课时跟踪检测(四十三) 简单的三角恒等变换

课时跟踪检测（四十三） 简单的三角恒等变换

A 级——学考合格性考试达标练

1．已知sin 2α＝1

3，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )

A ．－1

3

B ．－23

C ．13

D ．23

解析：选D cos 2⎝⎛⎭

⎫α－

π4＝1＋cos ⎝

⎛⎭⎫

2α－

π22

＝1＋sin 2α2＝23

.

2．已知α∈⎝⎛⎭

⎫－π2，0，cos α＝4

5，则tan α2＝( )

A ．3

B ．－3

C ．1

3

D ．－13

解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝4

5，所以α2∈⎝⎛⎭

⎫－π4，0，tan α2＝－

1－cos α

1＋cos α

＝－

1－

451＋45

＝－13. 3．若sin(π－α)＝－5

3且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭

⎫π2＋α2等于( ) A ．－63

B ．－6

6

C ．

66 D ．

63

解析：选B 由题意知sin α＝－5

3，α∈⎝

⎛⎭⎫π，3π2， 所以cos α＝－2

3.

因为

α2∈⎝⎛⎭

⎫

π2，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭

⎫π2＋α

2＝cos α2＝－

1＋cos α

2

＝－

6

6

.故选B. 4．已知tan α＝4

3，且α为第一象限角，则sin α2

的值为( )

A ．－5

5 B ．

55

C ．±

55

D ．±15

解析：选C 因为tan α＝4

3，所以sin αcos α＝43.

又sin 2α＋cos 2α＝1，

所以⎩⎨⎧

sin α＝45

，

cos α＝3

5

或⎩⎨⎧sin α＝－45

，

cos α＝－3

5

.

因为α为第一象限角，

所以α

2为第一、三象限角，且⎩⎨⎧sin α＝4

5，cos α＝3

5，

所以sin α

2

＝±

1－cos α

2

＝± 1－352＝±55

. 5．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x

2(x ∈[0，π])的最小值为( )

A ．1

B ．－1

C ．54

D ．－54

解析：选D 由题意，得f (x )＝cos 2x －2cos 2x

2＝cos 2x －(1＋cos x )＝cos 2x －cos x －1，设

t ＝cos x (x ∈[0，π])，y ＝f (x )，则

t ∈[－1，1]，y ＝t 2－t －1＝

⎝⎛⎭⎫t －122

－54，所以当t ＝12

，即x ＝π3时，y 取得最小值，为－54，所以函数f (x )的最小值为－5

4

，故选D ． 6．若sin θ2＋2cos θ

2

＝0，则tan θ＝________．

解析：由sin θ2＋2cos θ

2＝0，得tan θ2

＝－2，

则tan θ＝

2tan

θ

2

1－tan 2

θ2＝4

3

. 答案：4

3

7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2

3，则cos 2⎝⎛⎭

⎫π6－α2＝________．

解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin

⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23.所以cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝

1＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－α2＝1＋

2

32＝56

.

答案：56

8．已知sin θ＋cos θ＝1

5，且π2≤θ≤π，则sin ⎝⎛⎭⎫3π－θ2＝________. 解析：∵π2≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且π4≤θ2≤π

2.

又sin θ＋cos θ＝1

5，①

∴(sin θ＋cos θ)2＝

125，∴2sin θcos θ＝－2425

， ∴(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝49

25，

∴cos θ－sin θ＝－7

5

②

联立①②，得⎩⎨⎧

sin θ＝4

5

，

cos θ＝－3

5，

∴sin ⎝⎛⎭⎫3π－θ2＝sin θ2＝ 1－cos θ

2

＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352

＝25

5

. 答案：

25

5

9．已知tan θ＝1

3，求2cos 2θ

2－sin θ－1

2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋

π4的值．

解：2cos 2θ

2

－sin θ－1

2sin ⎝

⎛⎭⎫θ＋π4

＝⎝⎛⎭

⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝

⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4

＝cos θ－sin θ

sin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ

＋1＝1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，