数列极限的几种求法

数列极限的几种求法

摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处．

关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列

中图分类号Ｏ171

Several Methods of Sequence limit

Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying．

Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence

１引言

极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态．

极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形．

朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨

经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰啊，日取其半，万世不竭”．公元３世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割圆，得到圆内接6*2n 边形序列，并指出割得越细，正多边形的面积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割．则与圆和体，面无所失矣”……，其中包括了深刻的极限思想． ２ 基本概念

定义１ 若函数f 的定义域为全体正正数集合N +，则称

:f N R +→ 或 (),f n n N +∈

为数列．因正整数集N +的元素可由小到大的顺序排列，故数列()f n 也可写作

12,,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

或简单地记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项．

定义２ 设{}n a 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N <时，不等式n a a ε-<都成立，那么就称常数a 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于a ，记为lim n n a a →∞

=或

()n a a n →→∞．

若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列．

３ 数列极限的几种求法

极限论包括数列极限和函数极限两类，其中计算数列极限有着多种多样的方法，除了要熟练运用极限的四则运算法则，极限和无穷小量之间的关系和初等函数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧．在这里，主要总结了以下几种方法：（１）四则运算法；（２）变量替换法；（３）初等变形法；（４）利用重要极限求数列极限；（５）单调有界数列法；（６）利用定积分求数列极限；（７）利用两边夹定理法；（８）级数法．下面通过实例讲述数列极限的若干种求法．

（１）用四则运算法则求极限

定理 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ⋅ 也都是收敛数列，且有 ()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞

→∞

→∞

±=±，

()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞

→∞

→∞

⋅=⋅．

例１

求n ．

解

=

=

()111,n n +→→∞．

得

1

2n n ==． （２）用变量替换求极限

有时候，为了将已知的极限化简，转化成为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程．

例２ 设11n a -<<

，)1,2,n a n =

=⋅⋅⋅ 求(i) ()lim 41n n n a →∞

-；

(ii) ()12lim n n a a a →∞

⋅⋅⋅⋅．

解 可令()0cos ,0,a ααπ=∈，则

1cos 2

a α

=

==． ()cos

,1,2,2n n

a n α

==⋅⋅⋅．

于是

（i ） ()22011lim 41cos lim 24arccos 222n n

n

n n a αα→∞→∞

⎛

⎫-=⋅== ⎪⎝⎭

． （ii ） ()122lim lim cos cos cos 222n n n n a a a ααα→∞→∞⎛

⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝

⎭

2cos cos cos sin 2222lim sin 2n n n n ααααα→∞⎛

⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

01

sin sin 2lim sin 2

n n n

αααα→∞===

． （３）运用初等变形求极限