第五章 维纳滤波
维纳滤波
维纳滤波滤波器概念常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，如RC低通滤波器、LC谐振回路等。
但对于混在随机信号中的噪声滤波，这些简单的电路就不是最佳滤波器，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
不管滤波器具有什么样的频率响应，均不可能做到噪声完全滤掉，信号波形的不失真。
因此，滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
维纳滤波定义及发展维纳滤波滤除背景噪声20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
维纳滤波是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。
利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立。
维纳滤波基本概念从噪声中提取信号波形的各种估计方法中，维纳（Wiener）滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。
设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。
期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。
因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。
为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。
如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。
根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。
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维纳滤波
逆滤波处理比较简单，但没有清楚地说 明如何处理噪声，而维纳滤波综合了退化函 数和噪声统计特性两个方面进行复原处理。
逆滤波方法不能完全恢复原始信号f(x,y)，而只能
求出f(x,y)的一个估计值 ˆf x, y 。
希望找到一种方法，在有噪声条件下，从退化图像 g(x,y)复原出f(x,y)的估计值，该估计值符合一定的准 则。
1.储蓄存款
储 蓄 存 款
各考点细化及理解
考点一
收益
利息利=率本：金年X、利月
利率分：类
定流期动：性收：益转高化，为
1.由央行拟定，国活务期院：批收准益低、
2.贷款利率＞存款利率 3. 调风节险存、贷款量—通—胀通货风胀币险、量：提购前
4率.实多际少收益条件适：费中当，最利过好率少，＞不过通利多胀于不
“定存两年”相差( ) A．2 719.5元
D B．1 024.98元
C．960元
D．919.5元
80 000×2.85%×2-[80 000×2.25%＋(80
000×2.25%)×2.25%]
各考点细化及理解
考点二
1.商业银行 中央银行
不为利润
我 国
债权人——借钱出去 债务人——借钱进来
业务
银
关于利率的那些事
2.利率作用
利 率 调 节 经 济
各考点细化及理解
考点一
经济过热
提高利率，减少市
经济滞缓
降低利率，增加市
对点训练
1.某商业银行一年和两年定期存款利率分别是2.
，存款到期不取，银行会自动将利息并入本金再转
陈医生有80 000元现金，考虑到可能的应急需要，
维纳滤波器
w
* 1
m in
w
* 0
w
0
w
1
记 为 w w , w w
* T N 1
( w ) 若 使最 ( w )小 ， 须 0 w 即
( w ) ( w ) ( w ) ( w ) ， ,, 2 R w 2 p 0 w w w w 0 1 N 1
E dn () 2 w () n E d () n xn () N
2
T
期 望 响 应 的 平 均 功 率
2 d
( n ) 是 w 的 函 数 , 即 ( n ) ( w )
T w () n E xn () xn () w () n N N T
——维纳-霍甫夫(Wiener-Hopf)方程
它反映了相关函数与最佳单位脉冲响应之间的关系。
Wiener-Hopf方程的矩阵形式
R hR s x x x
自相关矩阵 故最佳单位脉冲响应 其中
s () n 与的 x () n互 相 关
h RR s x o p t
R 0, N1 R 1, N1 RN1,N1
xn 观察/测量数据
s n 真实信号
vn 加性噪声/干扰
ˆ s n x n h n h i x n i 线性估计问题 i
ˆ e n s n s n
2
估计误差
n E en m i n h n 最小均方误差(MMSE)估计
得到：
E [] e x 0 i 0 , 1 ,, N 1 i
或
N 1 E h x sx 0 i j j j 0
Chapter 5-维纳滤波
23/31
5.4 维纳滤波器的应用……
应用例子1：维纳滤波方法提取脑电诱发电位 维纳滤波器的传递函数：
S s ( w, i ) Ss ( w) 相干函数加权构造的维纳滤波器：H ( w, i ) H ( w) S ( w, i ) S ( w) S s ( w, i ) n S s ( w) n N N
2016/6/10
30/31
下集预告
第六章 卡尔曼滤波
2016/6/10
31/31
实验三详解……
源程序：
clear all np = 0:99; % p = sin(pi/5*np); % 正弦 % p = exp(-0.06*np); % 指数衰减 % p = sin(pi/5*np).*exp(-0.06*np); % 指数衰减正弦 p = ones(size(np)); % 方波 figure; p = [p,zeros(1,length(x)-length(p))]; % 如果要求归一化相关系数 subplot(2,2,1); plot(np,p); （相干系数），两个序列要同样长 Rpw = xcorr(w,p,'coeff'); n = 0:1000; Rps = xcorr(s,p,'coeff'); w = randn(size(n)); Rpx = xcorr(x,p,'coeff'); s = zeros(size(n)); n2 = (n(1)-n(end)):(n(end)-n(1)); A = 3; % 衰减系数 figure; s(100:199) = s(100:199)+A*p; subplot(3,1,1); plot(n2,Rpw); title('Rpw of p(n) and s(500:599) = s(500:599)+A/3*p; w(n)');title('Rpw of p(n) and w(n)'); s(800:899) = s(800:899)+A/3/3*p; subplot(3,1,2); plot(n2,Rps); title('Rps of p(n) and s(n)');title('Rps x = s+w; of p(n) and s(n)'); figure; subplot(3,1,3); plot(n2,Rpx); title('Rpx of p(n) and subplot(3,1,1); plot(n,w); title('Noise'); x(n)');title('Rpx of p(n) and x(n)'); subplot(3,1,2); plot(n,s); title('Signal'); subplot(3,1,3); plot(n,x); title('Signal with Noise'); 2016/6/10 32/31
维纳滤波推导
维纳滤波推导维纳滤波是一种常用的信号处理方法，广泛应用于图像处理、语音处理和通信领域等。
本文将以维纳滤波推导为主题，介绍维纳滤波的基本原理和推导过程。
维纳滤波是一种最小均方误差滤波方法，通过对信号和噪声进行数学建模，找到最优的滤波器，以实现信号的恢复和噪声的抑制。
维纳滤波的基本思想是在频域将信号和噪声进行分离，然后对信号进行加权平均，以减小噪声的影响。
我们需要对信号和噪声进行数学建模。
假设原始信号为s(t)，观测到的信号为x(t)，噪声为n(t)，则观测信号可以表示为x(t)=s(t)+n(t)。
我们假设信号和噪声都是宽平稳过程，并且它们在频域上是相互独立的。
接下来，我们将信号和噪声的频谱进行分析。
假设信号和噪声的功率谱密度分别为S(f)和N(f)，则观测信号的功率谱密度为X(f)=S(f)+N(f)。
维纳滤波的目标是找到一个滤波器H(f)，使得滤波后的信号Y(f)尽可能接近信号的功率谱密度S(f)，即最小化信号和滤波后信号的均方误差。
根据维纳滤波的最小均方误差准则，我们可以得到维纳滤波器的频率响应函数为H(f)=S(f)/(S(f)+N(f))。
这个频率响应函数可以看作是对信号和噪声进行加权平均的结果，信号的权重比例取决于信号和噪声的功率谱密度。
我们可以通过将滤波器的频率响应函数H(f)与观测信号的频谱X(f)进行卷积运算，得到滤波后的信号的频谱Y(f)=H(f)*X(f)。
然后，我们可以通过傅里叶逆变换将滤波后的信号从频域转换到时域，得到滤波后的信号y(t)。
维纳滤波的推导过程比较复杂，需要涉及一些数学和信号处理的知识。
在实际应用中，可以利用现有的维纳滤波算法和工具包，直接对观测信号进行滤波处理，而无需进行推导。
维纳滤波在图像处理中常用于去噪，可以有效地提高图像的质量和清晰度。
在语音处理和通信领域中，维纳滤波可以用于语音增强和信号恢复，提高通信质量和语音识别的准确性。
维纳滤波是一种常用的信号处理方法，通过对信号和噪声进行数学建模，找到最优的滤波器，以实现信号的恢复和噪声的抑制。
维纳滤波器
维纳滤波器（包括卡尔曼滤波器）采用的“最佳”原则是线性均方准则: 线性最小均方误差滤波 Linear Minimum Mean-Square Error Filtering （常称为最小二乘方）
在最小二乘方准则下：
其中
正交原则： 表明任何时刻的估计误差都与用 于估计的所有数据（滤波器输入） 正交。
（正交性原理得到第二项乘积为零）
前面已得到正交性：
维纳滤波能达到的最小误差下限为：
将方程的解（维纳滤波器的系数）代入得到，
注意到：解Wiener-Hopf方程需要已知： 两个相关值——
比较正交性方程：
将误差代入正交性方程中（非因果FIR维纳滤波）：
写成“两个相关”的形式
解Wiener-Hopf方程需要知道两个相关：
引言
一般滤波与最优滤波
维纳滤波
在光成像中：为了提高成像 的质量，需要对光信号进行 基于探头脉冲响应的滤波反 卷积处理 以恢复光信号实际的幅频特 性。对噪声的抑制是获得稳 定反卷积结果的关键。
（有限长的从0到P-1阶的FIR滤波器）
“最佳”原则 在信号处理中通常有四种准则： 最大后验准则；最大似然准则；均方准则；线性均方准则。
匹配滤波与维纳滤波的结果
匹配滤波（matched filtering）是最佳滤波的一种， 当输入信号具有某一特殊波形时，其输出达到最大。 滤波器的振幅特性与信号的振幅谱一致，对信号的 匹配滤波相当于对信号进行自相关运算。
维纳滤波图像识别
基于维纳滤波器的旋转识别： 目标发生旋转后的滤波结果
在识别字母中可以通过模板和样本的符合度来判断应用维纳滤波的方法将字母f看成是我们要检测的信号将其它字母e看成是噪声匹配滤波与维纳滤波的结果匹配滤波matchedfiltering是最佳滤波的一种当输入信号具有某一特殊波形时其输出达到最大
维纳滤波
维纳滤波实验实验目的：通过本实验初步了解维纳滤波的原理，经过编程实现维纳滤波，进一步巩固了我们对维纳滤波的相关理论基础，同时提高我们的动手实践能力，在实践过程中发现问题，解决问题。
实验原理：从噪声中提取信号波形的各种估计方法中，维纳（Wiener）滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。
设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。
期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。
因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。
为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。
如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。
根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。
代码分析：# -*- coding: utf-8 -*-import pyopencv as cvimport numpy as npimport mathimg2 = cv.imread("E:\p1.jpg")img = cv.Mat()cv.cvtColor(img2, img, cv.CV_BGR2GRAY)mag_img = np.fft.fft2(img[:]) #傅立叶变换shift_mag_img = np.fft.fftshift(mag_img) #中心化size = img.size() #利用size（）函数获得图像尺寸w = size.width #读取图像宽度，并赋值给wh = size.height #读取图像高度，并赋值给hu0=int(h/2)v0=int(w/2)k1=0.003 #自定义常数一k2=0.00000000001 #自定义常数二H = np.zeros((h, w), dtype = np.float64)#模糊化（根据大气退化模型）滤波器部分#for u in range(h):for v in range(w):H[u,v]=np.exp(-k1*math.pow(1.0*(u-u0)*(u-u0)+(v-v0)*(v-v0),5.0/6.0))fimg2= shift_mag_img * H #模糊化shift_mag_img3 = np.fft.ifftshift(fimg2) #中心化恢复img3 = np.fft.ifft2(shift_mag_img3 ).real #傅里叶反变换img3_max=np.max(img3[:]) #找最大值img3_min=np.min(img3[:]) #找最小值dWindow("before") #命名窗口名称cv.imshow("before",img) #显示原图for u in range(h):for v in range(w): #将变换图像的值转化为0--255之间img[u,v]=((img3[u,v]-img3_min)/(img3_max-img3_min)*255)dWindow("after") #给窗口命名cv.imshow("after",img) #显示处理后（加雾）的图片img4 = np.fft.fft2(img3[:]) #傅立叶变换shift_mag_img4 = np.fft.fftshift(img4) #中心化H1 = np.zeros((h, w), dtype = np.float64)#维纳滤波器部分#for u in range(h):for v in range(w):H1[u,v]=1/H[u,v]*(H[u,v]**2)/(H[u,v]**2+k2)fimg3= shift_mag_img4 * H1shift_mag_img4 = np.fft.ifftshift(fimg3) #中心化恢复img5 = np.fft.ifft2(shift_mag_img4 ).real #傅里叶反变换img5_max=np.max(img5[:])img5_min=np.min(img5[:])for u in range(h):for v in range(w): #将变换图像的值转化为0--255之间img[u,v]=((img5[u,v]-img5_min)/(img5_max-img5_min)*255)dWindow("last") #给窗口命名cv.imshow("last",img) #显示给处理后的图片还原后的图片cv.waitKey(0)效果显示：（原图片展示）（根据大气退化模型处理过后的图片）(根据维纳滤波，将大气退化处理后的图片还原后的效果)。
维纳滤波的使用ppt课件
kkr) k r
令l=r-k，
上式 a ( k )a ( k l)R w 1 w 1 ( m l)R w 1 w 1 ( m l) a ( k ) a ( k l)
k l
l k
32
令 f(l) a(k)a(kl)a(l)*a(l) 代入上式得
m 0
(5-13)
19
N1
E[s((n)x(nj)] hop(m t )E[x(nm)x(nj)],j0,1,2,..N . ,1
N1
m0
(5-14)
Rx(sj) hop(m t )Rx(xjm),j0,1,2,..N . ,1
m0
(5-15)
于是得到N个线性方程：
j0
j1
:
Rx(s0)h(0)Rx(x0)h(1)Rx(x1)...h(N1)Rx(xN1) Rx(s1)h(0)Rx(x1)h(1)Rx(x0)...h(N1)Rx(xN2)
其中s(n)的自相关序列
Rss(m),w0.6(mn)是方差为1的单
位白噪声，试设计一个N＝2的维纳滤波器来估计s(n)，
并求最小均方误差。
25
x(n)=s(n)+w(n) h(n)
y(n)=sˆ(n)
解：依题意，已知信号的自相关和噪声的自相
关为： R s(sm )0.6m,R w(w m )(m ),
N1
N1 N1
E[(s2(n)2s(n) hopt(m)x(nm)
hopt(m)x(nm)hopt(r)x(nr)]
m0
m0 r0
N1
N1
N1
Rss(0)2 hopt(m)Rxs(m) hopt(m)[ hopt(r)Rxx(mr)]
第5章 维纳滤波在信号处理中的应用_精简版
UESTC 何子述，夏威2010/4/191第5章维纳滤波在信号处理中的应用•1、介绍线性预测器，讨论与AR 模型的互逆关系；•2、介绍前（后）向线性预测及其格型滤波器结构，导出Burg 算法；•3、介绍维纳滤波在信道均衡中的应用，讨论基于线性预测的语音编码。
本章内容概况5.1 维纳滤波在线性预测中的应用MUESTC 何子述，夏威2010/4/1935.1.1 线性预测器原理()()d n u n =期望响应信号为()1u n −()2u n −()u n M −()u n M ()LP M ，，…，来预测称为阶（一步）线性预测（L inear P rediction ））。
，（简记为输入数据为()()()1,2,,u n u n u n M −−−"，即用UESTC 何子述，夏威2010/4/1945.1.1 线性预测器原理输入向量()()()()T12n u n u n u n M ⎡⎤=−−−⎣⎦u "权向量[]T11M w w w −=w "的自相关矩阵()n u ()(){}HE n n =R u u 则()()()()()()()()()()()()()()()()()()1112121222E 12u n u n u n u n u n u n M u n u n u n u n u n u n M u n M u n u n M u n u n M u n M ∗∗∗∗∗∗∗∗∗⎧⎫⎡⎤⎪⎪−−−−−−⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥−−−−−−⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪−−−−−−⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭R """"%#"（5.1.1）UESTC 何子述，夏威2010/4/1955.1.1 线性预测器原理()()()()()()()()()011102120r r r M r r r M r M r M r ⎡⎤−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+−+⎣⎦R """"%#"即而互相关向量为()(){}()()()()12E E u n u n n d n u n u n M ∗∗⎧⎫⎡⎤⎪⎪−⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪−⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪−⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭p u #()()()T12r r r M ⎡⎤=−−−⎣⎦p "即(5.1.2)UESTC 何子述，夏威2010/4/1965.1.1 线性预测器原理得M 阶线性预测器的维纳-霍夫方程为o =Rw p满足维纳-霍夫方程的线性预测称为最佳线性预测，简称线性预测。
维纳滤波（最小均方滤波）
维纳滤波（最⼩均⽅滤波）维纳滤波（最⼩均⽅滤波）避免逆滤波固有的弊端的另⼀种⽅法就是寻找图像的⼀种估值，使得和之间的均⽅误差最⼩。
均⽅误差最⼩准则是由维纳（Wiener）在1949年⾸先提出并⽤来对⼀维平稳时间序列进⾏估值。
因此这种⽅法被称为维纳滤波，也被称为最⼩均⽅误差滤波。
设、、分别为退化图像、原始图像和噪声，并设他们都是均匀随机的，且噪声的均值为零，并与图像不相关。
可以得到（3-6）式中，为维纳滤波器的点扩散函数。
按照均⽅误差最⼩准则，应该满⾜（3-7）为最⼩。
我们把称为已知时的线性最⼩均⽅估计。
将(2.2)带⼈(2.1)式，得到（3-8）可以证明当（3-9）时，式（3-7）取最⼩值。
经过证明可以得到维纳滤波的转移函数为（3-10）其中为噪声功率谱，为图像功率谱。
由式(2.5)可以看出，当没有噪声时，有，维纳滤波器就可以简化的看成是逆滤波器。
在有噪声的情况下，维纳滤波也⽤信噪功率⽐作为修正函数对逆滤波器进⾏了修正，但它在均⽅误差最⼩的意义上提供最佳恢复。
通常将噪声假设为⽩噪声，即噪声功率谱为常数，若在频谱空间上⾼频区下降⽐快得多，这种假设就近似正确。
于是可以认为常数（3-11）如果噪声时各态历经的，可以⽤⼀幅噪声图像进⾏计算从⽽求得，图像功率谱则可利⽤与原始图像统计性质相同的⼀类图像来确定。
如果不知道有关随机场的统计性质，也常⽤下式近似计算转移函数：（3-12）K是根据信噪⽐的某种先验知识来确定的常数。
下⾯是维纳滤波的复原效果：（a）原图（b）退化（c）复原图3-3 维纳滤波复原实验。
维纳滤波概述范文
维纳滤波概述范文维纳滤波是一种常用的信号处理方法，广泛应用于图像处理、语音处理、雷达信号处理等领域。
维纳滤波主要用于去除图像或信号中的噪声，使得信号更清晰、更易于分析和理解。
维纳滤波的原理基于信号与噪声的统计特性，通过最小化信号与噪声的均方误差来进行优化。
维纳滤波假设信号是随机的并遵循高斯分布，而噪声也是高斯分布的，通过对信号和噪声的统计特性进行分析和建模，可以得到一个最优的滤波器来消除噪声。
维纳滤波分为频域维纳滤波和空域维纳滤波两种方法。
频域维纳滤波是将信号和噪声分别在频域上进行滤波，然后再将两者合并得到最终的滤波结果。
频域维纳滤波首先对信号和噪声进行傅里叶变换，得到信号和噪声在频域上的表示。
然后，根据信号和噪声在频域上的统计特性，通过频域上的滤波操作分别滤除噪声和信号。
最后，将滤波后的信号和滤波后的噪声通过逆傅里叶变换得到时域上的滤波结果。
空域维纳滤波是对信号进行直接滤波，不需要进行频域变换。
空域维纳滤波的目标是通过对信号和噪声在空域上的统计特性建模，设计一个最优的滤波器来滤除噪声。
空域维纳滤波首先对信号和噪声的概率密度函数进行建模，并利用最小均方误差准则来求解最优滤波器的参数。
最后，通过对输入信号和滤波器进行卷积操作，得到滤波后的结果。
维纳滤波的优点是能够在保持信号尽可能完整的情况下滤除噪声，且不会对信号产生额外的伤害。
维纳滤波能够有效地提升图像和信号的质量，使得后续的分析和处理更加可靠和准确。
然而，维纳滤波也存在一些限制和缺点。
首先，维纳滤波假设信号和噪声都是高斯分布的，这在实际应用中往往并不成立。
当信号和噪声的分布不满足高斯假设时，维纳滤波的效果可能会变差。
其次，维纳滤波在滤除噪声的同时，也会损失信号的一些细节和边缘信息。
这是因为维纳滤波是基于统计的方法，无法完全区分信号和噪声。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况权衡信号的清晰度和噪声的削减程度，选择合适的滤波器参数。
总结来说，维纳滤波是一种常用的信号处理方法，主要用于去除信号中的噪声。
维纳滤波
5.1.1 因果的维纳滤波器
设 h( n) 是物理可实现的，也即是因果序列：
h(n) = 0, 当n < 0
因此，从式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推导：
ˆ( n ) = ∑ h ( m ) x ( n − m) y ( n) = s
m =0
+∞
(5-5)
+∞ ⎡ ⎤ E e 2 ( n ) = E ⎢( s ( n ) − ∑ h ( m ) x ( n − m ) ) 2 ⎥ m =0 ⎣ ⎦
asdfdsaf
asdfdsa
asdfasdf
第一节
维纳滤波器的时域解（Time domain solution of the Wiener filter）
设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应 h( n) 或传递 函数 H ( z ) 的表达式，其实质就是解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。我们从时域入手求 最小均方误差下的 h( n) ，用 hopt ( n) 表示最佳线性滤波器。这里只讨论因果可实现滤波器的 设计。
由式（5－15）进一步化简得：
E[e 2 (n)] min = Rss (0) − ∑ hopt (m) R xs (m)
m =0
N −1
(5-19)
用有限长的 h( n) 来实现维纳滤波时，当已知观测值的自相关和观测值与信号的互相关 时就可以按照式（5－15）在时域里求解 hopt ( n ) 。但是当 N 比较大时，计算量很大，并且涉 及到求自相关矩阵的逆矩阵问题。注意到式（5－15）的表现形式和第三章的 AR 模型参数估 计的矩阵形式类似，因而也可以用前面介绍的 L-D 快速算法实现求解。 若信号 s ( n) 与噪声 w( n ) 互不相关，即，
维纳滤波,最小二乘滤波,自适应滤波认知
主题：维纳滤波、最小二乘滤波、自适应滤波认知一、维纳滤波1. 维纳滤波是一种经典的线性滤波方法，它是以诺伯特·维纳（Norbert Wiener）命名的，主要用于信号和图像处理领域。
2. 维纳滤波是一种频域滤波方法，它利用信号和噪声的功率谱以及它们之间的相关性来进行滤波处理。
3. 维纳滤波通过最小化信号和噪声的均方误差来实现信号的恢复，能够有效地抑制噪声并增强信号的特征。
4. 维纳滤波的优点是对信噪比较低的图像有很好的处理效果，但缺点是对信噪比较高的图像处理效果较差。
二、最小二乘滤波1. 最小二乘滤波是一种基于统计原理的滤波方法，它通过对信号进行线性估计来实现滤波处理。
2. 最小二乘滤波与维纳滤波类似，都是以最小化均方误差为目标，但最小二乘滤波是基于时域的方法。
3. 最小二乘滤波将信号和噪声视为随机过程，利用信号和噪声的统计特性来进行滤波处理，能够提高信号的估计精度。
4. 最小二乘滤波的优点是对于信号和噪声的统计特性要求不高，处理效果比较稳定，但缺点是需要较强的计算能力和较大的样本量。
三、自适应滤波1. 自适应滤波是基于滑动窗口的滤波方法，它根据信号的局部特性动态调整滤波参数，适用于信号和噪声变化较大的场景。
2. 自适应滤波主要包括自适应均值滤波、自适应中值滤波、自适应加权滤波等不同类型，根据不同的信号特征选择相应的滤波方法。
3. 自适应滤波能够有效地抑制信号中的噪声和干扰，同时保留信号的边缘和细节特征，具有较好的空间适应性。
4. 自适应滤波的优点是能够根据信号的实际情况自动调整滤波参数，适用性广泛；但缺点是计算量大，实时性较差。
维纳滤波、最小二乘滤波和自适应滤波都是常用的信号和图像处理方法，它们各自具有特定的优点和适用场景。
在实际应用中，可以根据信号的特性和处理需求选择合适的滤波方法，以达到更好的处理效果。
对于不同的滤波方法，还可以结合其他技术手段进行改进和优化，以满足不同场景的需求。
维纳滤波复原的基本原理
维纳滤波复原的基本原理
维纳滤波（Wiener Filter）是一种经典的自适应滤波方法，可
用于信号复原和图像恢复等任务。
其基本原理是最小化输出信号与原始信号之间的均方误差，从而实现信号的最佳估计。
维纳滤波的基本假设是，原始信号和噪声是在频率域上相互独立的。
根据这一假设，维纳滤波通过对输入信号进行频域上的加权来实现信号的复原。
其具体步骤如下：
1. 将输入信号和噪声信号进行傅里叶变换，得到它们在频率域上的表示。
2. 根据信号自相关函数和噪声自相关函数的频谱表示，计算维纳滤波器的频率响应函数。
3. 将输入信号和噪声信号的频率表示与维纳滤波器的频率响应函数相乘，得到输出信号的频率表示。
4. 对输出信号进行傅里叶逆变换，得到复原后的信号。
维纳滤波的关键是确定维纳滤波器的频率响应函数。
通常情况下，维纳滤波器的频率响应函数需要对输入信号和噪声信号的功率谱进行估计。
常用的估计方法包括最小均方误差（MSE）准则、最大似然估计（MLE）准则和谱因子化方法等。
需要注意的是，维纳滤波在实际应用中并不总是能够获得满意的效果。
其有效性依赖于对输入信号和噪声信号的统计性质的
准确估计，以及对维纳滤波器的频率响应函数的合理选择。
在噪声强度较高、信号与噪声相关性较强或噪声功率谱存在峰值等情况下，维纳滤波可能失效或效果较差，此时可能需要使用其他更适合的滤波方法。
第五章 维纳滤波-2
符号矩阵的基本运算二
• • • • • • • mtaylor(f,n) —— 泰勒级数展开 ztrans(f) —— Z变换 Iztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 Invlaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 Invfourier(f) —— 反付氏变换
• 在生物医学信号处理中比较典型的应用就 是关于诱发脑电信号的提取。 • 大脑诱发电位（Evoked Potential，EP） 指在外界刺激下，从头皮上记录到的特异 电位。 • EP信号十分微弱，一般都淹没在自发脑电 （EEG）之中。 • 通过多次刺激得到的脑电信号进行叠加来 提取EP，这是现今最为广泛使用的EP提 取方法。
6/12/2018
滤波器阶数的影响（N为样本点长度）
（N=256） 0.3019
Amplitude
期望信号和滤波后信号对比 3 期望信号 滤波后信号
2
1
（N=512） 0.3680
0
-1
-2
-3
6/12/2018
-4
0
100
200
300 Time(n)
400
Hale Waihona Puke 500600内容
1. 维纳滤波器的FIR方法——滤波器长度 和信噪比的影响 2. 维纳滤波器的预白化法的计算机实现 3. 维纳预测器的FIR方法的实现和效果 4. 维纳滤波器的应用 • 本章作业全做，下周五交
N = input('观测点数=');% 观测点数 n = 1:1:N; s = 2 * sin(pi * n / 3 + pi / 6);% 信号 s1 = 2 * sin(pi * (n+1)/ 3 + pi / 6); v = zeros(size(s));%无干扰 %v = sqrt(0.5) * randn(size(s));%有干扰 Y = s1 + v;% 观测样本值 % 设计维纳预测器 % 观测信号自相关 [C, lags] = xcorr(Y, N, 'biased'); % 自相关矩阵 C1 = toeplitz( C(N + 1 : end) ); % s, y互相关函数 C2 = xcorr(Y, s, N, 'biased'); C2 = C2(N + 1 : end); Wopt = inv(C1) * C2'; y = filter(Wopt, 1, s);% 滤波 % 结果 figure(1) plot(n(1:10), s(1:10), 'r:', n(1:10), y(1:10), 'b-');grid legend('信号真值','预测值'); title('真值与预测结果对比');
图像处理中的维纳滤波原理讲解
图像处理中的维纳滤波原理讲解图像处理是计算机视觉领域的重要分支，其中维纳滤波是常用的图像增强技术之一。
本文将详细介绍维纳滤波的原理和应用。
一、维纳滤波的基本概念维纳滤波是一种通过数学推导和图像处理技术实现图像去噪和增强的方法。
它通过分析图像的噪声特征和图像自身的平稳性质，将噪声信号和图像信号进行分离，从而实现图像的清晰化和增强。
在维纳滤波中，首先要了解图像的频谱性质。
图像可以看作是由不同频率的信号叠加而成的，其中高频信号对应于图像的细节信息，而低频信号则对应于图像的整体特征。
维纳滤波的目标就是通过处理图像的频谱进行图像修复和增强，使得图像的细节得到较好的保留。
二、维纳滤波的原理维纳滤波的核心原理是最小均方误差准则，即通过最小化输入信号和输出信号之间的均方误差来实现滤波。
根据此原理，我们可以将维纳滤波分为两个主要步骤：估计噪声功率谱和估计期望图像功率谱。
1. 估计噪声功率谱在维纳滤波中，首先需要估计图像中的噪声功率谱。
为了实现这一步骤，可以使用图像的局部均值作为噪声的估计值，进而计算出噪声的功率谱密度。
2. 估计期望图像功率谱维纳滤波的另一个重要步骤是估计期望图像的功率谱。
期望图像是指在没有噪声的理想情况下所得到的图像。
通过计算图像的自相关函数和噪声的功率谱密度，可以获得期望图像的功率谱。
3. 完成维纳滤波当噪声功率谱和期望图像功率谱都得到估计之后，将它们应用到维纳滤波的公式中，即可完成滤波过程。
维纳滤波器的频谱函数是期望图像功率谱与噪声功率谱的比值。
三、维纳滤波的应用维纳滤波广泛应用于图像处理的许多领域，包括医学图像处理、遥感图像处理、机器视觉等。
以下是维纳滤波常见的应用场景：1. 目标检测与跟踪在目标检测与跟踪中，维纳滤波可以通过增强图像的边缘和细节信息，使得目标更加突出。
维纳滤波可以提高图像的信噪比，减少噪声干扰，使目标的边界更加清晰。
2. 遥感图像处理遥感图像通常受到光照条件和大气扰动的影响，导致图像中存在噪声和模糊。
维纳滤波原理
维纳滤波原理
维纳滤波是一种常用于信号处理的滤波方法，它基于最小均方误差准则，旨在将输入信号通过滤波得到输出信号，并尽可能地减小输出信号与期望信号之间的误差。
维纳滤波方法的基本思想是，利用已知信号的统计特性以及滤波器系统的特性，通过优化滤波器的参数来实现最佳滤波效果。
在维纳滤波中，信号被假设为由观测值和噪声组成的加性噪声模型。
通过对噪声和信号的统计特性进行建模，可以得到一个最优的滤波器，使得输出信号的均方误差最小。
具体而言，维纳滤波的目标是最小化误差函数，该函数定义为期望输出与实际输出之间的均方误差。
误差函数可以通过最小二乘法来求解，将其对滤波器的系数进行求导并令导数为零，得到滤波器的最优解。
最终，通过将最优滤波器应用于输入信号，就可以得到经过优化的输出信号。
维纳滤波方法在实际应用中具有广泛的应用，特别是在图像处理和语音信号处理领域。
它可以通过对图像或语音信号进行降噪、增强和恢复等操作，从而改善信号质量和增强信息。
维纳滤波在去除图像和语音信号中的噪声方面具有较好的效果，能够有效地提高图像和语音的清晰度和可理解性。
总之，维纳滤波是一种基于最小均方误差准则的滤波方法，在信号处理领域有着重要的应用。
通过对信号和噪声的统计特性进行建模，并优化滤波器的参数，可以实现对信号进行降噪、增强和恢复等操作，从而提高信号的质量和可理解性。
维纳滤波处理
维纳滤波处理1. 引言维纳滤波是一种常用的信号处理技术，它可以用来降低信号中的噪声并恢复信号的有效信息。
维纳滤波在图像处理、语音处理、雷达等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍维纳滤波的原理、方法和应用。
2. 维纳滤波原理维纳滤波是一种基于最小均方差准则的滤波方法，它的目标是最小化输出信号和原始信号之间的均方误差。
假设原始信号为x，滤波器的输出为y，对于离散信号，维纳滤波器可以用以下公式表示：其中，Y(k)为输出信号的第k个采样值，H(k)为滤波器的频率响应，X(k)为原始信号的第k个采样值，N(k)为噪声的第k个采样值。
维纳滤波的目标是选择一个适当的滤波器，使得输出信号的均方误差最小。
3. 维纳滤波方法维纳滤波的主要方法有两种：空域方法和频域方法。
下面将详细介绍这两种方法的原理和步骤。
3.1 空域方法空域方法是指在时域或空间域上对信号进行滤波。
维纳滤波的空域方法主要包括以下几个步骤：1.对原始信号进行空域预处理，如平滑处理等。
2.估计噪声的功率谱密度。
3.估计信号的功率谱密度。
4.计算维纳滤波器的传递函数。
5.对输入信号应用维纳滤波器，得到输出信号。
3.2 频域方法频域方法是指在频率域上对信号进行滤波。
维纳滤波的频域方法主要包括以下几个步骤：1.对原始信号进行傅里叶变换，转换到频域。
2.估计噪声的功率谱密度。
3.估计信号的功率谱密度。
4.计算维纳滤波器的频率响应。
5.将维纳滤波器的频率响应应用于原始信号的频谱，得到滤波后的频谱。
6.对滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，得到输出信号。
4. 维纳滤波应用维纳滤波在图像处理、语音处理和雷达信号处理等领域有着广泛的应用。
4.1 图像处理在图像处理中，图像往往受到噪声的影响，这会导致图像模糊和细节丢失。
维纳滤波可以有效地降低图像噪声，改善图像质量。
维纳滤波在医学影像、无损检测和图像增强等领域有广泛应用。
4.2 语音处理在语音处理中，语音信号常常受到环境噪声的干扰，这会降低语音信号的可听性和识别率。
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x(n) s(n) w(n)
h(n)
ˆ y ( n) s ( n )
ˆ • 系统框图中估计到的 s (n) 信号和我们期望得到 的有用信号s (n) 不可能完全相同，这里用 e(n) 来表示真值和估计值之间的误差 ˆ e(n) s(n) s(n) (5-3) • 显然 e(n) 是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波 的误差准则就是最小均方误差准则 (5-4) 2 2
• 简化形式： RxxH=Rxs (5-17) 式中，H＝[h(0) h(1) …h(N-1)]′是待求的单 位脉冲响应
RxxH=Rxs • 只要Rxx是非奇异的，就可以求到H： • H=Rxx－1＊Rxs • 求得H后，这时的均方误差为最小： N 1 2 2 E e (n) min E ( s(n) hopt (m) x(n m)) m 0
（图）维纳在讲解控制论。根据这一理 论，一个机械系统完全能进行运算和记忆 。
第一节 维纳滤波器的时域解 第二节维纳预测器 第三节维纳滤波器的应用
• 设有一个线性系统，它的单位脉冲响应 是 h(n) ，当输入一个观测到的随机信 号 x(n) ，简称观测值，且该信号包含噪 声 w(n)和有用信号 s (n)，简称信号，也 即
m 0 1
５.１.３预白化法求解维纳－霍夫方程
x(n) s(n) w(n)
h(n)
ˆ y ( n) s ( n )
x(n)
1 B( z )
w1 (n)
G (z )
ˆ y ( n) s ( n )
５.１.３预白化法求解维纳－霍夫方程
• 随机信号都可以看成是由一白色噪声 w1 (n) 激励一个物理可实现的系统或模型的响 应，如图5.2所示 ．
j 0,1,2
Es(n) x(n j ) hopt (m) Ex(n m) x(n j )
j0
R xs ( j ) hopt (m) R xx ( j m)
m 0
m 0
j0
从维纳－霍夫方程中解出的h就是最小均 h 方误差下的最佳h， opt (n) 。
x(n) s(n) w(n)
h(n)
ˆ y ( n) s ( n )
• 解：依题意，已知信号的自相关和噪声 m R 的自相关为： ss (m) 0.6 Rww (m) (m) N 1 代入式
m0
Rss ( j ) hopt (m)[Rss ( j m) Rww ( j m)]
第五章 维纳滤波
（Wiener Filtering）
•维纳于1894年生在美国密苏里州哥伦比亚市的一个犹太人的 家庭中。他的父亲是哈佛大学的语言教授。维纳18岁时就获 得了哈佛大学数学和哲学两个博士学位，随后他因提出了著 名的“控制论”而闻名于世。 •1940年，维纳开始考虑计算机如何能像大脑一样工作。他发 现了二者的相似性。维纳认为计算机是一个进行信息处理和 信息转换的系统，只要这个系统能得到数据，机器本身就应 该能做几乎任何事情。而且计算机本身并不一定要用齿轮， 导线，轴，电机等部件制成。麻省理工学院的一位教授为了 证实维纳的这个观点，甚至用石块和卫生纸卷制造过一台简 单的能运行的计算机。 •维纳在1940年写给布什的一封信中，对现代计算机的设计曾 提出了几条原则：（1）不是模拟式，而是数字式；（2）由 电子元件构成，尽量减少机械部件；（3）采用二进制，而不 是十进制；（4）内部存放计算表；（5）在计算机内部存贮 数据。这些原则是十分正确的。
w1 (n)
A( z )
s (n)
图5.2 s信号模型
• 由于 x(n) s(n) w(n)，在图5.2的基础上 给出的信号模型，图5.3所示。把这两个 模型合并最后得到维纳滤波器的信号模 型，图5.4所示，其中传递函数用B（z） 表示。 w(n)
w1 (n)
A(z )
s (n)
x(n)
x(n) s(n) w(n)
则输出为
y ( n) x ( n) h( n)
m
h ( m) x ( n m)
• 我们希望输出得到的 y (n)与有用信号s (n) 尽量接近，因此称 y (n)为 s (n)的估计值， ˆ y (n) s ( n) 用 来表示 ，我们就有了维纳滤 波器的系统框图 ．这个系统的单位脉冲 s (n) 响应也称为对于 的一种估计器。
m0
j0
E[e (n)]min Rss (0) hopt (m) Rxs (m)
2 m 0
５.１.２有限脉冲响应法求解 维纳－霍夫方程 • 设 h(n) 是一个因果序列且可以用有限长
（N点长）的序列去逼进它，则式(5-5) －(5-10)分别发生变化： N 1 ˆ(n) h(m) x(n m) (5-11) y ( n) s
Rxx (m) E[(s(n) w(n))(s(n m) w(n m))] Rss (m) Rww (m)
R xs ( j ) hopt (m) R xx ( j m)
m 0
N 1
j 0,1,2,, N 1
Rss ( j ) hopt (m)[ Rss ( j m) Rww ( j m)]
x(n) s(n) w(n)
h(n)
ˆ y ( n) s ( n )
• 用当前的和过去的观测值来估计当前的 信号y(n) s(n) 称为滤波； ˆ • 用过去的观测值来估计当前的或将来的 ˆ 信号 y(n) s(n N ) N>=0 ，称为预测； • 用过去的观测值来估计过去的信 ˆ 号 y(n) s(n N ) ，N>=1 ，称为平滑或 者内插。
• 求到 hopt (n) ，这时的均方误差为最小：
E e (n) min
2
2
2 E ( s(n) hopt (m) x(n m)) m 0
E[ s (n) 2s(n) h(m) x(n m) hopt (m) x(n m)hopt (r ) x(n r )]
m 0 m 0 r 0
Rss (0) 2 hopt (m) Rxs (m) hopt (m) hopt (r ) Rxx (m r ) m 0 m 0 r 0
Rxs ( j ) hopt (m) Rxx ( j m)
Es(n) x(n j ) hopt (m) Ex(n m) x(n j )
R xs ( j ) hopt (m) R xx ( j m)
m 0 N 1
N 1
j 0,1, N 1
m 0
j 0,1,2,, N 1
于是得到N个线性方程：
j 0 1 2h(0) 0.6h(1) j 1 0.6 0.6h(0) 2h(1) h 解得：(0)＝0.451， (1)＝0.165。 h
• 求得最小均方误差：
E[e 2 (n)] min Rss (0) h(m) Rss (m) 1 h(0) 0.6h(1) 0.45
５.１.１
因果的维纳滤波器
设 h(n) 是物理可实现的，也即是因果序 列： h(n) 0, 当n 0 因此，从式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推导： (5-5)
ˆ y ( n ) s ( n ) h ( m) x ( n m)
m 0
2 E e (n) E ( s(n) h(m) x(n m)) m 0 2
(5-6)
E e ( n ) E ( s ( n )
2
h( m) x( n m)) 2 m 0
• 要使得均方误差最小，则将上式对各 h(m) m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得：
2 E ( s(n) hopt (m) x(n m)) x(n j ) 0 m 0
E[s (n) 2s(n) h(m) x(n m) hopt (m) x(n m)hopt (r ) x(n r )]
2 m 0 m 0 r 0
N 1
N 1
N 1 N 1
N 1 Rss (0) 2 hopt (m) Rxs (m) hopt (m) hopt (r ) Rxx (m r ) m 0 m 0 r 0
图5.3 x的信号模型
w1 (n)
B( z )
x(n)
图5.4 维纳滤波器的输入信号模型
• 白噪声的自相关函数为Rw w (m) (m) 2 w。图5.2中输出信号的 它的z变换就等于 自相关函数为Rss (m) ，根据卷积性质有
Rxs (0) h(0) Rxx (0) h(1) Rxx (1) h( N 1) Rxx ( N 1) j0 j 1 Rxs (1) h(0) Rxx (1) h(1) Rxx (0) h( N 1) Rxx ( N 2) j N 1 Rxs ( N 1) h(0) Rxx ( N 1) h(1) Rxx ( N 2) h( N 1) Rxx (0)
ˆ E e (n) E (s(n) s(n))
ห้องสมุดไป่ตู้
５.１ 维纳滤波器的时域解 （Time domain solution of the Wiener filter）
• 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小 均方误差下滤波器的单位脉冲响应 h(n) 或传递函数 H (z )的表达式，其实质就是 解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。 • 我们从时域入手求最小均方误差下的 h(n) 用 hopt (n) 表示最佳线性滤波器。这里只 讨论因果可实现滤波器的设计。