第五章 维纳滤波

w1 (n)
A( z )
s (n)
图5.2 s信号模型
• 由于 x(n) s(n) w(n)，在图5.2的基础上 给出的信号模型，图5.3所示。把这两个 模型合并最后得到维纳滤波器的信号模 型，图5.4所示，其中传递函数用B（z） 表示。 w(n)
w1 (n)
A(z )
Leabharlann Baidu
s (n)

x(n)
j 0,1,2
Es(n) x(n j ) hopt (m) Ex(n m) x(n j )

j0
R xs ( j ) hopt (m) R xx ( j m)
m 0

m 0
j0
从维纳－霍夫方程中解出的h就是最小均 h 方误差下的最佳h， opt (n) 。
j 0 1 2h(0) 0.6h(1) j 1 0.6 0.6h(0) 2h(1) h 解得：(0)＝0.451， (1)＝0.165。 h
• 求得最小均方误差：
E[e 2 (n)] min Rss (0) h(m) Rss (m) 1 h(0) 0.6h(1) 0.45
• 写成矩阵形式有：
R xx (1) R xx (0) R (1) R xx (0) xx R xx ( N 1) R xx ( N 2) R xx ( N 1) h(0) R xs (0) R xx ( N 2) h(1) R xs (1) R xx (0) h( N 1) R xs ( N 1)
Rxx (m) E[(s(n) w(n))(s(n m) w(n m))] Rss (m) Rww (m)
R xs ( j ) hopt (m) R xx ( j m)
m 0
N 1
j 0,1,2,, N 1
Rss ( j ) hopt (m)[ Rss ( j m) Rww ( j m)]
m 0
N 1 2 2 (5-12) E e (n) E ( s(n) h(m) x(n m)) m 0



N 1 2 E ( s(n) hopt (m) x(n m)) x(n j ) 0 m 0
j 0,1,2 N 1
m 0
N 1
j 0,1,2, , N 1
E[e 2 (n)] min Rss (0) hopt (m) R xs (m)
m 0 N 1
E[e (n)] min Rss (0) hopt (m) Rss (m)
2 m 0
N 1
x • 【例5-1】如图，(n) s(n) w(n) ，信号 m 与噪声统计独立，其中 Rss (m) 0.6 噪声是方差为1的单位白噪声，试设计一 个N＝2的维纳滤波器来估计 s (n)，并求 最小均方误差。
x(n) s(n) w(n)
h(n)
ˆ y ( n) s ( n )
• 解：依题意，已知信号的自相关和噪声 m R 的自相关为： ss (m) 0.6 Rww (m) (m) N 1 代入式
m0
Rss ( j ) hopt (m)[Rss ( j m) Rww ( j m)]
Es(n) x(n j ) hopt (m) Ex(n m) x(n j )
R xs ( j ) hopt (m) R xx ( j m)
m 0 N 1
N 1
j 0,1, N 1
m 0
j 0,1,2,, N 1
于是得到N个线性方程：
（图）维纳在讲解控制论。根据这一理 论，一个机械系统完全能进行运算和记忆 。
第一节 维纳滤波器的时域解 第二节维纳预测器 第三节维纳滤波器的应用
• 设有一个线性系统，它的单位脉冲响应 是 h(n) ，当输入一个观测到的随机信 号 x(n) ，简称观测值，且该信号包含噪 声 w(n)和有用信号 s (n)，简称信号，也 即
Rxs (0) h(0) Rxx (0) h(1) Rxx (1) h( N 1) Rxx ( N 1) j0 j 1 Rxs (1) h(0) Rxx (1) h(1) Rxx (0) h( N 1) Rxx ( N 2) j N 1 Rxs ( N 1) h(0) Rxx ( N 1) h(1) Rxx ( N 2) h( N 1) Rxx (0)
m 0 1
５.１.３预白化法求解维纳－霍夫方程
x(n) s(n) w(n)
h(n)
ˆ y ( n) s ( n )
x(n)
1 B( z )
w1 (n)
G (z )
ˆ y ( n) s ( n )
５.１.３预白化法求解维纳－霍夫方程
• 随机信号都可以看成是由一白色噪声 w1 (n) 激励一个物理可实现的系统或模型的响 应，如图5.2所示 ．
x(n) s(n) w(n)
则输出为
y ( n) x ( n) h( n)
m
h ( m) x ( n m)

• 我们希望输出得到的 y (n)与有用信号s (n) 尽量接近，因此称 y (n)为 s (n)的估计值， ˆ y (n) s ( n) 用 来表示 ，我们就有了维纳滤 波器的系统框图 ．这个系统的单位脉冲 s (n) 响应也称为对于 的一种估计器。


(5-6)
E e ( n ) E ( s ( n )
2


h( m) x( n m)) 2 m 0

• 要使得均方误差最小，则将上式对各 h(m) m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得：
2 E ( s(n) hopt (m) x(n m)) x(n j ) 0 m 0
图5.3 x的信号模型
w1 (n)
B( z )
x(n)
图5.4 维纳滤波器的输入信号模型
• 白噪声的自相关函数为Rw w (m) (m) 2 w。图5.2中输出信号的 它的z变换就等于 自相关函数为Rss (m) ，根据卷积性质有
m0

j0
E[e (n)]min Rss (0) hopt (m) Rxs (m)
2 m 0

５.１.２有限脉冲响应法求解 维纳－霍夫方程 • 设 h(n) 是一个因果序列且可以用有限长
（N点长）的序列去逼进它，则式(5-5) －(5-10)分别发生变化： N 1 ˆ(n) h(m) x(n m) (5-11) y ( n) s
５.１.１
因果的维纳滤波器
设 h(n) 是物理可实现的，也即是因果序 列： h(n) 0, 当n 0 因此，从式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推导： (5-5)
ˆ y ( n ) s ( n ) h ( m) x ( n m)
m 0
2 E e (n) E ( s(n) h(m) x(n m)) m 0 2
ˆ E e (n) E (s(n) s(n))



５.１ 维纳滤波器的时域解 （Time domain solution of the Wiener filter）
• 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小 均方误差下滤波器的单位脉冲响应 h(n) 或传递函数 H (z )的表达式，其实质就是 解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。 • 我们从时域入手求最小均方误差下的 h(n) 用 hopt (n) 表示最佳线性滤波器。这里只 讨论因果可实现滤波器的设计。
• 简化形式： RxxH=Rxs (5-17) 式中，H＝[h(0) h(1) …h(N-1)]′是待求的单 位脉冲响应
RxxH=Rxs • 只要Rxx是非奇异的，就可以求到H： • H=Rxx－1＊Rxs • 求得H后，这时的均方误差为最小： N 1 2 2 E e (n) min E ( s(n) hopt (m) x(n m)) m 0
N 1
• 进一步化简得：
E[e 2 (n)] min Rss (0) hopt (m) R xs (m)
m 0 N 1
• 若信号与噪声互不相关，即，
Rsw (m) Rws (m) 0
Rxs (m) E[ x(n)s(n m)] E[s(n)s(n m) w(n)s(n m)] Rss (m)
第五章 维纳滤波
（Wiener Filtering）
•维纳于1894年生在美国密苏里州哥伦比亚市的一个犹太人的 家庭中。他的父亲是哈佛大学的语言教授。维纳18岁时就获 得了哈佛大学数学和哲学两个博士学位，随后他因提出了著 名的“控制论”而闻名于世。 •1940年，维纳开始考虑计算机如何能像大脑一样工作。他发 现了二者的相似性。维纳认为计算机是一个进行信息处理和 信息转换的系统，只要这个系统能得到数据，机器本身就应 该能做几乎任何事情。而且计算机本身并不一定要用齿轮， 导线，轴，电机等部件制成。麻省理工学院的一位教授为了 证实维纳的这个观点，甚至用石块和卫生纸卷制造过一台简 单的能运行的计算机。 •维纳在1940年写给布什的一封信中，对现代计算机的设计曾 提出了几条原则：（1）不是模拟式，而是数字式；（2）由 电子元件构成，尽量减少机械部件；（3）采用二进制，而不 是十进制；（4）内部存放计算表；（5）在计算机内部存贮 数据。这些原则是十分正确的。
x(n) s(n) w(n)
h(n)
ˆ y ( n) s ( n )
ˆ • 系统框图中估计到的 s (n) 信号和我们期望得到 的有用信号s (n) 不可能完全相同，这里用 e(n) 来表示真值和估计值之间的误差 ˆ e(n) s(n) s(n) (5-3) • 显然 e(n) 是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波 的误差准则就是最小均方误差准则 (5-4) 2 2
x(n) s(n) w(n)
h(n)
ˆ y ( n) s ( n )
• 用当前的和过去的观测值来估计当前的 信号y(n) s(n) 称为滤波； ˆ • 用过去的观测值来估计当前的或将来的 ˆ 信号 y(n) s(n N ) N>=0 ，称为预测； • 用过去的观测值来估计过去的信 ˆ 号 y(n) s(n N ) ，N>=1 ，称为平滑或 者内插。
m 0 m 0 r 0
Rss (0) 2 hopt (m) Rxs (m) hopt (m) hopt (r ) Rxx (m r ) m 0 m 0 r 0

Rxs ( j ) hopt (m) Rxx ( j m)
• 求到 hopt (n) ，这时的均方误差为最小：
E e (n) min
2

2

2 E ( s(n) hopt (m) x(n m)) m 0

E[ s (n) 2s(n) h(m) x(n m) hopt (m) x(n m)hopt (r ) x(n r )]


E[s (n) 2s(n) h(m) x(n m) hopt (m) x(n m)hopt (r ) x(n r )]
2 m 0 m 0 r 0
N 1
N 1
N 1 N 1
N 1 Rss (0) 2 hopt (m) Rxs (m) hopt (m) hopt (r ) Rxx (m r ) m 0 m 0 r 0