数列极限的几种求法
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
(完整版)数列极限的四则运算
lim qn 0 ( q 1)
n
2．运算法则：
lim a a(a为常数)
n
如果 lim an A lim bn B
n
n
则： lim (an bn ) A B n
lim (an bn ) A B
n
lim a n A , (B 0) b n n B
3．语言表达（见教材，略）
此法则可以推广到有限多个数列的情形
n
1 q
n
1 q
1 q
当
q
1
时，
lim
n
T
n
n
lim
1
n n 1
当
q
1
时，
lim
n
Tn
不存在
四、小结：运算法则、常用极限及手段
五、作业：练习 1、2 习题 1
补充：（附纸）
2
3． lim 5n3 n2 4 n 6n5 n 1
5 1 4
解：原式= lim n n3
5
n
6
1 n2
1 n3
6
514
解：原式= lim
n2
n3
n5
0 0
n 6 1 1
6
n4 n5
a0
小．结．：．lim n
a0 x p b0 x q
a1 x p1 b1 x q1
a2 x p2 b2 x q2
例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：
1． lim 2n 1 n 3n 2
解：原式= lim
2
1 n
lim (2
n
1) n
lim 2 lim 1
n
n n
20
2
求极限的几种方法
求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。
对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。
一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。
通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。
当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。
二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。
当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。
三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。
其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。
常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。
四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。
其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。
通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。
五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。
泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。
通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。
六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。
常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。
七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。
数列极限求解的几种常用方法
求数列极限的方法总结
求数列极限的方法总结数列极限是数学中一个重要的概念，它在微积分、实分析等领域有着广泛的应用。
在数学学习的过程中，我们经常会遇到需要求解数列极限的问题，因此掌握求数列极限的方法是非常重要的。
本文将对求数列极限的方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
首先，我们来介绍一下数列极限的定义。
对于一个数列${a_n}$，当$n$趋于无穷大时，如果数列的项$a_n$无限接近于某个常数$A$，那么我们就说数列${a_n}$的极限为$A$，记作$\lim_{n \to \infty} a_n = A$。
换句话说，数列的极限就是数列中的项随着$n$的增大而逐渐趋近于一个确定的值。
接下来，我们将总结求数列极限的方法。
在实际运用中，我们常用以下几种方法来求解数列的极限：1. 数学归纳法，对于一些简单的数列，我们可以通过数学归纳法来证明其极限。
通过观察数列的前几项，然后假设数列的第$k$项成立，再利用数学归纳法证明数列的第$k+1$项也成立，从而得出数列的极限。
2. 利用常用极限公式，对于一些常见的数列，我们可以利用已知的极限公式来求解。
例如，当数列为等比数列、等差数列或者幂函数数列时，我们可以利用这些数列的通项公式，然后利用常用的极限公式来求解。
3. 利用夹逼定理，夹逼定理是求解数列极限中常用的方法之一。
当我们无法直接求解数列的极限时，可以尝试构造一个夹逼数列，通过夹逼定理来求解原数列的极限。
4. 利用递推关系式，对于一些递推关系式定义的数列，我们可以通过递推关系式来求解数列的极限。
通过不断迭代递推关系式，我们可以逐步逼近数列的极限值。
5. 利用数列的特性，有些数列具有特殊的性质，例如单调性、有界性等，我们可以利用这些特性来求解数列的极限。
通过分析数列的特性，我们可以更好地理解数列的极限性质。
总的来说，求数列极限的方法有很多种，我们需要根据具体的数列特点来选择合适的方法。
在实际应用中，我们还需要不断练习，加强对数列极限的理解和掌握，才能更好地运用这些方法来解决实际问题。
求数列极限的若干方法
求数列极限的若干方法摘要：本文主要探讨了求数列极限的六种方法:极限定义法，迫敛性，单调有界定理，定积分的定义，施笃茨定理，以及利用函数极限求数列极限的方法，并对每一类方法进行了总结，这将有利于我们更好的学习后续课程。
关键词：极限；迫敛性；定积分数列极限是数学分析中最重要的概念之一，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。
许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。
论文总结出了求数列极限的一些常用方法，为并结合实例进行了说明。
1. 数列极限概述对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，{}n a 能无限地接近某一个常数a ，就称此数列为收敛数列，a 是此数列的极限。
例如，对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，当∞→n 时，n 1能无限地接近于0，则称数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1为收敛数列。
就是说，当n 充分大时，数列的通项n a 与常数a 之差的绝对值可以任意小。
因此有下列数列极限的精确定义。
1.1数列极限的N -ε定义定义1 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ,使得当n >N 时有ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限。
定理1 （唯一性） 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。
一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只有一个数。
定理 2 （有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n 有M a n <.定理3 （保号性）若)0(0lim <>=∞→a a n n ，则对任何)0,)(,0(''）（或a a a a ∈∈，存在正数N ,使得当N n >时有)(''a a a a n n <>或。
定理 4 （保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛数列.若存在正数0N ,使得当0N n >时有n n b a ≤，则n n n n b a ∞→∞→≤lim lim 。
求数列极限方法总结归纳
求数列极限方法总结归纳极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。
极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。
熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。
熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。
以下我们就极限的内容简单总结下。
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
与极限计算相关知识点包括：连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。
求数列极限可以归纳为以下三种形式。
求数列极限的几种方法
求数列极限的几种方法求数列极限是数学中一个重要的概念，它也是数学家研究多类数列的重要理论基础。
求数列极限有几种方法，下面我们来权衡它们。
- 单调变换法：单调变换法是将求取极限转化为求内隐函数极限的方法，从而实现极限求取。
单调变换法使用连续性、联系性和函数极限的概念，允许在一定范围内，特定的函数值不断变化，推到特定的独立的函数的极值。
单调变换法可以用来求取数列的极限，但它需要求出原函数的极限才有效。
- 无穷级数法：无穷级数法也称为极限法，它是一种利用级数无限增长变成收敛的定义来求取数列极限的方法。
无穷级数法要求数列中各项均为连续函数。
使用本方法求解的特点是，数列的有限项收敛速度越快，其极限就越容易求解。
比如多项式无穷级数，若多项式的项数不断增加，多项式前n项的和就会越来越接近多项式的极限，最后当n趋于无穷，多项式无穷级数的和就会收敛至它的极限。
- 分析法：分析法是求数列极限的一种有效方法，它利用大数量数学分析手段，包括局部函数之间的联系、连续性、导数法则等，把数列中的局部性函数转换成无穷级数法来求取极限，从而解决数列极限问题。
这样不仅能够求出数列极限，还能得出某一种函数的定义。
- 平方根测试法：平方根测试法，不仅可以求取数列的极限，也可以用来判断某数列是否存在极限。
特别是求取不可分解的方程的极限的时候，可以应用此方法。
它的基本原理是：如果某一数列的 n 项和有如下关系，即 an ∗ an+1=bn，那么该数列必须存在极限，并且极限的值为 b 的平方根；如果 an ∗ an+1=ln，则表明该数列无限增长，即有极限，而且极限值为∞。
以上就是常见求数列极限的几种方法，在不同的情况下，可以根据特定的情况来选择合适的方法，来实现数列极限的求取。
数列极限的求法
内容提要数列极限可用Nε-语言和A N-语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的各种性质及其不同求法,例如：唯一性、保号性、有界性、可加可乘性、保序性、迫敛性、极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Ｓtolt ｚ公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用,如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题．通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词ε-定义;夹逼准则；Stｏltz公式；数列极限：数列极限的性质；N求数列极限的各种方法；数列极限的实际应用目录第一章数列极限的概念 (1)1.1数列极限的概念 (1)1.2常用定理公式 (2)第二章收敛数列的性质 (4)2.1唯一性 (4)2.2有界性 (4)２.3保号性 (4)2.4保序性 (5)2.5迫敛性 (5)2.6可加、可乘性 (6)第三章数列极限的求法 (7)３．１极限定义求法...............................................................７3．2极限运算法则求法 (8)３.３夹逼准则求法………………………………………………………1０3.4单调有界求法 (11)3.5函数极限法 (12)3.6定积分定义求法 (13)3．7Stoｌｔz公式法...............................................................1４3.8集合算术平均收敛公式法................................................１5 3．9级数法 (16)3.1０其他方法…………………………………………………………1８第四章数列极限在现实生活中的应用....................................２０4.１几何计算—计算面积...................................................２0 4.２求方程的数值解.. (21)4.3 市场经营中的稳定性问题 (22)4.3.1 零增长模型............................................................２2 4.3．2 不变增长模型 (23)4．4购房按揭贷款分期偿还................................................２4 第五章结论 (26)参考文献 (27)第一章 数列极限的概念在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义．这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础. 1.1 数列极限的定义及分类数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，我国古代数学家刘徽（公元３世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积n A 在n 无限增大(n →∞）时，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义:N ε-定义,A N -定义.定义1（N ε-语言)：设{}n a 是个数列，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N ，使得当n N >时,都有n a a ε-<,则称a是数列{}n a 的极限，或称{}n a 收敛于a ,记作limn n a a →+∞=,或()n a a n →→+∞.这时,也称{}n a 的极限存在．定义2(A N -语言):若0A >，存在正整数N ,使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞,记作limn n a →+∞=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限．对于,-∞∞的定义类似,就详作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理．定理1.2．１(数列极限的四则运算法则) 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有 ()()lim lim lim ,lim lim lim .n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠,则n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列,且有 lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 定理1.2．２(单调有界定理) 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 定理 1.2.3(∞Stolt ｚ公式） 设有数列{}n x ，{}n y ,其中{}n x 严格增，且limn n x →+∞=+∞(注意:不必lim n n y →+∞=+∞）.如果 11lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞）,则 11lim lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==- 定理１．2.３'（St ｏltz 公式) 设{}n x 严格减,且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=．若11lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞）,则11limlim n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-.定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞=，则 （1）12 (i)nn a a a a n→∞+++=， （2）若()01,2,...n a n >=，则n a =. 定理１.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限,数列{}n c 满足：存在正数0N ,当0n N >时，有n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛,且lim n n c a →∞=. 定理１.2.６（归结原则）设f 在()0;U x δ'内有定义.()0limx xf x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ,极限()lim n n f x →∞都存在且相等.第二章 收敛数列的性质定理1.2.1（唯一性）收敛数列的极限值是唯一的。
求数列的极限的方法
求数列的极限的方法求数列的极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列在无限逼近的过程中，数值趋于的一个确定值或者无穷大的现象。
数列的极限不仅在数学中有重要应用，还在物理、经济和工程等学科中发挥着重要作用。
在解决实际问题中，了解数列的极限有助于我们预测和分析变化的趋势，优化方案和做出合理决策。
下面将介绍数列的极限的计算方法和应用。
首先，计算数列极限的方法有多种，常见的有代数，几何和收敛定理等方法。
代数方法一般通过对数列的通项公式进行变形运算，推导出其极限的表达式。
几何方法则通过图形的观察和几何直观的解释，帮助我们理解和计算数列的极限。
收敛定理是基于数列的性质和数学定理，通过理论推导和证明来确定数列的极限。
接下来将介绍常见的代数方法和收敛定理方法。
一、代数方法1. 直接代入法：数列的极限可以直接通过将自变量取极限来确定，即将数列中的n值逐渐加大，观察数列的极限情况。
例如，对于数列an=1/n，当n趋于无穷大时，1/n的值逐渐接近于0，因此数列an的极限为0。
2. 分子有界法：数列极限可以通过计算数列的分子项和分母项的极限来确定。
当数列中的分子项在n趋近无穷大时有界，而分母项趋于无穷大时，可以得出数列的极限为0。
例如，对于数列an=(n+1)/(n^2+1)，当n趋近无穷大时，分子项n+1是有界的，并且分母项n^2+1趋近无穷大，因此可以得出数列an的极限为0。
3. 数列通项分解法：对于复杂的数列，可以通过将其通项进行分解，得到更简单的数列的极限。
例如，对于数列an=(n^2+1)/(2n^2+3n)，可以将其分解为an=(n^2/n^2)(1+1/n)/(2+3/n)，然后运用数列的性质，分别计算分子项和分母项的极限，最后得出数列an的极限。
二、收敛定理方法1. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，可以通过夹逼定理来求解一些复杂或者难以直接计算的数列极限。
夹逼定理的基本思想是通过构造两个辅助数列，一个较小且比待求数列逼近其极限值，另一个较大且比待求数列逼近其极限值，从而利用这两个数列来夹逼待求数列的极限值。
数列极限的证明方法介绍
数列极限的证明方法介绍数列极限的证明方法介绍数列极限是数学中的知识，拿这个知识是怎么被证明的呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是店铺给大家整理的数列极限的证明内容，希望大家喜欢。
数列极限的证明方法一X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|<|Xn-A|/A以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;……|X2-A|<|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
数列极限的证明方法二证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
当0当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为0数列极限的证明方法三根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题：n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1 =0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1 /n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/( 1/n)=0*1=0数列的极限知识点归纳一、间断点求极限1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
数列极限的计算方法总结
数列极限的计算方法总结
计算数列极限的方法有以下几种：
1. 算术平均法：如果数列的前n项的平均值与极限L足够接近，则认为该数列的极限为L。
2. 递推法：通过递归的方式计算数列的每一项，当数列的前n
项与极限L足够接近时，认为该数列的极限为L。
3. 代数运算法：对数列进行一系列代数运算，如取对数、求导、化简等，将其转化为易于计算的形式，然后计算其极限。
4. 特殊数列的极限公式：对于一些特殊的数列，有固定的计算公式可以直接得出其极限。
例如，等差数列的极限公式为首项加末项再除以2；等比数列的极限公式为首项与公比的幂次幂
乘积等等。
5. 单调有界数列的极限定理：如果一个数列是单调递增（递减）且有上界（下界）的话，那么该数列就有极限。
此时极限即为数列的上界（下界）。
6. 夹逼定理：如果一个数列在无穷大或无穷小的部分夹在两个收敛数列之间，并且这两个收敛数列的极限相等，那么该数列也会收敛，并且极限也等于这两个收敛数列的极限。
总结来说，计算数列极限的方法主要包括直接求均值、递推推导、代数运算等方法，也可以利用数列的特性或数列的极限定
理快速计算。
不同的方法适用于不同的数列，需要具体分析问题来选择合适的方法。
数列极限的计算方法
数列极限的计算方法一、引言数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随着项数的增加而逐渐接近的某个数值。
数列极限的计算方法多种多样，包括直接代入法、夹逼定理、单调有界定理等。
本文将详细介绍这些计算方法，并探讨它们的适用范围和优缺点。
二、直接代入法直接代入法是最简单直观的数列极限计算方法。
当数列的通项公式较为简单时，我们可以直接代入n趋向于无穷大的情况，从而求出数列的极限值。
例如，对于数列an = 1/n，当n趋向于无穷大时，an趋向于0，即lim an = 0。
直接代入法的优点在于操作简单、容易理解；但其缺点也很明显，即仅适用于通项公式简单、易于计算的数列。
三、夹逼定理夹逼定理是计算数列极限的常用方法之一。
它适用于那些通项公式较为复杂、难以直接代入计算的数列。
夹逼定理的基本思想是通过找到两个收敛于同一极限的数列{an}和{bn}，使得对于所有正整数n，都有an ≤ xn ≤ bn，从而得出数列{Xn}的极限值。
例如，对于数列Xn = sin(n)/n，我们可以利用夹逼定理来求解其极限。
首先，找到两个收敛于0的数列{an}和{bn}，使得对于所有正整数n，都有an ≤ sin(n)/n ≤ bn。
显然，当n > 0时，-1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n，即an = -1/n，bn = 1/n。
由于lim an = lim bn = 0，根据夹逼定理，我们得出lim Xn = 0。
夹逼定理的优点在于适用范围广，可以处理许多直接代入法无法处理的复杂数列；但其缺点在于需要找到合适的{an}和{bn}，这往往需要一定的数学技巧和经验。
四、单调有界定理单调有界定理是计算数列极限的另一个重要方法。
它适用于那些单调递增或单调递减且有界的数列。
单调有界定理的基本思想是，如果一个数列单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必定收敛，且其极限值等于其上界（或下界）。
例如，对于数列Xn = 1/n^2，我们可以看出这是一个单调递减且有下界的数列（下界为0）。
求极限的方法
求数列极限的方法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞→lim .例1: 按定义证明0!1lim=∞→n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n<ε,则让n>ε1即可,存在N=[ε1],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成立,所以0!1lim =∞→n n .2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2: 求nnn b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<<b a .解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n --=++++--=++++++111,1111212 ,原式=a b ba b b a a n n n n --=--=----+∞→+∞→11111111lim11lim 11, 3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当n>N 时,有Xn ≤Yn ≤Zn,且a Zn Xn n n ==∞→∞→lim lim ,则有a Yn n =∞→lim .例3:求{21nn+}的极限. 解: 对任意正整数n,显然有n nn n n n 221122=≤+<,而01→n ,02→n,由夹逼性定理得 01lim 2=+∞→nnn .4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限21lim +-∞→n n n a a ，此时解：若 有 ，令 则5.单调有界原理 例5.证明数列有极限，并求其极限。
高中数学数列与数列极限的常见求解方法总结
高中数学数列与数列极限的常见求解方法总结数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照特定规律排列的数字所组成的序列。
而数列极限则是数列中数值趋于无穷大或无穷小时的极限值。
在高中数学中，数列与数列极限是一个重要的考点，掌握其求解方法对于学生来说至关重要。
本文将对高中数学中数列与数列极限的常见求解方法进行总结，并通过具体题目的举例，解析其考点和解题技巧，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、等差数列的求解方法等差数列是最常见的数列之一，其特点是每相邻两项之间的差值都相等。
对于等差数列的求解，我们可以通过以下几种方法进行：1. 求通项公式：对于已知的等差数列，我们可以通过观察数列的规律，找到通项公式，从而可以方便地求解数列中任意一项的值。
例如，已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a + (n-1)d。
2. 求前n项和：对于等差数列的前n项和，我们可以通过求和公式来快速计算。
求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
举例说明：已知等差数列的首项为3，公差为5，求该数列的第10项和前10项和。
解析：根据通项公式an = a + (n-1)d，可得第10项为a10 = 3 + (10-1) * 5 = 48。
根据求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，可得前10项和为S10 = (3 + 48) * 10 / 2 = 255。
二、等比数列的求解方法等比数列是另一种常见的数列，其特点是每相邻两项之间的比值都相等。
对于等比数列的求解，我们可以采用以下方法：1. 求通项公式：对于已知的等比数列，我们可以通过观察数列的规律，找到通项公式，从而可以方便地求解数列中任意一项的值。
例如，已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，则通项公式为an = a * q^(n-1)。
2. 求前n项和：对于等比数列的前n项和，我们可以通过求和公式来快速计算。
例说n项和数列极限的几种求法
例说n项和数列极限的几种求法
1.等差数列求和公式：如果数列为等差数列，其前n项和可以用以下公式求出：S_n = n/2(2a+(n-1)d)，其中a为首项，d为公差。
2. 等比数列求和公式：如果数列为等比数列，其前n项和可以用以下公式求出：S_n = a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比。
3. Telescoping Series(抵消法)：如果数列中相邻的项之间存在相互抵消的规律，我们可以利用这个规律简化求和。
例如，以下数列：1/2 + 1/3 - 1/3 + 1/4 - 1/4 + 1/5 - 1/5 + ...，可以通过把相邻项相消简化为1/2。
4. 夹逼准则：如果我们可以找到两个数列，一个逐渐逼近所求极限的上限，一个逐渐逼近下限，且两个数列的极限相等，那么所求极限就是这个共同的极限。
例如，对于数列1/n，我们可以用1/(n+1)和1/(n-1)这两个数列来夹逼，得到极限为0。
5. Stolz-Cesaro定理：如果我们要求的是形如a_n/b_n的极限，可以使用Stolz-Cesaro定理，该定理指出，如果b_n单调递增且趋于正无穷，那么极限为lim(a_n-a_{n-1})/(b_n-b_{n-1})。
6. 递推数列的求解：对于一些递推数列，我们可以通过推导其通项公式，然后利用求和公式求解其前n项和。
例如，斐波那契数列可以通过推导出通项公式为(1/sqrt(5))*[(1+sqrt(5))/2]^n -
(1/sqrt(5))*[(1-sqrt(5))/2]^n，然后利用等比数列求和公式求解其前n项和。
- 1 -。
数列极限的几种求法
数列极限的几种求法一、定义法:数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε∀>0 ∃N>0使当n>N 时,都有a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞→lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。
故可从最原始的定义出发计算数列极限。
例1、用ε-N 方法求n n n 1lim +∞→解：令nn 1+=t+1 则 t>0∴ n+1=nt )1(+2)1(2)1(122t n n t n n nt -≥+-++≥ ∴ε∀>0 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有∴ n n n 1lim +∞→=1二、单调有界法：首先我们介绍单调有界定理，其内容如下： 在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。
由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。
以下证明a 就是{n a }的极限。
事实上，ε∀>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有 这就证得a a n n =∞→lim 。
同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。
例2、证明数列收敛，并求其极限。
证：222 ++=n a ，易见数列{n a }是递增的。
现用数学归纳法来证明{n a }有上界。
显然 221<=a 。
假设2<n a ,则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有2<n a ,即{n a }有上界。
由单调有界定理，数列{n a }有极限，记为a 。
由于 对上式两边取极限得 a a +=22，即有（a+1）（a-2）=0，解得 a=-1或a=2 由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有 三、运用两边夹法：迫敛法：（两边夹法）设收敛数列{n a }，}{n b 都以a 为极限，数列}{n c 满足：存在正数0N 当0N n >时有n n n c b a ≤≤ （1） 则数列}{n c 收敛且a c n n =∞→lim证：0>∀ε 由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim 分别存在正数1N 与2N 使得当1N n >时有n a a <-ε （2） 当2N n >时有ε+<a b n （3） 取},,m ax {210N N N N = 则当N n >时不等式（1），（2），（3）同时成立即有从而有 ε<-a c n 即证所得结果。
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数列极限的几种求法摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处．关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列中图分类号Ｏ171Several Methods of Sequence limitAbstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying．Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence１引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态．极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形．朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰啊，日取其半，万世不竭”．公元３世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割圆，得到圆内接6*2n 边形序列，并指出割得越细，正多边形的面积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割．则与圆和体，面无所失矣”……，其中包括了深刻的极限思想． ２ 基本概念定义１ 若函数f 的定义域为全体正正数集合N +，则称:f N R +→ 或 (),f n n N +∈为数列．因正整数集N +的元素可由小到大的顺序排列，故数列()f n 也可写作12,,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅或简单地记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项．定义２ 设{}n a 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N <时，不等式n a a ε-<都成立，那么就称常数a 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于a ，记为lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞．若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列．３ 数列极限的几种求法极限论包括数列极限和函数极限两类，其中计算数列极限有着多种多样的方法，除了要熟练运用极限的四则运算法则，极限和无穷小量之间的关系和初等函数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧．在这里，主要总结了以下几种方法：（１）四则运算法；（２）变量替换法；（３）初等变形法；（４）利用重要极限求数列极限；（５）单调有界数列法；（６）利用定积分求数列极限；（７）利用两边夹定理法；（８）级数法．下面通过实例讲述数列极限的若干种求法．（１）用四则运算法则求极限定理 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ⋅ 也都是收敛数列，且有 ()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±，()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅．例１求n ．解==()111,n n +→→∞．得12n n ==． （２）用变量替换求极限有时候，为了将已知的极限化简，转化成为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程．例２ 设11n a -<<，)1,2,n a n ==⋅⋅⋅ 求(i) ()lim 41n n n a →∞-；(ii) ()12lim n n a a a →∞⋅⋅⋅⋅．解 可令()0cos ,0,a ααπ=∈，则1cos 2a α===． ()cos,1,2,2n na n α==⋅⋅⋅．于是（i ） ()22011lim 41cos lim 24arccos 222n nnn n a αα→∞→∞⎛⎫-=⋅== ⎪⎝⎭． （ii ） ()122lim lim cos cos cos 222n n n n a a a ααα→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭2cos cos cos sin 2222lim sin 2n n n n ααααα→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭01sin sin 2lim sin 2n n nαααα→∞===． （３）运用初等变形求极限对于某些较繁的数列{}n a ，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限．例３ 求极限222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解 因为22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1325112233n n n n -+⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯ ⎪⎝⎭． ∴ 222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111lim 22n n n →∞+=⨯=．（４）利用重要极限求数列极限两个重要极限分别为（i ）0sin lim 1x xx→=；（ii ）1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例４ 求()20lim 1xx x →+．解 ()()()21120lim 1lim 11xx x x x x x x e →→⎡⎤+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦． （５）利用单调有界数列法求极限这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为：①判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A ；②建立数列相邻两项之间的关系式；③在关系式两端取极限，得到一个关于A 的方程，若能解出A ，问题得解．例５ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中()0a >的极限．解 设)011,0,1,2,n x x x n +===⋅⋅⋅==⋅⋅⋅． 则{}n x 是单调有界数列，它要有极限，设其极限为A ．在1n x +=A =，即20A A a --=．所以12A ±=． 因为0A >，所以12A +=，即1lim 2n n x →∞+=．（６）利用定积分求数列极限若一个数列{}n a 是一个和式的形式，且每一项可提出一个1n或其他形式的代数式，提出这些代数式后，剩下的可表示为一个通式，则可方便的用定积分法求解．例６求1lim n n →∞⋅⋅⋅+． 解原式1101lim n n i n →∞===112xdx π===．（７）利用两边夹定理求数列极限当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值．例７ 求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭． 解 因为()()2222112121222n n n nn n n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥=+++++++++，()()222221121212121n n n nn n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤=++++++++++． 又因为 ()()()()2111limlim 22221n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++．所以 222121lim 122n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪++++++⎝⎭． （８）用级数展开式求数列极限级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个序列．有时为了方便可将数列极限看作是某个级数的部分和，这样能更方便、更简捷的求出数列的极限．例８ 计算21lim 1sin n n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解 由泰勒公式知：()()33sin ,3!x x x o x x =-+→∞．令1x n =得，()()2111sin 1,3!n n O n n ⎛⎫-=+→∞ ⎪⎝⎭．则211lim 1sin 6n n n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭为所求． 总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率．参 考 文 献[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册，第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2006． [2]黄丹妹．试论极限的计算方法数列篇［Ｊ］．福建：福建省侨兴轻工学．2005(07)：18-20． [3]魏立明．一类数列极限求法的研究［Ｊ］．广西贺洲．梧州师范高等专科学校．2004(11)：75-77．[4]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1993． [5]孙 涛．数学分析经典习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2004． [6]陈文灯．数学复习指南［Ｍ］．北京：世界图书出版社，2005． [7]蔡子华．考研复习大全［Ｍ］．北京：现代出版社，2004．。