第三章函数的凹凸性与拐点

1 3
定理3:（充分条件）若f 〞(x)=0 ，且在x0两侧变号， 则点(x0 ,f (x0 ))是曲线的拐点。
求曲线拐点的步骤： 1)，求f(x)的定义域; 2)，求f `(x) , f 〞 (x); 3),求f 〞 (x)=0的点或f 〞 (x)不存在的点; 4),判断f 〞 (x)在以上点左右两侧的符号变化，从而确定拐点。
∴ f ' ( x )单调增， 从而有 f " ( x ) > 0
∴ f ' ( x )单调减，
从而有 f " ( x ) < 0
观察图3、 中的两条曲线 观察图 、4中的两条曲线
中的曲线是向下鼓鼓地减， 图3中的曲线是向下鼓鼓地减，而图 中的曲线是向上鼓鼓地减 中的曲线是向下鼓鼓地减 而图4中的曲线是向上鼓鼓地减 看看函数y=f(x)的导数有什么变化？ 的导数有什么变化？ 看看函数 的导数有什么变化
y = x 2在R上的凹凸性。如右图： 上的凹凸性。 例1. 考察 上的凹凸性 如右图：
y
解 : y′′ = 2 > 0 ∴ y = x 2在R上是凹的。
o
y = x2
x
例2、 考察y = x 3的凹凸性。
x > 0 y ' ' > 0 f ( x)凹 解：y = 6 x ⇒ x < 0 y ' ' < 0 f ( x)凸
''
y
y = x3
x
在凹凸区间的分界点（0,0）即拐点
o
定理2：（拐点的必要条件），若函数y=f(x)在x0处二阶导数 存在，且点(x0 ,f (x0 ))为曲线y=f(x)的拐点，则f 〞(x)=0.
例3：考察 y = x 定义R上.
5 x > 0 y ' ' < 0 f ( x)凸 2 −3 '' y =− x ⇒ 9 x < 0 y ' ' > 0 f ( x)凹
f 〞(x) f(x) n
Байду номын сангаас
-
0 拐点
+
u
例4、 讨论f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1的凹凸区间与拐点.
解 : 1 ( x)的定义域为(−∞,+∞) 、f 2、 f ′( x) = 3 x 2 − 12 x + 9
3、 f ′′( x) = 6 x − 12 令f ′′( x) = 0 ⇒ x = 2
(2 x > 2 f ' ' ( x) > 0 ,+∞ )是凹区间 f ' ' ( x ) = 6( x − 2) ⇒ (−∞ x < 2 f ' ' ( x) < 0 ,2)是凸区间 (-∞,2) (2,+∞) x 2
定理1. 设函数y=f(x)在某区间 内具有二阶导数 在某区间I内具有二阶导数 定理 设函数 在某区间 1)、若y=f〞 (x)>0 ，则曲线 则曲线y=f(x)在区间 内是凹的。 在区间I内是凹的 、 在区间 内是凹的。 则曲线y=f(x)在区间 内是凸的。 在区间I内是凸的 2)、若y=f〞 (x)<0 ，则曲线 、 在区间 内是凸的。
函数的凹凸性及拐点 函数的凹凸性及拐点 性及
观察图1、 中的两条曲线 观察图 、2中的两条曲线
中的曲线是向下鼓鼓地增， 图1中的曲线是向下鼓鼓地增，而图 中的曲线是向上鼓鼓地增 中的曲线是向下鼓鼓地增 而图2中的曲线是向上鼓鼓地增 看看函数y=f(x)的导数有什么变化？ 的导数有什么变化？ 看看函数 的导数有什么变化
又 ∵ x1 < x 2 ∴ f ' ( x )单调增，
从而有 f " ( x ) > 0
定义1: 设函数y=f(x)在某区间 内可导; 定义 设函数 在某区间I内可导 在某区间 内可导 在区间I内是递增的 内是凹的。 若f `(x)在区间 内是递增的，则曲线 在区间 内是递增的，则曲线y=f(x)在I内是凹的。 在 内是凹的 区间I称为凹区间 用符号“ 称为凹区间， 表示。 区间 称为凹区间，用符号“∪”表示。 在区间I内是递减的 内是凸的。 若f `(x)在区间 内是递减的，则曲线 在区间 内是递减的，则曲线y=f(x)在I内是凸的。 在 内是凸的 区间I称为凸区间 用符号“ ”表示。 称为凸区间， 区间 称为凸区间，用符号“∩”表示。 定义2: 设函数y=f(x)在某区间 内连续，则曲线y=f(x) 定义 设函数 在某区间I内连续，则曲线 在某区间 内连续 内的凹凸分界点称为曲线y=f(x)的拐点。 的拐点。 在I内的凹凸分界点称为曲线 内的凹凸分界点称为曲线 的拐点
(1)
y
y=f(x)
(2)
y
y=f(x)
a o
π
2
β x1
β x2 x o
π
2
a x1 x2 x
∵
> β >α >0
∵
>α > β >0
∴ f ' ( x 2 ) = tan β > tan α = f ' ( x1 )
又 ∵ x1 < x 2
∴ f ' ( x 2 ) = tan β < tan α = f ' ( x1 ) 又 ∵ x1 < x 2
(3)
y
(4)
y
a o
β x o x1 x2
β
a x
∵
π
x1
x2
2 ∴ f ' ( x 2 ) = tan β < tan α = f ' ( x1 )
<α < β <π
< β <α <π 2 ∴ f ' ( x 2 ) = tan β > tan α = f ' ( x1 ) ∵
π
又 ∵ x1 < x 2 ∴ f ' ( x )单调减， 从而有 f " ( x ) < 0