上海市金山中学2019-2020学年高一下学期数学期中考试卷及答案
2019-2020学年上海市金山中学高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年上海市金山中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A. x>3B. x<3C. x>1D. x<12.将函数y=sin2x的图象向右平移π4，所得图象的函数解析式为()．A. y=sin(2x+π4) B. y=sin(2x–π4)C. y=–cos2xD. y=cos2x3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S33−S22=1，则数列{a n}的公差是()A. 12B. 1C. 2D. 34.已知函数，x∈[0,7π3]有三个不同的零点x1,x2,x3，且x1<x2<x3，则x1+2x2+x3的值为()A. 10π3B. 4π C. 11π3D. 不能确定二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.−1445°是第________象限角．6.若扇形的弧长为2，半径为1，则扇形面积是_________7.若tanθ=2，则3cosθ−sinθcosθ+sinθ=________．8.已知y=f(x)是定义在[1,4)上的函数，则函数y=f(2x+1)的定义域为__________．9.数列{a n}前n项和为S n，若a n=(2n−1)sin(nπ2+2019π)，则S2019=__________．10.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有一点A(3,−4)，则sin(θ+π2)= ______ ．11.已知cos(π2−α)=35,α∈(π2,π)，则sin(α+π3)=______ ．12. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______ 米.13. 已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 2+a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n =______． 14. 在数列√1，√2，√3，2，√5…中，第9个数是______． 15. 函数f(x)=x −x 3,x ∈[0,2]的值域为______．16. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω=________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知α，β∈(0,π)，且tan(α−β)=12，tanβ=−17(1)计算tanα、tan2α的值 (2)求2α−β的值．18. 已知函数f(x)=1−2x1+2x(1)分别求出f (1)，f (a )的值．(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明；19.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3；(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性与最值．20.已知：等差数列{a n}中，a4=14，前10项和S10=185.求首项a1和a n．21.已知函数f(x)=2cos2x+√3sin2x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)−m=2在x∈[π6,π3]上有解，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查了充分条件与必要条件的知识，考查了学生的分析能力，属基础题．根据题意进行判断它的一个必要不充分条件．解：由x>2可得x>1，但x>1不一定满足x>2，所以x>2的一个必要不充分条件是x>1．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．解：函数y=sin2x的图象向右平移π4个单位，那么所得的图象的函数解析式是y=sin2(x−π4)=sin(2x−π2)=−cos2x，故选C.3.答案：C解析：解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d，∴S33−S22=d2=1∴d=2故选：C．先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据S33−S22=d2，求得d．本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．4.答案：A解析：本题考查函数的零点与方程根的关系和正弦函数的对称性，属于中档题．设t=x+π6，画出y=m与y=sint在t∈[π6,5π2]上的函数图像，由正弦函数的对称性即可求解．解：令，则，设t=x+π6，则y=sint，由x∈[0,7π3]可得t∈[π6,5π2]，做出函数y=sint，t∈[π6,5π2]和函数y=m的图象，要使得函数有三个零点，则两函数图象有三个交点，则12≤m<1，由正弦函数的对称性可知，所以．故选A．5.答案：四解析：本题考查象限角及终边相同角的应用，属于基础题目．解：−1445°=−360°×4−5°，所以−1445°角的终边与−5°的终边位置相同，故−1445°是第四象限角．故答案为四．6.答案：1解析：本题考查扇形面积公式的应用，属于基础题．直接代入扇形面积公式即可．解：因为扇形的弧长为2，半径为1，所以扇形面积是12×2×1=1．故答案为1．7.答案：13解析：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．把分子分母都除以cosθ，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．解：∵tanθ=2，∴3cosθ−sinθcosθ+sinθ=3−tanθtanθ+1=3−22+1=13．故答案为13．8.答案：[0,32)解析：因为函数y =f(x)的定义域为[1,4)，令1≤2x +1<4，解得0≤x <32，所以函数y =f(2x +1)的定义域为[0,32).故答案为：[0,32)．9.答案：2020解析：本题考查数列的求和，注意分析数列中的项的特点，考查等差数列的求和公式的运用，属于基础题． 求得数列的前四项，得到数列的偶数项为0，奇数项的绝对值为等差数列，计算可得所求和． 解析：解：若a n =(2n −1)sin(nπ2+2019π)， 可得a 1=sin(π2+2019π)=−1； a 2=3sin(π+2019π)=0； a 3=5sin(3π2+2019π)=5；a 4=7sin(2π+2019π)=0， …，即偶数项为0，奇数项的绝对值为等差数列，可得S 2019=(−1+5)+(−9+13)+(−17+21)+⋯+(−4033+4037) =4×505=2020． 故答案为：2020．10.答案：35解析：解：由题意可得，x =3、y =4、r =5，∴cosθ=xr =35， ∴sin(θ+π2)=cosθ=35 故答案为：35．根据任意角的三角函数的定义求得cosθ=xr 的值，再利用诱导公式化简所求表达式，计算求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．11.答案：3−4√310解析：解：cos(π2−α)=35,α∈(π2,π)，可得sinα=35，cosα=−45，sin(α+π3)=sinαcosπ3+cosαsinπ3=35×12−45×√32=3−4√310．故答案为：3−4√310．求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．12.答案：20√63解析：本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，正弦定理的应用，是中档题．结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．解：根据图形知，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，由正弦定理得，BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12√22=20√2，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，所以CD=BCtan30°=20√2×√33=20√63．故答案为：20√63．13.答案：n2解析：本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，属于中档题． 利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=1，a 2+a 3=8， ∴2×1+3d =8，解得d =2． 则数列{a n }的前n 项和S n =n +n(n−1)2×2=n 2．故答案为：n 2．14.答案：3解析：本题考查数列的概念以及通项，属于基础题．通过观察可知数列√1，√2，√3，2，√5…的第9个数是√9=3． 解：由数列√1，√2，√3，2，√5…，可写为√1，√2，√3，√4，√5，…， 可得1，2，3，4，5，…为等差数列，公差为1，首项为1， ∴数列的第n 项为：√n ， 则第9个数是√9=3． 故答案3．15.答案：[−6,2√39]解析：本题主要考查了函数的定义域与值域，利用导数研究闭区间上函数的最值，属于基础题． 先求出函数的导数，求出函数在闭区间内的极值点，代入解析式求值即可得出值域． 解：函数f(x)=x −x 3,x ∈[0,2]， f′(x)=1−x 2，在x ∈[0,2]内， 当x =√33时，f′(x)=0，f(x)在(0,√33)单调递增，在(√33,2)单调递减，f(0)=0−03=0，f(2)=2−23=−6，f(√33)=√33−(√33)3=2√39，故答案为[−6,2√39]． 16.答案：23解析：本题主要考查函数y =Asin (ωx +φ)的图象与性质．解：根据题意得，34T =15π8−(−3π8)=9π4， 解得T =3π，所以ω=2πT =2π3π=23， 故答案为23．17.答案：解：(1)∵tan(α−β)=12，∴tanα−tanβ1+tanαtanβ=12…(2分)而：tanβ=−17，∴tanα+171−17tanα=12，解得tanα=13…(5分) ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×131−(13)2=34…(7分)(2)tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=34+171−34×17=1.…(9分) ∵tanα=13>0，α∈(0,π)，∴0<α<π2，0<2α<π∵tan2α=34>0∴0<2α<π2，…(11分)∵tanβ=−17<0，β∈(0,π)，∴π2<β<π，…(12分) ∴−π<2α−β<0，…(13分)∴2α−β=−3π4. …(15分)解析：(1)利用差角的正切公式，求出tanα；利用二倍角公式求出tan2α的值；(2)先求出tan(2α−β)=1，再确定−π<2α−β<0，即可求2α−β的值．本题考查两角和与差的正切函数，考查知值求角，考查学生的计算能力，属于中档题．18.答案：(1)解：∵f(x)=1−2x1+2x∴f(1)=1−21+2=−13，f(a)=1−2a2a+1；(2)证明：∵x∈R，∴函数f(x)=1−2x1+2x的定义域关于原点对称，∵f(−x)=1−2−x2−x+1=1−12x12x+1=2x−11+2x=−f(x)，∴f(x)是奇函数．解析：本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性的证明，属于基础题．(1)将x=1和x=a直接代入，即可求出f(1)，f(a)的值；(2)利用奇偶性的定义，进行判断并证明．19.答案：解：(1)由tan x有意义得x≠π2+kπ，，∴f(x)的定义域是，f(x)=4tanxcosxcos(x−π3)−√3=4sinxcos(x−π3)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3 =sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3 ).∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，．令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，．[−π12+kπ,5π12+kπ]∩[−π4,π4]=[−π12,π4]，[5π12+kπ,11π12+kπ]∩[−π4,π4]=[−π4,−π12]，∴f(x)在[−π12,π4]上单调递增，在[−π4,−π12]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(−π12)=−2，又f(−π4)=−1，f(π4)=1，∴f(x)的最大值为f(π4)=1．解析：本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．(1)根据tan x有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f(x)，得出f(x)的周期；(2)根据正弦函数的单调性求出f(x)的单调区间，根据单调性计算最值．20.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=14，前10项和S10=185．∴{a1+3d=1410a1+10×92d=185，解得首项a1=5，d=3．∴a n=5+3(n−1)=3n+2．解析：设等差数列{a n}的公差为d，由于a4=14，前10项和S10=185.可得{a1+3d=1410a1+10×92d=185，解出即可．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)化简可得f(x)=2cos2x+√3sin2x=1+cos2x+√3sin2x=1+2cos(2x−π3)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)∵x∈[π6,π3]，∴2x−π3∈[0,π3]，∴cos(2x−π3)∈[12,1]，∴f(x)的值域为[2,3]，方程f(x)−m=2可化为f(x)=m+2，∴m+2∈[2,3]，∴m+2∈[0,1]，∴实数m的取值范围为：[0,1]解析：(1)由三角函数公式化简可得f(x)=1+2cos(2x−π3)，由周期公式可得；(2)由x∈[π6,π3]和三角函数的知识可得f(x)的值域为[2,3]，进而可得m+2∈[2,3]，可得实数m的取值范围．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．。
2019-2020学年上海中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。
2019-2020学年上海市金山中学、崇明中高一下学期期中数学试卷
2019-2020学年上海市金山中学、崇明中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2019°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x∈R （常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．。
上海市进才中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
进才中学高一期中数学试卷2020.05一、填空题1．求值：πarccos sin 3⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 2．若π02α-<<，则点()cot ,cos αα在第__________象限． 3．已知tan 2α=-，则22cos sin cos 1ααα++=__________．4．已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________．5．在ABC 中，若b =π4B =，1sin 3A =，则a =__________． 6．函数()2sin cos x x f x =-的值域为__________．7．函数cos πy x =的单调减区间为__________．8．若函数()sin cos x a x f x =+的图像关于直线π4x =对称，则a 的值为__________． 9．在ABC 中，若222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是__________．10．已知函数()221x x f x a =-+，若存在ππ,42ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()cos sin f f ϕϕ=，则实数a 的取值范围是__________．11．若等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则12n a a a ⋅最大值为__________．12．已知数列{}n a 满足：（1）10a =，（2）()*1n n a a n +>∈N ，函数()sin n n x a f x n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]1,n n x a a +∈满足：对任意实数[)0,1m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为__________．二、选择题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36．D ．2714．在ABC 中，A 、B 均为锐角且cos sin A B >，则ABC 的形状式（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形15．设函数()sin f x x =，[],x a b ∈，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则以下结论错误的是（ ） A ．b a -的最小值为2π3B ．a 不可能等于2ππ6k -，k ∈ZC ．b a -的最大值为4π3D ．b 不可能等于2ππ6k -，k ∈Z 16．将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（ ） A ．9B ．375C ．3D ．1三、解答题 17．设数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．（1）求数列的公差d ；（2）求前n 项和n S 的最大值．18．已知函数()22cos 2x f x x =+． （1）求函数()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间； （2）若()115f α=，且2ππ36α-<<，求πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题(1)(2021年整理)
上海市金山中学2016-2017学年高一数学下学期期中试题(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（上海市金山中学2016-2017学年高一数学下学期期中试题(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷(考试时间：120分钟 满分：150分）一。
填空题(1-—6每小题4分,7-—12每小题5分，共54分）1. 函数)63sin(2π+=x y 的最小正周期为__________。
2。
已知扇形的半径为1，圆心角为2弧度，则它的面积为_______．3．对任意不等于1的正数a ，函数=)(x f log (3)a x +的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 ．4. 若角α的终边经过点(,3)P m -，且54cos -=α，则m 的值为 ． 5. 在ABC ∆中,15a =，10b =，60A =，则=B cos ________。
6。
函数)62tan(2π-=x y 的单调增区间为___________。
7. 设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________. 8．已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是______。
9．已知0y x π<<<,且tan tan 2x y =,1sin sin 3x y =，则x y -=______． 10. 已知2)1arcsin()1arcsin(22π≥--+b a ,则()22arccos ____a b -=。
上海市新中高中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
上海市新中高中2019-2020学年下学期期中考试高一数学试题一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______4、若要将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____ 5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。
其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分）解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知7174tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ （1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 （2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分） 已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π （1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里（1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,2,ππαα（1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值。
2019-2020学年上海市金山高一上学期期中数学试题（解析版）
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． 2．下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A ．2(),()=f x x g x x=B ．()()2(2)()=22f x x x g x x x =+-+-,C ．1(0)1(0)()()=1(0)1(0)x x x x f x g x x x x x +>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭,D ．{}{}()2()2(1)()=21f x x x g x x x =∈∈；【答案】D【解析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可． 【详解】对于A 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数． 对于B 选项，f （x ）22x x =+-（）（）（x ≤﹣2，或x ≥2）和g （x ）22x x =+-（x ≥2）定义域不同，∴不是同一函数；对于C 选项，当x =0时，对应关系不同，∴不是同一函数对于D 选项，f （x ）的定义域与g （x ）的定义域均为{1}，且f （x ）2==g （x ） ∴是同一函数 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．3．已知()f x 是R 上的偶函数,且当()()20,1x f x x x >=- ,则0x <时,()f x =( ) A ．2(1)x x - B ．2(1)x x + C ．2(1)x x -- D ．2(1)x x -+【答案】B【解析】由x ＜0得﹣x ＞0，代入已知式子得f （﹣x ），由偶函数f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）的解析式． 【详解】设x ＜0，则﹣x ＞0，∴()()()22()11f x x x x x -=-+=+，又∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ）， ∴()()21f x x x =+，∴当x ＜0时，()()21f x x x =+．故选：B ． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识，是基础题目．4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选：D ．【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二、填空题5．集合{},,A a b c =有_______个子集. 【答案】8【解析】集合{a ，b ，c }的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集【详解】集合{a ，b ，c }的子集有：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{c ，b }，{a ，b ，c }共8个． 故答案为：8 【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．6．不等式11x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.7．已知命题P 是“若实数a 、b 满足1a >且2b >，则3a b +>”,则命题P 的否命题是________.【答案】若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤ 【解析】直接由否命题的定义得到结论. 【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题为“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”， 故答案为：若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤ 【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题． 8．已知集合，，则________【答案】【解析】求出集合A,B ，即可得到.【详解】 由题集合集合故.故答案为.本题考查集合的交集运算，属基础题9．已知,,a b c ∈R ，则“a b >”是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要) 【答案】必要非充分【解析】当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，有c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边． 【详解】 必要不充分条件当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2； 反之当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0， 则c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题． 10．已知，则的取值范围是________【答案】【解析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，经平移直线可得结论． 【详解】作出所对应的可行域，即 （如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线， 平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2， 当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0， ∴a-b 的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．11．已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = ． 【答案】－1【解析】试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．【考点】函数的奇偶性．12．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________. 【答案】11(,)23--【解析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案. 【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．某班有50名学生报名参加A 、B 两项比赛，参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B 项的学生有__人. 【答案】9【解析】利用方程思想，设A 、B 都参加的同学为x 人，则可分别得到只参加A ，不参加B ，只参加B ，不参加A ，以及AB 都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可． 【详解】设A 、B 都参加的同学为x 人，则只参加A ，不参加B 的为30x -，只参加B ，不参加A 的为33x -，则AB 都不参加的人数为()50303313x x x x --++-=-． 因为A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人， 所以1313xx --=，解得21x =． 所以只参加A 项，没有参加B 项的学生有30219-=． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．14．若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R ,则实数a 的取值范围是_______. 【答案】(2,2]-【解析】对x 2的系数分类讨论：当a ＝2时，直接得出；当a ≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】当a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x 都成立，因此a ＝2满足题意； 当a ≠2时，要使关于x 的不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ，则()()220421620a a a -⎧⎪⎨=-+-⎪⎩＜＜，化为()()2220a a a ⎧⎨-+⎩＜＜，解得﹣2＜a ＜2． 故答案为（﹣2，2]． 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题． 15．已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【解析】通过f （x ）＞1和g （x ）＜0，求出集合A 、B ，利用A∩B=∅，求出a 的范围即可． 【详解】 由f （x ）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}．由g （x ）＜0得x 2-3ax+2a 2＜0，即（x-a ）（x-2a ）＜0，g （x ）＜0的解集为B={x|2a ＜x ＜a ，a ＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a ＜0， 故a 的取值范围是{a|a≤-2或-≤a ＜0}． 即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力． 16．已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号） 【答案】②③④【解析】利用a i +a j 与a j -a i 两数中至少有一个属于A ．即可判断出结论．【详解】 ①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项， ∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5， 由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A ，又i=1时，a 5-a 1∈A ， ∴a 5-a i ∈A ，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0， 则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3， 即答案为②③④. 【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．三、解答题17．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．【答案】{0,B =1，4，7}【解析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ． 【详解】集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 18．“0,0a b >>,+≥除了用比较法证明外,还可以有如下证法: +≥++≥(当且仅当a b =时等号成立),≥,尝试解决下列问题: (1)证明:若0,0,0a b c >>>，则222a b c a b c b c a++≥++,并指出等号成立的条件；(2)试将上述不等式推广到(2)n n ≥个正数121,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅的情形,并加以证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a +可得证明，（2）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a+可得证明【详解】（1）∵222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++，∴222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立；（2）∵212a a +a 2223a a ++a 32211n n n n a aa a a -+++++a 1≥2a 1+2a 2+…+2a n ﹣1+2a n ， ∴222211212231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ﹣1＝a n 时取等号 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题 19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：① y 与10x -和x 的乘积成正比；② 当5x =时，100y =；③02(10)x t x ≤≤-，其中t 为常数，且1[,1]2t ∈. （1）设()y f x =，求出()f x 的表达式，并求出()y f x =的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.【答案】（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==. 【解析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性． （2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+ 函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==．（1）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ．（2）求证：A B ⊆．（3）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A =-，{}2B =-；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）由34x x +=，解得2x =-，{}2A =-；由()3344x x ++=，解得2x =-，，{}2B =-；（2）若A =∅，则A B ⊆成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，可得()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，从而可得结果；（3）①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，可得对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方，可得对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅．【详解】（1）由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，得()3344x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-，{}2B =-．（2）若A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，∴()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，∴A B ⊆．（3）由A ≠∅，得方程2ax bx c x ++=无实数解，∴()2140b ac ∆=--<．①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方， 所以任意x R ∈，()0f x x ->恒成立，即对于任意x R ∈，()f x x >恒成立，对于()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤>⎣⎦成立，∴对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方， 所以任意x R ∈，()0f x x -<恒成立，即对于x R ∀∈，()f x x <恒成立，对于实数()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤<⎣⎦成立，所以对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅，综上知，对于()()20f x ax bx c a =++≠， 当A =∅时，B =∅．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .【答案】(1) 1-，12;(2)见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A ，把2代入进行验证； （2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ． 【详解】（1）证明：若x ∈A ，则11A x ∈-． 又∵2∈A ， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A ，∴()11112A =∈--． ∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x -≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．。
上海市金山中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
12．函数 （其中 ）的图像与其对称轴在 轴右侧的交点从左到右依次记为 ，在点列 中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的 值从小到大组成的数列记为 ，则 ________
二、单选题
13． 是 的（）
【详解】
解:设 ,
反正弦函数 的定义域为 ,
解不等式 ,可得 .
所以函数的定义域为: .
故答案为 .
【点睛】
本题考查反三角函数的定义域的求法,是基本知识的考查,求反三角函数的定义域, 可转化为求反函数的值域.
5．
【解析】
分析：当 时，求得 ；当 时，类比写出 ，由 求出 ，再将 代入 检验，即可求出答案.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．要得到函数 的图像，只需要将函数 的图像（）
A．向右平移 个长度单位B．向左平移 个长度单位
C．向右平移 个长度单位D．向左平移 个长度单位
15．设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 中最大项为（）
A． B．
C． D．
16．函数 在区间 上可找到 个不同数 ，使得 ，则 的最大值等于（）
A．8B．9C．10D．11
三、解答题
17．已知 ， ， ，求：
（1） 和 的值；
（2） 的值.
18．已知函数 （ ）.
（1）当 时，判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）当 时，求 的最值并指出此时 的取值集合.
19．在 中， .
3．
【分析】
分子、分母同除以 ，将 代入化简即可.
【详解】
【解析】上海市金山中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
金山中学2019学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分）1.集合{},,A a b c =有_______个子集.【答案】8【分析】集合{a ，b ，c }的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集得到结论．【详解】集合{a ，b ，c }的子集有：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{c ，b }，{a ，b ，c }共8个．故答案为：8【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n个．2.不等式11x -<的解集是 .【答案】(0,2)由11102x x -<-<⇒<<.3.已知命题P 是“若实数a 、b 满足1a >且2b >，则3a b +>”,则命题P 的否命题是________.【答案】若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【分析】直接由否命题的定义得到结论.【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题为“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”，故答案为：若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题．4.已知集合{|A x y ==，2{|}B y y x ==，则A B =I ________【答案】[0,1]【分析】求出集合A,B ，即可得到A B ⋂.【详解】由题集合{{}[]||11 1.1,A x y x x ===-≤≤=- 集合[)2{|}{|0}0.,B y y x y y ===≥=+∞故[]0,1A B ⋂=.故答案为[]0,1.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题5.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)【答案】必要非充分【分析】当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，有c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边．【详解】必要不充分条件当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；反之当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，则c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题．6.已知11a b -<<<，则-a b 的取值范围是________【答案】(2,0)-【分析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化b=a-z ，经平移直线可得结论． 【详解】作出11a b -<<<所对应的可行域，即1111a b a b -<<⎧⎪-<<⎨⎪<⎩（如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2，当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0，∴a -b 的取值范围是()2,0-，故答案为：()2,0-．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．7.已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = ．【答案】－1试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．考点：函数的奇偶性．8.已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________. 【答案】11(,)23--【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某班有50名学生报名参加A 、B 两项比赛，参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A 项，没有参加B 项的学生有__人.【答案】9【分析】利用方程思想，设A 、B 都参加的同学为x 人，则可分别得到只参加A ，不参加B ，只参加B ，不参加A ，以及AB 都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可．【详解】设A 、B 都参加的同学为x 人，则只参加A ，不参加B 的为30x -，只参加B ，不参加A 的为33x -，则AB 都不参加的人数为()50303313x x x x --++-=-．因为A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人， 所以1313x x --=，解得21x =． 所以只参加A 项，没有参加B 项的学生有30219-=．故答案为：9【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．10.若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R ,则实数a 的取值范围是_______.【答案】(2,2]-【分析】对x 2的系数分类讨论：当a ＝2时，直接得出；当a ≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】当a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x 都成立，因此a ＝2满足题意； 当a ≠2时，要使关于x 的不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ， 则()()220421620a a a -⎧⎪⎨=-+-⎪⎩V ＜＜， 化为()()2220a a a ⎧⎨-+⎩＜＜， 解得﹣2＜a ＜2． 故答案为（﹣2，2]． 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题． 11.已知函数24()6f x x x =+-，22()32g x x ax a =-+（0a <），若不存在实数x 使得()1f x >和()0<g x 同时成立，则a 的取值范围是________ 【答案】1(,2][,0)2-∞-⋃- 【分析】通过f （x ）＞1和g （x ）＜0，求出集合A 、B ，利用A∩B=∅，求出a 的范围即可．【详解】由f （x ）＞1，得246x x+-＞1，化简整理得()()(2)1 0(3)2x x x x -+-+＜ ，解得2123x x --＜＜或＜＜，即()1f x >的解集为A={x|-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}． 由g （x ）＜0得x 2-3ax+2a 2＜0，即（x-a ）（x-2a ）＜0，g （x ）＜0的解集为B={x|2a ＜x ＜a ，a ＜0}．由题意A∩B =∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a 的取值范围是{a|a≤-2或-12≤a＜0}． 即答案为][1,2,02⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．12.已知数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，3n ≥）具有性质P ：对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ，现给出以下四个命题：①数集{0,1,3,5,7}具有性质P ；②数集{}0,2,4,6,8具有性质P ；③若数集A 具有性质P ，则10a =；④若数集{}125,,,A a a a =⋅⋅⋅（1250a a a ≤<<⋅⋅⋅<）具有性质P ，则1322a a a +=；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【分析】利用a i +a j 与a j -a i 两数中至少有一个属于A ．即可判断出结论．【详解】①数集{}0,1,3,5,7中，{}7520,1,3,5,7-=∉，故数集{}0,1,3,5,7不具有性质P ； ②数集{}0,2,4,6,8满足对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ，故数集{}0,2,4,6,8具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5，由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A，又i=1时，a 5-a 1∈A，∴a 5-a i ∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0，则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分13.如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. ()M P S ⋂⋂B. ()M P S ⋂⋃ C ()()U M P S ⋂⋂ðD. ()()U M P S ⋂⋃ð 【答案】C【分析】 先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．14.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A. 2(),()=f x xg x =B. ()(f x g x =C. 1(0)1(0)()()=1(0)1(0)x x x x f x g x x x x x +>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭, D. {}{}()2()2(1)()=21f x x x g x xx =∈∈；【答案】D【分析】 若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B 选项，f （x ）=（x ≤﹣2，或x ≥2）和g （x ）=（x ≥2）定义域不同，∴不是同一函数；对于C 选项，当x =0时，对应关系不同，∴不是同一函数对于D 选项，f （x ）的定义域与g （x ）的定义域均为{1}，且f （x ）2==g （x ） ∴是同一函数故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．15.已知()f x 是R 上的偶函数,且当()()20,1x f x x x >=- ,则0x <时,()f x = ( ) A. 2(1)x x - B. 2(1)x x + C. 2(1)x x -- D.2(1)x x -+【答案】B【分析】由x ＜0得﹣x ＞0，代入已知式子得f （﹣x ），由偶函数f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）的解+析式．【详解】设x ＜0，则﹣x ＞0，∴()()()22()11f x x x x x -=-+=+， 又∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ），∴()()21f x x x =+， ∴当x ＜0时，()()21f x x x =+． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解+析式的基础知识，是基础题目．16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选：D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤17.已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．【答案】{0,B =1，4，7}【分析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ．【详解】Q 集合{}222,1,A a a a =+-， {0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18.“0,0a b >>,≥,还可以有如下证法:≥+≥当且仅当a b=时等号成立≥,尝试解决下列问题:(1)证明:若0,0,0a b c>>>，则222a b ca b cb c a++≥++,并指出等号成立的条件；(2)试将上述不等式推广到(2)n n≥个正数121,,,,n na a a a-⋅⋅⋅的情形,并加以证明.【答案】（1）见解+析；（2）见解+析.【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比b2ab++c2bc++a2ba+可得证明，（2）根据题设例题证明过程，类比b2ab++c2bc++a2ba+可得证明【详解】（1）∵222222a b cb c a a b cb c a+++++≥++，∴222a b ca b cb c a++≥++，当且仅当a＝b＝c时等号成立；（2）∵212aa+a2223aa++a32211n nnna aaa a-+++++L a1≥2a1+2a2+…+2a n﹣1+2a n，∴222211212231n nnna aa aa a aa a a a-++++≥+++L L．当且仅当a1＝a2＝…＝a n﹣1＝a n时取等号【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：① y与10x-和x的乘积成正比；② 当5x=时，100y=；③02(10)xtx≤≤-，其中t为常数，且1[,1]2t∈.（1）设()y f x=，求出()f x的表达式，并求出()y f x=的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.【答案】（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==.【分析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论． 【详解】（1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+ 函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==. 【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解+析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20.对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==．（1）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ．（2）求证：A B ⊆．（3）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A =-，{}2B =-；（2）证明见解+析；（3）证明见解+析．分析】（1）由34x x +=，解得2x =-，{}2A =-；由()3344x x ++=，解得2x =-，，{}2B =-；（2）若A =∅，则A B ⊆成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，可得()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，从而可得结果；（3）①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，可得对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c=-=+-+的图象在x 轴的下方，可得对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅．【详解】（1）由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，得()3344x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-，{}2B =-．（2）若A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，∴()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，∴A B ⊆．（3）由A ≠∅，得方程2ax bx c x ++=无实数解，∴()2140b ac ∆=--<．①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方， 所以任意x R ∈，()0f x x ->恒成立，即对于任意x R ∈，()f x x >恒成立，对于()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤>⎣⎦成立，∴对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方， 所以任意x R ∈，()0f x x -<恒成立，即对于x R ∀∈，()f x x <恒成立，对于实数()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤<⎣⎦成立，所以对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅，综上知，对于()()20f x ax bx c a =++≠， 当A =∅时，B =∅．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21.设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .【答案】(1) 1-，12;(2)见解+析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ． 【详解】（1）证明：若x∈A，则11A x ∈-． 又∵2∈A， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A，∴()11112A =∈--． ∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x -≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．。
上海高一数学下期中试卷及详解(20200509131252).pdf
期中考试高一数学试题
姓名
学号
成绩 2013.4.
一 . 填空题 （本题满分 44 分 , 每小题 4 分）
1. 化简 1 2sin2cos2 的结果是
。
2. 如果 tan sin 0,且 0 sin cos 1, 那么 的终边在第
象限。
3. 若
k 360o 30o, k Z ，则其中在 720o : 720o之间的角有
AM 2 AN 2 2AM AN cos( 1 1 ) .
方案二：①需要测量的数据有：
7
1
，则
sin 2x
1，
2
6
66
2
6
2a 2asin 2x
a，
6
3a b 1
由题意得
2a 2a b 5
a 2, b 5.
当 a 0时，有 a 2asin 2x 6
2a ，
3a b 5
由题意得
2a 2a b 1
a 2, b 1.
（ 2）当 x
时, f x 取得最大值 .
12
(3) 当 a 0 时， f x
A . 充分条件但非必要条件
B . 必要条件但非充分条件
C . 充分必要条件
D . 既非充分条件又非必要条件
三、解答题 ( 本题满分 44 分)
D. ab 2
（）
（
）
16. （本题满分 8 分）已知一扇形的圆心角是
，所在的圆的半径为 r 。
（ 1）若 60 ,r 10cm ，求扇形的弧长；
（ 2）若扇形的周长是一定值 c c 0 ，当扇形的圆心角为多少时，该扇形的面积最大。
（ 2）若 sin
5 ，求 cos 的值。
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。
9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23． 故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值． 解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值． 解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)． 故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1， 故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ， 由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍， 可得函数y =sin(x −3π4)的图象； 再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615． 解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题(2021年整理)
上海市金山中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（上海市金山中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ,则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形。
6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的 图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足5310sin ,cos αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=，且3[,]44ππα∈-,则arcsin x 的取值范围是____________．11． 某班设计了一个“水滴状"班徽（如图)，徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC 所围成的弓形所组成,劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1,则该图形的面积为____________．－2xyO 231 65 第6题第11题12．对于函数)(x f ,在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界"为___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选：C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． 2．下列各组函数中,表示同一函数的是( )A ．2(),()=f x xg x =B ．()(f x g x =C ．1(0)1(0)()()=1(0)1(0)x x x x f x g x x x x x +>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭, D ．{}{}()2()2(1)()=21f x x x g x xx =∈∈；【答案】D 【解析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B 选项，f （x ）=（x ≤﹣2，或x ≥2）和g （x ）=（x ≥2）定义域不同，∴不是同一函数；对于C 选项，当x =0时，对应关系不同，∴不是同一函数对于D 选项，f （x ）的定义域与g （x ）的定义域均为{1}，且f （x ）2==g （x ） ∴是同一函数故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．3．已知()f x 是R 上的偶函数,且当()()20,1x f x x x >=- ,则0x <时,()f x = ( )A ．2(1)x x -B ．2(1)x x +C ．2(1)x x --D ．2(1)x x -+【答案】B【解析】由x ＜0得﹣x ＞0，代入已知式子得f （﹣x ），由偶函数f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）的解析式．【详解】设x ＜0，则﹣x ＞0，∴()()()22()11f x x x x x -=-+=+， 又∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ），∴()()21f x x x =+， ∴当x ＜0时，()()21f x x x =+． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识，是基础题目．4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选：D ．【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二、填空题5．集合{},,A a b c =有_______个子集.【答案】8【解析】集合{a ，b ，c }的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集【详解】集合{a ，b ，c }的子集有：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{c ，b }，{a ，b ，c }共8个．故答案为：8【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．6．不等式11x -<的解集是 .【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.7．已知命题P 是“若实数a 、b 满足1a >且2b >，则3a b +>”,则命题P 的否命题是________.【答案】若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【解析】直接由否命题的定义得到结论.【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题为“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”，故答案为：若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题．8．已知集合，，则________ 【答案】【解析】求出集合A,B ，即可得到. 【详解】 由题集合集合故. 故答案为.本题考查集合的交集运算，属基础题9．已知,,a b c ∈R ，则“a b >”是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)【答案】必要非充分【解析】当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，有c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边．【详解】必要不充分条件当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；反之当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，则c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题．10．已知，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即 （如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2，当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0，∴a-b 的取值范围是，故答案为：．【点睛】 本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．11．已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = ．【答案】－1【解析】试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．【考点】函数的奇偶性．12．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________. 【答案】11(,)23--【解析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．某班有50名学生报名参加A 、B 两项比赛，参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B 项的学生有__人.【答案】9【解析】利用方程思想，设A 、B 都参加的同学为x 人，则可分别得到只参加A ，不参加B ，只参加B ，不参加A ，以及AB 都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可．【详解】设A 、B 都参加的同学为x 人，则只参加A ，不参加B 的为30x -，只参加B ，不参加A 的为33x -，则AB 都不参加的人数为()50303313x x x x --++-=-．因为A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人， 所以1313x x --=，解得21x =． 所以只参加A 项，没有参加B 项的学生有30219-=．故答案为：9【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．14．若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R ,则实数a 的取值范围是_______.【答案】(2,2]-【解析】对x 2的系数分类讨论：当a ＝2时，直接得出；当a ≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】当a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x 都成立，因此a ＝2满足题意；当a ≠2时，要使关于x 的不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ， 则()()220421620a a a -⎧⎪⎨=-+-⎪⎩＜＜， 化为()()2220a a a ⎧⎨-+⎩＜＜，解得﹣2＜a＜2．故答案为（﹣2，2]．【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题．15．已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【解析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x ＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．16．已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【解析】利用a i+a j与a j-a i两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．【详解】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质； ③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5，由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A ，又i=1时，a 5-a 1∈A ，∴a 5-a i ∈A ，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0，则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．三、解答题17．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．【答案】{0,B =1，4，7}【解析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ．【详解】集合{}222,1,A a a a =+-， {0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18．“0,0a b >>,≥除了用比较法证明外,还可以有如下证法: +≥++≥(当且仅当a b =时等号成立), ≥,尝试解决下列问题: (1)证明:若0,0,0a b c >>>，则222a b c a b c b c a++≥++,并指出等号成立的条件； (2)试将上述不等式推广到(2)n n ≥个正数121,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅的情形,并加以证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a+可得证明， （2）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a+可得证明 【详解】（1）∵222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++， ∴222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立； （2）∵212a a +a 2223a a ++a 32211n n n n a a a a a -+++++a 1≥2a 1+2a 2+…+2a n ﹣1+2a n ， ∴222211212231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ﹣1＝a n 时取等号【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题 19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：① y 与10x -和x 的乘积成正比；② 当5x =时，100y =；③02(10)x t x ≤≤-，其中t 为常数，且1[,1]2t ∈. （1）设()y f x =，求出()f x 的表达式，并求出()y f x =的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.【答案】（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==. 【解析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性． （2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+ 函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==．（1）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ．（2）求证：A B ⊆．（3）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A =-，{}2B =-；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）由34x x +=，解得2x =-，{}2A =-；由()3344x x ++=，解得2x =-，，{}2B =-；（2）若A =∅，则A B ⊆成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，可得()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，从而可得结果；（3）①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，可得对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方，可得对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅．【详解】（1）由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，得()3344x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-，{}2B =-．（2）若A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，∴()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，∴A B ⊆．（3）由A ≠∅，得方程2ax bx c x ++=无实数解，∴()2140b ac ∆=--<．①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，所以任意x R ∈，()0f x x ->恒成立，即对于任意x R ∈，()f x x >恒成立，对于()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤>⎣⎦成立，∴对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方， 所以任意x R ∈，()0f x x -<恒成立，即对于x R ∀∈，()f x x <恒成立，对于实数()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤<⎣⎦成立，所以对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅，综上知，对于()()20f x ax bx c a =++≠， 当A =∅时，B =∅．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .【答案】(1) 1-，12;(2)见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A ，把2代入进行验证；（2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ． 【详解】（1）证明：若x ∈A ，则11A x ∈-． 又∵2∈A ， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A ，∴()11112A =∈--． ∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x -≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．。