冲激函数抽样性质证明
冲激函数抽样性质证明
1
O1
t
0 R(t t0 ) t t0
t t0 t t0
R(t t0 ) 1
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t0 3．三角形脉冲
O t0 t0 1 t f (t)
f
(t)
K
R(t )
0t
K
0
其 它jh
O
t
jh
X
二．单位阶跃信号
第 6
f (t0)
jh
jh
第 13 页
t
X
第
2. 奇偶性
14
页
(t) (t)
利用分部积分运算
(t) f (t)dt
f
(t
)
(t
)
f (t) (t)dt
f (0)
jh
jh
X
第
3.冲激偶
15
页
s(t )
(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
(1)
o t
s(t )
0
O
t
(t)
1
2 1
2
O
t
t
O
1
2
1 2
jh
jh
X
第
冲激偶的性质
16
页
①
(t) f (t)d t f (0)
对 t的k阶导数： (k) t f t d t 1k f (k) 0
积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
冲激函数
状态，然后求解由这一初始状态所产生的零输入响应。 此即为t＞0时的冲激响应h(t)。
17
例9-8
试求电路中电流及电感电压的冲激响应。
解 把电感看作开路，作出t=0时的等效电路(b)。来自
冲激电源的冲激电压全部出现于电感两端。
关于冲激电压全部出现于电感可理解如下：如果冲激
t
t
1
e t
t
C1 C
e t
t
u2 t
u21
u22
R
R1
1 et
C1 C
e
t
t
24
§9-6 线性非时变电路对任意输入的响应
❖ 电路的冲激响应和该电路的零输入响应相同，而电路 的零输入响应的形式只与电路本身的性质有关，与激 励的形式无关。
于不同的网络对同样的冲激激
励，N的响应不同，网络N可用 它的冲激响应表征。
a
❖ h(t)是冲激在t=0时作用所产生
的响应，由于网络是非时变的，
对于在t=时作用的冲激，其响
b
应必为h(t-),图(b)。
❖ 如果作用于N的冲激不是单位
冲激而是强度为x()的冲激，
那末，由于网络是线性的，其
响应必为x()h(t-)，图(c)。
u21(t)为
u21 t
t
R1
R
1
e t
冲激电流产生u2(t)的分量u22(t)。由于u21(t)与R1的乘积 即为该电路的单位阶跃响应，其导数为冲激响应
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
【最新精选】冲激偶函数
三、单位冲激偶信号冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。
t t t d )(d )(δδ=' （1.3-16）式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(ˆlim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(ˆt δ的导数)(ˆt δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为)2(1)2(1)(ˆτδττδτδ--+='t t t当0→τ时，)(ˆt δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。
故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。
（a ） （b ）图1.3-11 冲激偶函数设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分()()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'--=-=-'⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-δδδδδ利用冲激函数的抽样性质，从上式得)(d )()(00t x t t t t x '-=-'⎰∞∞-δ（1.3-17）该式称为)(t δ'的抽样性质。
采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得)()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18）注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。
再来考虑)(t δ'的对称性。
t ττt -==-'τδδd )(d )(由于)(t δ为偶对称函数，则有 )(d )(d )(t t t t δδδ'-=-=-'（1.3-19）可见，)(t δ'为奇对称函数。
单位冲激函数性质
单位冲激函数性质
冲激函数的性质有：1、筛选性质。
2、取样性质。
3、导数性质。
4、尺度变换性质。
冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学
模型。
冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态
响应。
冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限
大的负的冲激函数。
应用领域：
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的
一些特性的研究。
冲激函数及其延时冲激函数的线性组合去则表示或迫近，再利用系统的vary原理，
可以通过直观的信号例如单位冲激函数的频谱，以及频域特性去探讨比较复杂信号的频谱。
从而增加排序繁杂信号频谱的难度。
冲激函数抽样性质证明
冲激函数抽样性质证明冲激函数（impulse function）是一种特殊的函数，通常用符号δ(t)表示。
它在t = 0时的值为无穷大，其他时刻的值都为零。
冲激函数在信号和系统理论中有着重要的应用，特别是在连续时间信号中的抽样过程中。
冲激函数的抽样性质可以通过对其进行合理的数学表示和推导来进行证明。
下面我们将介绍一种常见的方法，拉普拉斯变换证明冲激函数的抽样性质。
首先，我们定义一个信号x(t)和它的拉普拉斯变换X(s)：x(t) = ∫[0,∞) X(s) e^(st) ds假设x(t)是一个冲击响应函数，即x(t)在t=0时取值为无穷大，其他时刻取值为零。
那么我们可以将x(t)表示为冲激函数δ(t)的线性组合：x(t)=a*δ(t)其中，a是一个常数。
我们希望证明这个冲激函数的抽样性质。
现在我们将x(t)的拉普拉斯变换带入到等式中：X(s) = ∫[0,∞) (a * δ(t)) e^(st) dt由于δ(t)在t=0时的值为无穷大，其他时刻的值都为零，所以上式可以简化为：X(s) = a * ∫[0,∞) δ(t) e^(st) dt为了进一步简化计算，我们可以利用一个性质：对于任意的函数f(t)，有：∫[0,∞) f(t) δ(t) dt = f(0)将这个性质应用到上述等式中，我们可以得到：X(s)=a*e^(s*0)=a所以，我们得到了x(t)的拉普拉斯变换X(s)。
从这个等式可以看出，x(t)的拉普拉斯变换是一个常数，即与s无关。
根据拉普拉斯反变换的性质，我们知道a的拉普拉斯反变换是一个冲激函数δ(t)的线性组合，即：a = ∫[-∞,∞) X(s) e^(-st) ds将X(s)代入到上式中，我们可以得到：a = ∫[-∞,∞) a e^(-st) ds进行积分运算，可以得到：a = a * ∫[-∞,∞) e^(-st) ds积分运算得到的结果是一个常数，所以可以在等式两侧消去共同的常数a：1 = ∫[-∞,∞) e^(-st) ds这个等式的左侧是一个常数，不依赖于t。
1.3_冲激函数
第一章第2讲 5
举 例 1
下列各表达式中错误的是______ C 。
( A) ( B) (C ) ( D) (C )
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t t0 )dt f (0) f (t t0 ) (t )dt
f (t )
1
0
f (2t )
压缩
1
0
1
2
t
0.5 1
2
t
0<a <1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩展至原来的1/a
f (t )
1
0
f (1 2 t)
扩展
1
0
第一章第2讲
1
2
t
2
4
t
15
信号变换综合应用
f (2t ) f (t )
1
0
由 f (t)绘出 f (-2t+2)
f (2t )
2
0
2
t
f (k )
面积
0
k
t
第K个脉冲函数： f (k ) p(t k )
f (t )
f (k ) p(t k )
f (k ) p(t k )
第一章第2讲
当 0, 即 为d, 而 k 为 。
信号的导数与积分
f (t )
f (t )
(1)
f ( 1) (t )
1
单位冲激函数的若干性质
{ 8& N' ' $!NC$" N!N& $
`a "& 'A`a#5& #N' '
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冲激函数的特解
冲激函数的特解冲激函数是一种理想化的数学函数，通常用符号δ(t)表示。
它在数学和工程领域中有着重要的应用，特别是在线性系统的特解求解中。
本文将围绕冲激函数的特解展开详细的讨论，包括定义、性质、应用等方面。
下面将详细介绍冲激函数及其特解。
一、冲激函数的定义和性质冲激函数δ(t)的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0∫[a, b]δ(t)dt = 1, 如果a < 0 < bδ(t)在t = 0处的值为无穷大，但是在其他位置上它的值都为零。
冲激函数是一个奇函数，即δ(t) = -δ(-t)。
这意味着冲激函数在关于原点的对称性。
冲激函数的多种性质使其在实际应用中具有重要作用。
下面列举了几个冲激函数的重要性质：1. 单位冲激函数：单位冲激函数，记作δ(t - t0)，表示在t = t0时的冲激信号。
它在t = t0的值为无穷大，其他位置的值都为零。
单位冲激函数可以用于表示系统的初始条件或者输入信号的特定时刻。
2. 单位面积冲激函数：单位面积冲激函数即∫[−∞,+∞]δ(t−t0)dt=1，表示在t = t0时的冲激信号，且在t = t0时的幅度为1。
单位面积冲激函数在信号处理和系统特解求解中应用广泛。
3. 平移性质：冲激函数在时间轴上的平移不会改变其特性。
例如，δ(t - t0)表示在t = t0时的冲激信号，而δ(t - t1)表示在t =t1时的冲激信号，其中t1 ≠ t0。
这两个冲激函数具有相同的特性，只是位置不同。
4. 放大性质：冲激函数可以进行缩放和放大操作。
例如，若对单位冲激函数δ(t)乘以一个常数A，则得到幅度为A的冲激信号。
以上是冲激函数的一些基本定义和性质，这些性质使得冲激函数成为一种非常实用的数学工具。
二、冲激函数的特解求解冲激函数在线性系统中的特解求解中起着重要作用。
在线性时不变系统中，线性微分方程的简化方法之一就是利用冲激函数进行特解求解。
特解是微分方程的一个解，可以满足特定的初始条件。
第6章采样频谱及采样定理
数，所以 F() 在重复过程中不会使形状发生变化。
1.周期矩形脉冲抽样
图 5.1-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为f(t)与抽 样脉冲序列PTs(t)的乘积，即
fs (t) f (t) PT s (t)
f (t)
fs(t)
f (t)
fs(t)
抽样器
o
t
图 5.1-1 信号的抽样
o Ts
t
1 2
F() P()
1 2
F
(
)
2
n
cn
(
ns
)
cn F( ns )
n
(5.1-4)
连续信号 f (t) 在时域被抽样后，其抽样信号 fs (t) 的频谱 Fs () 是由连续信号 f (t) 频谱 F() 以抽样频率 s 为间隔
周期重复而得到的，在此过程中幅度被抽样脉冲 p(t) 的傅里叶变换 P() 的系数 cn 加权。因为 cn 只是 n(而不是 )的函
6.1 抽样信号及其频谱
5.1.1 时域抽样
在时域，抽样过程是通过抽样脉冲序列 p(t) 与连续信号 f (t) 相乘来完成的，如图 5.1-3 所示。
f (t)
fs (t)
p(t ) 图 5.1-3 时域抽样过程
可以表示为 fs (t) f (t) p(t)
(5.1-1)
由于 p(t) 是周期序列，所以可以计算 p(t) 的傅里叶变换为
…
S …
0
S
FS ()
1
TS
…
S
0
S
(a) 冲激抽样
(b) 抽样信号频谱
图 5.1-5 冲激抽样信号的频谱
由以上讨论，有两点需要注意：(1) 原连续信号的频谱函数 F() 假设是有限带宽。根据前面的信号分
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击图1-2强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
信号分析与处理公式 笔记
信号分析是认识世界的方法，信号处理是改造世界的手段用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x (t ) = 2ε(t )- 3ε(t -1) +ε(t -2)冲激函数的性质1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质若x (t )在 t = 0 、 t = t0处存在，则 x (t )δ(t ) = x (0)δ(t ) ， x (t )δ(t –t 0) = x (a) (t –t 0) 2） 与普通函数 x(t) 的乘积再积分——抽样性质3）冲激函数与阶跃函数关系： 可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。
如 x (t ) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) x′(t ) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)注意：图中K 为强度，要括住！冲激函数的导数δ’(t ) （也称冲激偶信号） 1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质2） 抽样性质 例如：★周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示周期信号的傅里叶级数 1、傅里叶级数的三角形式)(d )()(00t x t t t t x =-⎰∞∞-δ⎰∞-=tt ττδεd )()(dt t d t )()(δδ='()()(0)()(0)()x t t x t x t δδδ'''=-00()()d ()x t t t t x t δ∞-∞''-=-⎰)42(4)(2-=t t t xδ24(2(2))t t δ=-24(2)8(2)2t t t δδ=-=-1sin()()2j t j tt e e j ωωω-=-1cos()()2j t j t t e e ωωω-=+))sin()cos(()(1110t k b t k a a t x k k k ωω++=∑∞=∑∞=++=110)cos()(k k k t k C C t x ϕω⎰∞∞--=ττδτd )()()(t x t x2、傅里叶级数的指数形式两种傅氏级数的系数间的关系:非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的频谱1.单边指数信号 x (t) = e –αt ε(t)， α >0实数2. 矩形脉冲信号 （门函数）3. 符号函数4. 单位冲激信号5. 单位阶跃信号 ⎰-=221111d )cos()(2T T k t t k t x T a ω∑∞-∞==k tjk k X t x 1e )(ω000a c X ==)(21k k j k k jb a e X X k -==ϕ)(21k k j k k jb a e X X k+==---ϕ()()()()()()1F 1F 2j tj tX x t x t e dt x t X X e d ωωωωωωπ∞--∞∞--∞⎧==⎡⎤⎣⎦⎪⎨⎪==⎡⎤⎣⎦⎩⎰⎰⎰∞∞--∞→==t t x T X X tj k T d e )(lim )(11ωω()()()j X X e ϕωωω=⎰∞∞-=dt t x X )()0(⎰∞∞-=ωωπd )(21)0(X x ωαωαωωαωαj j t X t j t j t +=+-==∞+-∞--⎰1e 1d e e )(0)(0()()22222sin Sa 22j t j t j t E X x t e dt E e dt e j E E ττωωωττωωωτωττω∞----∞--===-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()1,0sgn 1,0t x t t t >⎧==⎨-<⎩ωωαωωααj j X t 22lim )(lim )sgn(22010=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=←→→→0()()1j t j X t e dt e ωωωδ+∞---∞===⎰)(2)(2d e 1ωπδωπδω=-=←→⎰∞∞--t tj 111傅里叶变换的性质1. 线性(Linear Property)2. 对偶性(Symmetrical Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则3. 尺度变换性质(Scaling Transform Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则 其中 “a ” 为不等于零的实常数。
冲激函数及其性质
可以使用`title`和`xlabel`等函数为图形添加标题和坐标轴标签，以便更好地描述图 形。
计算卷积结果并展示图形
在MATLAB中，可以使用`conv` 函数计算两个序列的卷积结果。
将冲激信号与另一个信号进行卷 积运算，可以得到卷积后的结果
2023
PART 02
冲激函数性质分析
REPORTING
筛选性质
筛选性质定义
01
冲激函数具有筛选性质，即与任何函数相乘的结果都等于该函
数在冲激点的取值。
数学表达式
02
对于任意函数f(t)，有f(t)*δ(t) = f(0)*δ(t)。
应用举例
03
在信号处理中，冲激函数可用于从复杂信号中提取特定时刻的
2023
冲激函数及其性质
https://
REPORTING
2023
目录
• 冲激函数基本概念 • 冲激函数性质分析 • 与其他函数关系探讨 • 在信号处理中应用举例 • MATLAB仿真实现冲激函数 • 总结回顾与拓展延伸
2023
PART 01
冲激函数基本概念
REPORTING
连续信号处理
在连续信号处理中，冲激函数可以表示为连续函 数的形式，通过求解冲激响应可以得到系统的输 出信号。
频域分析辅助工具
傅里叶变换
冲激函数在频域分析中具有重要的地位。通过傅里叶变换， 可以将时域信号转换为频域信号，进而分析信号的频谱特 性。
频域滤波器设计
利用冲激函数的频域特性，可以设计各种频域滤波器，实 现对信号频率成分的选择性过滤和处理。
线性叠加原理
(完整版)冲激偶函数
三、单位冲激偶信号冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。
t t t d )(d )(δδ=' （1.3-16）式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(ˆlim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(ˆt δ的导数)(ˆt δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为)2(1)2(1)(ˆτδττδτδ--+='t t t当0→τ时，)(ˆt δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。
故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。
（a ） （b ）图1.3-11 冲激偶函数设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分()()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'--=-=-'⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-δδδδδ利用冲激函数的抽样性质，从上式得)(d )()(00t x t t t t x '-=-'⎰∞∞-δ（1.3-17）该式称为)(t δ'的抽样性质。
采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得)()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18）注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。
再来考虑)(t δ'的对称性。
t ττt -==-'τδδd )(d )(由于)(t δ为偶对称函数，则有)(d )(d )(t t t t δδδ'-=-=-' （1.3-19）可见，)(t δ'为奇对称函数。
狄拉克函数(冲激函数)20160703
+∞
δ
(τ
)
f
⎛ ⎜
τ
⎟⎞d τ
=
1
f (0)
−∞
−∞
⎝−a⎠ −a −a
∫+∞ 1 δ (t) f
−∞ − a
(t )dt
=
1 −a
f
(0)
δ (at) = 1 δ (t) (a < 0)
−a
δ (at) = 1 δ (t)
a
4、卷积性质
f
(t)∗δ (t) =
+∞
∫f −∞
(t −τ )δ (τ )dτ
−∞
−∞
= δ (t)
δ ′(− t) = −δ ′(t)
4、标度变换
δ ′(at) = 1 ⋅ 1 δ ′(t)
aa
δ (k )(at ) =
1 a
1 ⋅ ak
δ (k )(t )
=
∫0+ 0−
f
(t
−τ )δ (τ )dτ
=
f
(t )
任意有界函数与狄拉克函数的卷积就是该函数自身。这一规律在系统分析上体现为：线性时不
变系统的冲激响应（在单位冲激信号下的响应）完全由系统本身的特性所决定，与系统的激
励源无关。
三、单位对偶冲激（冲激偶）
单位冲激函数的一阶导数称为单位对偶冲激函数。
f
(0)dt
=
f (0)
对于有时移的情况
∫+∞
δ
−∞
(t
−
t0
)
⋅
f (t)dt
=
f (t0 )
冲激序列对连续信号抽样结果为
+∞
x(nT ) = x(t)⋅ ∑δ (t − nT )
冲激函数
• t
ht
dst
dt
R
d dt
1
1t
e RC
•
t
R
t
t
e
1 RC
t
1 RC
1 t
e RC t
R
t t
1 RC
1 t
e RC t
1
1t
e RC
t
C
电容电压发生 了1/C的跃变
21
例9-12
试用诺顿定理求解补偿分压器 的输出压u2(t)。
解 诺顿定理能用于线性动态电路。ab 的左边部分可以用一个诺顿等效电路代 替，即可以用一个电流源与N0的并联组 合代替。 等效电流源的电流is(t)等于原电路中ab 端的短路电流，见图(b)。
17
例9-8
试求电路中电流及电感电压的冲激响应。
解 把电感看作开路，作出t=0时的等效电路(b)。来自冲激电源的冲激电 压全部出现于电感两端。
关于冲激电压全部出现于电感可理解如下：如果冲激电压出现于电阻， 则在电阻中将产生冲激电流，因而电感中也将有冲激电流，这样，电感 电压将为冲激偶电压，无法满足KVL。
4
其他形状脉冲的极限情况
❖ 冲激函数一般看成是矩形脉冲函数的极限情况，其他 形状脉冲的极限情况也可作为单位冲激的近似。
❖ 具有单位面积的三角形脉冲，当趋近于零时，可作 为单位冲激的近似。
5
负指数函数
f
t
0 Ae t
/
t0 t0
| Ae t / dt Ae t /
A
0
0
令 A 1,
t 0
在0-至0+期间，iC1(t)及iC2(t)中含有冲激电流，故得
单位冲激信号的性质
(t)d t 0
t ( )d (t)
f (t) (t)d t f (0)
f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)
15
学好信号与系统 低通高通路路通
北京邮电大学信号与系统 智慧教学研究组
16
证明：
f t t f t t f t t
t 的抽样性
f 0 (t) f t (t) f 0 t
12
6. 小结
R(t)
求↓ u(t)
导↓
(t)
↑ 积 (-<t< ) ↑分
13
6. 小结
单位冲激信号的性质：
（1）抽样性
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
( ) f ( )d( )
( ) f ( )d f (0)
故 (t) (t)
(3)时间尺度变换
说明：
at 1 t
a
p(t)面积为1，
0 时, p(t) (t),
1
p(at)面积为 ，
a
0 时,
p(at) 1 (t)
a
6
证明：
分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明， 分a>0 、a<0两种情况
f (t ) (t t0 )d t f (t0 )
(t
t0 )d
t
1
（2）奇偶性
（3）尺度运算特性
(at) 1 t
a
（4）微积分性质
(t) d u(t)
dt
(t) (t)
14
6. 小结
（5）冲激偶
t d t
dt
(t) (t)
（6）卷积性质
f t t f t