机械振动基础试卷

一、 填空题 ( 本大题共5小题，每小题2分，共10分 )
1、 简谐振动的三要素是 振幅 、 频率 和 初相位 。

2、 不论隔力还是隔幅，当频率比λ满足
λ> 3、 单自由度系统欠阻尼振动频率d ω，阻尼比ζ和固有频率n ω的关系为
d ωω=
4、 多自由度系统中加速度频响函数矩阵的元素()i j H ω表示的物理意义是指： 幅值是指
在系统的第j 个自由度上施加单位幅值正弦激励后系统第i 个自由度上的加速度稳态响应幅值；幅角是指上述加速度响应滞后（超前）激励的相位角 。

5、 直梁的自由端 剪力 和 弯矩 为零。

二、 判断题 ( 本大题共5小题，每小题2分，共10分 )
1、 叠加原理适用于线性和非线性系统。

（×）
2、 旋转机械中，不平衡质量会引起系统产生振动。

（√）
3、 单自由度系统共振时系统呈阻尼特性。

（√）
4、 瑞利阻尼是比例阻尼。

（√）
5、 无限自由度系统的振动方程是一个常微分方程。

（×）
三、 解答题 ( 本大题共4小题，共60分 )
1、 图示系统中不计刚性杆的质量，试建立系统的振动
微分方程，并求系统的固有频率。

（10分） 解：取广义坐标为θ，顺时针为正方向，取质量块m 进行受力分析
根据动量矩定理得： sin ,cos 1θθθ≈≈，化简得到系统运动微
对于微振动，分方程
系统固有频率为
2、 试推导单自由度欠阻尼振动系统的单位脉冲响应函数表达式。

（10分） 解：受单位脉冲激励的单自由度欠阻尼系统运动方程为 初始条件(0)(0)0u u ==。

设脉冲力的作用时间区间是[0,0]+, 根据冲量定理：1(0)(0)mu mu +=- 所以1
(0)u m +=
，因此初始条件变为1(0)0,(0)u u m
+
+==，所以 因此得到 式中d
ωω=
3、 试证明多自由度无阻尼振动系统的固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵都具有加权正交
性。

（10分）
证明：对于多自由度无阻尼系统的固有振动，有2()0ω-=K M ϕ，对应第r 和s 阶模态有
等式两边分别乘以T
s ϕ和T r ϕ得
式（1）两边转置得到
（3）-（2）得到22()0T r s r s ωω-=M ϕϕ 对于单构系统，22,r s r s ωω≠≠，所以 将（4）代入（2）得到
即，多自由度无阻尼振动系统的固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵都具有加权正交性。

4、 在图示振动系统中，已知：二物体的质量分别为
1m 和2m ，弹簧的刚度系数分别为1k 、2k 、3k 、4k 、5k ，物块的运动阻力不计。

试求：（1）写出
系统的动力学方程；（2）假设12m m m ==，
12k k k ==，3451
3
k k k k ===，求出系统的固有频率和相应的振型；（3）假定系统存
在初始条件12(0)2(0)4u u ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，12(0)6(0)2u u ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，在条件（2）下采用模态叠加法求系统的响应；（4）假定质量块1m 受到激励力为sin f t ω（ω≠系统固有频率），在条件（2）下求系统的稳态响应。

（30分）
解：（1）系统为两自由度系统，分别以1u 、2u 建立广义坐标，则系统的动力学方程为
其中，质量矩阵1200m m ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦M ，刚度矩阵122
22345k k k k k k k k +-⎡⎤
=⎢⎥-+++⎣
⎦
K
（2）代入参数得到00m m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M
，22k
k k
k -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
K 自由振动时2()0,λλω-==K M ϕ，特征方程为 所以
202k m k k
k m
λλ--=--，即()()30k m k m λλ--=
因此得到1ω=
，2ω=对应振型为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111ϕ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=112ϕ
（3）令1111-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦Φ，取模态坐标12q q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦q ，进行模态坐标变换=u Φq ，则 模态坐标下的振动方程为：
两边同乘T Φ得到1122()()1101-11121-10()()-11011-11211q t q t m k
k q t q t m k k -⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即1122()()20200()()0206q t q t m k q t q t m k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以1111122222
()cos sin ()cos sin q t a t b t q t a t b t ωωωω=+⎧⎨=+⎩
对于初始条件
所以12a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1
1111--⎡⎤⎢⎥⎣⎦24⎡⎤⎢⎥⎣⎦=111112⎡⎤⎢⎥-⎣⎦24⎡⎤⎢⎥⎣⎦=31⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
所以1
11221161164111211222b b ωω--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即11224/2/b b ωω⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
所以1
11122
22
4()3cos sin 2()cos sin q t t t q t t t ωωωωωω⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
最后物理坐标下，1212q q q q -⎡⎤
==⎢
⎥
+⎣⎦
u Φq （4）系统的受迫振动方程为 系统的频响函数矩阵为
式中()2
2
22224()234k m k k km m ωωωω∆=--=-+
系统的稳态响应2*
22sin 1()()20k m
k f t t k k m ωωωω⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥∆-⎣⎦⎣⎦
u 四、 论述题 (20分 )
试论述机械结构振动领域中理论分析、数值仿真方法、振动实验测试与模态分析、结构动力学模型修正技术之间的关系以及这些技术在实际工程结构设计中的作用。

答：只要从振动理论分析，振动数值方法，试验测试已经模态分析和结构动力学模型修正的概念出发，阐述之间的相互关系以及在实际工程结构设计中的作用进行阐述就可。

振动研究的三大支柱:理论分析\数值仿真\试验技术
振动问题的数值分析方法有：有限元法、邓克莱法、逆迭代法；
有限元:将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。

逆迭代法是一种由低到高逐阶计算固有频率和固有振型的简便方法，很容易编制程序实现。

振动试验包括：信号采集和处理、频响函数测量和模态参数识别（频域法和时域法） 模态分析就是结构的固有振动特性分析。

1）将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦
2）成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。

坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。

最终的目的是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。

分为有限元模态分析和试验模态分析 应用：1.机械、结构动态分析与设计 2.机械结构振动与噪声控制 3.机械故障诊断
4.结构健康监测
模型修正的是利用静动载试验结果（频率、振型、应变、位移等）修改理论有限元模型的刚度、质量、边界约束、几何尺寸等参数，在保证模态参数自身精度的前提下，使修正后的有限元模型结果趋于试验值。

方法有：神经网络法，矩阵修正法等。