时器实验误差分析
在打点计时器实验中，通过测量纸带上点的间距和时间间隔，计算物体的速度和加速度。分析测量值的误差如何 通过公式传递并合成，得到最终测量结果的误差。
THANKS
误差分析6章函数误差与误差合成
误差分析6章函数误差与误差合成在现实生活中，我们经常需要通过各种方法来测量和估计一些物理量或现象。
然而，由于测量工具的限制性和环境的干扰等原因，我们所获得的测量结果往往会有一定的误差。
因此，误差分析对于准确测量和数据处理是非常重要的。
了解函数误差的传播规律是进行误差分析的关键。
根据误差传播规律，我们可以通过对各个误差的合成和分析，来估计函数误差的大小和分布。
常用的误差合成方法有两种：线性误差合成和非线性误差合成。
线性误差合成是最简单和常用的误差合成方法。
它假设函数误差是一个线性函数，即函数误差与输入变量之间存在线性关系。
在线性误差合成中，我们可以通过计算输入变量的误差对函数输出的影响来估计函数误差的大小和分布。
具体而言，我们可以利用一次导数来估计函数误差的传播规律。
例如，对于一个函数f(x) = ax + b，如果输入变量x的误差为Δx，那么函数输出的误差可以用Δf = aΔx来估计。
非线性误差合成是对于一些非线性函数而言的，它考虑了输入变量之间的相关性和非线性关系。
非线性误差合成方法相对较复杂，需要结合数值方法和统计方法来进行分析。
其中，常用的方法有蒙特卡洛法、雅可比矩阵法和高斯-牛顿法等。
这些方法通过对各个输入变量的误差进行采样和组合，来计算函数输出的误差，并估计函数误差的大小和分布。
误差合成的目的是对函数的误差进行估计和控制。
通过合理选择测量方法、改进数据处理算法以及优化输入变量的选择，可以有效地减小函数误差，提高数据分析的准确性和可靠性。
此外，误差合成还可以帮助我们识别和排除一些异常值和离群点，从而提高数据处理的鲁棒性。
系统误差或随机误差课件
产生原因比较
总结词
系统误差和随机误差的产生原因也有所不同。
详细描述
系统误差的产生通常与测量系统的设计、制造、安装和校准等环节有关，例如仪 器本身的缺陷、测量方法的局限性等。而随机误差的产生则与测量过程中的许多 随机事件有关，例如环境噪声、测量操作者的微小差异等。
减小或消除方法比较
总结词
减小或消除系统误差和随机误差的方法也存在差异。
校准设备
定期校准测量设备，确保其准确性。
样本质量控制
确保样本的质量和纯度，以减少样本误差。
THANKS
感谢观看
提高观测者的技能和训练
通过培训和技能提升，提高观测者的 感知和判断能力，以减少观测者主观 因素对测量结果的影响。
03
系统误差与随机误差的比较
定义与特点比较
总结词
系统误差和随机误差是测量中常见的两种误差类型，它们在定义和特点上存在 显著差异。
详细描述
系统误差是指由于测量系统中某些固定因素导致的误差，它通常具有一定的规 律性和可预测性。随机误差则是指由于测量过程中随机因素引起的误差，它的 大小和方向都是随机的，不可预测。
误差传递是指测量过程中，由于测量 工具、测量方法等因素引起的测量误 差，会随着测量数据的处理和使用而 进一步传递和扩大。
误差传递的方式
减小误差传递的方法
为了减小误差传递，可以采用更高精 度的测量工具和更可靠的测量方法， 同时对测量数据进行合理的处理和修 正。
误差传递的方式包括加减、乘除、开 方等运算过程中的传递，以及函数关 系式的传递等。
生影响。
人为因素的影响
人为因素如操作不规范、读数 不准确等也会导致系统误差的
产生。
减小或消除方法
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修正已定系统误差：
L L 0 5 0 . 0 2 5 5 m m 0 . 0 0 0 8 m m 5 0 . 0 2 4 7 m m
总误差合成
1 2 i 2 1i2 j3 1 e 2 j 1 2 ( 1 2 0 .8 2 ) ( 1 2 0 .3 5 2 0 .5 2 )m 1 .4 8 m
第三章 误差的传递与合成
3.1 误差的传递
一.系统误差的传递 在间接测量中，其表达式为
y f(x 1 ,x 2 L x n )
——式中x1,x2…xn各个直接测量值；
y ——间接测量值。
增量可用函数的全微分表示．则上式的函数增量为
dy x f1dx1 x f2dx2L x fndxn
由于误差是微小量，因此可得到函数的系统误差Δy为
若已知
直径的极限误差为
直径的最后结果为 三.误差间的相关关系和相关系数
1.误差间的线性相关关系
2.相关系数
K•n D
确定两误差之间的相关系数是比较困难的,通常 采用以下几种方法: (1)直接判断法
通过两误差之间关系的分析,直接确定相关系数ρ.
(2)试验观察和简略计算法 ①观察法
②简单计算法
二.未定系统误差的合成
1.未定系统误差的特征极其评定
2.未定系统误差的合成 2.1未定系统误差的特征（五点，详见p60）
2.2未定系统误差的合成
(1)标准差的合成
s
s
u (aiui)22 ijaiajuiuj
i1
1ipj
(2)极限误差的合成
s
s
et (aii)22 ijaiajuiuj
i1
cos(n1 n3 )
n
nn 1 n 2 n 3 n 4
③直接计算法
(i )(i )
(i )2(i )2
(3)理论计算法
有些误差间的相关系数,可根据概率论和最小 二乘法直接求出.
3.2 随机误差的合成
一.标准差的合成
n
n
(aii)22 ijaiajij
i1
1ipj
一般情况下,各个误差互不相关,相关系数ρij=0，则有
i tii i 1 , 2 L n ;
总的极限误差为
t
则
n
t
(ai i)
i 1
一般的极限误差合成公式为
t n (aii )2
i1
ti
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成 已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成
采用代数和。
r
a i i
i1
注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果 中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
②瞄准误差 2 1m
3. 未定系统误差
①阿贝误差 e14 H 00 L 08 4 0 0 0 5 0 0m 1 m
②温度误差
e2 1 7 0 0 L 07 1 0 0 5 0 0m 0 .3 5 m
③刻度尺的鉴定误差
e3 0.5m
解：两次测量结果的平均值为 L 0 1 2 (l1 l2 ) 1 2 ( 5 0 .0 2 6 5 0 .0 2 5 ) m m 5 0 .0 2 5 5 m
可得函数y的随机误差为
将方程组中每个方程平方得 将方程组中各方程相加，可得
将上式的各项除以N，并根据单次测量的标准差公式可得 若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，则有
令 则
式中ai为误差传递系数当各个测量值的随机误差为正态分布
时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为
a i 例3-2 对例3-1用弓高弦长法间接测量大直径D
y x f1 x1 x f2 x2L x fn xn
可表示为
y a 1 x 1 a 2 x 2 L a 3 x n
式中的各个误差传递系数ai 为常数。 例3-1 用弓高弦长法间接测量大直径D，如图所示，直接测得其弓
高h和弦长S，然后通过函数关系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及
由函数误差公式可知，若使各个测量值对误差 传递系数为零或最小，则函数误差可相应减小。
三.验算调整后的误差
误差分配后,应按误差合成公式计算实际总误差,若超 出给定的允许误差范围,应选择可能缩小的误差项再予缩 小误差;若实际总误差较小,可适当扩大难以测量的误差项 的误差.
3.6 最佳测量方案的确定
一.选择最佳函数误差公式
若不同的函数公式所包含的直接测量值相同, 则应选取误差较小的直接测量值的函数公式. 二.使误差传递系数等于零或为最小
则测量结果为
L 5 0 .0 2 4 7 m m 0 .0 0 1 5 m m
3.5 误差分配
一.按等作用原则分配误差
等作用原则认为各个局部误差对函数误差的影响相等,即
D1 D2
LDnyn Nhomakorabea二.按等可能性调整误差
对难以实现的测量的物误差项适当扩大,对容易实
现的误差项尽可能的缩小,而对其余误差项不予调整.
1ipj
3.4 系统误差与随机误差的合成
一.按极限误差合成
总
s i1
ei2
1 n
q i1
2 i
二.按标准差合成
s
q
ui2 i2 R
i1
i1
当个误差间互不相关时,则
单次测量
s
q
ui2 i2
i1
i1
多次重复测量
s
i1
ui2
1 n
q i1
2 i
例3-3 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度两次，
n
(ai i )2
i 1
二.极限误差的合成
若已知各单项极限误差为的 l i m 1 ,l i m 2 L l i ，m n 各个误差互
不相关，且置信概率相同，则总极限误差为
n
(aii )2
i 1
一般情况下，各单项极限误差的置信概率可能不同，根据 各单项误差的分布情况，引入置信系数，单项极限误差为
测得结果分别为 l15 0 .0 2 6 m m ,l25 0 .0 2 5 m m，已知工件的高度H=80mm，
求测量结果极其用极限误差表示的测量不确定度。 已知： 1．系统误差：万能工具显微镜刻线尺的刻度误差在50mm范围内系统
误差为
Δ=0.0008mm 2. 随机误差：
①读数误差 1 0.8m
其系统误差为
求测量结果。
解：函数关系式为 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径Do为 因为 直径D的系统误差为
式中各个误差传递系数为
将已知各误差值及误差传递系数代人直径的系统误差式，得 通过修正可消除所求得的直径系统误差ΔD，则被测直径的实 际尺寸为
二.随机误差的传递 函数的一般形式为 为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为